맨위로가기

가측 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

가측 공간은 집합 X와 X 위의 시그마 대수 Σ로 구성된 순서쌍 (X, Σ)이다. Σ의 원소를 X의 가측 집합이라고 부르며, 측도 공간과는 달리 측도가 필요하지 않다. 분리 가측 공간은 서로 다른 두 점 x, y에 대해 x를 포함하고 y를 포함하지 않는 가측 집합이 존재하는 가측 공간이다. 가측 공간의 가측 집합의 수는 2의 거듭제곱 꼴이거나 2의 알레프-0승 이상이다. 딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리는 시그마 대수를 생성하는 데 중요한 역할을 한다. 가측 집합과 가측 함수의 범주는 구체적 범주이며, 시작 대상은 공집합, 끝 대상은 한원소 집합이다. 가측 공간의 예시로는 자명 가측 공간, 이산 가측 공간, 분할에 의해 정의되는 가측 공간 등이 있으며, 유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 집합의 분할과 일대일 대응한다. 위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 보렐 시그마 대수를 이루며, 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이 분리 가측 공간인 것은 위상 공간이 콜모고로프 공간인 것과 동치이다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 공간 (수학) - 사영 공간
    사영 공간은 공면선 교차점 공식화, 원근법 연구, 벡터 공간의 벡터 선 집합 등으로 정의되며, 대수기하학, 위상수학 등 다양한 분야에서 중요한 대수적 개념이다.
  • 공간 (수학) - 아핀 공간
    아핀 공간은 벡터 공간에서 원점 개념을 제외한 기하학적 구조로, 벡터 공간이 정추이적으로 작용하는 집합이며, 유클리드 공간의 일반화된 형태이고 사영 공간과 밀접한 관계를 가진다.
  • 집합족 - 집합의 분할
    집합의 분할은 주어진 집합을 서로소인 부분 집합들로 나누는 것이며, 동치 관계와 밀접하게 관련되어 있고, 벨 수로 표현되며, 플레잉 카드를 나누는 것과 같은 예시가 있다.
  • 집합족 - 하이퍼그래프
    하이퍼그래프는 그래프를 일반화하여 하나의 에지가 여러 정점을 연결할 수 있는 구조로, 만족 문제, 데이터베이스, 머신 러닝 등 다양한 분야에 활용되며, 방향성에 따라 무방향과 방향 하이퍼그래프로 구분되고, 모든 하이퍼에지 크기가 동일한 k-균일 하이퍼그래프는 여러 응용 분야에서 유용하다.
  • 측도론 - 디랙 델타 함수
    디랙 델타 함수는 원점에서 무한대 값을 갖고 그 외 지점에서 0의 값을 갖는 수학적 개념으로, 분포 또는 측도로 정의되며, 순간적인 충격이나 점 형태 현상 모델링에 활용되고 푸리에 변환, 스케일링, 평행 이동 등의 성질을 가진다.
  • 측도론 - 바이어슈트라스 함수
    바이어슈트라스 함수는 특정 조건의 상수 ab를 사용하여 f(x)= \sum_{n=0}^\infin a^n\cos (b^n\pi x)와 같은 무한 급수 형태로 정의되며 모든 점에서 연속이지만 어느 곳에서도 미분 불가능한 자기 유사성을 지닌 최초로 연구된 프랙탈 중 하나이다.
가측 공간

2. 정의

가측 공간은 집합 XX 위의 시그마 대수 \Sigma로 구성된 순서쌍 (X, \Sigma)이다.[3] \Sigma의 원소를 X의 '''가측 집합'''이라고 한다. 측도 공간과는 다르게, 가측 공간에는 측도가 필요하지 않다.

\Sigma시그마 대수이므로 다음 두 조건을 만족시킨다.


  • (여집합에 대한 닫힘) 모든 S\in\Sigma에 대하여, X\setminus S\in\Sigma이다.
  • (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분 집합 \mathcal S\subseteq\Sigma (|\mathcal S|\le\aleph_0)에 대하여, \textstyle\bigcup\mathcal S\in\Sigma이다. (특히, 만약 \mathcal S=\varnothing일 경우 \textstyle\bigcup\varnothing=\varnothing\in\Sigma이다.)

2. 1. 분리 가측 공간

가측 공간 (X,\Sigma)에서 임의의 두 점 x,y\in X (x\ne y)에 대하여, x\in S\not\ni yS\in\Sigma가 존재하면, 이 가측 공간을 '''분리 가측 공간'''(separated measurable space영어)이라고 한다.

3. 성질

임의의 가측 공간에서 공집합과 전체 집합은 항상 가측 집합이다.[3]

측도 공간과는 대조적으로, 가측 공간에는 측도가 필요하지 않다는 점에 유의해야 한다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

집합 X 위의 1개 이상(유한 또는 무한 개)의 임의의 가측 공간 구조들 \{\Sigma_i\}이 주어졌을 때, 그 교집합

:\bigcap_{i\in I}\Sigma_i

역시 X 위의 가측 공간 구조이다.[5] (그러나 이는 합집합에 대하여 성립하지 않는다.)

따라서, 임의의 집합족 \mathcal F\subseteq\mathcal P(X)에 대해, \mathcal F의 원소들을 가측 집합으로 하는 가장 엉성한 가측 공간 구조가 존재한다.[5] 구체적으로, 이는 \mathcal F를 포함하는 가측 공간 구조들의 교집합이다. 이를 \sigma(\mathcal F)로 표기한다.

따라서, 주어진 집합 X 위의 가측 공간 구조들의 족은 완비 격자를 이룬다.

3. 2. 크기

가측 공간 (X, \Sigma)의 가측 집합의 수는 항상 2^n 꼴의 양의 정수이거나, 2^{\aleph_0} 이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다.[4]

집합 X의 집합족 \mathcal A \subseteq \mathcal P(X)에 대하여, \mathcal A로부터 생성되는 가측 공간 구조 \sigma(\mathcal A)의 크기의 상계는 다음과 같다.[5]

:|\sigma(\mathcal A)| \le |\mathcal A|^{\aleph_0}

이는 \sigma(\mathcal A)를 초한 귀납법으로 구성할 때 \omega_1번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 \omega_1은 최소의 비가산 순서수이다.)

3. 3. 딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리

딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리는 시그마 대수를 생성하는 방법에 대한 중요한 정리이다. 이 정리들은 특정한 조건을 만족하는 집합족으로부터 시그마 대수를 생성할 수 있음을 보여준다.[6]

집합 X 속의 집합족 \mathcal A\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, 다음이 성립한다.

  • ('''딘킨 π-λ 정리''', Dynkin π–λ theorem영어) \mathcal A가 π 조건을 만족시킨다면, \mathcal A로부터 생성되는, λ 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.[6]
  • ('''단조류 정리''', monotone class theorem영어) \mathcal A가 π′ 조건을 만족시킨다면, \mathcal A로부터 생성되는, λ′ 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.[6]

3. 4. 범주론적 성질

가측 집합과 가측 함수의 범주 \operatorname{Measble}구체적 범주

:F\colon\operatorname{Measble}\to\operatorname{Set}

:F\colon(X,\Sigma)\mapsto X

를 이루며, F위상 함자이다. 따라서, \operatorname{Measble}완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다.

\operatorname{Measble}의 시작 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 공집합이며, \operatorname{Measble}의 끝 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 한원소 집합이다.

4. 예

임의의 집합 X에 대해, 다음과 같은 가측 공간 구조를 정의할 수 있다.


  • 양의 정수가 아닌 임의의 기수 \kappa에 대하여, X의 부분집합 중 크기가 \kappa 이하이거나 그 여집합의 크기가 \kappa 이하인 집합들의 족 \left\{S\subseteq X|\min\

4. 1. 유한 집합 위의 시그마 대수

유한 집합 X 위의 모든 가측 공간 구조는 X분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할과 일대일 대응하며, 크기가 n=0,1,2,\dots인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수

:1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …

이다.

예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 \{a,b,c\} 위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다.

분할가측 집합비고
{a, b, c}{}, {a, b, c}자명 가측 공간
{a}, {b, c}{}, {a}, {b, c}, {a, b, c}
{a, b}, {c}{}, {a, b}, {c}, {a, b, c}
{a, c}, {b}{}, {a, c}, {b}, {a, b, c}
{a}, {b}, {c}{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}이산 가측 공간


4. 2. 보렐 시그마 대수

위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 '''보렐 시그마 대수'''라고 한다.

위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

만약 X위상 공간이라면, 시그마 대수는 흔히 보렐 시그마 대수이므로, \mathcal{F} = \mathcal B(X)이다. 이는 실수 \R과 같은 모든 위상 공간에 공통적인 가측 공간 (X, \mathcal B(X))로 이어진다.

5. 관련 개념

측도 공간은 가측 공간에 측도가 주어진 경우이다.[3]

참조

[1] 간행물 Measurable space
[2] 서적 Random Measures, Theory and Applications Springer
[3] 서적 Probability Theory https://archive.org/[...] Springer
[4] 웹인용 Why aren't there infinitely countable sigma-algebras? http://www.yaronhada[...] 2012-09-06
[5] 서적 An introduction to measure theory https://terrytao.fil[...] American Mathematical Society 2011
[6] 서적 Probability and Measure https://archive.org/[...] Wiley-Interscience 1995
[7] 저널 On the problem of generating sigma-algebras by topologies 1984-04
[8] 저널 A simple example of a non-Borel σ-field 1986-01



본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com