균형 3진법

3. 다른 표현과의 변환

균형 3진법은 10진법, 불균형 3진법 등 다른 기수법과 변환할 수 있다.

$\backslash mathcal\{D\}\_\{3\}^\{+\}$는 $\backslash mathcal\{D\}\_\{3\}$의 클레이니 플러스로, 하나 이상의 기호(숫자) $d\_n\; \backslash ldots\; d\_0$로 이루어진 유한 길이의 연결된 문자열 집합이다. 여기서 $n$은 음이 아닌 정수이고, 모든 $n\; +\; 1$개의 숫자 $d\_n,\; \backslash ldots,\; d\_0$는 $\backslash mathcal\{D\}\_\{3\}\; =\; \backslash lbrace\; \backslash operatorname\{T\},\; 0,\; 1\; \backslash rbrace$에서 가져온다. $d\_n\; \backslash ldots\; d\_0$의 시작은 기호 $d\_0$(오른쪽), 끝은 $d\_n$(왼쪽), 길이는 $n\; +\; 1$이다. '3진 평가'는 함수 $v\; =\; v\_\{3\}\; ~:~\; \backslash mathcal\{D\}\_\{3\}^\{+\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{Z\}$로 정의되며, 모든 문자열 $d\_n\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}\_\{3\}^\{+\}$에 다음 정수를 할당한다.

:$v\backslash left(\; d\_n\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash right)\; ~=~\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n\}\; f\_\{\}\; \backslash left(\; d\_\{i\}\; \backslash right)\; 3^\{i\}.$

문자열 $d\_n\; \backslash ldots\; d\_0$는 정수 $v\backslash left(\; d\_n\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash right)$를 나타내며, 이 값은 $\{d\_n\; \backslash ldots\; d\_0\}\_\{\backslash operatorname\{bal\}3\}$로도 표시할 수 있다.

$v\; :\; \backslash mathcal\{D\}\_\{3\}^\{+\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{Z\}$는 전사 함수이지만, $0\; =\; v(0)\; =\; v(00)\; =\; v(0\; 0\; 0)\; =\; \backslash cdots$이므로 단사 함수는 아니다. 그러나 모든 정수는 $v$에 따라 정확히 하나의 표현을 가지며, 이는 $d\_n\; =\; 0$으로 끝나지 않는다.

$d\_n\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}\_\{3\}^\{+\}$이고 $n\; >\; 0$이면, $v$는 다음을 만족한다.

:$v\backslash left(\; d\_n\; d\_\{n-1\}\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash right)\; ~=~\; f\_\{\}\; \backslash left(\; d\_\{n\}\; \backslash right)\; 3^\{n\}\; +\; v\backslash left(\; d\_\{n-1\}\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash right)$

이는 $v$가 일종의 재귀 관계를 만족함을 보여준다. 이 재귀 관계는 초기 조건 $v\backslash left(\; \backslash varepsilon\; \backslash right)\; =\; 0$을 가지며, 여기서 $\backslash varepsilon$은 빈 문자열이다.

모든 문자열 $d\_n\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}\_\{3\}^\{+\},$에 대해 다음이 성립한다.

:$v\backslash left(\; 0\; d\_n\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash right)\; =\; v\backslash left(\; d\_n\; \backslash ldots\; d\_0\; \backslash right)$

즉, 선행 $0$ 기호(두 개 이상의 기호를 가진 문자열의 왼쪽에 있는)는 결과 값에 영향을 미치지 않는다.

다음은 $v$의 일부 값을 계산하는 예시이다. 모든 정수는 10진수(밑 10)로 작성되고 $\backslash mathcal\{D\}\_\{3\}^\{+\}$의 모든 요소는 단순한 기호이다.

:$\backslash begin\{alignat\}\{10\}$

v\left( \operatorname{T} \operatorname{T} \right)

&= && f_{}\left( \operatorname{T} \right) 3^{1} + && f_{}\left( \operatorname{T} \right) 3^{0}

&&= &&(-1) &&3 &&\,+\, &&(-1) &&1

&&= -4 \\

v\left( \operatorname{T} 1 \right)

&= && f_{}\left( \operatorname{T} \right) 3^{1} + && f_{}\left( 1 \right) 3^{0}

&&= &&(-1) &&3 &&\,+\, &&(1) &&1

&&= -2 \\

v\left( 1 \operatorname{T} \right)

&= && f_{}\left( 1 \right) 3^{1} + && f_{}\left( \operatorname{T} \right) 3^{0}

&&= &&(1) &&3 &&\,+\, &&(-1) &&1

&&= 2 \\

v\left( 1 1 \right)

&= && f_{}\left( 1 \right) 3^{1} + && f_{}\left( 1 \right) 3^{0}

&&= &&(1) &&3 &&\,+\, &&(1) &&1

&&= 4 \\

v\left( 1 \operatorname{T} 0 \right)

&= f_{}\left( 1 \right) 3^{2} + && f_{}\left( \operatorname{T} \right) 3^{1} + && f_{}\left( 0 \right) 3^{0}

&&= (1) 9 \,+\, &&(-1) &&3 &&\,+\, &&(0) &&1

&&= 6 \\

v\left( 1 0 \operatorname{T} \right)

&= f_{}\left( 1 \right) 3^{2} + && f_{}\left( 0 \right) 3^{1} + && f_{}\left( \operatorname{T} \right) 3^{0}

&&= (1) 9 \,+\, &&(0) &&3 &&\,+\, &&(-1) &&1

&&= 8 \\

\end{alignat}



위의 재귀 관계를 사용하면 다음과 같다.

:$v\backslash left(\; 1\; 0\; 1\; \backslash operatorname\{T\}\; \backslash right)\; =\; f\_\{\}\backslash left(\; 1\; \backslash right)\; 3^\{3\}\; +\; v\backslash left(\; 0\; 1\; \backslash operatorname\{T\}\; \backslash right)\; =\; (1)\; 27\; +\; v\backslash left(\; 1\; \backslash operatorname\{T\}\; \backslash right)\; =\; 27\; +\; 2\; =\; 29.$

10진법 및 불균형 3진법과의 변환 방법은 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

3. 1. 10진법에서 변환

• 10_bal3 = 1 × 3¹ + 0 × 3⁰ = 3_dec
• 10𝖳_bal3 = 1 × 3² + 0 × 3¹ + (−1) × 3⁰ = 8_dec
• −9_dec = −1 × 3² + 0 × 3¹ + 0 × 3⁰ = 𝖳00_bal3
• 8_dec = 1 × 3² + 0 × 3¹ + (−1) × 3⁰ = 10𝖳_bal3

정수는 일의 자리 숫자가 0일 때에만 3으로 나누어 떨어진다.

모든 삼진수의 합의 패리티를 확인하여 균형 3진법 정수의 패리티를 확인할 수 있다. 이 합은 정수 자체와 동일한 패리티를 갖는다.

균형 3진법은 10진법 숫자가 기수점의 오른쪽에 쓰이는 방식과 유사하게 분수로도 확장될 수 있다.^[5]

10진법 또는 2진법에서는 정수 값과 종결 분수가 여러 표현을 갖는다. 예를 들어, = 0.1 = 0.1 = 0.0이다. 그리고, = 0.1₂ = 0.1₂ = 0.0₂이다. 일부 균형 3진법 분수도 여러 표현을 갖는다. 예를 들어, = 0.1_bal3 = 0.0_bal3이다. 확실히 10진법과 2진법에서는 기수점 뒤의 오른쪽 끝 무한 0을 생략하여 정수 또는 종결 분수의 표현을 얻을 수 있다. 그러나 균형 3진법에서는 기수점 뒤의 오른쪽 끝 무한 −1을 생략하여 정수 또는 종결 분수의 표현을 얻을 수 없다.

도널드 커누스^[6]는 균형 3진법에서 절삭과 반올림이 동일한 연산이며, 정확히 동일한 결과를 생성한다는 점을 지적했다(이는 다른 균형 숫자 체계와 공유되는 속성이다). 숫자 는 예외가 아니다. 즉, 두 개의 동등하게 유효한 표현과 두 개의 동등하게 유효한 절삭이 있다. 0. (0으로 반올림하고 0으로 절삭)과 1. (1로 반올림하고 1로 절삭)이 있다. 홀수 기수를 사용하면 이중 반올림도 짝수 기수와 달리 최종 정밀도로 직접 반올림하는 것과 같다.

기본 연산, 즉 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈은 일반적인 삼진법과 동일하게 수행된다. 2를 곱하는 것은 숫자를 자기 자신에 더하거나, a-삼진수-왼쪽-이동 후에 자기 자신을 빼는 것으로 수행할 수 있다.

균형 3진법 숫자의 산술 왼쪽 시프트는 3의 (양수, 정수) 거듭제곱을 곱하는 것과 동일하며, 균형 3진법 숫자의 산술 오른쪽 시프트는 3의 (양수, 정수) 거듭제곱으로 나누는 것과 동일하다.

3. 2. 불균형 3진법에서 변환

• 첫 번째 0이 아닌 트라이트에서 캐리를 사용하여 트라이트 단위로 1을 더한 다음, 빌림 없이 동일한 트라이트에서 트라이트 단위로 1을 뺀다. 예를 들어, 021₃ + 11₃ = 102₃, 102₃ − 11₃ = 1T1_bal3 = 7_dec이다.
• 2가 3진법에 있으면 1T로 변환한다. 예를 들어, 0212₃ = 0010_bal3 + 1T00_bal3 + 001T_bal3 = 10TT_bal3 = 23_dec이다.

3치 논리의 세 값인 '거짓', '알 수 없음', '참'이 균형 3진법에서 T, 0, 1로, 그리고 일반적인 부호 없는 3진법 값으로 0, 1, 2로 매핑된다면, 균형 3진법은 오프셋 이진법 시스템과 유사한 편향된 숫자 시스템으로 볼 수 있다.^[7]

만약 3진수 숫자가 ''n''개의 트라이트를 가지고 있다면, 편향 ''b''는 다음과 같다.

:$b=\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{3^n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor$

이는 일반적이거나 편향된 형태에서 모두 1로 표현된다.^[7]

결과적으로, 이 두 표현이 균형 및 부호 없는 3진수에 사용된다면, 부호 없는 ''n''-트라이트 양수 3진법 값은 편향 ''b''를 더하여 균형 형태로 변환될 수 있으며, 양수 균형 숫자는 편향 ''b''를 빼서 부호 없는 형태로 변환될 수 있다. 또한, 만약 ''x''와 ''y''가 균형 숫자라면, 일반적인 부호 없는 3진법 산술을 사용하여 계산할 때 균형 합은 ''x'' + ''y'' − ''b''이다. 마찬가지로, 만약 ''x''와 ''y''가 일반적인 부호 없는 3진법 숫자라면, 균형 3진법 산술을 사용하여 계산할 때 합은 ''x'' + ''y'' + ''b''이다.

3. 3. 정수 기수에서 균형 3진법으로 변환

• 첫 번째 0이 아닌 트라이트에서 캐리를 사용하여 트라이트 단위로 1을 더한 다음, 빌림 없이 동일한 트라이트에서 트라이트 단위로 1을 뺀다. 예를 들어, 021₃ + 11₃ = 102₃이고, 102₃ − 11₃ = 1T1_bal3 = 7_dec이다.
• 2가 3진법에 있으면 1T로 변환한다. 예를 들어, 0212₃ = 0010_bal3 + 1T00_bal3 + 001T_bal3 = 10TT_bal3 = 23_dec이다.

• ''a_na''_''n''−1...''a''₁''a''₀.''c''₁''c''₂''c''₃...는 원래 기수법에서의 원래 표현이다.
• ''b''는 원래 기수이다. 십진법에서 변환하는 경우 ''b''는 10이다.
• ''a_k''와 ''c_k''는 기수점의 왼쪽과 오른쪽에 각각 ''k'' 자릿수를 나타내는 숫자이다.

• −25.4_dec = −(1T×101¹ + 1TT×101⁰ + 11×101⁻¹) = −(1T×101 + 1TT + 11÷101) = −10T1. = T01T.
• 1010.1₂ = 1T¹⁰ + 1T¹ + 1T⁻¹ = 10T + 1T + 0. = 101.

3. 4. 분수와의 변환

4. 사칙연산

균형 3진법에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 이진법이나 십진법과 유사한 방식으로 이루어진다. 다만, 각 자리의 숫자가 T(-1), 0, 1 세 가지 값을 가지므로, 이에 따른 연산 규칙을 따라야 한다.
주의: 뺄셈과 나눗셈은 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 연산 순서에 유의해야 한다. 예를 들어, 1 - T는 1T이다.

4. 1. 단일 트리트 연산

5. 제곱근 및 세제곱근

균형 3진법에서 제곱근을 구하는 과정은 10진법이나 2진법과 유사하다.

:$(10\backslash cdot\; x+y)^\{\backslash mathrm\{1T\}\}-100\backslash cdot\; x^\{\backslash mathrm\{1T\}\}=\backslash mathrm\{1T0\}\backslash cdot\; x\backslash cdot\; y+y^\{\backslash mathrm\{1T\}\}=$

\begin{cases}

\mathrm{T10}\cdot x+1, & y=\mathrm{T} \\

0, & y=0 \\

\mathrm{1T0}\cdot x+1, & y=1

\end{cases}



나눗셈과 마찬가지로, 먼저 제수의 절반 값을 확인해야 한다. 예를 들어, 다음과 같다.

균형 3진법에서 세제곱근을 구하는 것도 10진법이나 2진법에서 구하는 것과 유사하다.

:$(10\backslash cdot\; x+y)^\{10\}-1000\backslash cdot\; x^\{10\}=y^\{10\}+1000\backslash cdot\; x^\{\backslash mathrm\{1T\}\}\backslash cdot\; y+\; 100\backslash cdot\; x\backslash cdot\; y^\{\backslash mathrm\{1T\}\}=$

\begin{cases}

\mathrm{T}+\mathrm{T000}\cdot x^{\mathrm{1T}}+100\cdot x, & y=\mathrm{T}\\

0, & y=0\\

1+1000\cdot x^{\mathrm{1T}}+100\cdot x, & y=1

\end{cases}



나눗셈과 마찬가지로, 제수의 절반 값을 먼저 확인해야 한다. 예를 들어, 다음과 같다.

따라서 = 1.259921_dec = 1.1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111_bal3 이다.

6. 무리수

다른 정수 기수와 마찬가지로, 대수적 무리수와 초월수는 균형 3진법에서 종료되거나 반복되지 않는다. 예를 들어 다음과 같다.

7. 응용

균형 3진법은 계산 외에도 다른 응용 분야가 있다. 예를 들어, 각 3의 거듭제곱에 해당하는 추를 가진 고전적인 양팔 저울을 사용하면, 두 개의 저울판과 테이블 사이에서 추를 옮겨 소수의 추로도 상대적으로 무거운 물체를 정확하게 측정할 수 있다.^[10] 예를 들어, 81까지 각 3의 거듭제곱에 해당하는 추(1, 3, 9, 27, 81)를 사용하면 60그램의 물체(60_dec = 1T1T0_bal3)는 다음과 같이 잴 수 있다. 81그램 추는 다른 저울판에, 27그램 추는 자체 저울판에, 9그램 추는 다른 저울판에, 3그램 추는 자체 저울판에 놓고, 1그램 추는 치워두면 완벽하게 균형을 이룬다.

비슷한 방식으로, 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤의 동전 가치를 가진 통화 시스템을 생각해 볼 수 있다. 구매자와 판매자가 각 종류의 동전을 하나씩만 가지고 있다면, 121¤까지의 모든 거래가 가능하다. 예를 들어, 가격이 7¤ (7_dec = 1T1_bal3)인 경우, 구매자는 1¤와 9¤을 지불하고 3¤의 거스름돈을 받으면 된다.

레온하르트 오일러는 균형 3진법에서 모든 정수가 고유한 표현을 갖는다는 정리를 형식적 멱급수의 항등식을 정당화하는 데 사용했다.^[10]

7. 1. 컴퓨터 설계

7. 2. 기타 응용

참조

_[1] 서적 Programming
_[2] 간행물 Arithmetica integra https://archive.org/[...] apud Iohan Petreium
_[3] 간행물 Third base http://bit-player.or[...] Farrar, Straus and Giroux
_[4] 문서
_[5] 웹사이트 Balanced ternary http://www.abhijit.i[...] 2006-07-24
_[6] 서적 The art of Computer Programming Addison-Wesley
_[7] 웹사이트 Ternary Number Systems http://www.cs.uiowa.[...] Douglas W. Jones 2013-10-15
_[8] 논문 Ternary Weight Networks https://arxiv.org/ab[...] 2022
_[9] 논문 The era of 1-bit LLMs: All large language models are in 1.58 bits https://arxiv.org/ab[...] 2024
_[10] 논문 Euler's "De Partitio numerorum"