선형 결합

3. 선형생성

임의의 체 ''K''와 벡터 공간 ''V''에 대해, 벡터 '''v'''₁, ..., '''v'''_''n''들의 모든 선형 결합의 집합을 이 벡터들의 선형생성(span)이라고 하고, span(''S'') 또는 sp(''S'')로 표현한다. (여기서 ''S'' = {'''v'''₁, ..., '''v'''_''n''})^[14][15]

: $\backslash operatorname\{span\}(\; \backslash mathbf\; v\_1\; ,\backslash ldots,\; \backslash mathbf\; v\_n)\; :=\; \backslash \{\; a\_1\; \backslash mathbf\; v\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\; \backslash mathbf\; v\_n\; :\; a\_1\; ,\backslash ldots,\; a\_n\; \backslash in\; K\; \backslash \}$

체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V''와 그 유한 부분집합 ''S'' = {''v''₁, ''v''₂, ..., ''v''_''r''}에 대해, ''S''를 포함하는 ''V''의 최소 부분 선형 공간을 span(''S'') 또는 <''S''>로 나타내며, 이는 ''S'' 원소들의 선형 결합 전체와 같다.

: $\backslash operatorname\{span\}(S)\; =\; \backslash langle\; S\; \backslash rangle\; :=$

\{k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r

\mid k_i \in K,\, v_j \in S

\}



이를 벡터 ''v''₁, ''v''₂, ..., ''v''_''r''에 의해 생성되는 부분 공간 또는 ''S''가 ''K'' 위에서 생성하는 부분 공간이라고 하며, ''S''를 이 부분 공간의 생성계라고 한다. 계수를 명시하여 Span_''K''(''S'') 또는 <''S''>_''K''와 같이 표기하기도 한다.

''S''가 무한히 많은 벡터로 이루어진 ''V''의 부분집합일 때, ''S''가 생성하는 부분 공간은 다음과 같다.

: $\backslash operatorname\{span\}(S)\; :=$

\{k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r

\mid k_i \in K,\, v_j \in S,\, \exists r \in \mathbb{N}

\},



즉, ''S''의 유한 개의 벡터의 선형 결합으로 표현되는 벡터 전체가 ''V''의 부분집합이 된다.

''V'' = span(''S'')가 되는 부분집합 ''S'' 중에서 최소인 것을 ''V''의 기저라고 한다. 기저의 농도는 항상 일정하며, 기저의 농도로 벡터 공간의 차원이 정의된다. 예를 들어, ''S'' = {''v''₁, ''v''₂, ..., ''v''_''r''}가 선형 독립인 벡터로 이루어진다면, ''S''는 그것에 의해 생성되는 벡터 공간 span(''S'')의 기저를 이루며, span(''S'')의 차원은 ''r''이 된다.

4. 선형 독립

어떤 벡터 집합 '''v'''₁,...,'''v'''_''n''이 있을 때, 이 벡터들의 선형 결합이 0이 되는 경우가 모든 계수가 0인 경우뿐이라면, 이 벡터들을 '''선형 독립'''이라고 한다. 즉, 다음 식을 만족하는 경우가 모든 $c\_i$가 0일 때뿐이다.^[16][17]

:$\backslash mathbf\; 0\; =\; \backslash sum\_i\; c\_i\; \backslash mathbf\; v\_i.$

주어진 여러 벡터를 서로 다른 벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 없다면, 이 벡터들은 '''선형 독립'''이다. 만약 어떤 벡터 집합이 선형 독립이고, 그 집합의 생성(span)이 전체 벡터 공간 ''V''와 같다면, 이 집합은 ''V''의 기저가 된다.

반대로, 선형 결합이 0이 되는 경우가 모든 계수가 0인 경우 외에도 존재한다면, 이 벡터들은 '''선형 종속'''이라고 한다.

5. 다양한 종류의 선형 결합

선형 결합에서 계수에 특정 제한을 둠으로써, 아핀 결합, 원뿔 결합, 볼록 결합 등과 관련된 개념을 정의할 수 있다. 또한 이러한 연산에 대해 닫힌 집합의 개념도 정의할 수 있다.

이 연산들은 선형 결합보다 더 제한적이므로, 더 많은 부분집합들이 이 연산에 대해 닫혀 있다. 따라서 아핀 부분집합, 볼록 원뿔, 볼록 집합은 벡터 부분 공간을 일반화한 개념이다. 벡터 부분 공간은 아핀 부분 공간, 볼록 원뿔, 볼록 집합이 될 수 있지만, 볼록 집합이 반드시 벡터 부분 공간, 아핀 부분 공간 또는 볼록 원뿔일 필요는 없다.

이러한 개념은 특정한 선형 결합은 가능하지만 모든 선형 결합이 가능하지 않은 경우에 종종 발생한다. 예를 들어, 확률 분포는 볼록 결합에 대해서는 닫혀 있지만(볼록 집합을 형성함), 원뿔 결합이나 아핀 결합(또는 선형 결합)에 대해서는 닫혀 있지 않다. 양의 측도는 원뿔 결합에 대해서는 닫혀 있지만, 아핀 결합이나 선형 결합에 대해서는 닫혀 있지 않으므로, 부호 측도를 선형 폐포로 정의한다.

선형 결합과 아핀 결합은 임의의 체(또는 환) 위에서 정의될 수 있지만, 원뿔 결합과 볼록 결합은 "양수"라는 개념을 전제하므로 순서체(또는 순서환) 위에서만 정의될 수 있으며, 보통은 실수를 사용한다.

덧셈이 아닌 스칼라 곱셈만 허용하면 (반드시 볼록하지는 않은) 원뿔을 얻는다. 종종 양의 스칼라 곱셈만 허용하도록 정의를 제한하기도 한다.

이러한 개념들은 일반적으로 독립적으로 공리화되는 것이 아니라, 주변 벡터 공간의 부분집합으로 정의된다 (아핀 공간은 "원점을 잊은 벡터 공간"으로 간주되기도 한다).

6. 일반화

환 위의 가군에서도 스칼라 곱과 합으로 이루어진 식을 생각하여 일차결합이라고 한다. 두 환 A, B에 대해 아벨 군 M이 (A, B)-양측 가군이라면, M의 원소 x₁, x₂, ..., x_n의 일차결합은

:$a\_1\; x\_1\; b\_1\; +\; a\_2\; x\_2\; b\_2\; +\backslash cdots+\; a\_n\; x\_n\; b\_n$

(a^영어_i ∈ A, b^영어_j ∈ B, i = 1, 2, ...) 와 같은 형태로 쓸 수 있다.^[1]

위상 벡터 공간에서는 무한 선형 결합을 고려할 수 있다. V가 위상 선형 공간이고 V의 무한히 많은 원소로 이루어진 부분집합 S를 생각할 때, S의 원소들의 무한 선형 결합

:$c\_1\; v\_1\; +\; c\_2\; v\_2\; +\backslash cdots$

(c^영어_i ∈ K, v^영어_i ∈ S, i = 1, 2, ...) 중 V의 위상에 관해 수렴하는 것들의 전체를 생각하면, 그것은 S 및 span^영어(S)를 포함하는 최소의 닫힌 부분공간이 된다.^[1]

참조

_[1] 논문
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 논문 Linear combinations
_[5] 논문
_[6] 논문
_[7] 논문
_[8] 논문
_[9] 웹사이트 実ベクトル空間上のベクトルの線型結合と線型スパン | ベクトル | 線型代数 | 数学 | ワイズ https://wiis.info/ma[...]
_[10] 논문
_[11] 논문
_[12] 논문
_[13] 논문 Linear combinations
_[14] 논문
_[15] 논문
_[16] 논문
_[17] 논문