광도 거리

1. 개요

광도 거리는 천문학에서 천체의 광도와 플럭스를 이용하여 정의되는 거리의 개념이다. 광도 거리는 낮은 적색 편이에서는 물리적인 거리에 일치하지만, 높은 적색 편이에서는 우주 팽창으로 인해 물리적인 거리와 차이를 보인다. 광도 거리는 적색 편이와의 관계를 통해 우주의 팽창 법칙과 우주론적 매개변수를 연구하는 데 활용되며, 허블 도표를 통해 시각적으로 표현된다.

2. 정의

어떤 천체의 광도를 $L$, 플럭스(휘도)를 $\backslash ell$라고 할 때, 다음 관계식에 의해 정의되는 거리의 차원을 가진 양 $d\_L$을 그 천체의 광도 거리라고 한다.

:$\backslash ell\; =\; \backslash frac\{\; L\; \}\{\; 4\; \backslash pi\; d\_L^2\; \}$

천체의 절대 등급을 $M$, 겉보기 등급을 $m$이라고 할 때, 그 천체의 광도 거리 $d\_L$ (파섹을 단위로 한다)는 다음 관계식에 의해 정의된다.

:$M\; =\; m\; -\; 5\; (\backslash log\_\{10\}\{d\_L\}\; -\; 1)\backslash !\backslash ,$

근방(낮은 적색 편이)의 우주에서는 광도 거리가 그 천체까지의 물리적인 거리에 일치하지만, 원방(높은 적색 편이)에서는 빅뱅 우주 팽창 때문에 광도 거리는 물리적인 거리(공동 거리)와 일치하지 않게 된다.

3. 적색편이와의 관계

천체의 광도 거리 ${\displaystyle d_{L}}$와 공변 거리 ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle d_{L}=(1+z)S_{k}(x)}$라는 관계를 가진다. 여기서 ${\displaystyle S_{K}}$는 우주의 곡률 ${\displaystyle K}$에 따라 정해지는 함수이다. 공변 거리 ${\displaystyle x}$는 적색 편이 ${\displaystyle z}$와 허블 매개변수 ${\displaystyle H(z)}$를 사용하여 ${\displaystyle x=\int _{0}^{z}{\frac {c\,dz'}{H(z')}}}$ 와 같이 나타낼 수 있다. 이를 통해 광도 거리 ${\displaystyle d_{L}}$을 적색 편이 ${\displaystyle z}$의 함수로 나타낼 수 있으며, 이 함수를 그래프로 그린 것을 허블 도표라고 한다. 이 함수 관계 ${\displaystyle d_{L}(z)}$는 허블 매개변수 ${\displaystyle H(z)}$를 통해 우주의 팽창 법칙에 따라 달라지며, 우주론적 매개변수에 대한 정보를 얻을 수 있다.

3.1. 우주의 곡률에 따른 함수 <math>S_K(x)</math>

천체의 광도 거리 $d\_L$와 공변 거리 $x$는 다음과 같은 관계에 있다.

:$d\_L\; =\; (\; 1\; +\; z\; )\; S\_k\; (\; x\; )$

여기서 $S\_K$는 우주의 곡률 $K$에 따라 정해지는 함수이다.

:

공변 거리 $x$는 적색 편이 $z$와 허블 매개변수 $H\; (\; z\; )$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$x\; =\; \backslash int\_0^z\; \backslash frac\{\; c\; \backslash ,\; dz\text{'}\; \}\{\; H\; (\; z\text{'}\; )\; \}$

이 식을 통해 천체의 광도 거리 $d\_L$을 적색 편이 $z$의 함수로 나타낼 수 있으며, 이 함수를 그래프로 그린 것을 허블 도표라고 한다. 이 함수 관계 $d\_L\; (\; z\; )$는 허블 매개변수 $H\; (\; z\; )$를 통해 우주의 팽창 법칙에 따라 달라지며, 이를 통해 우주론적 매개변수에 대한 제약을 얻을 수 있다.

3.2. 공변 거리와 적색편이

천체의 광도 거리 ${\displaystyle d_{L}}$와 공변 거리 ${\displaystyle x}$는 다음과 같은 관계를 가진다.

: ${\displaystyle d_{L}=(1+z)S_{k}(x)}$

여기서 ${\displaystyle S_{K}}$는 우주의 곡률 ${\displaystyle K}$에 따라 정해지는 함수이다.

: ${\displaystyle S_{K}(x)={\begin{cases}\sinh \left({\sqrt {-K}}x\right)/{\sqrt {-K}}&(K<0)\\x&(K=0)\\\sin \left({\sqrt {K}}x\right)/{\sqrt {K}}&(K>0)\end{cases}}}$

공변 거리 ${\displaystyle x}$는 적색 편이 ${\displaystyle z}$와 허블 매개변수 ${\displaystyle H(z)}$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: ${\displaystyle x=\int _{0}^{z}{\frac {c\,dz'}{H(z')}}}$

이 식을 통해 천체의 광도 거리 ${\displaystyle d_{L}}$을 적색 편이 ${\displaystyle z}$의 함수로 나타낼 수 있으며, 이 함수를 그래프로 나타낸 것이 허블 도표이다. 이 함수 관계 ${\displaystyle d_{L}(z)}$는 허블 매개변수 ${\displaystyle H(z)}$를 통해 우주의 팽창 법칙에 따라 달라지며, 이를 통해 우주론적 매개변수에 대한 제약을 얻을 수 있다.

4. 우주론적 응용

천체의 광도 거리 $d\_L$와 공변 거리 $x$는 다음과 같은 관계를 가진다.

:$d\_L\; =\; (\; 1\; +\; z\; )\; S\_k\; (\; x\; )$

여기서 $S\_K$는 우주의 곡률 $K$에 따라 결정되는 함수이다.

:

공변 거리 $x$는 적색 편이 $z$와 허블 매개변수 $H\; (\; z\; )$를 사용하여 다음과 같은 관계를 가진다.

:$x\; =\; \backslash int\_0^z\; \backslash frac\{\; c\; \backslash ,\; dz\text{'}\; \}\{\; H\; (\; z\text{'}\; )\; \}$

이를 통해 천체의 광도 거리 $d\_L$을 적색 편이 $z$의 함수로 생각할 수 있으며, 이 함수를 그래프로 나타낸 것을 허블 도표라고 한다. 이 함수 관계 $d\_L\; (\; z\; )$는 허블 매개변수 $H\; (\; z\; )$를 통해 우주의 팽창 법칙에 영향을 받으며, 여기서 우주론적 매개변수의 제한값을 얻을 수 있다.