직교

3. 수학

가군 $\_RM$의 원소 $m\backslash in\; M$와 쌍대 가군 $M^\backslash vee\_R$의 원소 $f\backslash in\; M^\backslash vee$가 $f(m)=0$을 만족시키면, $f$와 $m$이 서로 '''직교'''한다고 한다. 내적 공간 $(V,\backslash langle-,-\backslash rangle)$ 속의 두 벡터 $u,v\backslash in\; V$가 $\backslash langle\; u,v\backslash rangle=0$이면, 즉 $u,v$ 사이의 각이 직각이라면, $u,v$가 서로 '''직교'''한다고 한다.

쌍마다 직교하는 벡터들의 집합을 '''직교 집합'''(直交集合, orthogonal set^영어)이라고 한다. 직교 집합을 이루는 기저를 '''직교 기저'''(直交基底, orthogonal basis^영어)라고 한다. 단위 벡터로 구성된 직교 집합(기저)를 '''정규 직교 집합'''(正規直交集合, orthonormal set^영어)과 '''정규 직교 기저'''라고 한다. 어떤 부분 공간과 직교하는 최대 부분 공간을 '''직교 여공간'''이라고 한다.

내적 공간 대신, 이중선형 형식을 갖춘 벡터 공간을 사용해도 '''직교성'''을 일반화하여 생각할 수 있다. 즉, 주어진 이중선형 형식에 대입했을 때 값이 0이 되는 벡터 쌍은 (그 이중선형 형식에 관하여) 서로 '''직교한다'''고 한다.

구간 (-π, π)에서 제곱 적분 가능한 실수값 함수(f(x)², g(x)²를 구간 [0, 2π]에서 적분한 결과가 유한값을 가짐) 전체가 이루는 벡터 공간 ''L''²(-π, π)는 ''f'', ''g''에 대해 내적

:$\backslash langle\; f,\; g\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}\; f(x)g(x)\backslash ,dx$

을 가지며, ''L''²(-π, π)의 두 함수 sin ''x'', cos ''x''는 이 내적에 관해 직교한다. 더 일반적으로, 집합 {1, sin ''nx'', cos ''mx'' | ''n'', ''m'' ∈ '''N'''}은 ''L''²(-π, π)의 직교 기저가 된다.

3. 1. 예시

• 3차원 유클리드 공간에서 임의의 직선의 직교 여공간은 그 직선에 수직인 평면이며, 임의의 평면의 직교 여공간은 그 평면에 수직인 직선이다.^[21] 그러나 서로 수직인 평면끼리는 이에 해당하지 않는다는 점에 유의해야 한다.
• 4차원 유클리드 공간의 경우, 직선의 직교 여공간은 초평면이며, 초평면의 직교 여공간은 직선이다.^[21] 또한 평면의 직교 여공간은 평면이다.

4. 물리학

광학에서 편광 상태는 수직 및 수평 선형 편광 또는 우원 편광 및 좌원 편광과 같이 서로 독립적으로 전파될 때 직교한다고 한다.

특수 상대성 이론에서 운동의 급속도에 의해 결정되는 시간축은 동시 사건의 공간축과 쌍곡 직교하는데, 공간축 역시 급속도에 의해 결정된다. 이 이론은 동시성의 상대성을 특징으로 한다.

양자역학에서 에르미트 연산자의 두 고유 상태 $\backslash psi\_m$와 $\backslash psi\_n$가 직교한다는 충분 조건(필요 조건은 아님)은 그것들이 서로 다른 고유값에 대응한다는 것이다. 즉, 디랙 표기법에서 $\backslash psi\_m$와 $\backslash psi\_n$가 서로 다른 고유값에 대응한다면 $\backslash langle\; \backslash psi\_m\; |\; \backslash psi\_n\; \backslash rangle\; =\; 0$이다. 이는 슈뢰딩거 방정식이 (슈뢰딩거의 공식에서) 슈투름-리우빌 이론 방정식이거나, 관측 가능량이 (하이젠베르크의 공식에서) 에르미트 연산자로 주어진다는 사실에서 따른다.

5. 컴퓨터 과학

프로그래밍 언어 설계에서 직교성은 다양한 언어 기능을 임의의 조합으로 사용하여 일관된 결과를 얻을 수 있는 능력을 의미한다.^[7] 이 용어는 반 바인가르덴이 ALGOL 68 설계에서 도입했다.

명령어 집합이 직교적(orthogonal)이라고 하는 것은 중복성이 없다는 것(즉, 주어진 작업을 수행하는 데 사용할 수 있는 명령어가 하나뿐이라는 것)^[9]을 의미하며, 명령어가 어떤 레지스터도 어떤 주소 지정 방식으로든 사용할 수 있도록 설계되었다는 것을 의미한다.

6. 통신

통신에서 다중 접속 방식은 이상적인 수신기가 서로 다른 기저 함수를 사용하여 원하는 신호로부터 임의로 강한 원치 않는 신호를 완전히 제거할 수 있을 때 직교적이다. 이러한 방식 중 하나는 시분할 다중 접속(TDMA)이며, 여기서 직교 기저 함수는 겹치지 않는 직사각형 펄스("시간 슬롯")이다.

또 다른 방식은 직교 주파수 분할 다중화(OFDM)인데, 이는 단일 송신기가 서로 간섭하지 않도록 정확히 최소 주파수 간격을 두고 직교하는 주파수 다중화 신호 집합을 사용하는 것을 말한다. 잘 알려진 예로는 802.11 Wi-Fi의 (a, g, n) 버전, WiMAX, ITU-T G.hn, DVB-T(북미를 제외한 세계 대부분 지역에서 사용되는 지상파 디지털 TV 방송 시스템), 그리고 ADSL의 표준 형태인 DMT(Discrete Multi Tone)가 있다.

OFDM에서는 서브채널 간의 누화가 제거되고 서브캐리어 보호대역이 필요 없도록 서브캐리어 주파수가 서로 직교하도록 선택된다. 이는 송신기와 수신기의 설계를 크게 단순화한다. 기존의 FDM에서는 각 서브채널에 대한 별도의 필터가 필요하다.

7. 통계학, 계량 경제학

통계 분석을 수행할 때 특정 종속변수에 영향을 미치는 독립변수는 공분산이 내적을 형성하기 때문에 상관관계가 없다면 직교적이라고 한다.^[11] 이 경우, 단순 회귀를 사용하여 변수의 효과를 개별적으로 모델링하든 다중 회귀를 사용하여 동시에 모델링하든 관계없이 모든 독립 변수가 종속 변수에 미치는 효과에 대해 동일한 결과를 얻는다. 상관관계가 존재하는 경우, 요인은 직교적이지 않으며 두 가지 방법으로 서로 다른 결과를 얻는다. 이러한 용어는 관측된 데이터(즉, 벡터)와 확률 변수(즉, 밀도 함수) 모두에서 기댓값(평균)을 빼서 중심화하면 상관관계가 없는 변수는 위에서 논의된 기하학적 의미에서 직교적이라는 사실에서 비롯된다.

계량 경제학에서 최대 우도법 프레임워크에 대한 대안이 되는 형식인 일반화 모멘트 방법은 직교 조건에 의존한다. 특히, 최소 제곱법 추정량은 설명 변수와 모형 잔차 간의 직교 조건으로부터 쉽게 도출될 수 있다.

8. 화학, 생화학

화학 및 생화학에서 직교 상호작용은 두 쌍의 물질이 있고 각 물질이 각각의 파트너와 상호 작용할 수 있지만 다른 쌍의 물질과는 상호 작용하지 않을 때 발생한다. 예를 들어, DNA는 두 개의 직교 쌍을 가지고 있다. 시토신과 구아닌은 염기쌍을 형성하고, 아데닌과 티민은 또 다른 염기쌍을 형성하지만, 다른 염기쌍 조합은 매우 불리하다. 화학적 예로, 테트라진은 트랜스사이클로옥텐과 반응하고 아지드는 사이클로옥틴과 반응하지만 교차 반응은 없다. 따라서 이들은 상호 직교 반응이며, 동시에 선택적으로 수행될 수 있다.^[12]

유기 합성에서 직교 보호는 서로 독립적으로 작용기를 탈보호할 수 있는 전략이다.

생체직교화학(Bioorthogonal chemistry)은 살아있는 생명체 내에서 일어나는 생화학 반응을 방해하지 않고 진행될 수 있는 화학 반응을 연구하는 학문 분야이다. 이러한 반응은 세포 내의 다른 분자들과 반응하지 않고, 특정한 표적 분자에만 선택적으로 반응하도록 설계된다. 이는 생체 내에서 일어나는 복잡한 과정을 연구하고, 새로운 약물이나 진단 도구를 개발하는 데 중요한 역할을 한다.

초분자 화학에서 직교성(orthogonality)이란 두 가지 이상의 초분자, 종종 비공유 결합 상호작용이 서로 간섭 없이 가역적으로 형성될 수 있는 가능성을 의미한다.

분석화학에서 분석법이 "직교적"이라는 것은 서로 완전히 다른 방식으로 측정이나 동정을 하여 측정의 신뢰성을 높이는 것을 의미한다. 따라서 직교적 시험은 결과의 "상호 확인"으로 볼 수 있으며, "교차"라는 개념은 ''직교성''의 어원적 기원에 해당한다. 직교적 시험은 종종 신약 허가 신청의 일부로 요구된다.

9. 기타 분야

시스템 신뢰성 분야에서 직교적 중복(orthogonal redundancy)이란 백업 장치 또는 방법의 형태가 오류 발생 가능성이 있는 장치 또는 방법과 완전히 다른 중복 형태를 말한다. 직교적 중복 백업 장치 또는 방법의 고장 모드는 중복이 필요한 장치 또는 방법의 고장 모드와 교차하지 않으며 완전히 다르므로, 전체 시스템을 치명적인 고장으로부터 보호한다.^[13]

신경과학에서, 뇌 속 감각 지도가 자극 부호화(예: 위치와 질)가 중첩되는 경우, 이를 직교 지도(orthogonal map)라고 한다.^[13]

철학에서 두 가지 주제, 저자 또는 저술물은 상호 간에 실질적으로 중복되거나 경쟁적인 주장으로 간주될 수 있는 내용을 다루지 않을 때 "직교적"(orthogonal)이라고 한다. 따라서 철학적 텍스트는 서로를 뒷받침하고 보완하거나, 경쟁적인 설명이나 체계를 제공하거나, 저술물의 범위, 내용 및 목적이 전혀 관련이 없는 경우 서로 직교적일 수 있다.^[13]

체스와 같이 정사각형 격자를 특징으로 하는 보드 게임에서 "직교(orthogonal)"는 "같은 행 또는 열에 있는"을 의미한다. 이것은 "대각선으로 인접한" 사각형과 대조된다.^[13] 고대 중국 보드 게임 바둑에서 플레이어는 직교로 인접한 모든 점을 점유하여 상대방의 돌을 잡을 수 있다.

법률에서 직교성(orthogonality)은 절차에서 서로 일치하지 않는 이익을 의미하지만, 상호 상관관계나 영향을 미치지 않아 이해상충을 야기하지 않는다는 것을 의미하기도 한다.^[13]

참조

_[1] 웹사이트 perpendicular 2024-07-21
_[2] 웹사이트 orthogonal 2024-07-21
_[3] 서적 A Greek–English Lexicon https://www.perseus.[...]
_[4] 서적 A Greek–English Lexicon https://www.perseus.[...]
_[5] 서적 A Greek–English Lexicon https://www.perseus.[...]
_[6] 사전 orthogonal Oxford University Press 2004-09-01
_[7] 서적 Programming Language Pragmatics
_[8] 간행물 Revised Report on the Algorithmic Language ALGOL 68 1968-01-01
_[9] 서적 The essentials of computer organization and architecture https://books.google[...] Jones & Bartlett Learning
_[10] 서적 The Essentials of Computer Organization and Architecture https://samples.jbpu[...] Jones & Bartlett Publishers
_[11] 서적 Probability, Random Variables and Stochastic Processes McGraw-Hill
_[12] 학술지 Bioorthogonal Reaction Pairs Enable Simultaneous, Selective, Multi-Target Imaging
_[13] 웹사이트 chessvariants.org chess glossary http://www.chessvari[...]
_[14] Youtube https://www.youtube.[...]
_[15] 서적 A Greek–English Lexicon http://www.perseus.t[...]
_[16] 서적 A Greek–English Lexicon http://www.perseus.t[...]
_[17] 서적 A Greek–English Lexicon http://www.perseus.t[...]
_[18] 사전 orthogonal 2004-09-01
_[19] 웹사이트 Orthogonal
_[20] 서적 Numerical linear algebra https://books.google[...] SIAM
_[21] 서적 The Road to Reality Vintage books
_[22] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[23] 서적 Algebra I
_[24] 서적 A Greek–English Lexicon http://www.perseus.t[...]
_[25] 서적 A Greek–English Lexicon http://www.perseus.t[...]
_[26] 서적 A Greek–English Lexicon http://www.perseus.t[...]
_[27] 사전 orthogonal 2004-09-01
_[28] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971