꼬리 시그마 대수

1. 개요

꼬리 시그마 대수는 확률 공간에서 정의되며, 독립적인 시그마 대수들의 열이 주어졌을 때, 유한 개의 앞쪽 원소를 제외한 '꼬리' 부분만으로 그 발생 여부를 결정할 수 있는 사건들을 포함하는 시그마 대수이다. 꼬리 시그마 대수는 콜모고로프 0-1 법칙에 따라 0 또는 1의 확률을 가지며, 이는 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1임을 의미한다. 꼬리 시그마 대수는 독립 확률 변수의 수열에서 극한의 존재 여부와 같은 사건을 포함하며, 가역적 측도 보존 변환, 베르누이 자기 동형 사상, 침투 이론 등 다양한 분야에서 활용된다. 꼬리 시그마 대수는 말단 시그마 대수라고도 불리며, 독립적인 σ-대수열에 대해 정의된다.

2. 정의

다음이 주어졌다고 가정하자.
* 확률 공간 $(\backslash Omega,\backslash mathcal\; F,\backslash Pr)$
* $\backslash mathcal\; F$ 속의 부분 시그마 대수들의 가산 집합 $(\backslash mathcal\; F\_i\backslash subseteq\backslash mathcal\; F)\_\{i\backslash in\; I\}$. (이는 유한 집합 또는 가산 무한 집합일 수 있다.)
또한, $(\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$가 서로 독립이라고 하자. 즉, 임의의 유한 부분 집합 $J\backslash subseteq\; I$에 대하여,
:$\backslash Pr\backslash left(\backslash bigcap\_\{j\backslash in\; J\}S\_j\backslash right)\; =\; \backslash prod\_\{j\backslash in\; J\}\backslash Pr(S\_j)\backslash qquad(\backslash forall\; j\backslash in\; J\backslash colon\; S\_j\backslash in\; \backslash mathcal\; F\_j)$
이다.

이제, 가측 집합 $S\backslash in\backslash mathcal\; F$가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 꼬리 사건(tail event^영어)이라고 한다.
* 임의의 유한 집합 $J\; \backslash subseteq\; I$에 대하여, $S\; \backslash in\; \backslash sigma(\backslash textstyle\backslash bigcup\_\{i\backslash in\; I\; \backslash setminus\; J\}\backslash mathcal\; F\_i)$
꼬리 사건들로 생성되는 시그마 대수를
:$\backslash tau(\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$
라고 하며, $(\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$의 꼬리 시그마 대수라고 한다.
즉, 풀어 쓴다면, 꼬리 사건은 어떤 확률 변수들(로 정의되는 시그마 대수)의 열이 주어졌을 때, 유한 개의 첫 원소를 제외한 나머지 ‘꼬리’만으로도 그 여부를 결정할 수 있는 사건이다.

3. 성질

콜모고로프 0-1 법칙에 따르면, 꼬리 사건의 확률은 0 또는 1이다.

이 정리는 만약 $I$가 유한 집합일 경우 자명하게 참이다. 이 경우 꼬리 시그마 대수 $\backslash tau$는 공집합과 전체 공간만을 원소로 가지는 자명한 시그마 대수 $\backslash sigma(\backslash textstyle\backslash bigsqcup\_\{I\backslash setminus\; I\}\backslash mathcal\; F\_i)\; =\; \backslash sigma(\backslash varnothing)\; =\; \backslash \{\backslash varnothing,\; \backslash Omega\backslash \}$의 부분 시그마 대수가 되기 때문이다.

콜모고로프 0-1 법칙은 보다 일반적으로 독립적인 시그마 대수열에 대해 성립한다. ($\backslash Omega$, F, P)를 확률 공간이라고 하고, F_n을 F에 포함된 독립적인 시그마 대수열이라고 하자. 각 $n$에 대해 F_n, F_n+1, ... 을 포함하는 가장 작은 시그마 대수를
:$G\_n=\backslash sigma\backslash bigg(\backslash bigcup\_\{k=n\}^\backslash infty\; F\_k\backslash bigg)$
라고 정의하면, 꼬리 시그마 대수는 이들의 교집합인 $\backslash mathcal\; T((F\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\})=\backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n$으로 정의된다. 콜모고로프 0-1 법칙은 이렇게 정의된 꼬리 시그마 대수에 속하는 모든 사건 $E\backslash in\; \backslash mathcal\; T((F\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\})$에 대해 그 확률 P(E)는 0 또는 1이라고 주장한다.

이 법칙은 확률 변수의 관점에서도 설명할 수 있다. 각 시그마 대수 F_n을 독립적인 확률 변수 X_n에 의해 생성된 시그마 대수로 생각하자. 이 경우, 꼬리 사건은 모든 X_n에 의해 생성된 시그마 대수 $\backslash sigma\; (X\_1,\; X\_2,\; \backslash ldots\; X\_n,\; \backslash ldots)$에 대해 가측이면서도, 임의의 유한 개의 X_n으로부터 생성되는 시그마 대수와는 독립적인 사건으로 정의된다. 즉, 꼬리 사건은 정확히 꼬리 시그마 대수 $\backslash textstyle\{\backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n\}$의 원소이다. 실제로, 임의의 유한 부분 집합 $\backslash \{j\_1,\; j\_2,\; \backslash ldots,\; j\_l\backslash \}$에 대해
:$A\; \backslash in\; \backslash sigma\; (X\_\{j\_\{1\}\},\; X\_\{j\_\{2\}\},\; \backslash ldots\; ,X\_\{j\_\{l\}\})$
인 사건 $A$와, 꼬리 시그마 대수의 임의의 원소
:$T\; \backslash in\; \backslash textstyle\{\backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n\}\; \backslash subseteq\; G\_\{j\_\{l\}+1\}\; =\; \backslash sigma\; (X\_\{j\_\{l\}+1\},\; X\_\{j\_\{l\}+2\},\; X\_\{j\_\{l\}+3\},\; \backslash ldots\; )$
는 서로 독립이다.

3.1. 증명

임의의 유한 부분 집합 $J\backslash subseteq\; I$에 대하여, 꼬리 시그마 대수 $\backslash tau$는
:$\backslash tau\backslash subseteq\backslash sigma(\backslash textstyle\backslash bigcup\_\{i\backslash in\; I\; \backslash setminus\; J\}\backslash mathcal\; F\_i)$
이므로, $\backslash \{\backslash tau\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash mathcal\; F\_j\backslash \}\_\{j\backslash in\; J\}$는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 독립성은 유한 부분 집합에 대하여 정의되므로,
:$\backslash \{\backslash tau\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash mathcal\; F\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$
는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 특히, $\backslash tau$는
:$\backslash sigma\backslash left(\backslash bigcup\_\{i\backslash in\; I\}\backslash mathcal\; F\_i\backslash right)$
와 독립이다. 그런데
:$\backslash tau\backslash subseteq\backslash sigma\backslash left(\backslash bigcup\_\{i\backslash in\; I\}\backslash mathcal\; F\_i\backslash right)$
이다. 따라서, $\backslash tau$는 스스로와 독립이다. 그 모든 원소 $T\backslash in\; \backslash tau$에 대하여
:$\backslash Pr(T)\; =\; \backslash Pr(T)\backslash Pr(T)$
이며, $x^2\; =\; x$의 두 해는 0 및 1이다. 따라서, $\backslash Pr(T)\; \backslash in\; \backslash \{0,1\backslash \}$이다.

4. 예시

가역적 측도 보존 변환은 0-1 법칙을 따르는 표준 확률 공간에서 콜모고로프 자기 동형 사상이라고 한다. 모든 베르누이 자기 동형 사상은 콜모고로프 자기 동형 사상이지만, 그 반대는 성립하지 않는다. 침투 이론의 맥락에서 무한 클러스터의 존재 여부 역시 0-1 법칙을 따른다.

$\backslash \{X\_n\backslash \}\_n$을 독립적인 확률 변수의 수열이라고 하자. 이때 사건 $\backslash left\backslash \{\backslash lim\; \_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; X\_k\; \backslash text\; \{\; exists\; \}\backslash right\backslash \}$ (즉, 급수의 합이 수렴하는 사건)은 꼬리 사건에 해당한다. 따라서 콜모고로프 0-1 법칙에 따라, 이 사건이 일어날 확률은 0 또는 1이다. 여기서 꼬리 사건 조건을 만족하기 위해서는 확률 변수들의 독립성이 필수적이다. 만약 독립성이 없다면, 예를 들어 각 확률 $\backslash frac\{1\}\{2\}$로 $(0,0,0,\backslash dots)$ 또는 $(1,1,1,\backslash dots)$인 수열을 생각해보자. 이 경우, 합은 확률 $\backslash frac\{1\}\{2\}$로 수렴하게 되어 0-1 법칙이 성립하지 않는다.

콜모고로프 0-1 법칙은 더 일반적으로 독립적인 σ-가법족에 대해 정의될 수 있다. (Ω, *F*, *P*)를 확률 공간이라 하고, *F*_*n* ⊆ *F* (*n*=1,2,...)를 독립적인 σ-가법족의 열이라고 하자.
:$G\_n=\backslash sigma\backslash bigg(\backslash bigcup\_\{k=n\}^\backslash infty\; F\_k\backslash bigg)$
는 *F*_*n*, *F*_*n*+1, … 을 포함하는 가장 작은 σ-가법족이다. 이때 콜모고로프 0-1 법칙은 다음을 말한다: 만약 사건 $F$가 모든 $G\_n$의 교집합, 즉
:$F\backslash in\; \backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n$
에 속한다면 (이러한 사건 $F$를 꼬리 사건이라고 한다), 그 사건의 확률 *P*(*F*)는 반드시 0 또는 1이어야 한다.

확률 변수에 대한 설명은 σ-가법족에 대한 설명에서 각 *F*_*n*을 *X*_*n*으로부터 생성된 σ-가법족으로 설정하면 얻을 수 있다. 이 정의에 따르면, 꼬리 사건족은 전체 확률 변수들로 생성된 σ-가법족
:$\backslash sigma\; (X\_1,\; X\_2,\; \backslash ldots\; X\_n,\; \backslash ldots)$
의 부분 집합족이며, 동시에 임의의 유한한 개수의 *X*_*n*으로부터 생성되는 가법족
:
과는 독립적인 사건들의 모임이다. 즉, 꼬리 사건은 교집합 $\backslash textstyle\{\backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n\}$ 의 원소이다. 실제로, 임의의 사건
:$A\; \backslash in\; \backslash sigma\; (X\_\{j\_\{1\}\},\; X\_\{j\_\{2\}\},\; \backslash ldots\; ,X\_\{j\_\{l\}\})$
와 임의의 꼬리 사건
:$T\; \backslash in\; \backslash textstyle\{\backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n\}\; \backslash subseteq\; G\_\{j\_\{l\}+1\}\; =\; \backslash sigma\; (X\_\{j\_\{l\}+1\},\; X\_\{j\_\{l\}+2\},\; X\_\{j\_\{l\}+3\},\; \backslash ldots\; )$
는 서로 독립이다.

5. 정식화

콜모고로프 영-일 법칙은 독립적인 σ-대수열에 대해 보다 일반적으로 정식화할 수 있다. (Ω, F, P)를 확률 공간이라고 하고, F_n을 F에 포함된 σ-대수열이라고 하자.

:$G\_n=\backslash sigma\backslash bigg(\backslash bigcup\_\{k=n\}^\backslash infty\; F\_k\backslash bigg)$

는 F_n, F_n+1, ...을 포함하는 가장 작은 σ-대수이다. 이 σ-대수열 F_n의 말단 σ-대수(tail σ-algebra)는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathcal\; T((F\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\})=\backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n$

콜모고로프 영일 법칙은 만약 σ-대수열 F_n이 확률적으로 독립적이라면, 말단 σ-대수 $\backslash mathcal\; T((F\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\})$에 속하는 모든 사건 E (이를 꼬리 사건(tail event)이라고도 한다)에 대해 그 확률 P(E)는 0 또는 1 중 하나여야 한다고 주장한다.

이 법칙은 확률 변수의 관점에서도 설명할 수 있다. 각 σ-대수 F_n을 독립적인 확률 변수 X_n에 의해 생성된 σ-대수라고 생각하면 된다. 이 경우, 꼬리 사건은 모든 확률 변수 X_n 전체에 의해 결정되지만, 임의의 유한한 개수의 X_n들과는 독립인 사건으로 이해할 수 있다. 즉, 꼬리 사건은 정확히 말단 σ-대수 $\backslash textstyle\{\backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n\}$의 원소들이다.

예를 들어, 유한 개의 확률 변수 $X\_\{j\_\{1\}\},\; X\_\{j\_\{2\}\},\; \backslash ldots\; ,X\_\{j\_\{l\}\}$로부터 생성된 σ-대수 $\backslash sigma\; (X\_\{j\_\{1\}\},\; X\_\{j\_\{2\}\},\; \backslash ldots\; ,X\_\{j\_\{l\}\})$에 속하는 임의의 사건 A와, l보다 큰 인덱스를 가지는 확률 변수들 $X\_\{j\_\{l\}+1\},\; X\_\{j\_\{l\}+2\},\; \backslash ldots$에만 의존하는 꼬리 사건 T는 서로 독립이다. 이는 T가 $\backslash textstyle\{\backslash bigcap\_\{n=1\}^\backslash infty\; G\_n\}\; \backslash subseteq\; G\_\{j\_\{l\}+1\}\; =\; \backslash sigma\; (X\_\{j\_\{l\}+1\},\; X\_\{j\_\{l\}+2\},\; \backslash ldots\; )$에 속하기 때문이다.