공면점

1. 개요

공면점은 3차원 이상의 공간에서 여러 점들이 동일한 평면 위에 놓이는 성질을 의미한다. 3차원 공간에서 네 점이 공면하기 위한 조건은 스칼라 삼중곱을 이용하여 판별할 수 있으며, n차원 공간에서는 점들의 상대적 차이를 나타내는 행렬의 랭크를 통해 공면성을 판단한다. 꼬인 다각형과 같이 모든 꼭짓점이 공면하지 않은 도형도 존재한다.

2. 3차원 공간에서의 공면성

3차원 공간에서, 동일한 시작점을 가진 두 개의 선형 독립 벡터는 해당 점을 지나는 평면을 결정한다. 이들의 외적은 해당 평면에 대한 법선 벡터이며, 시작점을 통과하여 이 외적에 직교하는 모든 벡터는 그 평면 안에 있다.

2.1. 공면성 판정법

3차원 공간에서, 선형 독립이며 같은 시작점을 갖는 두 벡터는 그 시작점을 지나는 평면을 결정한다. 이 두 벡터의 외적은 이 평면에 수직이며, 원래 두 벡터의 시작점을 지나면서 외적 벡터와 직교하는 모든 벡터는 이 평면 위에 놓이게 된다.

이러한 성질을 이용하여 스칼라 삼중곱을 통해 공면성을 판정할 수 있다. 서로 다른 네 점 $x_1, x_2, x_3, x_4$가 공면점일 필요충분조건은 다음과 같다.

:$[(x\_2\; -\; x\_1)\; \backslash times\; (x\_4\; -\; x\_1)]\; \backslash cdot\; (x\_3\; -\; x\_1)\; =\; 0$

이는 다음과 동치이다.

:$(x\_2\; -\; x\_1)\; \backslash cdot\; [(x\_4\; -\; x\_1)\; \backslash times\; (x\_3\; -\; x\_1)]\; =\; 0$

세 점 이하는 항상 공면이므로, 보통 네 점 이상이 주어졌을 때 공면성 판정 문제가 의미를 가진다.

2.1.1. 벡터를 이용한 판정법

세 벡터 a, b, c가 공면이고, a와 b가 직교(·b = 0)하는 경우, a 및 b 방향의 단위 벡터를 각각 â^영어 및 b̂^영어로 표기하면 다음이 성립한다.

: $(\backslash mathbf\{c\}\backslash cdot\backslash mathbf\{\backslash hat\; a\})\backslash mathbf\{\backslash hat\; a\}\; +\; (\backslash mathbf\{c\}\backslash cdot\backslash mathbf\{\backslash hat\; b\})\backslash mathbf\{\backslash hat\; b\}\; =\; \backslash mathbf\{c\}$

즉, c를 a에 대한 벡터 투영과 c를 b에 대한 벡터 투영을 더하면 원래의 c가 된다. 여기서 c·{{hat^영어 및 c·{{hat^영어는 c의 각각 a 및 b 방향의 성분을 나타낸다.

3. n차원 공간에서의 공면성

n차원 공간(n ≥ 3)에서 k개의 점이 공면점인지 여부는 행렬의 랭크를 이용하여 판정할 수 있다. 3개 이하의 점은 항상 공면점이므로, 4개 이상의 점에 대해서만 공면성을 판정하는 것이 의미있다.

일반적으로, 평면은 두 개의 선형 독립 벡터에 의해 결정된다는 성질을 이용한다.

3.1. 좌표를 이용한 판정법

n차원 공간에서 (n ≥ 3) k개의 점 $\backslash \{p\_0,\; p\_1,\; \backslash dots,\; p\_\{k-1\}\backslash \}$이 공면점이 될 필요충분조건은 이 점들의 상대적 차이 벡터 $\backslash overrightarrow\{p\_0\; p\_1\},\; \backslash overrightarrow\{p\_0\; p\_2\},\; \backslash dots,\; \backslash overrightarrow\{p\_0\; p\_\{k-1\}\}$를 열(또는 행)로 하는 행렬의 랭크가 2 이하인 것이다.

예를 들어, 네 점
:$\backslash begin\{align\}$
X &= (x_1, x_2, \dots, x_n), \\
Y &= (y_1, y_2, \dots, y_n), \\
Z &= (z_1, z_2, \dots, z_n), \\
W &= (w_1, w_2, \dots, w_n),
\end{align}
가 주어졌을 때, 다음 행렬
:$\backslash begin\{bmatrix\}$
x_1 - w_1 & x_2 - w_2 & \dots & x_n - w_n \\
y_1 - w_1 & y_2 - w_2 & \dots & y_n - w_n \\
z_1 - w_1 & z_2 - w_2 & \dots & z_n - w_n \\
\end{bmatrix}
의 랭크가 2 이하면, 네 점은 공면점이다.

원점을 포함하는 평면의 특별한 경우, k개의 점 집합과 원점이 공면점일 필요충분 조건은 k개 점의 좌표를 나열하여 만든 행렬의 랭크가 2 이하인 것이다.

4. 공면성을 갖지 않는 도형

꼬인 다각형(비평면 다각형)은 꼭짓점이 공면(共面)상에 있지 않은 다각형이다. 세 점은 항상 공면에 있으므로 꼬인 삼각형은 존재하지 않는다. 따라서 이러한 다각형은 적어도 네 개의 꼭짓점을 가져야 한다. 양의 부피를 가지는 다면체는 모두 공면하지 않은 꼭짓점을 갖는다.

5. 기타

거리 기하학은 주어진 점들 사이의 거리 정보만으로 그 점들의 공면성을 결정하는 문제를 다룬다.