전기장

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1. 개요

전기장은 공간의 각 지점에서 단위 양전하가 받는 힘으로 정의되며, 벡터장으로 표현된다. 전기장은 전하에 의해 생성되며, 쿨롱의 법칙과 가우스 법칙, 패러데이 유도 법칙과 같은 맥스웰 방정식으로 설명된다. 전기장은 정전기장, 전자기장으로 구분되며, 상대론적 효과와 에너지 밀도 등의 특징을 갖는다. 또한, 전기 변위장, 전기 퍼텐셜, 전기 쌍극자 모멘트 등과 같은 관련 개념을 통해 전기장을 보다 심층적으로 이해할 수 있다.

전기장

전자기학

이름	전기장
영어	electric field
기호	E
단위	볼트 매 미터 (V/m)
기본 단위	kg⋅m⋅s⁻³⋅A⁻¹
차원	M L T⁻³ I⁻¹
분류	벡터

정의

설명	전하를 띤 입자 주위에 형성되는 물리적 장
영향	전하를 띤 입자에 힘을 가함

측정

단위	뉴턴 매 쿨롱 (N/C) 또는 볼트 매 미터 (V/m)
CGS 단위	esu 단위

공식

힘	F = qE (힘, 전하, 전기장 간의 관계)
전위	E = -∇V (전기장은 전위의 기울기)

관련 분야	전자기학, 전기
관련 용어	자기장, 전위, 전하, 전류, 전자기력

2. 정의

전기장은 공간의 각 지점에서 그 지점에 있는 매우 작은 정지 시험 전하가 받는 힘을 전하로 나눈 값으로 정의된다. 전기장은 힘으로 정의되며, 힘은 벡터(즉, 크기와 방향을 모두 가짐)이므로 전기장은 벡터장으로 설명될 수 있다.

자유 전자가 존재하지 않는 공간(절연 공간)의 어떤 점에 단위 양전하량을 가진 전하(이것을 시험 전하라고 한다)를 정지시켜 놓았을 때, 그 전하에 작용할 전자기적인 힘을 그 점에서의 전기장으로 정의한다.

전자기적인 힘은 전하량에 비례한다는 것이 실험적으로 알려져 있다. 따라서, 위치 $\boldsymbol{r}$ 에서 전하 $q$ 의 전하에 작용하는 힘을 $\boldsymbol{F}$ 라고 하면 정의에 의해 다음 식이 성립한다.

: $\boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$

참고로, 전자기 퍼텐셜을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

: $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad} \phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$

( $\phi$ : 스칼라 퍼텐셜, $\boldsymbol{A}$ : 벡터 퍼텐셜)

3. 수학적 공식

전기장은 전하에 의해 발생하며(가우스 법칙), 시간에 따라 변하는 자기장에 의해 유도된다(패러데이 유도 법칙). 맥스웰 방정식은 전하와 전류의 함수로서 전기장과 자기장을 모두 기술한다.

자유 전자가 존재하지 않는 공간(절연 공간)의 어떤 점에 단위 양전하량을 가진 전하(시험 전하)를 정지시켜 놓았을 때, 그 전하에 작용하는 전자기적인 힘을 그 점에서의 전기장으로 정의한다. 전자기적인 힘은 전하량에 비례하므로, 위치 $\boldsymbol{r}$ 에서 전하 $q$ 에 작용하는 힘을 $\boldsymbol{F}$ 라고 하면 다음 식이 성립한다.

: $\boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$

전자기 퍼텐셜을 이용하면 전기장은 다음과 같이 표현된다.

: $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad} \phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$

( $\phi$ : 스칼라 퍼텐셜, $\boldsymbol{A}$ : 벡터 퍼텐셜)

전기장은 벡터장이며, 장의 발산과 회전으로 분해할 수 있다. 전속밀도의 발산은 전하 밀도 $\rho$ 와 같다.

: $\operatorname{div} \boldsymbol{D} = \rho$

이는 맥스웰 방정식 중 하나인 가우스 법칙이다.

전기장 $\boldsymbol{E}$ 의 회전은 자기장 $\boldsymbol{B}$ 의 변화에 상당한다.

: $\operatorname{rot} \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$

이는 맥스웰 방정식 중 하나인 패러데이 법칙이다.

전기장의 증거: 스티로폼 땅콩이 정전기로 인해 고양이의 털에 달라붙어 있다. 마찰대전 효과는 고양이의 움직임으로 인해 털에 정전기가 축적되게 한다. 전하의 전기장은 정전기 유도로 인해 스티로폼 분자의 분극을 야기하여 가벼운 플라스틱 조각이 대전된 털에 약간의 인력을 받게 한다. 이 효과는 옷의 정전기 달라붙음의 원인이기도 하다.

무한한 도체판 위에 놓인 양의 점전하의 전기장. 전기장은 공간에서 전기장의 방향을 따르는 전기력선으로 묘사됩니다. 판에 유도된 전하 분포는 표시되지 않습니다.

3.1. 정전기학

정상 상태(정지 전하와 전류)에서는 맥스웰-패러데이 유도 효과가 사라진다. 가우스 법칙( $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ ) 및 유도 항이 없는 패러데이 법칙( $\nabla \times \mathbf{E} = 0$ )은 쿨롱의 법칙과 동등하며, 위치 $\mathbf r_1$ 에 전하 $q_1$ 를 가진 입자가 위치 $\mathbf r_0$ 에 전하 $q_0$ 를 가진 입자에 작용하는 힘은 다음과 같다.

: $\mathbf{F}_{01} = \frac{q_1q_0}{4\pi\varepsilon_0} {\hat\mathbf r_{01}\over$

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^2} = \frac{q_1q_0}{4\pi\varepsilon_0} {\mathbf r_{01}\over

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^3}

*

\mathbf{F}_{01}

: 전하 입자

q_1

에 의해 전하 입자

q_0

에 작용하는 힘.
* ε{{sub^영어: 진공의 유전율.
*

\hat \mathbf{r}_{01}

\mathbf r_1

에서

\mathbf r_0

로 향하는 단위 벡터.
*

\mathbf{r}_{01}

\mathbf r_1

에서

\mathbf r_0

로의 변위 벡터.

전하가 비어 있지 않은 매질에 있을 때,

\varepsilon_0

는 유전율

\varepsilon

로 대체된다. 전하

q_0

와

q_1

가 같은 부호이면 힘은 양수, 다른 부호이면 힘은 음수이다.

위치

\mathbf r_0

의 임의의 전하에 대한 쿨롱 힘 계산을 위해 위 식을

q_0

로 나누면, 다른 전하( 근원 전하)에만 의존하는 식이 된다.

:

\mathbf{E}_{1} (\mathbf r_0) = \frac{ \mathbf{F}_{01} } {q_0} = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} {\hat\mathbf r_{01}\over

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^2} = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} {\mathbf r_{01}\over

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^3}

*

\mathbf{E}_{1} (\mathbf r_0)

q_1

에 의한

q_0

에서의 전기장 성분.

이는 점전하

q_1

에 의한 점

\mathbf r_0

에서의 전기장이며, 양의 점전하가 위치

\mathbf r_0

에서 경험할 쿨롱 힘을 단위 전하당 나타내는 벡터 함수이다. 이 공식은 공간의 임의의 점

\mathbf r_0

에서 전기장의 크기와 방향을 제공한다.(전하 자체의 위치

\mathbf r_1

제외)

점전하에 의한 전기장은 전하가 양수이면 전하에서 모든 방향으로, 음수이면 전하를 향하며, 크기는 거리의 역제곱으로 감소한다.

공간의 임의의 점에서 크기가

q

인 전하에 대한 쿨롱 힘은 전하와 전기장의 곱과 같다.

:

\mathbf{F} = q\mathbf{E} .

전기장의 SI 단위는 뉴턴 매 쿨롱(N/C) 또는 볼트 매 미터(V/m)이며, SI 기본 단위로는 kg⋅m⋅s⁻³⋅A⁻¹이다.

공간상의 위치

\boldsymbol{r}_0

에 전하

Q

, 위치

\boldsymbol{r}

에 전하

q

를 놓았을 때, 전하

q

가 전하

Q

로부터 받는 힘은 다음과 같다.

:

\boldsymbol{F} = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0}{ | \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 | ^3}

이를 쿨롱의 법칙이라고 한다. 여기서,

\varepsilon_0

는 진공의 유전율이다. 전장의 정의를 더하면, 전하

Q

가 만드는 정전장은 다음과 같다.

:

\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0}{ | \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 | ^3}

3.2. 중첩 원리

맥스웰 방정식의 선형성 때문에 전기장은 중첩의 원리를 만족한다. 중첩의 원리는 여러 전하에 의한 한 점에서의 총 전기장이 각 전하에 의한 그 점에서의 전기장의 벡터 합과 같다는 것을 의미한다. 이 원리는 여러 점전하가 만드는 전기장을 계산하는 데 유용하다. 전하 $q_1, q_2, \dots, q_n$ 이 점 $\mathbf r_1,\mathbf r_2,\dots,\mathbf r_n$ 에 공간적으로 정지해 있고 전류가 없는 경우, 중첩의 원리는 결과 전기장이 각 입자가 생성하는 전기장의 합이며, 쿨롱의 법칙으로 설명된다는 것을 의미한다.

: $\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \mathbf{E}_1(\mathbf{r}) + \mathbf{E}_2(\mathbf{r}) + \dots + \mathbf{E}_n(\mathbf{r}) = {1\over4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i {\hat\mathbf r_i\over$

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^2} = {1\over 4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i {\mathbf r_i\over

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^3}

여기서

*

\hat\mathbf r_i

는 점

\mathbf r_i

에서 점

\mathbf r

로 향하는 방향의 단위 벡터이다.
*

\mathbf r_i

는 점

\mathbf r_i

에서 점

\mathbf r

로의 변위 벡터이다.

3.3. 연속 전하 분포

중첩의 원리는 전하 밀도 ρ(r)의 분포에 의한 전기장을 계산하는 데 사용할 수 있다. 점 r'에서 공간의 작은 부피 dv에 있는 전하 ρ(r')dv를 점전하로 간주하면, 점 r에서의 결과 전기장 dE(r)은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:dE(r) = (ρ(r') / 4πε₀)(r' / |r'|³) dv

여기서
* r'은 r'에서 r을 가리키는 단위 벡터이다.
* r'은 r'에서 r까지의 변위 벡터이다.

전체 전기장은 부피 V에 걸쳐 전하 밀도를 적분하여 모든 부피 증분의 기여를 합산하여 구한다.

:E(r) = (1 / 4πε₀) ∫∫∫_V ρ(r') (r' / |r'|³) dv

표면 S에 면전하 밀도 σ(r')를 갖는 면전하에 대한 전기장 공식은 다음과 같다.

:E(r) = (1 / 4πε₀) ∫∫_S σ(r') (r' / |r'|³) da

선 L에 선전하 밀도 λ(r')를 갖는 선전하에 대한 전기장 공식은 다음과 같다.

:E(r) = (1 / 4πε₀) ∫_L λ(r') (r' / |r'|³) dℓ

3.4. 전기 퍼텐셜

자기장이 시간에 따라 변하지 않는 경우, 전기장은 회전이 없는 보존 벡터장이 되며, 전기 퍼텐셜 φ를 정의할 수 있다: 이는 중력 퍼텐셜과 유사하다. 공간상의 두 점에서의 전기 퍼텐셜 차이는 두 점 사이의 전위차(또는 전압)이라고 한다.

그러나 일반적으로 전기장은 자기장과 독립적으로 기술될 수 없다. 자기 벡터 퍼텐셜 (A)가 주어지면, 다음과 같이 전기 퍼텐셜 φ를 정의할 수 있다.

:{\partial t}}

여기서 $\nabla \varphi$ 는 전기 퍼텐셜의 기울기이고, ${\partial t}$ 는 시간에 대한 A의 편미분이다.

패러데이 유도 법칙은 위 방정식의 회전을 취함으로써 얻을 수 있다.

:{\partial t} = -{\partial t}

이는 사후적으로 E의 이전 형태를 정당화한다.

전자기 퍼텐셜을 이용하면 전기장은 다음과 같이 표현된다.

:{\partial t}}

( $\phi$ : 스칼라 퍼텐셜, $\boldsymbol{A}$ : 벡터 퍼텐셜)

3.5. 전하 표현: 연속 vs. 이산

전자기학 방정식은 연속적인 기술로 가장 잘 설명되지만, 전하는 때때로 이산적인 점으로 가장 잘 설명될 수 있다. 예를 들어, 일부 모델은 전자를 전하 밀도가 공간의 무한히 작은 부분에서 무한한 점원으로 설명할 수 있다.

디랙 델타 함수를 사용하여, ${\mathbf {r}}_{0}$에 위치한 전하 $q$는 수학적으로 전하 밀도 $\rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})$로 설명될 수 있다. 반대로, 전하 분포는 많은 작은 점전하로 근사될 수 있다.

4. 정전기장

정전기장은 시간에 따라 변하지 않는 전기장이다. 대전된 물체가 정지해 있거나 전류가 일정할 때 이러한 장이 존재한다. 이 경우 쿨롱의 법칙이 장을 완전히 설명한다.

--

4.1. 정전기장과 중력장의 유사성

쿨롱 법칙은 만유인력의 법칙과 유사하다. 전하의 상호작용을 설명하는 쿨롱 법칙은 다음과 같다.

: $\mathbf{F} = q \left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{\hat{r}}}{|\mathbf{r}|^2}\right) = q \mathbf{E}$

이는 만유인력의 법칙과 유사하며 다음과 같다.

: $\mathbf{F} = m\left(-GM\frac{\mathbf{\hat{r}}}{|\mathbf{r}|^2}\right) = m\mathbf{g}$

(여기서 $\mathbf{\hat{r}} = \mathbf{\frac{r}$

👆

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}).

이는 전기장과 중력장 사이의 유사성을 보여준다. 질량은 때때로 "중력 전하"라고 불리기도 한다.

정전기력과 중력은 모두 중심력이며, 보존력이고, 역제곱 법칙을 따른다.

4.2. 균일 전기장

균일한 전기장은 모든 지점에서 전기장의 세기가 일정한 전기장을 말한다. 두 개의 도체 판을 서로 평행하게 놓고 그 사이에 전압(전위차)을 유지함으로써 근사적으로 만들 수 있다. 하지만 이는 경계 효과(평면의 가장자리 근처에서는 평면이 계속되지 않기 때문에 전기장이 왜곡됨) 때문에 근사값일 뿐이다. 무한한 평면이라고 가정하면, 전기장의 크기 E는 다음과 같다.

:E = -ΔV/d

여기서 ΔV는 판 사이의 전위차이고 d는 판 사이의 거리이다. 음의 부호는 양전하가 서로 밀어내기 때문에 양전하는 양전하를 띤 판으로부터 멀어지는 방향, 즉 전압이 증가하는 방향과 반대 방향으로 힘을 받기 때문이다. 반도체와 관련된 마이크로 및 나노 응용 분야에서 전기장의 일반적인 크기는 10⁶ V⋅m⁻¹ 정도이며, 이는 1 μm 간격으로 놓인 도체 사이에 1볼트의 전압을 인가하여 달성할 수 있다.

--

5. 전자기장

전자기장은 전기장과 자기장이 결합된 장으로, 예를 들어 전하가 움직일 때와 같이 시간에 따라 변할 수 있다. 움직이는 전하는 앙페르 법칙(맥스웰의 추가항 포함)에 따라 자기장을 생성한다. 이는 맥스웰의 다른 방정식과 함께 자기장 $\mathbf{B}$ 을 그 회전으로 정의한다.

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) ,$
여기서 $\mathbf{J}$ 는 전류 밀도, $\mu_0$ 는 진공 투자율, $\varepsilon_0$ 는 진공 유전율이다.

전류 밀도와 시간에 대한 전기장의 편미분 모두 자기장의 회전에 기여한다. 맥스웰-패러데이 방정식은 다음과 같다.

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}.$

위 방정식들은 맥스웰의 네 가지 방정식 중 두 가지이며, 전기장과 자기장을 복잡하게 연결하여 전자기장을 생성한다. 이 방정식들은 시스템에 대해 풀었을 때 전자기장의 결합된 거동을 설명하는 일련의 네 개의 연관된 다차원 편미분 방정식을 나타낸다. 일반적으로 전자기장 내의 시험 전하가 받는 힘은 로렌츠 힘 법칙에 의해 주어진다.

$\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\mathbf{v} \times \mathbf{B} .$

전기장은 벡터장이며, 장의 발산과 장의 회전으로 분해할 수 있다.

전속밀도의 발산은 전하 밀도 $\rho$ 와 같다.

: $\operatorname{div} \boldsymbol{D} = \rho$

이는 맥스웰 방정식 중 하나인 가우스 법칙이다.

전기장 $\boldsymbol{E}$ 의 회전은 자기장 $\boldsymbol{B}$ 의 변화에 상당한다.

: $\operatorname{rot} \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$

이는 맥스웰 방정식 중 하나인 패러데이 법칙이다.

6. 전기장 내 에너지

단위 부피당 전자기장에 저장된 총 에너지는 다음과 같다.

:u_EM = (ε/2)|E|² + (1/2μ)|B|²

여기서 ε는 전자기장이 존재하는 매질의 유전율, μ는 투자율, E와 B는 각각 전기장과 자기장 벡터이다.

E와 B장은 서로 결합되어 있으므로, 이 식을 "전기" 및 "자기" 성분으로 나누는 것은 오해의 소지가 있다. 특히, 어떤 특정 기준계에서의 정전기장은 일반적으로 상대적으로 움직이는 기준계에서 자기 성분을 가진 장으로 변환된다. 따라서 전자기장을 전기 및 자기 성분으로 분해하는 것은 기준계에 따라 달라지며, 관련 에너지도 마찬가지이다.

주어진 부피 V에 저장된 전자기장의 총 에너지 U_EM는 다음과 같다.

:U_EM = (1/2) ∫_V (ε|E|² + (1/μ)|B|²) dV

원점을 중심으로 하는 반지름 r₀의 미소구가 전하 q를 가지고 있다고 가정하자. 이 구에서 중심으로부터 무한원까지 뻗어나가는 원뿔을 생각하고, 이 원뿔을 반지름 $r$ 의 구면으로 잘랐을 때의 면적을 $S(r)$ 이라고 하자. 미소구와 원뿔이 만나는 미소면의 면적을 $S_0$ , 미소구의 전하 면밀도를 $\sigma$ 라고 하면, 가우스 법칙에 의해 다음과 같다.

:εE(r)S(r) = σS₀ = constant

여기서, 무한원에서 이 미소구 위로 이 미소면의 전하 σS₀를 옮기는 데 필요한 일은 -σS₀∫_r₀^∞ E(r)dr이지만, 위의 결과로부터 다음과 같다.

:-σS₀∫_r₀^∞ E(r)dr = -∫_r₀^∞ ε{E(r)}²S(r)dr = -∫ε{E(r)}²dV

이것을 전체 구면에 대해 적분하면, 무한원에서 미소구까지 전하 q를 옮기는 데 필요한 일, 즉 이 미소구의 전하에 의해 발생하는 퍼텐셜은 다음과 같다.

:U = ∫εE²dV

u = εE²라고 하면, 다음과 같다.

:U = ∫udv

이것은 전하에 의해 발생한 전기장이 u = εE²의 에너지 밀도로 에너지를 축적하고 있다고 해석할 수 있다. 이것은 실제로, 충전된 캐패시터의 두 도체 사이의 부피와 캐패시터에 축적된 에너지를 비교함으로써 검증할 수 있다.

7. 전기 변위장

물질이 존재하는 경우, 전기장의 개념을 세 가지 벡터장(E, D, P)으로 확장하는 것이 유용하다.

:D = ε₀E + P

여기서 P는 전기 편극(전기 쌍극자 모멘트의 부피 밀도)이고, D는 전기 변위장이다. D는 맥스웰 방정식을 단순화하는 데 유용하다.

7.1. 구성 방정식

물질이 존재하는 경우, 전기장의 개념은 세 가지 벡터장으로 확장하는 것이 유용하다.

: $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$

여기서 P는 전기 편극 – 전기 쌍극자 모멘트의 부피 밀도 – 이고, D는 전기 변위장이다. E와 P는 별도로 정의되므로, 이 방정식을 사용하여 D를 정의할 수 있다. D의 물리적 해석은 E (물질에 적용되는 유효 전기장) 또는 P (물질 내 쌍극자에 의한 유도 전기장)만큼 명확하지 않지만, 자유 전하와 전류 측면에서 맥스웰 방정식을 단순화할 수 있으므로 편리한 수학적 단순화 역할을 한다.

E와 D장은 재료의 유전율 ε에 의해 관련된다.

선형, 균질, 등방성 재료의 경우 E와 D는 비례하며 영역 전체에 걸쳐 일정하고, 위치 의존성이 없다.

: $\mathbf{D}(\mathbf{r}) = \varepsilon\mathbf{E}(\mathbf{r}) .$

비균질 재료의 경우 재료 전체에 걸쳐 위치 의존성이 있다.

: $\mathbf{D}(\mathbf{r}) = \varepsilon (\mathbf{r})\mathbf{E}(\mathbf{r})$

비등방성 재료의 경우 E와 D장은 평행하지 않으므로, E와 D는 유전율 텐서(2차 텐서장)에 의해 다음과 같이 성분 형태로 관련된다.

: $D_i = \varepsilon_{ij} E_j$

비선형 매질의 경우 E와 D는 비례하지 않는다. 재료는 선형성, 균질성 및 등방성의 정도가 다양할 수 있다.

8. 상대론적 효과

특수 상대성이론에 따라, 전자기장의 전파 속도는 광속 c이다.

점전하가 방출하는 전장은 정지 상태에서는 동심원상으로 퍼져 나가지만, 전하가 운동할 때는 그 이동 속도에 따라 동심원에서 벗어난, 왜곡된 분포의 전장이 된다.

이러한 영향을 정확하게 계산하기 위해서는 쿨롱 법칙이나 정전 포텐셜에 의한 기술로는 불충분하며, 리에나르-비헤르트 포텐셜을 도입해야 한다.

8.1. 균일하게 운동하는 점전하

균일하게 운동하는 점전하의 전기장은 맥스웰 방정식이 로렌츠 변환에 대해 불변한다는 사실을 이용하여 유도할 수 있다. 입자의 전하는 실험적 증거에 의해 좌표계 불변량으로 간주된다. 쿨롱의 법칙에 의해 주어지는, 원천의 정지 좌표계에서 시험 전하가 받는 사중힘의 로렌츠 변환으로부터 균일하게 운동하는 점전하의 전기장을 유도하고, 로렌츠 힘 정의에 따라 전기장과 자기장을 할당할 수도 있다. 그러나 다음 방정식은 입자의 역사에 가속도가 전혀 포함되지 않고, 쿨롱의 법칙을 고려하거나 대칭성 인수를 사용하여 맥스웰 방정식을 간단하게 풀 수 있는 경우에만 적용 가능하다. 따라서 이러한 균일하게 운동하는 점전하의 전기장은 다음과 같이 주어진다.

E = (q / 4πε₀r³) [(1 - β²) / (1 - β²sin²θ)³/²] r

여기서 q는 점전하의 전하량, r은 점전하에서 공간의 한 점까지의 위치 벡터, β는 전하 입자의 관측된 속도와 빛의 속도의 비율, θ는 r과 전하 입자의 관측된 속도 사이의 각도이다.

위 방정식은 점전하의 비상대론적 속도에 대해 쿨롱의 법칙으로 축소된다. 전기장 계산을 위한 속도 방향의 지정으로 문제의 대칭성이 깨지기 때문에 구면 대칭은 만족되지 않는다. 이를 설명하기 위해, 운동하는 전하의 전기력선은 때때로 고르지 않게 간격을 둔 방사선으로 표현되는데, 이는 공동 운동 좌표계에서는 고르게 간격을 둔 것처럼 보인다.

특수 상대성이론에 따라 전장의 전파 속도는 광속 c로 간주된다.

점전하가 방출하는 전장은 정지 상태에서는 동심원상으로 퍼져 나가지만, 전하가 운동할 때는 그 이동 속도에 따라 동심원에서 벗어난, 왜곡된 분포의 전장이 된다.

이러한 영향을 정확하게 계산하기 위해서는 쿨롱의 법칙이나 정전 포텐셜에 의한 기술로는 불충분하며, 리에나르-비헤르트 포텐셜을 도입해야 한다.

8.2. 전기장 내 교란 전파

특수 상대성 이론은 국소성 원리를 적용하는데, 이는 인과 관계가 광속보다 빠르게 전파되지 않는 시간적으로 분리된 사건이어야 함을 요구한다. 맥스웰 방정식은 지체 시간(retarded time)에 따라 장의 일반적인 해가 주어지므로 전자기적 교란이 광속으로 전파됨을 나타낸다. 맥스웰 방정식에 대한 해를 제공하는 진보 시간(advanced time)은 비물리적인 해로 간주되어 무시된다.

제동 복사를 보여주는 예시: 처음에는 일정한 속도로 움직이다가 급정거하는 (음전하) 전하에 의해 생성되는 전기장의 선과 크기를 보여주는 그림으로 전자기파 생성 및 전자기장에서의 교란 전파를 보여준다.

예를 들어, 위에서 설명한 전기장을 가진 움직이는 입자가 급정지하는 경우와 같이 하전 입자의 운동을 고려하면, 그로부터 멀리 떨어진 지점의 전기장은 정지 전하에 대해 고전적으로 주어진 것으로 즉시 되돌아가지 않는다. 정지 시, 정지 지점 주변의 장은 예상된 상태로 되돌아가기 시작하고 이 효과는 광속으로 바깥쪽으로 전파된다. 반면, 이로부터 멀리 떨어진 전기장 선은 가정된 움직이는 전하를 향해 방사형으로 계속 가리킨다. 이 가상 입자는 전자기장에서 교란의 전파 범위를 벗어나지 않으며, 하전 입자는 광속보다 느린 속도를 가져야 하므로 이 영역에서 가우스 면을 구성하여 가우스 법칙을 위반하는 것은 불가능하다. 이를 뒷받침하는 또 다른 기술적인 어려움은 광속보다 빠르거나 같게 이동하는 하전 입자는 더 이상 고유한 지체 시간을 갖지 않는다는 것이다. 전기장 선은 연속적이므로 광속으로 바깥쪽으로 이동하는 이 교란의 경계에서 연결되는 복사의 전자기 펄스가 생성된다. 일반적으로 가속되는 점전하는 전자기파를 방출하지만, 비방사 가속은 전하 시스템에서 가능하다.

특수 상대성이론에 따라 전장의 전파 속도는 광속 c로 간주된다. 또한, 점전하(点状のソース)가 방출하는 전장은 정지 상태에서는 동심원상으로 퍼져 나가지만, 전하가 운동할 때는 그 이동 속도에 따라 동심원상에서 벗어난, 왜곡된 분포의 전장이 된다.

이러한 영향을 정확하게 계산하기 위해서는 본 항목의 쿨롱 법칙이나 정전 포텐셜에 의한 기술로는 불충분하며, 리에나르-비헤르트 포텐셜을 도입할 필요가 있다.

8.3. 임의로 움직이는 점전하

임의로 움직이는 점전하의 경우, 로렌츠 게이지장과 같은 퍼텐셜장의 광속 전파는 리에나르-비히르트 퍼텐셜을 사용하여 고려해야 한다. 퍼텐셜은 맥스웰 방정식을 만족하므로, 점전하에 대해 유도된 장 또한 맥스웰 방정식을 만족한다. 전기장은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf{E}(\mathbf{r}, \mathbf{t}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{q(\mathbf{n}_s - \boldsymbol{\beta}_s)}{\gamma^2 (1 - \mathbf{n}_s \cdot \boldsymbol{\beta}_s)^3 |\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|^2} + \frac{q \mathbf{n}_s \times \big((\mathbf{n}_s - \boldsymbol{\beta}_s) \times \dot{\boldsymbol{\beta}_s}\big)}{c(1 - \mathbf{n}_s \cdot \boldsymbol{\beta}_s)^3 |\mathbf{r} - \mathbf{r}_s|} \right)_{t = t_r}$

여기서 $q$ 는 점전하의 전하량, ${t_r}$ 은 지체 시간 또는 전기장에 대한 전하의 기여가 발생한 시간, ${r}_s(t)$ 는 입자의 위치 벡터, ${n}_s(\mathbf{r},t)$ 는 전하 입자에서 공간의 한 점으로 향하는 단위 벡터, $\boldsymbol{\beta}_s(t)$ 는 광속으로 나눈 입자의 속도, 그리고 $\gamma(t)$ 는 해당 로렌츠 인자이다. 지체 시간은 다음 방정식의 해로 주어진다.

: $t_r=\mathbf{t}-\frac$

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{c}

주어진

\mathbf{t}

\mathbf{r}

및

r_s(t)

에 대한

{t_r}

의 해의 유일성은 광속보다 느리게 움직이는 전하 입자에 대해 유효하다. 가속하는 전하의 전자기 복사는 전기장에서 가속도에 의존하는 항에 의해 발생하는 것으로 알려져 있으며, 이로부터 라모르 공식에 대한 상대론적 보정이 얻어진다.

맥스웰 방정식에 대한 동일한 형태의 또 다른 해 집합이 존재하지만, 지체 시간 대신 다음 방정식의 해로 주어지는 진보 시간

{t_a}

에 대한 것이다.

:

t_a=\mathbf{t}+\frac

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{c}

이것의 물리적 해석은 한 점에서의 전기장이 미래의 어떤 시점에서 입자의 상태에 의해 지배된다는 것을 나타내므로, 비물리적인 해로 간주되어 무시된다. 그러나 맥스웰 방정식의 진보 시간 해를 탐구하는 이론, 예를 들어 파인만-휠러 흡수자 이론이 존재한다.

위의 방정식은 등속도로 움직이는 점전하의 경우와 비상대론적 극한의 경우와 일치하지만, 양자 역학적 효과에 대한 수정은 포함되어 있지 않다. 특수 상대성이론에 따라 전장의 전파 속도는 광속 c로 간주된다.

또한, 점전하가 방출하는 전장은 정지 상태에서는 동심원상으로 퍼져 나가지만, 전하가 운동할 때는 그 이동 속도에 따라 동심원상에서 벗어난, 왜곡된 분포의 전장이 된다. 이러한 영향을 정확하게 계산하기 위해서는 쿨롱의 법칙이나 정전 포텐셜에 의한 기술로는 불충분하며, 리에나르-비헤르트 퍼텐셜을 도입할 필요가 있다.

9. 일반적인 공식

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여러 전하 배열에 대한 전기장 공식
전하 배열	그림	전기장
무한히 긴 직선 도체	무한히 긴 직선 도체	$\mathbf E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x} \hat\mathbf x,$
무한히 큰 평면	무한히 큰 평면	$\mathbf E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat\mathbf x,$
무한히 긴 원통형 부피	무한히 긴 원통형 부피	$\mathbf E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x}\hat\mathbf x ,$
구형 부피	구형 부피	$\mathbf E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x^2}\hat\mathbf x,$	$\mathbf E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\hat\mathbf r,$
구형 면	구형 면	$\mathbf E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x^2} \hat\mathbf x,$	$\mathbf E = 0,$
대전된 고리	대전된 고리	$\mathbf E = \frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(R^2+x^2)^{3/2}}\hat\mathbf x,$
대전된 원판	대전된 원판	$\mathbf E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left[1-\frac x \sqrt{x^2+R^2} \right] \hat\mathbf x,$
전기 쌍극자	전기 쌍극자	$\mathbf E = -\frac{\mathbf p}{4\pi\varepsilon_0 r^3},$	$\mathbf E = \frac{\mathbf p}{2\pi\varepsilon_0x^3} ,$