교대 대수

1. 개요

교대 대수는 표수가 2가 아닌 체 위의 대수 A에 대해 특정 조건들을 만족하는 대수를 의미하며, 결합자 [a,b,c]가 완전 반대칭이거나, 세 가지 항등식 중 두 가지가 성립하면 나머지 하나도 자동으로 성립하는 대수를 말한다. 교대 대수는 결합자, 좌·우 교대성, 유연 항등식과 관련이 있으며, 아르틴 정리, 멱결합성, 무팡 항등식 등의 성질을 갖는다. 팔원수, 결합 대수, 옥토니언 대수 등이 교대 대수의 예시이며, 무팡 평면과 합성 대수와 밀접한 관련이 있다.

2. 정의

표수가 2가 아닌 체 위의 대수 $A$에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수를 교대 대수라고 한다.

* 결합자 $[a,b,c]=(ab)c-a(bc)$가 완전 반대칭이다. 즉, 임의의 순열 $\backslash sigma\backslash in\backslash operatorname\{Sym\}(3)$에 대하여 $[a\_1,a\_2,a\_3]=(-1)^\{\backslash sigma\}[a\_\{\backslash sigma(1)\},a\_\{\backslash sigma(2)\},a\_\{\backslash sigma(3)\}]$이다.
* 다음 세 항등식 가운데 적어도 두 개가 성립한다.
임의의 $a,b\backslash in\; A$에 대하여, $a(ab)=a^2b$이다.
임의의 $a,b\backslash in\; A$에 대하여, $(ab)b=ab^2$이다.
** 임의의 $a,b\backslash in\; A$에 대하여, $(ab)a=a(ba)$이다.

위 세 항등식은 모두 동치이다.

2.1. 결합자와 교대성

표수가 2가 아닌 체 위의 대수에서, 결합자는 다음과 같은 삼중 선형 형식으로 정의된다.
:$[x,y,z]\; =\; (xy)z\; -\; x(yz)$.
결합자는 인수의 순서에 따라 부호가 바뀌는 완전 왜대칭성을 가지며, 임의의 순열 $\backslash sigma$에 대해 다음과 같이 표현된다.
:$[x\_\{\backslash sigma(1)\},\; x\_\{\backslash sigma(2)\},\; x\_\{\backslash sigma(3)\}]\; =\; \backslash sgn(\backslash sigma)[x\_1,x\_2,x\_3]$
이는 결합자가 교대적임을 의미하며, 인수의 임의의 두 개가 일치할 때 결합자는 0이 된다.

결합자의 완전 왜대칭성과 표수가 2가 아닌 경우 다음 관계가 성립한다.
* 결합자의 좌 교대성: $[x,x,y]\; =\; 0$
* 결합자의 우 교대성: $[y,x,x]\; =\; 0$
이 두 식으로부터 결합자가 완전 왜대칭이고, 유연성을 만족함을 알 수 있다.
:$(xy)x\; =\; x(yx)$

2.2. 좌·우 교대성과 유연 항등식

표수가 2가 아닌 체 위의 대수에서, 다음 항등식들은 서로 동치이다.

* 좌측 교대 항등식: 임의의 $a,b\backslash in\; A$에 대하여, $a(ab)=a^2b$. 즉, $[a,a,b]=0$이다.
* 우측 교대 항등식: 임의의 $a,b\backslash in\; A$에 대하여, $(ab)b=ab^2$. 즉, $[a,b,b]=0$이다.
* 유연 항등식: 임의의 $a,b\backslash in\; A$에 대하여, $(ab)a=a(ba)$. 즉, $[a,b,a]=0$이다.

여기서 $[a,b,c]=(ab)c-a(bc)$는 결합자이다.

이 세 항등식 중 두 개가 성립하면 나머지 하나도 자동적으로 성립한다. 예를 들어 좌·우 교대 항등식이 성립하면 유연 항등식도 성립한다.

3. 성질

항등원을 갖는 교대 대수에서, 가역원들의 집합은 곱셈에 대하여 무팡 고리(Moufang loop^영어)를 이룬다. 모든 합성 대수(composition algebra^영어)는 교대 대수를 이룬다. 체 위의 모든 결합 대수는 교대 대수를 이룬다.

클라인펠트의 정리에 따르면, 모든 단순 비결합 대체 링은 그 중심 위의 일반화된 옥토니언 대수이다. 대체 링의 구조 이론은 Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov 및 Shirshov의 책 결합에 가까운 링에 제시되어 있다. 초른의 정리에 따르면, 임의의 유한 차원 비결합적 교대 대수는 일반 팔원수 대수이다.

3.1. 아르틴 정리

아르틴 정리에 따르면, 교대 대수에서 임의의 두 원소로 생성되는 부분 대수는 항상 결합 대수이다. 이는 두 변수만 포함하는 표현식에서 괄호를 생략하여도 의미가 명확하다는 것을 뜻한다. 아르틴 정리는 세 원소 $x,y,z$가 결합할 때 (즉, $[x,y,z]\; =\; 0$) 해당 원소들에 의해 생성된 부분 대수가 결합된다는 내용으로 일반화할 수 있다.

3.1.1. 멱결합성

아르틴 정리의 따름 정리에 따르면, 교대 대수는 멱결합적이다. 즉, 단일 원소로 생성된 부분 대수는 결합적이다. 그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어 세데니언은 멱결합적이지만 교대적이지 않다.

3.2. 무팡 항등식

항등원을 갖는 교대 대수에서, 가역원들의 집합은 곱셈에 대하여 무팡 고리(Moufang loop^영어)를 이룬다.

임의의 교대 대수에서 다음 무팡 항등식이 성립한다.
* $a(x(ay))\; =\; (axa)y$
* $((xa)y)a\; =\; x(aya)$
* $(ax)(ya)\; =\; a(xy)a$

3.3. 가역원

단위원을 가진 교대 대수에서 곱셈 역원은 존재할 때마다 유일하다. 임의의 가역원 $x$와 모든 $y$에 대해 $y\; =\; x^\{-1\}(xy)$가 성립하는데, 이는 모든 $x$와 $y$에 대해 결합자 $[x^\{-1\},x,y]$가 사라진다는 의미이다.

$x$와 $y$가 가역적이면 $xy$도 가역적이며, 그 역원은 $(xy)^\{-1\}\; =\; y^\{-1\}x^\{-1\}$이다.

3.3.1. 단위 루프

항등원을 갖는 교대 대수에서, 가역원들의 집합은 곱셈에 대하여 무팡 고리(Moufang loop)를 이룬다. 만약 x와 y가 가역적이면, xy도 역원 (xy)^-1^ = y^-1^x^-1^을 갖는 가역적이다. 따라서 모든 가역 원소의 집합은 곱셈에 닫혀 있으며 무팡 루프를 형성한다. 대체 링 또는 대수에서 이 '단위 루프'는 결합 링 또는 대수에서 단위군과 유사하다.

4. 예시

* 모든 결합 대수는 교대 대수이다.
* 옥토니언은 실수에 대한 8차원 노름 나눗셈 대수인 비결합적 교대 대수를 형성한다.
* 팔원수는 비결합적 교대 대수이며, 실수 8-차원의 노름 나눗셈 대수이다.
* 옥토니언 대수와 일반 팔원수환은 교대 대수이다.
* 임의의 결합적 가환환은 교대적이다.

4.1. 결합 대수

모든 결합 대수는 교대 대수이다. 옥토니언은 실수에 대한 8차원 노름 나눗셈 대수인 비결합적 교대 대수를 형성한다. 팔원수 전체는 비결합적 교대 대수이며, 실수의 8-차원 노름 나눗셈 대수가 된다. 더 일반적으로, 모든 옥토니언 대수와 임의의 일반 팔원수환은 교대적이며, 임의의 결합적 가환환도 교대적이다.

4.2. 팔원수

팔원수의 대수는 결합 대수가 아닌 교대 대수이다. 옥토니언은 실수에 대한 8차원 노름 나눗셈 대수인 비결합적 교대 대수를 형성한다. 실수 8-차원의 노름 나눗셈 대수가 된다. 더 일반적으로, 모든 일반 팔원수환은 교대적이다. Real number^영어

4.3. 일반 팔원수 대수

일반 일반 팔원수환은 교대적이다.

4.4. 교대적이 아닌 예시

세데니언과 트리그티두오니언, 그리고 모든 상위 케일리-딕슨 대수는 교대성을 잃는다.

5. 응용

대안 나눗셈환 위의 사영 평면은 무팡 평면이며, 교대 대수는 합성 대수와 밀접한 관계를 가진다.

5.1. 무팡 평면

임의의 대안 나눗셈환 위의 사영 평면은 무팡 평면이다.

5.2. 합성 대수와의 관계

Guy Roos (2008)는 교대 대수와 합성 대수의 밀접한 관계를 설명한다. 단위 원소 e와 대합적역전 동형
:$*\backslash colon\; A\backslash to\; A;\; a\; \backslash mapsto\; a^*$
를 가지는 다원환 A를 생각해보자. 임의의 A의 원소 a에 대해 a + a^* 및 n(a) := aa^* 가 모두 e가 생성하는 직선 위에 있다고 가정한다.

이 때, 사상 n이 A의 계수체로의 사상으로서 비특이적이고 A가 교대적이라면, 쌍 (A, n)은 합성 대수가 된다. 여기서 n은 곱셈 준동형 사상인 '노름'이며, $n(a\; \backslash times\; b)\; =\; n(a)\; \backslash times\; n(b)$ 로 (A, ×)와 (K, ×)를 연결한다.

형식 (_ : _ ): A × A → K를 $(a:b)\; =\; n(a+b)\; -\; n(a)\; -\; n(b)$로 정의하면, a의 대각합은 (a:1)로 주어지며, 켤레는 a^* = (a:1)e – a로 주어진다. (단, e는 1에 대한 기저 원소)