시그마 대수

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1. 개요

시그마 대수는 집합 X의 멱집합의 부분 집합 Σ로, 세 가지 조건을 만족한다. X는 Σ에 속하고, Σ는 여집합과 가산 합집합에 대해 닫혀 있다. 시그마 대수는 가산 교집합에 대해서도 닫혀 있으며, 원소는 가측 집합이라고 불린다. 순서쌍 (X, Σ)는 가측 공간이며, 두 가측 공간 사이의 함수는 가측 함수이다. 시그마 대수는 π-시스템이자 드킨 시스템이며, 측도는 시그마 대수에서 [0, ∞]로의 특정 유형의 함수로 정의된다. 시그마 대수는 σ-집합환과 밀접하게 관련되어 있으며, 추상적 시그마 대수, 시그마 대수 준동형, 시그마 아이디얼 등 다양한 개념이 존재한다. 시그마 대수는 완비 격자, 완비 불 대수, 분배 법칙, 크기, 루미스-시코르스키 표현 정리, 범주론적 성질 등 다양한 성질을 갖는다. 자명한 시그마 대수, 이산 시그마 대수, 보렐 집합 대수 등이 있으며, 생성, 함수에 의해 생성된 시그마 대수, 보렐 시그마 대수, 곱 시그마 대수, 실린더 시그마 대수 등 다양한 방식으로 생성될 수 있다. "시그마 대수"라는 이름의 시그마(σ)는 "가산 무한"을 의미하며, 루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스와 로만 시코르스키에 의해 증명되었다.

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시그마 대수
정의
완전가법족/시그마 대수	공집합을 포함하고 여집합에 닫혀 있으며 가산 합집합에 닫혀 있는 집합족
성질
가산 교집합에 대한 닫힘	시그마 대수는 가산 교집합에 대해 닫혀 있음
차집합에 대한 닫힘	시그마 대수는 차집합에 대해 닫혀 있음
대칭차집합에 대한 닫힘	시그마 대수는 대칭차집합에 대해 닫혀 있음
최소 시그마 대수	임의의 집합족을 포함하는 최소의 시그마 대수가 존재함
예시
보렐 시그마 대수	위상 공간의 열린집합들을 포함하는 최소의 시그마 대수 측도론에서 중요한 역할 수행
르베그 시그마 대수	실수 집합의 르베그 가측 집합들의 모임 보렐 시그마 대수를 포함
자명한 시그마 대수	임의의 집합 X에 대해 {∅, X}는 시그마 대수를 이룸 가장 작은 시그마 대수
멱집합	임의의 집합 X에 대해 X의 모든 부분집합의 모임은 시그마 대수를 이룸 가장 큰 시그마 대수
활용
확률론	사건 공간을 나타내는 데 사용됨
측도론	가측 공간을 정의하는 데 사용됨

2. 정의

집합 $X$ 가 주어졌을 때, 모든 부분 집합에 측도(크기나 부피 등)를 부여하는 것은 선택 공리와 같은 이유로 항상 가능하지는 않다. 예를 들어 실수 직선 상에는 길이를 정의할 수 없는 비탈리 집합 같은 것이 존재한다. 이 때문에 측도를 부여할 수 있는 '특별한' 부분 집합들만 모아 다루는데, 이를 가측 집합이라고 한다. 이러한 가측 집합들의 모임은 특정 연산(여집합, 가산 합집합)에 대해 닫혀 있어야 하는데, 이러한 조건을 만족하는 집합족을 시그마 대수라고 부른다.

집합 $X$ 의 멱집합 $P(X)$ 의 부분 집합 $\Sigma \subseteq P(X)$ 가 다음 세 가지 조건을 만족할 때 '''σ-대수'''(sigma-algebra^eng)라고 한다:^[4]^[13]

# $X \in \Sigma$ (전체 집합 $X$ 는 $\Sigma$ 의 원소이다.)

# $\Sigma$ 는 여집합에 대해 닫혀 있다: 만약 $A \in \Sigma$ 이면, $X \setminus A \in \Sigma$ 이다.

# $\Sigma$ 는 가산 합집합에 대해 닫혀 있다: 만약 $A_1, A_2, A_3, \ldots \in \Sigma$ 이면, $\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \Sigma$ 이다.

일부 정의에서는 첫 번째 조건 대신 ' $\Sigma$ 는 공집합이 아니다'를 사용하기도 한다.^[13] 하지만 두 번째와 세 번째 조건이 만족되면, $\Sigma$ 가 어떤 원소 $A$ 를 포함할 경우 그 여집합 $X \setminus A$ 도 포함하고, 이 둘의 합집합인 $X$ 도 포함하게 되므로, $\Sigma$ 가 공집합만 아니라면 첫 번째 조건( $X$ 포함)은 자동으로 만족된다.^[14]

위의 세 조건으로부터 다음과 같은 성질들을 추가로 유도할 수 있다.

공집합 $\varnothing$ 은 $\Sigma$ 에 속한다. (조건 1에 의해 $X \in \Sigma$ 이고, 조건 2에 의해 $X$ 의 여집합인 $\varnothing$ 도 $\Sigma$ 에 속한다.)
$\Sigma$ 는 가산 교집합에 대해 닫혀 있다. (이는 드 모르간의 법칙을 이용해 증명할 수 있다.)

따라서

X

위에서 가장 작은 σ-대수는

\{X, \varnothing\}

이고, 가장 큰 σ-대수는

X

의 모든 부분 집합의 모임인 멱집합

P(X)

이다.

σ-대수의 원소, 즉

\Sigma

에 속하는 집합들을 가측 집합이라고 한다. 집합

X

와 그 위의 σ-대수

\Sigma

의 순서쌍

(X, \Sigma)

를 가측 공간이라고 부른다. 두 가측 공간 사이의 함수가 가측 함수라는 것은 모든 가측 집합의 원상이 가측 집합이라는 의미이다. 측도는 σ-대수 위에서 정의되는 특별한 함수이다.

σ-대수는 전체 집합

X

를 포함하는 σ-링이다.^[5] 하지만 모든 σ-링이 σ-대수인 것은 아니다. 예를 들어, 실수선

\mathbb{R}

에서 르베그 측도가 0인 집합들의 모임은 σ-링이지만, 전체 집합

\mathbb{R}

(측도가 무한대)을 포함하지 않으므로 σ-대수는 아니다.

2. 1. 추상적 시그마 대수

불 대수

\Sigma

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수를 '''(추상적) 시그마 대수'''((abstract) sigma-algebra|^영어)라고 한다.^[15]^[16]

(가산 상완비성) $\Sigma$ 의 임의의 가산 부분 집합은 상한을 갖는다.
(가산 하완비성) $\Sigma$ 의 임의의 가산 부분 집합은 하한을 갖는다.

2. 2. 시그마 대수 준동형

두 시그마 대수

\Sigma

,

\Sigma'

사이의 '''시그마 대수 준동형'''(sigma-algebra homomorphism^영어)

f\colon\Sigma\to\Sigma'

은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

임의의 가산 부분 집합 $A\subseteq\Sigma$ 에 대하여, $\textstyle f(\bigvee A)=\bigvee f(A)$ 이다. (특히, $A=\varnothing$ 일 경우, $f(\bot_\Sigma)=\bot_{\Sigma'}$ 이다.)
임의의 가산 부분 집합 $A\subseteq\Sigma$ 에 대하여, $\textstyle f(\bigwedge A)=\bigwedge f(A)$ 이다. (특히, $A=\varnothing$ 일 경우, $f(\top_\Sigma)=\top_{\Sigma'}$ 이다.)
임의의 원소 $s\in\Sigma$ 에 대하여, $\textstyle f(\lnot s)=\lnot f(s)$ 이다.

여기서

\top

과

\bot

은 각각 최대 원소와 최소 원소를 뜻한다.

시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주

\operatorname{\sigma Alg}

를 이룬다.

2. 3. 시그마 아이디얼

시그마 대수

\Sigma

의 '''시그마 아이디얼'''(sigma-ideal^영어)은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼

I\subseteq\Sigma

이다.^[15]

가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합 $I'\subseteq I$ 에 대하여, $\textstyle\sup_\Sigma I'\in I$ 이다.

불 대수는 가환환 구조를 가지며, 불 대수의 순서 아이디얼은 환론에서의 아이디얼과 일치한다. 따라서 시그마 아이디얼

I\subseteq\Sigma

가 주어졌을 때, 몫 불 대수

\Sigma/I

를 정의할 수 있다. 이 몫 불 대수는 시그마 대수의 구조를 가지며, 이를 '''몫 시그마 대수'''라고 부른다.^[15]

3. 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

				완비 격자	⇐	완비 헤이팅 대수	⇐	완비 불 대수
								⇓
				⇓		⇓		시그마 대수
								⇓
원순서 집합	⇐	부분 순서 집합	⇐	유계 격자	⇐	헤이팅 대수	⇐	불 대수

시그마 대수 Σ는 정의에 따라 여집합과 가산 합집합 연산에 대해 닫혀 있다. 이로부터 드 모르간의 법칙에 의해 가산 교집합에 대해서도 닫혀 있음을 알 수 있다. 또한, 시그마 대수는 항상 전체 집합 ''X''와 공집합 ∅을 원소로 포함한다.^[14] 어떤 집합 ''A''가 Σ에 속하면, 그 여집합 ''X'' ∖ ''A''도 Σ에 속하며, 이 둘의 합집합 ''A'' ∪ (''X'' ∖ ''A'') = ''X'' 역시 가산 합집합에 대한 닫힘 성질에 의해 Σ에 속하기 때문이다. 전체 집합 ''X''가 Σ에 속하므로, 그 여집합인 공집합 ∅도 Σ에 속한다. 전체 집합을 포함한다는 점이 σ-집합환과의 주요한 차이점이다. 즉, 시그마 대수는 전체 집합 ''X''를 포함하는 σ-집합환이다.

거의 확실한 수렴과 같은 측도 이론의 여러 개념은 집합열의 극한을 다루는데, 시그마 대수는 이러한 극한 연산에 대해 닫혀 있어 중요하다. 집합열 $A_1, A_2, A_3, \ldots$ 의 극한은 다음과 같이 정의된다.

'''상극한''' 또는 '''외측 극한''':

\limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{m=n}^\infty A_m

이는 집합열의 무한히 많은 집합에 속하는 원소들의 모임이다.

'''하극한''' 또는 '''내측 극한''':

\liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty A_m

이는 집합열의 유한 개를 제외한 모든 집합에 속하는 원소들의 모임이다.

시그마 대수는 가산 합집합과 가산 교집합에 대해 닫혀 있으므로, 집합열

(A_n)_{n=1}^\infty

의 모든 원소가 시그마 대수 Σ에 속한다면, 그 상극한과 하극한 역시 Σ에 속한다.

내측 극한은 항상 외측 극한의 부분 집합이다:

\liminf_{n\to\infty} A_n \subseteq \limsup_{n\to\infty} A_n

만약 이 두 집합이 같다면, 집합열의 '''극한'''

\lim_{n\to\infty} A_n

이 존재한다고 하며, 그 값은 상극한 및 하극한과 같다. 이 극한 역시 시그마 대수 Σ에 속한다.

시그마 대수 Σ에 속하는 원소를 '''가측 집합'''이라고 하며, 집합 ''X''와 그 위의 시그마 대수 Σ의 순서쌍

(X, \Sigma)

를 '''가측 공간'''이라고 부른다. 가측 공간 사이의 함수가 가측 함수라는 것은, 임의의 가측 집합의 원상이 가측 집합이 되는 것을 의미한다.

3. 1. 분배 법칙

시그마 대수

\Sigma

의 원소

a,b_0,b_1,\dots\in\Sigma

에 대하여, 다음 분배 법칙이 성립한다.^[16]

:

a\land\bigvee_{i=0}^\infty b_i=\bigvee_{i=0}^\infty(a\land b_i)

:

a\lor\bigwedge_{i=0}^\infty b_i=\bigwedge_{i=0}^\infty(a\lor b_i)

3. 2. 크기

기수

\kappa

에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[17]^[18]^[19]

$|B|=\kappa$ 인 완비 불 대수 $B$ 가 존재한다.
$|B|=\kappa$ 인 시그마 대수 $B$ 가 존재한다.
만약 $\kappa$ 가 무한 기수라면, $\kappa^{\aleph_0}=\kappa$ 이다. 만약 $\kappa$ 가 유한 기수라면, $\kappa=2^n$ 인 기수 $n$ 이 존재한다.

특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상

2^{\aleph_0}

이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. 이는 모든 무한 불 대수가 가산 무한 반사슬을 가지며, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한 또는 하한들의 수가

2^{\aleph_0}

이기 때문이다.

모든 유한 시그마 대수는 유한 불 대수이므로 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합

S

의 멱집합

\mathcal P(S)

와 동형이다.

3. 3. 루미스-시코르스키 표현 정리

'''루미스-시코르스키 표현 정리'''(Loomis–Sikorski representation theorem^영어)에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수

\Sigma

에 대하여,

:

\Sigma\cong\Sigma'/I

가 되는

집합 $X$
시그마 대수 $\Sigma'\subseteq\mathcal P(X)$
$\Sigma'$ 의 시그마 아이디얼 $I\subseteq\Sigma'$

가 존재한다.^[15]^[20]^[21]^[23] 그러나 일반적으로

I=\varnothing

이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.

3. 4. 범주론적 성질

시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다.

4. 예시

집합 $X$ 의 멱집합은 완비 불 대수이므로 시그마 대수가 되는 대표적인 예이다.

위상 공간에서는 열린 집합들의 모임(또는 닫힌 집합들의 모임)으로부터 생성되는 보렐 집합 대수가 중요한 예시로 사용된다. 이 보렐 집합 대수는 일반적으로 전체 집합의 멱집합과는 다르다는 점에 주의해야 한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 르베그 가측 집합이 아니므로 보렐 집합이 될 수 없다.

유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 위에서는 르베그 가측 집합들의 모임이 또 다른 중요한 시그마 대수를 이룬다. 이 시그마 대수는 $\mathbb{R}^n$ 위의 보렐 집합 족보다 더 많은 집합을 포함하며, 완비 측도 공간을 제공한다는 점에서 적분론에 유용하게 활용된다.

또한, 어떤 집합 $X$ 위에 정의된 여러 시그마 대수들의 족 {Σ_''λ''}가 주어졌을 때, 이들의 교집합 $\cap_\lambda \Sigma_\lambda$ 역시 $X$ 위의 시그마 대수가 된다.

4. 1. 측도 공간

가측 공간

(X,\Sigma)

에서,

\Sigma\subseteq\mathcal P(X)

는 정의에 따라

X

의 멱집합

\mathcal P(X)

의 부분 시그마 대수이다.

측도는 집합

X

의 부분 집합에 실수 값을 할당하는 함수로, 집합의 "크기"나 "부피" 개념을 수학적으로 정의한 것으로 볼 수 있다. 중요한 성질은 서로소인 집합들의 합집합의 측도가 각 집합의 측도의 합과 같아야 한다는 점이다. 특히, 가산 무한 개의 서로소 집합에 대해서도 이 성질이 성립하기를 기대한다 (가산가법성).

그러나 모든 부분 집합에 측도를 부여하는 것은 일반적으로 불가능하다. 예를 들어, 선택 공리에 따르면 실수선의 부분 집합에 대해 일반적인 '길이' 개념을 측도로 사용할 때, 비탈리 집합처럼 측도를 정의할 수 없는 집합이 존재한다. 이런 이유로, 측도를 부여할 수 있는 특별한 부분 집합들의 모임, 즉 가측 집합들을 고려하게 된다. 가측 집합들의 모임은 특정 연산에 대해 닫혀 있어야 하는데, 가측 집합의 여집합은 가측 집합이어야 하고, 가측 집합들의 가산 합집합 역시 가측 집합이어야 한다. 이러한 성질을 만족하는, 공집합이 아닌 집합족을 시그마 대수라고 부른다.

집합

X

와 그 위의 시그마 대수

\Sigma

의 쌍

(X, \Sigma)

를 가측 공간이라고 한다.

\Sigma

에 속하는 집합들을 (Σ-)가측 집합이라고 부른다. 가측 공간

(X, \Sigma)

에 측도

\mu

가 주어진 구조를 측도 공간

(X,\Sigma,\mu)

이라고 한다.

측도 공간

(X,\Sigma,\mu)

에서, 측도가 0인 집합, 즉

\mu

-영집합들의 족

:

\operatorname{Null}(X,\Sigma,\mu)=\{S\in\Sigma\colon\mu(S)=0\}

은

\Sigma

의 시그마 아이디얼을 이룬다. 이 시그마 아이디얼에 대한 몫

\Sigma/\operatorname{Null}(X,\Sigma,\mu)

역시 시그마 대수가 된다.

시그마 대수는 σ-링과 밀접한 관련이 있지만, 동일한 개념은 아니다. σ-대수는 전체 집합

X

를 포함하는 σ-링이다.^[5] 모든 σ-링이 σ-대수인 것은 아니다. 예를 들어, 실수선

\mathbb{R}

에서 르베그 측도가 0인 가측 부분 집합들의 모임은 σ-링이지만, 이들의 가산 합집합은 여전히 측도가 0이므로 측도가 무한대인

\mathbb{R}

전체를 포함할 수 없어 σ-대수가 되지 못한다. 반대로,

\mathbb{R}

에서 유한한 르베그 측도를 갖는 가측 부분 집합들의 모임은 집합환이지만, 이들의 가산 합집합으로

\mathbb{R}

전체를 만들 수 있지만

\mathbb{R}

의 측도는 유한하지 않으므로 σ-링이 되지 않는다.

4. 2. 구체적이지 않은 시그마 대수

임의의 집합

X

의 멱집합

\mathcal{P}(X)

는 시그마 대수의 정의를 만족하므로 항상 시그마 대수가 된다. 그러나 모든 시그마 대수가 어떤 집합의 멱집합의 부분 시그마 대수인 것은 아니다.

예를 들어, 폐구간

[0, 1]

의 보렐 시그마 대수

\operatorname{Borel}([0,1])

를 생각해보자. 여기서 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 모임은 시그마 아이디얼

\operatorname{Null}([0,1])

을 형성한다. 이 시그마 아이디얼을 이용하여 정의한 몫 시그마 대수

\operatorname{Borel}([0,1])/\operatorname{Null}([0,1])

는, 어떤 집합

Y

의 멱집합

\mathcal{P}(Y)

의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다는 것이 알려져 있다.^[15]

4. 3. 분리 가능 시그마 대수

'''분리 가능한

\sigma

-대수'''(또는 '''분리 가능한

\sigma

-체''')는 유한 측도

\mu

가 주어졌을 때,

\sigma

-대수

\mathcal{F}

의 두 원소

A, B

사이의 거리를

\rho(A,B) = \mu(A \mathbin{\triangle} B)

로 정의한 거리 공간이 분리 가능 공간이 되는 경우를 말한다. 여기서

\triangle

는 대칭 차이 연산자를 나타낸다.^[6]

가산 집합 모임에 의해 생성된 모든

\sigma

-대수는 분리 가능하지만, 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다. 예를 들어, 르베그

\sigma

-대수는 모든 르베그 가측 집합이 어떤 보렐 집합과 측도 0만큼만 차이나기 때문에 분리 가능하지만, 그 기수가 연속체보다 커서 가산 집합 모임으로는 생성될 수 없다.

분리 가능한 측도 공간은 자연스럽게 의사 거리 공간 구조를 가진다. 이 의사 거리 공간에서 두 집합 사이의 거리는 두 집합의 대칭 차이의 측도로 정의된다. 하지만 서로 다른 두 집합의 대칭 차이의 측도가 0이 될 수도 있으므로, 이렇게 정의된 거리는 엄밀한 의미의 거리가 아닌 의사 거리일 수 있다. 만약 대칭 차이의 측도가 0인 집합들을 하나의 동치류로 간주하면, 이 동치류들의 집합은 유도된 거리에 의해 진정한 거리 공간이 된다. 측도 공간이 분리 가능하면, 이렇게 정의된 거리 공간 역시 분리 가능함이 알려져 있다.

4. 4. 간단한 집합 기반 예시

X

를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은

X

위의 시그마 대수의 몇 가지 예시이다.

공집합 $\varnothing$ 과 전체 집합 $X$ 만으로 이루어진 집합족 $\{\varnothing, X\}$ . 이는 $X$ 위에 정의할 수 있는 가장 작은 시그마 대수이며, '''최소 시그마 대수''' 또는 '''자명한 시그마 대수'''라고 부른다.
$X$ 의 멱집합 $P(X)$ . 이는 $X$ 의 모든 부분 집합을 포함하는 가장 큰 시그마 대수이며, '''이산 시그마 대수'''라고 부른다.
집합 $X$ 의 특정 부분 집합 $A$ 가 주어졌을 때, $\{\varnothing, A, X \setminus A, X\}$ 는 부분 집합 $A$ 에 의해 생성된 가장 간단한 (자명하지 않은) 시그마 대수이다. 여기서 $X \setminus A$ 는 $A$ 의 여집합을 나타낸다.
$X$ 의 가산 부분 집합이거나 여집합이 가산 집합인 $X$ 의 모든 부분 집합들의 모임은 시그마 대수를 이룬다. 이 시그마 대수는 $X$ 가 비가산 집합일 경우 $X$ 의 멱집합 $P(X)$ 와 다르며, $X$ 의 모든 단일 원소 집합(싱글톤)들로부터 생성된다. ("가산"은 유한 집합 또는 공집합을 포함하는 개념이다.)
$X$ 의 가산 분할을 이루는 집합들의 모든 가능한 합집합들의 모임은 시그마 대수를 형성한다.

일반적으로,

X

의 어떤 부분 집합족

F \subseteq P(X)

가 주어졌을 때,

F

를 포함하는 가장 작은 시그마 대수가 유일하게 존재한다. 이를

F

에 의해 '''생성된 시그마 대수'''라 하고

\sigma(F)

로 표기한다. 예를 들어,

X = \{1, 2, 3\}

이고

F = \{\{1\}\}

일 때,

F

에 의해 생성된 시그마 대수는

\sigma(F) = \sigma(\{1\}) = \{\varnothing, \{1\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}

이다. 기호 남용으로, 단일 집합

A

로 생성된 시그마 대수는

\sigma(\{A\})

대신

\sigma(A)

로 쓰기도 한다.

4. 5. 멈춤 시간 시그마 대수

멈춤 시간

\tau

는

\sigma

-대수

\mathcal{F}_\tau

를 정의하며, 이를 멈춤 시간 시그마 대수라고 부른다. 이는 여과 확률 공간에서 임의의 시간

\tau

까지의 정보를 설명한다. 즉, 여과 확률 공간을 무작위 실험으로 해석할 때, 실험을 시간

\tau

까지 임의로 반복하여 얻을 수 있는 최대 정보는

\mathcal{F}_{\tau}

이다.^[7]

5. 생성

π-λ 정리는 특정 시그마 대수의 속성에 대한 많은 결과를 증명하는 데 필수적인 도구이다. 이는 두 개의 더 간단한 집합 클래스, 즉 π-시스템 $P$ (유한 교집합에 닫힌 집합족)와 λ-시스템 $D$ ( $X$ 를 포함하고 여집합과 상호소 가산 합집합에 닫힌 집합족)의 특성을 활용한다. Dynkin의 π-λ 정리에 따르면, 만약 $P$ 가 π-시스템이고 $D$ 가 $P$ 를 포함하는 Dynkin 시스템이면, $P$ 에 의해 생성된 시그마 대수 $\sigma(P)$ 는 $D$ 에 포함된다 ( $\sigma(P) \subseteq D$ ). 이는 복잡한 $\sigma(P)$ 전체에 대해 속성을 직접 증명하는 대신, 더 간단한 $P$ 와 $D$ 의 성질을 이용하여 $\sigma(P)$ 의 모든 원소가 특정 속성을 가짐을 보이는 데 사용된다. 예를 들어, 확률 변수 $X$ 의 분포 $\mathbb{P}(X\in A)$ 와 르베그-스틸체스 적분 $\int_A \,F(dx)$ (여기서 $F$ 는 $X$ 의 누적 분포 함수)가 모든 보렐 집합 $A$ 에 대해 동일함을 보이는 데 사용될 수 있다.

집합 $X$ 의 부분 집합들의 임의의 집합족 $F$ 가 주어졌을 때, $F$ 의 모든 원소를 포함하는 가장 작은 시그마 대수가 유일하게 존재한다. 이를 ''' $F$ 에 의해 생성된 시그마 대수'''라고 부르며 $\sigma(F)$ 로 표기한다. $\sigma(F)$ 는 $F$ 를 포함하는 모든 시그마 대수들의 교집합과 같다.

$\sigma(F) = \bigcap \{\Sigma \mid \Sigma \text{는 } X \text{ 위의 시그마 대수이고 } F \subseteq \Sigma\}$

만약 $F$ 가 공집합 $\varnothing$ 이면, $\sigma(\varnothing) = \{\varnothing, X\}$ 이다. 그렇지 않다면, $\sigma(F)$ 는 $F$ 의 원소들로부터 시작하여 여집합, 가산 합집합, 가산 교집합 연산을 유한 번 또는 가산 무한 번 적용하여 만들 수 있는 모든 $X$ 의 부분 집합들로 구성된다.

예를 들어, 집합 $X = \{1, 2, 3\}$ 에서 부분 집합 $\{1\}$ 하나만으로 생성된 시그마 대수는 다음과 같다.

$\sigma(\{1\}) = \{\varnothing, \{1\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$

표기의 편의상, 집합족이 하나의 원소 $A$ 만 가질 때는 $\sigma(\{A\})$ 대신 $\sigma(A)$ 라고 쓰기도 하며, 여러 원소 $A_1, A_2, \dots$ 를 가질 때는 $\sigma(\{A_1, A_2, \dots\})$ 대신 $\sigma(A_1, A_2, \dots)$ 라고 쓰기도 한다.

시그마 대수들의 모임 $\textstyle\left\{\Sigma_\alpha : \alpha \in \mathcal{A}\right\}$ 이 주어졌을 때, 이들의 교집합 $\textstyle\bigwedge_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha = \bigcap_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha$ 역시 시그마 대수가 된다. 반면, 시그마 대수들의 합집합 $\textstyle\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha$ 는 일반적으로 시그마 대수가 아니지만, 이 합집합을 포함하는 가장 작은 시그마 대수, 즉 '결합'을 생성한다.

$\bigvee_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha = \sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right)$

확률론에서는 특정 대상에 의해 생성된 시그마 대수가 자주 사용된다. 확률 공간 $(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$ 가 주어졌다고 하자.

확률 변수( $n=1$ ) 또는 '''확률 벡터'''( $n > 1$ ) $Y:\Omega\to\Reals^n$ 가 $\Reals^n$ 의 보렐 시그마 대수 $\mathcal{B}(\Reals^n)$ 에 대해 가측일 때, $Y$ 에 의해 생성된 시그마 대수는 다음과 같이 정의된다.

\sigma(Y) = \left\{Y^{-1}(A) : A \in \mathcal{B}\left(\Reals^n\right)\right\}

이는

Y

의 값에 대한 정보를 담고 있는

\Omega

의 부분 집합들로 이루어진 가장 작은 시그마 대수이다.

확률 과정 $Y : \Omega\to X \subseteq \Reals^\mathbb{T}$ 가 $X$ 의 실린더 시그마 대수 $\sigma(\mathcal{F}_X)$ 에 대해 가측일 때, $Y$ 에 의해 생성된 시그마 대수는 다음과 같다.

\sigma(Y) = \left\{Y^{-1}(A) : A \in \sigma\left(\mathcal{F}_X\right)\right\} = \sigma\left(\left\{Y^{-1}(A) : A \in \mathcal{F}_X\right\}\right)

이는 확률 과정의 경로(실현)에 대한 정보를 나타내는 시그마 대수이다.

5. 1. 함수에 의해 생성된 시그마 대수

만약

f

가 집합

X

에서 집합

Y

로의 함수이고,

B

가

Y

의 부분 집합의

\sigma

-대수이면, 함수 $f$ 에 의해 생성된 $\sigma$ -대수

\sigma (f)

는

B

의 집합

S

의 모든 역상

f^{-1} (S)

의 모음이다. 즉,

\sigma (f) = \left\{f^{-1}(S) \, : \, S \in B\right\}.

집합

X

에서 집합

Y

로의 함수

f

는

X

의 부분 집합의

\sigma

-대수

\Sigma

에 관하여 측정가능하려면,

\sigma(f)

가

\Sigma

의 부분 집합이어야 한다. 즉,

\sigma(f) \subseteq \Sigma

여야 한다.

흔히 사용되는 일반적인 상황 중 하나는,

B

가 명시적으로 지정되지 않은 경우이다. 이때

Y

가 거리 공간 또는 위상 공간이고

B

가

Y

의 보렐 집합의 모음인 것으로 간주한다.

만약

f

가

X

에서

\Reals^n

으로의 함수이면,

\sigma(f)

는

\Reals^n

의 구간 또는 직사각형의 역상인 부분 집합들의 모임에 의해 생성된다.

\sigma(f) = \sigma\left(\left\{f^{-1}(\left[a_1, b_1\right] \times \cdots \times \left[a_n, b_n\right]) : a_i, b_i \in \Reals\right\}\right).

유용한 속성 중 하나는 다음과 같다.

f

가

\left(X, \Sigma_X\right)

에서

\left(S, \Sigma_S\right)

로의 측정가능 맵이고,

g

가

\left(X, \Sigma_X\right)

에서

\left(T, \Sigma_T\right)

로의 측정가능 맵이라고 가정하자. 만약 모든

x

에 대해

f(x) = h(g(x))

를 만족하는

\left(T, \Sigma_T\right)

에서

\left(S, \Sigma_S\right)

로의 측정가능 맵

h

가 존재한다면,

\sigma(f) \subseteq \sigma(g)

이다. 만약

S

가 유한하거나 가산 무한하거나, 더 일반적으로

\left(S, \Sigma_S\right)

가 표준 보렐 공간이라면 (예를 들어, 보렐 집합과 관련된 분리 가능한 완비 거리 공간), 그 역도 성립한다.^[8] 표준 보렐 공간의 예로는 보렐 집합을 갖는

\Reals^n

과 실린더

\sigma

-대수를 갖는

\Reals^\infty

가 있다.

5. 2. 보렐 시그마 대수

임의의 위상 공간에서 중요한 시그마 대수의 예시로 보렐 시그마 대수 (또는 보렐 집합족)가 있다.^[5] 이는 위상 공간의 모든 열린 집합들 (또는 이와 동등하게, 모든 닫힌 집합들)을 포함하는 가장 작은 시그마 대수를 의미한다. 즉, 열린 집합들로부터 시작하여 가산 합집합, 가산 교집합, 여집합 연산을 유한 번 또는 가산 무한 번 반복하여 만들 수 있는 모든 집합들의 모임이 보렐 시그마 대수가 된다.

보렐 시그마 대수는 해당 공간의 모든 부분집합을 원소로 가지는 멱집합과는 일반적으로 구별된다. 즉, 어떤 위상 공간에서는 보렐 시그마 대수에 속하지 않는 부분집합이 존재할 수 있다. 모든 부분집합이 보렐 집합인 것은 아니라는 의미이다. 이러한 집합의 대표적인 예로는 비탈리 집합이 알려져 있다.

유클리드 공간 '''R'''^''n''에서는 보렐 시그마 대수 외에도 중요한 시그마 대수가 존재하는데, 바로 르베그 가측 집합 전체의 모임이다. 이 르베그 가측 집합들의 시그마 대수는 '''R'''^''n''의 보렐 시그마 대수를 진부분집합으로 포함한다. 다시 말해, 모든 보렐 집합은 르베그 가측 집합이지만, 르베그 가측이면서 보렐 집합이 아닌 집합도 존재한다. 르베그 가측 집합들의 시그마 대수는 측도론과 적분 이론에서 매우 중요하게 다루어지는데, 이는 르베그 측도에 대해 완비성이라는 좋은 성질을 만족시키기 때문이다.

5. 3. 곱 시그마 대수

두 가측 공간

(X_1, \Sigma_1)

과

(X_2, \Sigma_2)

가 주어졌을 때, 이들의 곱 공간

X_1 \times X_2

에 대한 시그마 대수를 정의할 수 있다. 이를 '''곱 시그마 대수'''(product σ-algebra)라고 하며,

\Sigma_1 \times \Sigma_2

로 표기한다. 곱 시그마 대수는 각 공간의 가측 집합들의 곱으로 이루어진 "직사각형" 형태의 집합들, 즉

\{B_1 \times B_2 : B_1 \in \Sigma_1, B_2 \in \Sigma_2\}

을 모두 포함하는 가장 작은 시그마 대수로 정의된다.

\Sigma_1 \times \Sigma_2 = \sigma\left(\left\{B_1 \times B_2 : B_1 \in \Sigma_1, B_2 \in \Sigma_2\right\}\right)

여기서

\sigma(\mathcal{A})

는 집합족

\mathcal{A}

에 의해 생성된 시그마 대수, 즉

\mathcal{A}

를 포함하는 가장 작은 시그마 대수를 의미한다. 이 곱 시그마 대수를 생성하는 직사각형 집합족

\{B_1 \times B_2 : B_1 \in \Sigma_1, B_2 \in \Sigma_2\}

는 π-시스템이다. 이는 이 집합족에 속하는 두 집합의 교집합 역시 같은 형태의 집합, 즉

(B_1 \times B_2) \cap (B'_1 \times B'_2) = (B_1 \cap B'_1) \times (B_2 \cap B'_2)

이므로, 다시 이 집합족에 속하기 때문이다.

예를 들어, n-차원 유클리드 공간

\Reals^n

에서의 보렐 시그마 대수

\mathcal{B}(\Reals^n)

는 곱 시그마 대수의 중요한 예시이다. 이는 각 차원에서의 보렐 시그마 대수

\mathcal{B}(\Reals)

를 n번 곱한 것과 같다.

\mathcal{B}(\Reals^n)

는 다음과 같은 두 가지 형태의 직사각형 집합족에 의해 생성될 수 있다.

1. 반무한 구간들의 곱:

\mathcal{B}(\Reals^n) = \sigma \left(\left\{(-\infty, b_1] \times \cdots \times (-\infty, b_n] : b_i \in \Reals\right\}\right)

2. 유한 구간들의 곱:

\mathcal{B}(\Reals^n) = \sigma\left(\left\{\left(a_1, b_1\right] \times \cdots \times \left(a_n, b_n\right] : a_i, b_i \in \Reals\right\}\right)

이 두 경우 모두, 보렐 시그마 대수를 생성하는 집합족(반무한 직사각형 집합족, 유한 직사각형 집합족) 역시 π-시스템임을 확인할 수 있다.

5. 4. 실린더 시그마 대수

X \subseteq \Reals^{\mathbb{T}} = \{f : f(t) \in \Reals,\ t \in \mathbb{T}\}

를 실수 값을 갖는 함수의 집합이라 하자.

\mathcal{B}(\Reals)

는

\Reals

의 보렐 집합을 나타낸다.

X

의 원통 집합은 유한 개의 인덱스

t_1, \dots, t_n \in \mathbb{T}

와 보렐 집합

B_1, \dots, B_n \in \mathcal{B}(\Reals)

에 대해 다음과 같이 정의된다.

C_{t_1,\dots,t_n}(B_1,\dots,B_n) = \left\{f \in X : f(t_i) \in B_i, 1 \leq i \leq n\right\}.

각각의 유한한 인덱스 집합

\{t_1, \dots, t_n\} \subset \mathbb{T}

에 대해, 다음과 같은 원통 집합들의 모임

\left\{C_{t_1,\dots,t_n}\left(B_1, \dots, B_n\right) : B_i \in \mathcal{B}(\Reals), 1 \leq i \leq n\right\}

은 π-계이며, 이는 σ-대수

\textstyle\Sigma_{t_1, \dots, t_n}

를 생성한다. 이러한 모든 유한 생성 σ-대수들의 합집합

\mathcal{F}_X = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{t_i \in \mathbb{T},i \leq n}\Sigma_{t_1, \dots, t_n}

은 대수를 이루며, 이 대수에 의해 생성되는 σ-대수를

X

에 대한 '''원통 σ-대수'''라고 한다. 이 원통 σ-대수는

\Reals^{\mathbb{T}}

에 곱 위상을 부여했을 때, 그 보렐 σ-대수를

X

에 제한하여 얻는 σ-대수의 부분 σ-대수가 된다.

중요한 특수한 경우로

\mathbb{T}

가 자연수의 집합이고

X

가 실수 값 수열의 집합인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 처음

n

개의 좌표에 대한 원통 집합

C_n\left(B_1, \dots, B_n\right) = \left(B_1 \times \cdots \times B_n \times \Reals^\infty\right) \cap X = \left\{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n,x_{n+1},\ldots\right) \in X : x_i \in B_i ,1 \leq i \leq n\right\}

들을 고려하는 것으로 충분하다. 이 집합족으로부터 생성되는 σ-대수를

\Sigma_n

이라 하면,

\Sigma_n = \sigma\left(\{C_n\left(B_1, \dots, B_n\right) : B_i \in \mathcal{B}(\Reals), 1 \leq i \leq n\}\right)

(\Sigma_n)_{n=1}^\infty

은 증가하는 σ-대수의 열(filtration)을 이룬다.

6. 역사와 어원

"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다.^[22] 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합의 상한과 하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다.

루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(Lynn Harold Loomis^영어, 1915~1994)^[23]와 로만 시코르스키(Roman Sikorski^pl, 1925~1983)^[24]가 증명하였다.

참조

_[1] 서적 Maß- Und Integrationstheorie https://doi.org/10.1[...] Springer Spektrum Berlin, Heidelberg 2018
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_[3] 서적 Probability and Measure Wiley 2012
_[4] 서적 Real & Complex Analysis McGraw-Hill
_[5] 서적 The Theory of Measures and Integration John Wiley & Sons
_[6] 저널 Properties of the class of measure separable compact spaces https://archive.uea.[...]
_[7] 저널 On simple representations of stopping times and stopping time sigma-algebras https://dx.doi.org/1[...]
_[8] 서적 Foundations of Modern Probability Springer
_[9] 서적 Weak Convergence and Empirical Processes https://doi.org/10.1[...] Springer New York 1996
_[10] 문서 接頭辞 "σ" は「可算加法的」("completely additive") であることを示すのにしばしば用いられる。また、完全加法族では可算加法性と可算乗法性が補集合を取る操作を通じて同値になるので区別されないが、（[[乗法族]]における）積の可算性が δ- を用いることによって表される場合がある（δ-乗法族）。例えば、σ-集合環と δ-集合環など。[[Gδ集合|''G''_δ-集合]]と[[Fσ集合|''F''_σ-集合]]の項も参照。
_[11] 서적 ルベーグ積分入門
_[12] 문서 何をもとに公理化するかといった意識の違いから、名称の違いのみならず、いくつかの見た目の異なる定義が採用されることがあるが、結局は同値な概念であることが確かめられる。
_[13] 서적 Real & Complex Analysis McGraw-Hill
_[14] 문서 初めから、「Σ は空でない」という条件の代わりに「Σ は空集合を含む」あるいは「Σ は全体集合 ''X'' を含む」という仮定をおく文献もある。例えば{{harvtxt|伊藤|1963}} は σ-加法族の定義として「Σ は空集合を含む」を仮定する。
_[15] 서적 An epsilon of room I: real analysis. Pages from year three of a mathematical blog https://terrytao.fil[...] American Mathematical Society 2010
_[16] 저널 Categorical geometry and integration without points 2014-02
_[17] 저널 A note on complete Boolean algebras 1958
_[18] 저널 Cardinality of 𝔨-complete Boolean algebras http://msp.org/pjm/1[...] 2016-07-05
_[19] 저널 Counting Boolean algebras 1971
_[20] 서적 Boolean algebras in analysis http://www.math.nsc.[...] Springer-Verlag 2002
_[21] 서적 Lattice theory American Mathematical Society 1967
_[22] 서적 An introduction to measure theory https://terrytao.fil[...] American Mathematical Society 2011
_[23] 저널 On the representation of σ-complete Boolean algebras 1947
_[24] 저널 On the representation of Boolean algebras as fields of sets http://pldml.icm.edu[...] 2016-07-05

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