변곡점
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1. 개요
변곡점은 미분기하학에서 곡선의 곡률이 부호를 바꾸는 점을 의미한다. 미분가능 함수 그래프에서 1차 도함수가 극값을 가질 때, 또는 매개변수 방정식으로 주어진 곡선에서 곡률의 부호가 변하는 점을 변곡점이라고 정의한다. 변곡점은 2차 도함수의 부호 변화, 1차 도함수의 값, 또는 곡선의 오목성에 따라 분류될 수 있으며, 대수기하학에서는 접선과의 교차수에 따라 정의되기도 한다. 한국 사회에서는 정치, 경제, 사회, 문화 등 여러 분야에서 급격한 변화나 전환점을 나타내는 데 비유적으로 사용되기도 한다.
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| 변곡점 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | 곡선의 곡률 부호가 바뀌는 점 |
| 조건 | 이계도함수가 0이 되는 점 |
| 함수 | f |
| 연속성 | C² 함수 |
| 필요조건 | |
| 이계도함수 조건 | f'' = 0 |
| 미분계수 조건 | f''= 0 |
| 충분조건 | |
| 삼계도함수 조건 | f''' ≠ 0 |
| 이계도함수 부호 변화 조건 | f''의 부호가 변해야 함 |
| 예시 | |
| 함수 예시 | y = x³ |
| 변곡점 좌표 | (0, 0) |
| 영어 | |
| 영어 명칭 | Inflection Point |
2. 정의
미분기하학에서 변곡점은 곡률이 부호를 바꾸는 곡선의 점이다.[2][3]
함수 f영어의 2차 미분계수가 점 에서 존재하고, 가 변곡점이라면, 이 성립한다. 그러나 이 조건이 항상 변곡점을 보장하는 것은 아니다. 변곡점을 가지려면 추가적으로 0이 아닌 고차 미분계수 중 가장 낮은 차수가 홀수여야 한다. 만약 가장 낮은 차수의 0이 아닌 미분계수가 짝수라면 그 점은 변곡점이 아닌 '''기복점'''[13]이 된다.
예를 들어, 미분가능 함수의 그래프는 1차 도함수가 고립된 극값을 가질 때 변곡점을 가진다. 만약 함수의 모든 극값이 고립점이라면, 변곡점은 접선이 곡선을 가로지르는 그래프상의 점이다.
매개변수 방정식으로 주어진 매끄러운 곡선의 경우, 점은 부호가 있는 곡률이 플러스에서 마이너스로 또는 마이너스에서 플러스로 부호를 바꾸는 변곡점이다.
두 번 미분 가능한 함수의 그래프인 매끄러운 곡선의 경우, 변곡점은 이계도함수가 고립된 영점을 가지고 부호를 바꾸는 그래프의 점이다.
대수기하학에서 대수 곡선의 비특이점은 접선과 곡선(접점)의 교차수가 2보다 클 때만 ''변곡점''이다.
3. 조건
''f''(''x'')영어가 어떤 점 의 근방에서 번 연속 미분 가능하고(단, 는 홀수), ()이며 이라면, 는 에 변곡점을 갖는다. 또한, 의 근방에서 과 의 부호가 반대라면, 는 변곡점을 갖는다.[13]
3. 1. 필요조건
함수 ''f''의 이차 도함수 ''f''(x)''가 x₀에서 존재하고 x₀가 f의 변곡점이면, ''f''(x₀) = 0''이다.[13] 그러나 이 조건은 도함수가 어떤 차수이든 존재하더라도 변곡점을 갖기 위한 충분 조건은 아니다.[13] 변곡점을 가지려면, (이차보다 위의) 영이 아닌 미분계수 중 가장 낮은 차수가 홀수 차수여야 한다.[13] 만약 가장 낮은 차수의 영이 아닌 도함수가 짝수 차수라면, 그 점은 변곡점이 아니라 ''굴곡점''이다.[13] 그러나 대수기하학에서는 변곡점과 굴곡점 모두 일반적으로 ''변곡점''이라고 부른다.[13]
3. 2. 충분조건
''f''(''x'')영어가 번 연속 미분 가능하고, 가 홀수이며 인 점 의 특정 근방에서 변곡점이 존재하기 위한 충분조건은, 에 대해 이고 인 경우이다. 그러면 는 에서 변곡점을 갖는다.
또 다른 더 일반적인 충분 조건은 와 가 의 근방에서 서로 다른 부호를 가져야 한다.[13]
4. 분류
변곡점은 2차 도함수 값에 따라 분류할 수 있다.
- 가 0이면, 그 점은 '''정지 변곡점'''이다.
- 가 0이 아니면, 그 점은 '''비정지 변곡점'''이다.
정지 변곡점은 극값이 아니다. 여러 실수 변수의 함수에서는 극값이 아닌 정지점을 안장점이라고 부른다.
정지 변곡점의 예로 그래프에서 점 가 있다. 이 점의 접선은 축이며, 그래프를 가로지른다.
비정지 변곡점의 예로 (는 0이 아닌 임의의 값) 그래프에서 점 가 있다. 이 점의 접선은 직선 이며, 그래프를 가로지른다.
2번 연속 미분 가능한 함수 에서 2계 도함수가 0이 되고, 그 전후에서 부호가 바뀌는 점이 변곡점이다. 2계 도함수가 0이지만 부호가 바뀌지 않는 점은 '''기복점'''[11]이라고도 한다.
대수 기하학에서 변곡점은 접선과 3차 이상의 접촉을 갖는 정칙점으로 정의된다. 4차 이상의 접촉을 가질 때는 기복점 또는 '''초변곡점'''[12]이라고 부른다.
4. 1. 부호에 따른 분류
하강 변곡점은 도함수가 해당 점의 양쪽에서 음수인 변곡점이다. 즉, 함수가 감소하는 근처의 변곡점이다. 상승 변곡점은 도함수가 해당 점의 양쪽에서 양수인 변곡점이다. 즉, 함수가 증가하는 근처의 변곡점이다.[2][3]4. 2. 1차 도함수 값에 따른 분류
변곡점은 가 0인지 아닌지에 따라 분류할 수 있다.- 만약 가 0이면, 해당 점은 ''정지 변곡점''이다.
- 만약 가 0이 아니면, 해당 점은 ''비정지 변곡점''이다.
정지 변곡점은 극값이 아니다. 더 일반적으로, 여러 실수 변수의 함수의 맥락에서, 극값이 아닌 정지점은 안장점이라고 불린다.
정지 변곡점의 예시는 의 그래프에서 점 이다. 접선은 이 점에서 그래프를 가로지르는 축이다.
비정지 변곡점의 예시는 모든 0이 아닌 에 대해 의 그래프에서 점 이다. 원점에서의 접선은 이 점에서 그래프를 가로지르는 직선 이다.
5. 불연속 함수의 변곡점
일부 함수는 변곡점을 갖지 않고 오목성을 변경할 수 있다. 수직 점근선 또는 불연속점 주변에서 오목성이 변경될 수 있다. 예를 들어 함수 x|x영어 ↦ 1/x|x영어는 음의 x|x영어에 대해 오목하고 양의 x|x영어에 대해 볼록하지만, 0이 함수의 정의역에 없기 때문에 변곡점을 갖지 않는다.[4][5]
6. 2차 도함수가 0이 아닌 변곡점
어떤 연속 함수는 2차 도함수가 0이 아니어도 변곡점을 가질 수 있다. 예를 들어, 세제곱근 함수는 x가 음수일 때는 위로 볼록하고, x가 양수일 때는 아래로 볼록하지만, 원점에서는 어떤 차수의 도함수도 존재하지 않는다.
역수 함수는 음의 x에 대해 오목하고 양의 x에 대해 볼록하지만, 0은 정의역에 포함되지 않으므로 변곡점을 갖지 않는다.
참조
[1]
서적
Calculus
Cengage Learning
[2]
서적
Problems in mathematical analysis
Mir Publishers
[3]
서적
Handbook of Mathematics
Springer
[4]
서적
Problems in mathematical analysis
https://www.worldcat[...]
Mir Publishers
[5]
서적
Handbook of Mathematics
Springer
[6]
간행물
Point of inflection
[7]
문서
falling point of inflection
[8]
문서
rising point of inflection
[9]
문서
stationary point of inflection
[10]
문서
non-stationary point of inflection
[11]
문서
point of undulation
[12]
문서
hyperflex
[13]
문서
undulation point
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