이진법

3. 셈

이진법에서는 0과 1 두 가지 숫자만을 사용한다. 십진법과 달리, 이진법에서는 각 자리가 1을 넘으면 자리올림을 한다. 이진수는 십진수보다 자리수가 빠르게 늘어나는 경향이 있다. 일반적으로 십진수 n자리를 이진수로 표현하면 $n\; \backslash times\; \backslash log\_\{2\}\{10\}\backslash approx3.32n$ 자리수가 된다.

이진법에서의 계산은 십진법과 유사한 절차를 따른다. 가장 오른쪽 자릿수(첫 번째 비트)에서 시작하여, '0'과 '1' 두 기호만을 사용한다. 이진수에서 비트가 1에 도달하면, 그 비트는 0으로 재설정되고 왼쪽의 다음 비트가 증가한다.

예를 들어, 이진수 100101은 다음과 같이 십진수로 변환된다.

:100101₂ = [ ( '''1''' ) × 2⁵ ] + [ ( '''0''' ) × 2⁴ ] + [ ( '''0''' ) × 2³ ] + [ ( '''1''' ) × 2² ] + [ ( '''0''' ) × 2¹ ] + [ ( '''1''' ) × 2⁰ ]

:100101₂ = [ '''1''' × 32 ] + [ '''0''' × 16 ] + [ '''0''' × 8 ] + [ '''1''' × 4 ] + [ '''0''' × 2 ] + [ '''1''' × 1 ]

:'''100101₂ = 37₁₀'''

4. 산술

십진법과 마찬가지로 이진법에서도 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 제곱근 등의 산술연산을 할 수 있다. 이진법에서의 산술은 다른 위치 표기법 수 체계에서의 산술과 매우 유사하다. 이진수에 대해 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 수행할 수 있다.

== 더하기 ==

이진법 더하기는 십진법 더하기와 유사하게 자리올림 규칙을 따르며, 십진법과 마찬가지로 덧셈을 할 수 있다. 10111₍₂₎(십진수로 23)과 1101₍₂₎(십진수로 13)을 더하면, 100100₍₂₎(십진수로 36)이 된다.

: 0 + 0 → 0

: 0 + 1 → 1

: 1 + 0 → 1

: 1 + 1 → 0, 올림 1 (∵ 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

여기서 올림은 윗 자리로 받아올려지는 수를 의미한다.

이진법은 수가 0과 1 두개뿐이므로, 덧셈 결과의 경우의 수는 4가지밖에 없으며, 논리회로로 구성하기 쉽다. 두 비트를 더해주는 반가산기 회로를 통해 이진법 덧셈을 구현할 수 있다.

• ---------------

• ---------------

• ---------------

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

이진수 곱셈표는 진리표와 같다.

== 나누기 ==

이진법에서의 나누기는 십진법의 나누기와 비슷하다. 예를 들어 11011₍₂₎ 나누기 101₍₂₎는 십진법 27 나누기 5의 몫이 5고, 나머지가 2인 것과 결과가 같다.

```

1 0 1

___________

1 0 1 |1 1 0 1 1

− 1 0 1

• ----

• ------

• --------

• ----

• ----

• ----

• --------

• --------

• -------

• -------

• ------

4. 1. 더하기

이진법은 수가 0과 1 두개뿐이므로, 덧셈 결과의 경우의 수는 4가지밖에 없으며, 논리회로로 구성하기 쉽다. 두 비트를 더해주는 반가산기 회로를 통해 이진법 덧셈을 구현할 수 있다.

컴퓨터에서 두 숫자를 더할 때, x XOR y = (x + y) mod 2 규칙을 사용하면 두 비트 x와 y에 대한 빠른 계산이 가능하다.

긴 자리올림법(Long carry method)을 사용하면 덧셈 과정을 간소화할 수 있다. 예를 들어, 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0₂(958₁₀)과 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1₂(691₁₀)을 더할 때, 기존 자리올림법 대신 긴 자리올림법을 사용하면 자리올림 횟수를 줄일 수 있다.

4. 2. 빼기

• ---------------

• ---------------

• ---------------

4. 3. 곱하기

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

이진수 곱셈표는 진리표와 같다.

4. 4. 나누기

• ----

• ------

• --------

• ----

• ----

• ----

4. 5. 제곱근

• --------

• --------

• -------

• -------

• ------

5. 십진법과의 관계

일반적으로 이진법의 $i$번째 자리수는 $2^\{i-1\}$ 크기를 갖는다. 따라서 이진법 110010101101<sub>(2)</sub>은 다음과 같이 변환된다.

: 이진법: 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1

: 십진법: 1×2<sup>11</sup> + 1×2<sup>10</sup> + 0×2<sup>9</sup> + 0×2<sup>8</sup> + 1×2<sup>7</sup> + 0×2<sup>6</sup> + 1×2<sup>5</sup> + 0×2<sup>4</sup> + 1×2<sup>3</sup> + 1×2<sup>2</sup> + 0×2<sup>1</sup> + 1×2<sup>0</sup> = 3245

다음과 같은 방법으로도 이진법을 십진법으로 바꿀 수 있다.

양의 정수 m을 십진법에서 이진법으로 변환하는 방법은 다음과 같다.

1. m을 x에 대입한다.

2. x를 2로 나누고 나머지를 구한다.

3. x/2의 몫을 x에 대입한다.

4. 2번으로 돌아가며, x=0이면 종료한다.

나머지를 구한 순서의 역순으로 나열하면 이진법으로 변환된 결과가 된다.

예: '''192'''를 이진법으로 변환.

2)192　　192=2<sup>0</sup>×192


2) 96…'''0'''　192=2<sup>1</sup>× 96+2<sup>0</sup>×0


2) 48…'''0'''　192=2<sup>2</sup>× 48+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0


2) 24…'''0'''　192=2<sup>3</sup>× 24+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0


2) 12…'''0'''　192=2<sup>4</sup>× 12+2<sup>3</sup>×0+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0


2) 6…'''0'''　192=2<sup>5</sup>× 6+2<sup>4</sup>×0+2<sup>3</sup>×0+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0


2) 3…'''0'''　192=2<sup>6</sup>× 3+2<sup>5</sup>×0+2<sup>4</sup>×0+2<sup>3</sup>×0+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0


2) 1…'''1'''　192=2<sup>7</sup>× 1+2<sup>6</sup>×1+2<sup>5</sup>×0+2<sup>4</sup>×0+2<sup>3</sup>×0+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0


0…'''1'''


따라서 192<sub>10</sub> = 11000000<sub>2</sub> 이다.

6. 역사

6. 1. 고대 이집트

6. 2. 중국

6. 3. 고대 그리스

6. 4. 인도

6. 5. 아프리카

6. 6. 기타 문화

6. 7. 라이프니츠 이전의 서양

6. 8. 라이프니츠

6. 9. 이후의 발전

7. 다른 진법과의 변환

십진법에서 이진법으로, 또는 그 반대로 변환하는 특별한 공식이 있는 것은 아니다. 십진법과 이진법은 모두 수를 표현하는 방식이므로, "표현 방식 → 수 → 표현 방식"과 같이 변환하면 된다.

==== 십진법에서 이진법으로 ====

10진수 정수를 2진수로 변환하려면, 해당 숫자를 2로 나눈다. 나머지는 최하위 비트가 된다. 몫을 다시 2로 나눈다. 그 나머지는 다음 최하위 비트가 된다. 몫이 1이 될 때까지 이 과정을 반복한다. 나머지(최종 몫 1 포함)의 순서가 2진수 값을 형성하는데, 2로 나눌 때 각 나머지는 0 또는 1이어야 한다.<sup>[42]</sup>

이진수 10010101101₂를 십진수로 변환하는 또 다른 방법은 호너 방법을 사용하는 것이다. 이 방법은 가장 왼쪽 비트부터 시작하여 이전 값을 두 배로 하고 다음 비트를 더하는 방식으로 진행된다.

결과는 1197₁₀이다.

16진수에 익숙하다면, 2진수를 먼저 16진수로 변환한 다음, 16진수를 십진수로 변환하는 간접적인 방법을 사용할 수도 있다.

매우 큰 수의 경우에는 분할 정복 알고리즘을 사용하는 것이 더 효과적이다.

==== 16진법 ====

16진수는 2진수로 쉽게 변환할 수 있는데, 16진수의 진수(16)가 2진수의 진수(2)의 거듭제곱이기 때문이다. 16 = 2<sup>4</sup>이므로, 16진수 한 자릿수는 2진수 네 자릿수로 표현된다.

16진수를 2진수로 변환하려면 각 자릿수를 2진수로 바꾸면 된다. 예를 들어 3A<sub>16</sub>는 0011 1010<sub>2</sub>이고, E7<sub>16</sub>는 1110 0111<sub>2</sub>이다.

2진수를 16진수로 변환하려면 4비트씩 묶어서 각 묶음을 16진수로 바꾸면 된다. 비트 수가 4의 배수가 아니면 왼쪽에 0을 추가한다(패딩). 예를 들어 1010010<sub>2</sub>는 패딩을 통해 0101 0010으로 묶어 52<sub>16</sub>으로 변환하고, 11011101<sub>2</sub>는 1101 1101로 묶어 DD<sub>16</sub>으로 변환한다.

16진수를 10진수로 변환하는 예시는 다음과 같다.

:C0E7<sub>16</sub> = (12 × 16<sup>3</sup>) + (0 × 16<sup>2</sup>) + (14 × 16<sup>1</sup>) + (7 × 16<sup>0</sup>) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,383<sub>10</sub>

==== 8진법 ====

8진수는 2의 거듭제곱(2<sup>3</sup>)을 밑으로 사용하므로, 8진수 한 자리를 나타내는 데 이진수 세 자리가 필요하다. 8진수와 이진수 간의 대응 관계는 16진수의 처음 여덟 자릿수와 같다. 예를 들어 이진수 000은 8진수 0, 이진수 111은 8진수 7과 같다.

8진수에서 이진수로의 변환은 16진수와 같은 방식으로 진행된다.

:65<sub>8</sub> = 110 101<sub>2</sub>

:17<sub>8</sub> = 001 111<sub>2</sub>

이진수에서 8진수로 변환할 때는 이진수를 세 자리씩 묶어 변환한다.

:101100<sub>2</sub> = 101 100<sub>2</sub> (그룹화) = 54<sub>8</sub>

:10011<sub>2</sub> = 010 011<sub>2</sub> (패딩을 사용하여 그룹화) = 23<sub>8</sub>

8진수를 10진수로 변환하는 예시는 다음과 같다.

:65<sub>8</sub> = (6 × 8<sup>1</sup>) + (5 × 8<sup>0</sup>) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53<sub>10</sub>

:127<sub>8</sub> = (1 × 8<sup>2</sup>) + (2 × 8<sup>1</sup>) + (7 × 8<sup>0</sup>) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87<sub>10</sub>

7. 1. 십진법에서 이진법으로

7. 2. 이진법에서 십진법으로

이진수 10010101101₂를 십진수로 변환하는 또 다른 방법은 호너 방법을 사용하는 것이다. 이 방법은 가장 왼쪽 비트부터 시작하여 이전 값을 두 배로 하고 다음 비트를 더하는 방식으로 진행된다.

결과는 1197₁₀이다.

16진수에 익숙하다면, 2진수를 먼저 16진수로 변환한 다음, 16진수를 십진수로 변환하는 간접적인 방법을 사용할 수도 있다.

매우 큰 수의 경우에는 분할 정복 알고리즘을 사용하는 것이 더 효과적이다.

7. 3. 16진법

7. 4. 8진법

8진수에서 이진수로의 변환은 16진수와 같은 방식으로 진행된다.

:65<sub>8</sub> = 110 101<sub>2</sub>

:17<sub>8</sub> = 001 111<sub>2</sub>

이진수에서 8진수로 변환할 때는 이진수를 세 자리씩 묶어 변환한다.

:101100<sub>2</sub> = 101 100<sub>2</sub> (그룹화) = 54<sub>8</sub>

:10011<sub>2</sub> = 010 011<sub>2</sub> (패딩을 사용하여 그룹화) = 23<sub>8</sub>

8진수를 10진수로 변환하는 예시는 다음과 같다.

:65<sub>8</sub> = (6 × 8<sup>1</sup>) + (5 × 8<sup>0</sup>) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53<sub>10</sub>

:127<sub>8</sub> = (1 × 8<sup>2</sup>) + (2 × 8<sup>1</sup>) + (7 × 8<sup>0</sup>) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87<sub>10</sub>

8. 실수 표현

정수가 아닌 수는 음의 지수를 사용하여 나타낼 수 있으며, 이는 기수점(10진법에서는 소수점이라고 함)을 통해 다른 자릿수와 구분된다. 예를 들어, 2진수 11.01₂는 다음을 의미한다.

합계는 10진수 3.25이다.

모든 이진 유리수 $\backslash frac\{p\}\{2^a\}$는 ''유한한'' 2진 표현을 가지며, 기수점 뒤에 유한한 수의 항을 갖는다. 다른 유리수들은 유한하지 않고, 순환하는 이진 표현을 갖는다. 예를 들어 1/3은 0.010101...₂ 와 같이 0과 1이 무한히 반복된다.

유한하지도 않고 순환하지도 않는 2진수는 무리수를 나타낸다. 예를 들어, $\backslash sqrt\{2\}$의 이진 표현은 1.0110101000001001111001100110011111110... 이며, 패턴이 없다.

9. 디지털 기기에서의 사용

전자식 컴퓨터의 전자 회로 등의 디지털 회로(디지털 논리 회로), 자기 디스크 등의 기억 매체에서는 전압의 고저, 자극의 N/S 등, 물리 현상을 두 상태로만 축소하여 다루므로(이산화 등이라고 함<sup>[43]</sup>), 거기에 참과 거짓의 두 값(2값의 진리값)만을 사용하는 이진 논리(흔히 전자적으로는 H와 L, 논리적으로는 T와 F라는 기호가 사용됨)를 매핑한다. 그리고 거기서 수치를 다루려면, 거기에 "0과 1"의 이진법을 매핑하는 것이 최적이다.

많은 응용에서 보이는 것처럼 자릿수가 유한한 경우, 수학적으로 말하면 "유리수의 부분 집합"이 표현되어 있는 셈이지만, 일반적으로는 "유한 정밀도의 실수"가 표현되어 있다고 해석된다. 이 때문에 컴퓨터와 디지털 기기에는 이진수가 사용된다.

또한, 팔진법이나 십육진법이나 삼십이진법은 마찬가지로 2의 거듭제곱을 밑으로 하기 때문에 자주 이용된다.

비트열을 이용하여 음수 값을 표현하는 데 널리 사용되는 방법 중 하나로 2의 보수 표현이 있다. 2의 보수 표현은 n 비트 열의 최상위 비트의 가중치를 +2<sup>n-1</sup>이 아닌 -2<sup>n-1</sup>로 하는 것이다. 2의 보수 표현은 비트 패턴이 덧셈과 뺄셈(그리고 곱셈) 연산에서 특별한 처리가 필요 없다는 특징을 가진다. 단, 오버플로우 처리가 달라진다(이는 예를 들어 x86 프로세서의 캐리 플래그와 오버플로우 플래그의 차이이다(상태 레지스터#캐리와 오버플로우 참조)).

9. 1. 음수 표현

참조

<sub>[1]</sub> 웹사이트 3.3. Binary and Its Advantages — CS160 Reader https://computerscie[...] 2024-05-22
<sub>[2]</sub> 서적 The Oxford Handbook of the History of Mathematics https://books.google[...] Oxford University Press
<sub>[3]</sub> 서적 Numerical Notation: A Comparative History https://books.google[...] Cambridge University Press
<sub>[4]</sub> 서적 How Mathematics Happened: The First 50,000 Years https://books.google[...] Prometheus Books
<sub>[5]</sub> 서적 I Ching: An Annotated Bibliography https://books.google[...] Routledge
<sub>[6]</sub> 서적 Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century https://books.google[...] Greenwood Publishing
<sub>[7]</sub> 서적 Teaching the I Ching Oxford University Press 2014
<sub>[8]</sub> 웹사이트 Yijing hexagram sequences: The Shao Yong square (Fuxi sequence) http://www.biroco.co[...] 2022-09-15
<sub>[9]</sub> 서적 Leibniz' Binary System and Shao Yong's "Xiantian Tu" in :Das Neueste über China: G.W. Leibnizens Novissima Sinica von 1697 : Internationales Symposium, Berlin 4. bis 7. Oktober 1997 https://books.google[...] Franz Steiner Verlag 2000
<sub>[10]</sub> 학술지 Mapping the Entrails: The Practice of Greek Hepatoscopy https://www.jstor.or[...] 2008
<sub>[11]</sub> 서적 Ancient Greek divination Wiley-Blackwell 2008
<sub>[12]</sub> 서적 Microcontroller programming: the microchip PIC CRC Press
<sub>[13]</sub> 서적 The Heritage of Thales Springer
<sub>[14]</sub> 웹사이트 Math for Poets and Drummers http://www.sju.edu/~[...]
<sub>[15]</sub> 서적 The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science https://books.google[...] World Scientific
<sub>[16]</sub> 학술지 Binary Numbers in Indian Antiquity
<sub>[17]</sub> 서적 Vodún: secrecy and the search for divine power University of Pennsylvania Press 2019
<sub>[18]</sub> 웹사이트 Ifa Divination System https://ich.unesco.o[...] 2017-07-05
<sub>[19]</sub> 학술지 Mangarevan invention of binary steps for easier calculation 2013-12-16
<sub>[20]</sub> 학술지 Diversity in the Numeral Systems of Australian Languages https://www.jstor.or[...] 2012
<sub>[21]</sub> 웹사이트 http://lullianarts.n[...]
<sub>[22]</sub> 웹사이트 The Advancement of Learning http://home.hiwaay.n[...]
<sub>[23]</sub> 학술지 Binary numeration before Leibniz
<sub>[24]</sub> 학술지 Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem http://page.math.tu-[...]
<sub>[25]</sub> 서적 Leibniz on Number Systems https://link.springe[...] Springer International Publishing 2024-08-20
<sub>[26]</sub> 서적 Explication de l'Arithmétique Binaire, Die Mathematische Schriften http://www.leibniz-t[...]
<sub>[27]</sub> 웹사이트 Bouvet and Leibniz: A Scholarly Correspondence https://gwern.net/do[...]
<sub>[28]</sub> 웹사이트 https://www.leibniz-[...]
<sub>[29]</sub> 서적 Leibniz: A Biography Taylor & Francis
<sub>[30]</sub> 서적 Leibniz: What Kind of Rationalist?: What Kind of Rationalist? https://books.google[...] Springer
<sub>[31]</sub> 서적 Leibniz, Mysticism and Religion https://books.google[...] Springer
<sub>[32]</sub> 서적 An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities https://www.gutenber[...] Cambridge University Press
<sub>[33]</sub> Thesis A symbolic analysis of relay and switching circuits Massachusetts Institute of Technology
<sub>[34]</sub> 웹사이트 National Inventors Hall of Fame – George R. Stibitz http://www.invent.or[...] 2008-08-20
<sub>[35]</sub> 웹사이트 George Stibitz : Bio http://stibitz.denis[...] Math & Computer Science Department, Denison University 2004-04-30
<sub>[36]</sub> 웹사이트 Pioneers – The people and ideas that made a difference – George Stibitz (1904–1995) http://www.kerryr.ne[...] Kerry Redshaw 2006-02-20
<sub>[37]</sub> 웹사이트 George Robert Stibitz – Obituary http://ei.cs.vt.edu/[...] Computer History Association of California 1995-02-06
<sub>[38]</sub> 논문 Konrad Zuse's Legacy: The Architecture of the Z1 and Z3 http://ed-thelen.org[...] 1997-04-01
<sub>[39]</sub> 웹사이트 Introducing binary – Revision 1 – GCSE Computer Science https://www.bbc.com/[...]
<sub>[40]</sub> 서적 Arbeitsbuch Informatik – eine praxisorientierte Einführung in die Datenverarbeitung mit Projektaufgabe https://books.google[...] Vieweg-Verlag, reprint: Springer-Verlag 2013
<sub>[41]</sub> 서적 Informatik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: PC- und Mikrocomputertechnik, Rechnernetze https://books.google[...] Vieweg, reprint: Springer-Verlag 2007-10-04
<sub>[42]</sub> 웹사이트 Base System https://www.chalkstr[...]
<sub>[43]</sub> 기타
<sub>[44]</sub> 기타 Ethnologue: Languages of the World http://www.ethnologu[...]
<sub>[45]</sub> 기타 Ethnologue: Languages of the World http://www.ethnologu[...]
<sub>[46]</sub> 기타 Ethnologue: Languages of the World http://www.ethnologu[...]
<sub>[47]</sub> 서적 Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania http://www.uog.ac.pg[...] Ph.D. thesis, Papua New Guinea University of Technology
<sub>[48]</sub> 서적 ライプニッツ著作集 10 中国学・地質学・普遍学 工作舎
<sub>[49]</sub> 서적 Microcontroller programming : the microchip PIC CRC Press
<sub>[50]</sub> 서적 The Heritage of Thales Springer
<sub>[51]</sub> 기타 The Advancement of Learning http://home.hiwaay.n[...] 1605
<sub>[52]</sub> 논문 A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits http://hdl.handle.ne[...] Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Electrical Engineering
<sub>[53]</sub> 서적 An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach 학산미디어 2013