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단위행렬

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1. 개요

단위 행렬은 체 K 위의 n × n 정사각 행렬로, 대각선 성분은 모두 1이고 나머지 성분은 0인 행렬이다. 이는 행렬 링의 곱셈 항등원 역할을 하며, 행렬 곱셈 연산 하에서 모든 가역 행렬 n × n 행렬로 구성된 일반 선형군의 항등원 역할을 한다. 단위 행렬은 In 또는 I로 표기하며, 임의의 행렬 A에 대해 IA = AI = A를 만족한다. 단위 행렬은 가역적이며 자기 자신의 역행렬과 같고, 행렬식은 1이며, 스칼라를 곱한 것을 스칼라 행렬이라고 한다.

단위행렬
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목차

2. 정의

체 K 위의 n×n 단위 행렬 1_{n\times n}\in\operatorname{Mat}(n;K)는 다음과 같이 정의된다.

:(1_{n\times n})_{ij}=\delta_{ij}=
\begin{cases}
1&i=j\\
0&i\ne j
\end{cases}
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}

여기서 \delta_{ij}는 크로네커 델타이다. 이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.

:1_{n\times n}=\operatorname{diag}(\underbrace{1,1,1,\dots,1}_n)=
\begin{pmatrix}
1&0&0&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1
\end{pmatrix}_{n\times n}


단위 행렬은 주대각선 성분에 1이 늘어서고, 나머지는 모두 0이 된다. 행렬 요소를 a_{i,j}라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

:a_{i,j} = \left\{ \begin{matrix}
1 &(i=j) \\
0 &(i \ne j)
\end{matrix}\right.

(단, 1, 0은 계수환의 단위원과 영원이다.)

2.1. 예시

작은 크기의 단위 행렬은 다음과 같다.

:1_{1\times 1}=
\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix}


:1_{2\times 2}=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}


:1_{3\times 3}=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}

3. 표기법

단위행렬은 크기가 중요하지 않거나 문맥상 쉽게 알 수 있는 경우, I_n 또는 간단히 I로 표기하는 경우가 많다.

군론이나 양자역학과 같은 일부 분야에서는 단위 행렬을 때때로 굵은 글씨의 1, \mathbf{1}로 표기하거나 "id" (identity의 약자)라고 부르기도 한다.

대각 행렬을 간결하게 설명하기 위해 때때로 사용되는 표기법으로, 단위 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.
I_n = \operatorname{diag}(1, 1, \dots, 1).
단위 행렬은 또한 크로네커 델타 표기법을 사용하여 작성할 수도 있다.
(I_n)_{ij} = \delta_{ij}.

4. 성질

임의의 체 K 위의 m \times n 행렬 A에 대하여 다음 항등식이 성립한다.
:I_{m}A=AI_{n}=A
특히, 단위 행렬은 모든 n \times n 행렬의 행렬 링의 곱셈 항등원 역할을 하며, 행렬 곱셈 연산 하에서 모든 가역 행렬 n\times n 행렬로 구성된 일반 선형군 GL(n)의 항등원 역할을 한다. 단위 행렬은 가역 행렬이며, 자기 자신의 역행렬과 같은 대합 행렬이다. 두 정사각 행렬의 곱이 단위 행렬이 되는 경우는 정확히 서로가 서로의 역행렬일 때이다.

n\times n 행렬이 n차원 벡터 공간에서 자기 자신으로의 선형 변환을 나타내는 데 사용될 때, 단위 행렬 I_n은 이 표현에 사용된 기저에 관계없이 항등 함수를 나타낸다.

단위 행렬의 i번째 열은 e_i이며, i번째 요소가 1이고 나머지는 0인 단위 벡터이다. 단위 행렬의 행렬식은 1이고, 대각합은 n이다.

단위 행렬은 0이 아닌 행렬식을 갖는 유일한 멱등 행렬이다. 즉, 자기 자신과 곱하면 결과가 자기 자신이고, 모든 행과 열이 선형 독립인 유일한 행렬이다.

단위 행렬의 주 제곱근은 자기 자신이며, 이것이 유일한 양의 정부호 행렬 제곱근이다. 그러나 두 개 이상의 행과 열을 가진 모든 단위 행렬은 무한히 많은 대칭 제곱근을 갖는다.

단위 행렬 I_n의 계수는 크기 n과 같다. 즉,
:\operatorname{rank}(I_n) = n이다.

4.1. 추가 성질 (일본어 위키에서)

* 정사각 행렬이다.
* 대각 행렬이다.
* 대칭 행렬이다.
* 역행렬은 자기 자신이다.
* 고윳값은 모두 1이다.
* 특잇값은 모두 1이다.
* 행렬식은 1이다.

5. 스칼라 행렬과의 관련

단위 행렬에 스칼라를 곱한 것을 스칼라 행렬이라고 한다. 스칼라에 스칼라 행렬을 대응시키는 사상이 단사일 경우, 계수환은 행렬 군 (선형 대수군) 또는 행렬환에 부분군·부분환으로 포함되며, 계수환의 중심은 행렬군 또는 행렬환의 중심에 들어간다. 특히 가환체 위의 n차 정방 행렬환의 중심은 포함된 계수체 그 자체이며, 이를 정방 행렬환은 계수체 상에서 중심적이라고 한다.

6. 용어

'단위행렬'이라는 용어도 널리 사용되었지만, 이제는 '단위 행렬'이라는 용어가 표준으로 자리 잡았다. '단위 행렬'이라는 용어는 1로만 이루어진 행렬과 모든 n\times n 행렬의 환의 단위를 지칭하는 데에도 사용되기 때문에 모호하다.