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기본행렬

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목차

1. 개요

기본 행렬은 기본 행 연산에 해당하는 세 가지 유형의 행렬로, 항등 행렬에 기본 행 연산을 적용하여 얻을 수 있다. 기본 행 연산은 행렬의 행 또는 열에 대한 연산으로, 행 교환, 행 곱셈, 행 덧셈의 세 가지 유형이 있다. 기본 행렬은 행렬의 기본 변형을 나타내며, 행 연산에는 왼쪽 곱셈, 열 연산에는 오른쪽 곱셈을 사용한다. 기본 행 연산은 일차 연립 방정식의 해를 구하거나 가역 행렬을 계산하는 데 활용되며, 행렬의 계수나 행렬식 계산에도 사용된다.

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기본행렬
기본 정보
정의행렬이 항등 행렬과 하나의 기본 행 연산으로만 다른 행렬
기호E
기본 행 연산 유형
유형 1두 행의 교환
유형 2행에 0이 아닌 스칼라 곱하기
유형 3한 행의 스칼라 곱을 다른 행에 더하기
성질
가역성기본 행렬은 가역 행렬이다.
역행렬기본 행렬의 역행렬도 기본 행렬이다.
행렬 변환m × n 행렬 A에 기본 행렬을 곱하면 A에 해당하는 기본 행 연산이 수행된다.
Amxn을 행렬이라고 하자. 그런 다음 기본 연산 E를 Amxn에 적용하여 얻은 결과 행렬은 EA이다. 여기서 EA는 A에 적용된 특정 기본 행 연산에 해당하는 기본 행렬이다.
예시
2 × 2 행렬유형 1: 행렬 }은 (2 × 2) 항등 행렬의 두 행을 교환하여 형성되었다.
유형 2: 행렬 }은 (2 × 2) 항등 행렬의 두 번째 행에 k ≠ 0을 곱하여 형성되었다.
유형 3: 행렬 }은 (2 × 2) 항등 행렬의 두 번째 행에 k배의 첫 번째 행을 더하여 형성되었다.
3 × 3 행렬유형 1: 행렬 }은 (3 × 3) 항등 행렬의 두 번째 행과 세 번째 행을 교환하여 형성되었다.
유형 2: 행렬 }은 (3 × 3) 항등 행렬의 세 번째 행에 k ≠ 0을 곱하여 형성되었다.
유형 3: 행렬 }은 (3 × 3) 항등 행렬의 두 번째 행에 k배의 세 번째 행을 더하여 형성되었다.

2. 기본 행 연산

기본행 연산은 일차연립방정식의 행렬 자체를 바꾸지 않으면서, 가우스 소거법을 통해 계단형 방정식을 얻는 데 사용된다. 기본행 연산은 영어 약자로 "ERO"라고도 하며, 가역행렬을 구하고 이를 통해 단위행렬을 구하는 방법으로 활용된다. 기본 행 연산에는 세 가지 유형이 있으며, 이는 행렬의 행 또는 열에 대한 연산으로 이루어진다.[1]

2. 1. 기본 행 연산의 종류

기본 행 연산에는 다음 세 가지 종류가 있다.[1]

  • 행 교환: 행렬 내의 한 행을 다른 행과 교환한다.

:R_i \leftrightarrow R_j

  • 행 곱셈: 행의 각 요소를 0이 아닌 상수로 곱한다. 이를 행 ''스케일링''이라고도 한다.

:kR_i \rightarrow R_i,\ \mbox{where } k \neq 0

  • 행 덧셈: 한 행을 해당 행과 다른 행의 배수를 더한 값으로 바꾼다.

:R_i + kR_j \rightarrow R_i, \mbox{where } i \neq j

이 연산들은 가우스 소거법을 사용하여 선형 연립 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다.

2. 2. 기본 열 연산

기본 행 연산과 유사하게, 열에 대한 연산도 가능하다. 이는 기본 행 연산에서 행과 열의 역할을 바꾼 것으로 생각할 수 있다. 행렬의 기본 변형 중 열에 관한 변형 세 가지를 묶어 '''열 기본 변형'''이라고 한다. 열 기본 변형은 다음과 같다.

  • '''열 교환(Column Switching):''' 두 열의 위치를 서로 바꾼다.
  • '''열 곱셈(Column Multiplying):''' 한 열에 0이 아닌 상수를 곱한다.
  • '''열 덧셈(Column Addition):''' 한 열에 다른 열의 상수배를 더한다.

3. 기본 행렬

기본 행렬에는 세 가지 유형이 있으며, 이는 세 가지 유형의 기본 행 연산(각각 열 연산)에 해당한다. 기본 행 연산은 다음과 같다.


  • 행 교환: 행렬 내의 한 행을 다른 행과 교환한다.

: R_i \leftrightarrow R_j

  • 행 곱셈: 행의 각 요소를 0이 아닌 상수로 곱한다. 이를 행 ''스케일링''이라고도 한다.

: kR_i \rightarrow R_i,\ \mbox{where } k \neq 0

  • 행 덧셈: 한 행을 해당 행과 다른 행의 배수를 더한 값으로 바꾼다.

: R_i + kR_j \rightarrow R_i, \mbox{where } i \neq j

기본 행 연산을 행렬 A에 적용하려면, A에 기본 행렬을 왼쪽에 곱한다. 즉, EA를 계산한다. 임의의 행 연산에 대한 기본 행렬은 항등 행렬에 해당 연산을 실행하여 얻을 수 있다. 이 사실은 행렬 범주에 적용된 요네다 보조 정리의 한 예로 이해할 수 있다.[1]

기본 행렬은 다음과 같은 ''(n, n)'' 형 행렬이다.

  • ''Pi, j''는 단위 행렬의 ''i'' 행과 ''j'' 행을 바꾼 행렬
  • ''Qi, c''는 단위 행렬의 ''(i, i)'' 성분을 ''c''로 바꾼 행렬
  • ''Ri, j, c''는 단위 행렬의 ''(i, j)'' 성분을 ''c''로 바꾼 행렬


어떤 (''m, n'')형 행렬 ''A''에 기본 행렬을 곱하는 것은 기본 변형을 적용하는 것과 같다.

기본 행렬왼쪽에 곱했을 때 연산오른쪽에 곱했을 때 연산
Pi, ji 행과 j 행 교환i 열과 j 열 교환
Qi, ci 행을 c 배i 열을 c 배
Ri, j, ci 행에 j 행의 c 배를 더함j 열에 i 열의 c 배를 더함



어떤 행렬을 기본 변형을 반복하여 변형하는 것은, 기본 행렬을 반복해서 곱하는 것과 동일하다. 왼쪽에 곱하는 기본 행렬은 (''m, m'')형, 오른쪽에 곱하는 기본 행렬은 (''n, n'')형의 기본 행렬이다.

행에 관한 기본 변형을 '''왼쪽 기본 변형''', 열에 관한 기본 변형을 '''오른쪽 기본 변형'''이라고도 부른다.

3. 1. 행 교환 행렬

단위 행렬에서 두 행을 교환하여 얻는 행렬을 행 교환 행렬이라고 한다. 행렬 $A$에 대한 행 교환 연산은 행 $i$의 모든 행렬 요소와 다른 행 $j$의 대응 요소를 바꾸는 것이다. 이에 해당하는 기본 행렬은 항등 행렬의 행 $i$와 행 $j$를 교환하여 얻는다.

:T_{i,j} = \begin{bmatrix}

1 & & & & & & \\

& \ddots & & & & & \\

& & 0 & & 1 & & \\

& & & \ddots & & & \\

& & 1 & & 0 & & \\

& & & & & \ddots & \\

& & & & & & 1

\end{bmatrix}

따라서 $T_{i,j}A$는 $A$의 행 $i$와 행 $j$를 교환하여 생성된 행렬이다.

행 교환 행렬의 성질은 다음과 같다.

  • 이 행렬의 역행렬은 자기 자신이다: T_{i,j}^{-1} = T_{i,j}.
  • 행렬식은 단위 행렬의 행렬식이 1이므로, \det(T_{i,j}) = -1.이다. 따라서 임의의 정사각 행렬 $A$ (올바른 크기)에 대해, \det(T_{i,j}A) = -\det(A)이다.


순열 행렬은 행 교환 행렬의 한 예이다.

3. 2. 행 곱셈 행렬

행렬 ''A''에 대한 기본 행 연산은 행 ''i''의 모든 요소를 0이 아닌 스칼라 ''m'' (일반적으로 실수)으로 곱하는 것이다. 이에 해당하는 기본 행렬은 대각 행렬이며, ''i''번째 위치를 제외한 모든 위치에서 대각선 항목이 1이고, 해당 위치는 ''m''이다.

:D_i(m) = \begin{bmatrix}

1 & & & & & & \\

& \ddots & & & & & \\

& & 1 & & & & \\

& & & m & & & \\

& & & & 1 & & \\

& & & & & \ddots & \\

& & & & & & & 1

\end{bmatrix}

따라서 D_i(m)A는 행 ''i''를 ''m''으로 곱하여 ''A''에서 생성된 행렬이다.

계수별로, D_i(m) 행렬은 다음과 같이 정의된다.

:

[D_i(m)]_{k,l} = \begin{cases}

0 & k \neq l \\

1 & k = l, k \neq i \\

m & k = l, k= i

\end{cases}

  • 이 행렬의 역행렬은 D_i(m)^{-1} = D_i \left(\tfrac 1 m \right)으로 주어진다.
  • 이 행렬과 역행렬은 대각 행렬이다.
  • \det(D_i(m)) = m이다. 따라서 정사각 행렬 ''A'' (올바른 크기)에 대해, \det(D_i(m)A) = m\det(A)이다.


어떤 행렬에 기본 변형을 적용하는 것은 기본 행렬을 곱하는 것과 동일하다.

어떤 (''m, n'')형 행렬 ''A''에,

  • Q_{i, c} 를 왼쪽에 곱하면, ''i'' 행이 ''c'' 배가 된다.
  • Q_{i, c} 를 오른쪽에 곱하면, ''i'' 열이 ''c'' 배가 된다.


''(n, n)'' 형 행렬 Q_{i, c}는 단위 행렬의 ''(i, i)'' 성분을 ''c''로 바꾼 행렬이다.

3. 3. 행 덧셈 행렬

단위 행렬의 한 행에 다른 행의 상수배를 더하여 얻는 기본행렬이다.[1]

원래 행렬은 다음과 같다.

:

T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad

변형 후 행렬은 다음과 같다.

:

T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}


  • 이 행렬의 역행렬은 L_{ij}(m)^{-1} = L_{ij}(-m).으로 주어진다.[1]
  • 이 행렬과 역행렬은 모두 삼각 행렬이다.[1]
  • \det(L_{ij}(m)) = 1.이다. 따라서, 정방 행렬 (올바른 크기)에 대해 \det(L_{ij}(m)A) = \det(A).이다.[1]
  • 행 추가 변환은 슈타인베르크 관계를 만족한다.[1]


행렬 A에 대한 행 연산은 스칼라 m을 곱한 행 j를 행 i에 더하는 것이다. 이에 해당하는 기본 행렬은 항 (i, j) 위치에 m이 있는 항등 행렬이다.[1]

:L_{ij}(m) = \begin{bmatrix}

1 & & & & & & \\

& \ddots & & & & & \\

& & 1 & & & & \\

& & & \ddots & & & \\

& & m & & 1 & & \\

& & & & & \ddots & \\

& & & & & & 1

\end{bmatrix}[1]

따라서 Lij(m)A는 행 j에 m을 곱하여 행 i에 더함으로써 A에서 생성된 행렬이다.[1]

그리고 ALij(m)는 열 i에 m을 곱하여 열 j에 더함으로써 A에서 생성된 행렬이다.[1]

계수별로, 행렬 Li,j(m)는 다음과 같이 정의된다.[1]

:[L_{i,j}(m)]_{k,l} = \begin{cases}

0 & k \neq l, k \neq i, l \neq j \\

1 & k = l \\

m & k = i, l = j

\end{cases}

이러한 변환은 일종의 전단 변환이며, 전사라고도 알려져 있다.[1]

Ri, j, c는 단위 행렬의 (i, j) 성분을 c로 바꾼 행렬이다. 어떤 행렬 A에 Ri, j, c를 왼쪽에 곱하면, i행에 j행의 c배가 더해진다. Ri, j, c를 오른쪽에 곱하면, j열에 i열의 c배가 더해진다.[1]

4. 기본 행 연산의 성질 및 응용

기본 행 연산은 행렬의 본질적인 성질을 변화시키지 않는다. 기본 행 연산은 가역행렬을 가역 행렬로 변환하며, 역행렬도 보존한다. 행렬의 계수는 기본 행 연산에 의해 변하지 않는다. 기본 행 연산법으로 일차연립방정식의 행렬 자체가 바뀌는 것은 아니며, 가우스 소거법에서 계단형 방정식을 얻기 위해서도 이용된다. 기본 행 연산의 영어식 표기인 "elementary row operations"는 약어로 "ERO"로 표기한다.[1] 이 연산법은 가역행렬을 구하고 이 가역행렬로 다시 단위행렬을 구하기 위한 방법으로 사용된다.[1]

기본 행렬은 정칙 행렬이며, 그 단순한 형태로부터 쉽게 행렬식이나 역행렬을 구할 수 있다. 임의의 (''m, n'')형 행렬은 기본 변형을 반복 적용하여 표준형으로 변형할 수 있으며, 이러한 변형을 얻기 위한 결정적인 절차도 알려져 있다.

표준형은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}

1 & & & & & & &\\

& 1 & & & & & &\\

& & \ddots & & & & &\\

& & & 1 & & & &\\

& & & & 0 & & &\\

& & & & & 0 & &\\

& & & & & & \ddots &\\

& & & & & & &\\

\end{bmatrix}



(''m, n'')형 행렬 ''A''에 기본 변형을 반복 적용하여 위와 같은 표준형 ''F''로 변형되었다고 가정하면, 기본 변형과 기본 행렬의 동치성으로부터, ''p''개의 (''m, m'')형 기본 행렬 ''M''1, ... ''Mp''와 ''q''개의 (''n, n'')형 기본 행렬 ''N''1, ... ''N''q''를 사용하여 아래와 같이 나타낼 수 있다.

:

F = M_1M_2 \cdots M_pAN_1N_2 \cdots N_q



이때, ''A''에 대한 다양한 양을 계산할 수 있다. 행렬의 계수 rank ''A'' = rank ''F''이다. ''m'' = ''n''일 때, ''A''에는 행렬식 det ''A''가 존재한다.

:

A = (M_1M_2 \cdots M_p) ^ {-1}F(N_1N_2 \cdots N_q) ^ {-1}



이므로,

:

\begin{align}

\det A &= \det ((M_1M_2 \cdots M_p) ^ {-1}F(N_1N_2 \cdots N_q) ^ {-1}) \\

&= \det F/\left(\det M_p \cdot \det M_{p - 1} \cdot \dotsm \cdot \det M_1 \cdot \det N_q \cdot \dotsm \cdot \det N_1\right)

\end{align}



이다. ''m'' = ''n'' 이고, ''A'' 가 정칙 행렬일 때, 역행렬 ''A''-1이 존재한다. ''A'' 가 정칙일 때, ''F'' 가 단위 행렬이라는 점에 유의하면,

:

A = (M_1M_2 \cdots M_p) ^ {-1}F(N_1N_2 \cdots N_q) ^ {-1} = (M_1M_2 \cdots M_p) ^ {-1}(N_1N_2 \cdots N_q) ^ {-1}



으로부터,

:

A^{-1} = N_1N_2 \cdots N_qM_1M_2 \cdots M_p



이다.

''A'' 가 정칙일 때, ''p'' 와 ''q'' 중 하나를 0으로 만들 수 있다. 즉, 왼쪽 또는 오른쪽 중 한쪽만의 기본 변형을 반복 적용하여 단위 행렬로 변형할 수 있다. ''q'' = 0이라고 하면,

:

A ^ {-1} = M_1M_2 \cdots M_p



이다. 즉, ''A'' 를 단위 행렬로 변형하는 것과 동일한 변형을 단위 행렬에 적용하여 ''A''-1 을 얻을 수 있다.

5. 선형 방정식계와의 관계

선형 방정식계 ''Ax'' = ''b''에서, ''A''와 ''b''에 동일한 좌측 기본 변환을 적용하여 방정식을 더 쉬운 형태로 변형하여 해를 구할 수 있다. 좌 기본 변형만으로는 일반적으로 표준형까지 변형할 수는 없지만, 선형 방정식계를 푸는데 충분히 간단한 형태로 변형할 수 있다. 이를 실현하는 알고리즘인 가우스 소거법은 이러한 기본 행 연산을 활용하는 대표적인 알고리즘이다.[1]

예시로, 아래 행렬 A와 벡터 b에 대해 ''Ax'' = ''b'' 를 푸는 과정은 다음과 같다.

:

A =

\begin{bmatrix}

2 & 2 & 1 & -3 \\

1 & 2 & 5 & 4 \\


  • 1 & -4 & -14 & -15 \\

\end{bmatrix}

, b = \begin{bmatrix}

4 \\

3 \\

  • 5 \\

\end{bmatrix}



''A'', ''b''에 같은 좌측 기본 변환을 더하여, ''A''를 풀기 쉬운 형태로 변형한다.

단계행렬 A벡터 b
1행과 2행을 교환
2행에 1행의 (-2)배를 더함
3행에 1행을 더함
3행에 2행의(-1)배를 더함
1행에 2행을 더함
2행을 -1/2배 함



위의 변형을 통해 ''Ax = b''는 아래와 같은 동치인 방정식계로 변형된다.

:

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -4 & -7 \\

0 & 1 & \frac 9 2 & \frac {11} 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}

,b

=

\begin{bmatrix}

1 \\

1 \\

0\\

\end{bmatrix}



이 방정식계에서 ''x''3, ''x''4는 자유 변수이므로, ''x''3 = 2α, ''x''4 = 2β 라고 하면,

:

x_2 + \frac 9 2 x_3 + \frac {11} 2 x_4 = 1



:

x_2 = 1 - 9 \alpha - 11 \beta



:

x_1 -4 x_3 - 7 x_4 = 1



:

x_1 = 1 + 8 \alpha + 14\beta



따라서, 해는 다음과 같다.

:

x =

\begin{bmatrix}

1 + 8 \alpha + 14 \beta \\

1 - 9 \alpha - 11 \beta \\

2\alpha \\

2\beta \\

\end{bmatrix}\quad(\alpha, \beta \in \mathbf{K})

[1]


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