나이퀴스트율
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1. 개요
나이퀴스트율은 신호 처리 및 통신 분야에서 사용되는 용어로, 샘플링 및 신호 전송과 관련된 두 가지 의미를 지닌다. 샘플링과 관련하여, 나이퀴스트율은 대역 제한된 아날로그 신호를 완벽하게 재구성하기 위해 필요한 최소 샘플링 속도를 의미하며, 이는 신호 대역폭의 두 배이다. 신호 전송과 관련하여, 나이퀴스트율은 제한된 대역폭의 통신 채널을 통해 전송할 수 있는 최대 펄스(코드 요소) 수를 나타낸다. 이 개념은 해리 나이퀴스트의 연구에서 비롯되었으며, 앨리어싱과 같은 현상을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
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2. 샘플링 관련
연속 시간 신호를 디지털 신호로 변환하는 과정(샘플링)에서, 같은 샘플에 대해 여러 연속 함수가 존재할 수 있지만, 그중 \(\tfrac{1}{2}f_s\) 헤르츠 (여기서 \(f_s\)는 초당 샘플 수)로 대역 제한되는 함수는 단 하나뿐이다. 이 조건을 만족하면 원래 신호를 정확하게 복원할 수 있다.
샘플링 및 샘플링 정리에 따르면, 원래 함수 \(x(t)\)가 \(\tfrac{1}{2}f_s\)로 대역 제한되면, 보간 알고리즘으로 근사할 수 있는 유일한 함수가 된다. 함수의 대역폭 \((B)\)을 기준으로, 나이퀴스트 기준은 \(f_s > 2B\)로 표현되며, \(2B\)는 대역폭 \(B\)를 갖는 함수의 나이퀴스트 속도이다.
나이퀴스트 기준을 만족하지 못하면(\(B > \tfrac{1}{2}f_s\)), 앨리어싱 현상이 발생하여 원래 신호와 복원된 신호 간에 차이가 생긴다.
2. 1. 나이퀴스트 기준
연속 함수 가 상수 속도 ''샘플/초''로 샘플링될 때, 동일한 샘플 집합에 맞는 다른 무한한 수의 연속 함수가 항상 존재한다. 하지만 그중 하나만 ''사이클/초'' (헤르츠)로 대역 제한된다. 즉, 해당 푸리에 변환 는 모든 에 대해 이다. 일반적으로 샘플에서 연속 함수를 재현하는 데 사용되는 수학적 알고리즘은 이 이론적이지만 무한히 긴 함수에 임의로 근접하는 근사값을 생성한다. 따라서 원래 함수 가 로 대역 제한된 경우(나이퀴스트 기준), 보간 알고리즘이 근사하는 고유한 함수이다. 함수의 자체 대역폭 의 관점에서, '''나이퀴스트 기준'''은 로 표현된다. 그리고 는 대역폭 를 갖는 함수에 대한 '''나이퀴스트 속도'''라고 한다. 나이퀴스트 기준을 충족하지 못할 때 (와 같이), 앨리어싱이라고 하는 조건이 발생하며, 이로 인해 와 대역폭이 적은 재구성된 함수 간에 불가피한 차이가 발생한다. 대부분의 경우, 차이는 왜곡으로 간주된다.
2. 2. 의도적 앨리어싱 (언더샘플링)
기저대역 또는 저역 통과 함수는 유효 에너지의 양의 주파수 범위가 [0, ''B'')인 함수 유형이다. 주파수 범위가 (''A'', ''A''+''B'')이고, ''A'' > ''B''일 경우, 이를 대역 통과라고 부르며, 여러 이유로 이를 기저대역으로 변환하고자 하는 경우가 많다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 주파수 혼합 (헤테로다인)을 통해 대역 통과 함수를 주파수 범위 (0, ''B'')로 변환하는 것이다. 이렇게 하는 이유 중 하나는 더 효율적인 저장을 위해 나이퀴스트 속도를 줄이기 위해서이다. 대역 통과 함수를 기저대역 나이퀴스트 기준을 충족하는 주파수 ''A''의 가장 작은 정수 배수 서브 배수인 서브 나이퀴스트 샘플 속도: fs > 2''B''로 직접 샘플링하여 동일한 결과를 얻을 수 있다. 더 자세한 내용은 대역 통과 샘플링 문서를 참조하면 된다.3. 신호 전송 관련
해리 나이퀴스트가 표본 추출과 관련되기 오래 전부터 "나이퀴스트율"이라는 용어는 다른 의미로 사용되었다. 해럴드 S. 블랙은 그의 저서에서 나이퀴스트가 제시한 최대 코드 요소 수를 언급하며, 이를 '''나이퀴스트율로 신호 전송'''이라고 칭했다.
나이퀴스트의 1928년 논문은 제한된 대역폭의 채널에서 초당 전송 및 복구 가능한 펄스(코드 요소) 수에 대한 연구였다. 샘플링 정리는 1948년에 섀넌이 증명했지만, 나이퀴스트는 표본 추출 자체를 연구하지는 않았다.
블랙은 "샘플링 원리"에 대한 장에서 나이퀴스트에게 관련 수학의 일부에 대한 공로를 인정했다.
3. 1. 나이퀴스트 간격
해럴드 S. 블랙의 1953년 저서 ''변조 이론''에 따르면, 필수 주파수 범위가 초당 ''B'' 사이클로 제한될 때, 초당 모호하지 않게 해결할 수 있는 최대 코드 요소 수는 2''B''이다. 이 속도는 '''나이퀴스트율로 신호 전송'''이라고 하며, 1/(2''B'')는 '''나이퀴스트 간격'''이라고 불린다.OED에 따르면, 블랙의 2''B''에 대한 설명이 "나이퀴스트율"이라는 용어의 기원일 수 있다.
해리 나이퀴스트의 1928년 논문은 제한된 대역폭의 채널을 통해 초당 얼마나 많은 펄스(코드 요소)를 전송하고 복구할 수 있는지에 대한 연구였다. ''나이퀴스트율로 신호 전송''은 전신 채널의 대역폭이 허용하는 만큼 많은 코드 펄스를 넣는 것을 의미했다.
3. 2. 샘플링 정리와의 관계
해리 나이퀴스트가 표본 추출과 관련되기 오래 전부터 "나이퀴스트율"이라는 용어는 나이퀴스트가 실제로 연구한 것과 더 유사한 의미로 다르게 사용되었다. 해럴드 S. 블랙의 1953년 저서 ''변조 이론''의 첫 장인 ''역사적 배경''의 "'''나이퀴스트 간격''''' 부분에서 인용하면 다음과 같다.:"만약 필수 주파수 범위가 초당 ''B'' 사이클로 제한된다면, 나이퀴스트는 피크 간섭이 반 양자 단계 미만이라고 가정했을 때, 초당 모호하지 않게 해결할 수 있는 최대 코드 요소 수를 2''B''로 제시했다. 이 속도는 일반적으로 '''나이퀴스트율로 신호 전송'''이라고 하며, 1/(2''B'')는 ''나이퀴스트 간격''이라고 불린다."
OED에 따르면, 블랙의 2''B''에 대한 설명이 "나이퀴스트율"이라는 용어의 기원일 수 있다.
나이퀴스트의 유명한 1928년 논문은 제한된 대역폭의 채널을 통해 초당 얼마나 많은 펄스(코드 요소)를 전송하고 복구할 수 있는지에 대한 연구였다. ''나이퀴스트율로 신호 전송''은 전신 채널의 대역폭이 허용하는 만큼 많은 코드 펄스를 넣는 것을 의미했다. 샘플링 정리를 1948년에 증명했을 때 섀넌은 나이퀴스트의 방식을 사용했지만, 나이퀴스트는 표본 추출 자체에 대해 연구하지는 않았다.
블랙의 "샘플링 원리"에 대한 후속 장에서는 나이퀴스트에게 관련 수학의 일부에 대한 공로를 인정했다.
:"나이퀴스트(1928)는 만약 함수가 시간 간격 ''T''로 실질적으로 제한된다면, 2''BT'' 값이 함수를 지정하기에 충분하며, 시간 간격 ''T''에 대한 함수의 푸리에 급수 표현을 기반으로 결론을 내렸다고 지적했다."
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