푸리에 변환
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1. 개요
푸리에 변환은 복소수 범위에서 정의된 함수를 주파수 성분으로 분해하는 수학적 변환이다. 푸리에 변환은 절대 적분 가능한 함수에 대해 정의되며, 푸리에 급수의 확장된 개념으로 볼 수 있다. 푸리에 변환은 시간 영역의 함수를 주파수 영역으로 변환하며, 역변환을 통해 원래 함수를 복원할 수 있다. 푸리에 변환은 선형성, 시간 이동, 주파수 이동, 스케일링, 대칭성, 켤레 복소수 등의 성질을 가지며, 컨볼루션 정리, 상호 상관 정리, 미분 등의 연산과 관련이 있다. 불확정성 원리에 따라 시간과 주파수 해상도 사이에는 상충 관계가 존재하며, 푸리에 변환의 단점을 보완하기 위해 단시간 푸리에 변환, 웨이블릿 변환 등 다양한 시간-주파수 분석 기법이 개발되었다.
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| 푸리에 변환 | |
|---|---|
| 푸리에 변환 | |
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| 개요 | |
| 종류 | 푸리에 변환 푸리에 급수 이산 시간 푸리에 변환 이산 푸리에 변환 유한체 푸리에 변환 유한군 푸리에 변환 푸리에 해석 푸리에 변환 관련 목록 |
| 설명 | 시간의 함수를 주파수의 함수로 표현하는 수학적 변환 |
| 사용되는 수학 | 실수 실수 공간 정수 정수 모듈로 N 원군 |
| 기호 | 함수: f(t) 변환: f̂(ω) 또다른 변환: ĝ(ω) |
| 영어 이름 | Fourier transform |
| 참고 문헌 | Vretblad, 2000 Greiner, Reinhardt, 1996 |
| 특징 | |
| 표현 | 주파수 영역 표현 |
2. 정의
함수 \(f(x)\)가 복소수 범위에서 정의되어 있고 르베그 적분이 가능할 때, 이 함수의 푸리에 변환 \(X(\xi)\)는 다음과 같이 정의된다.
:\(X(\xi) = \int_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{-2\pi i \xi t}\,dt\) (여기서 \(\xi\)는 모든 실수 범위)
여기서 일반적으로 독립변수 \(t\)는 시간을 나타내고, 변환변수 \(\xi\)는 주파수를 나타낸다. \(X(\xi)\) 대신에 \(\hat{x}(\xi)\) 또는 \(\mathcal{F}\{x\}(\xi)\)와 같은 표기를 사용하기도 한다.
푸리에 급수는 양의 실수 \(P\)에 대해 유계 구간 \(\textstyle x \in [-P/2, P/2]\)에서 \(\textstyle f(x)\)를 분석하고, 구성 요소 주파수가 \(\tfrac{n}{P}, n \in \mathbb Z\)의 주파수를 가진 이산적인 '조화 함수' 집합이며, 그 진폭과 위상은 다음의 분석 공식으로 주어진다.
:\(c_n = \frac{1}{P} \int_{-P/2}^{P/2} f(x) \, e^{-i 2\pi \frac{n}{P}x} \, dx.\)
무한 구간에서는 \(P\to\infty\)이며, 구성 요소 주파수는 연속체가 된다. \(\tfrac{n}{P} \to \xi \in \mathbb R\),[4][5][6] 그리고 \(c_n\)는 함수로 대체된다.[7]
\(\xi\)의 모든 값에 대해 계산하면 '주파수 영역' 함수가 생성된다. 이 적분은 특정 주파수에서 발산할 수 있다. 하지만 \(f(x)\)가 모든 도함수와 함께 \(\textstyle x\to\pm\infty\)로 감소하는 경우, 즉 \(\lim_{x\to\infty} f^{(n)}(x) = 0, n=0,1,2,\dots\)인 경우 모든 주파수에서 수렴한다. (슈바르츠 함수 참조). 리만-르베그 보조정리에 의해 변환된 함수 \(\hat f\)도 모든 도함수와 함께 감소한다.
극좌표에서 복소수 \(\hat{f}(\xi)\)는 주파수 \(\xi\)의 진폭과 위상을 모두 나타낸다. 해당 합성 공식은 다음과 같다.
:\(f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \widehat f(\xi)\ e^{i 2 \pi \xi x}\,d\xi,\quad \forall\ x \in \mathbb R.\)
이는 복소 지수 함수의 가중 합으로 \(f(x)\)를 나타낸 것이다. 이것은 푸리에 역변환 정리로도 알려져 있으며, 푸리에의 "열의 해석적 이론"에서 처음 소개되었다.[9][10][11][12] 함수 \(f\)와 \(\hat{f}\)를 '''푸리에 변환 쌍'''이라고 한다.[13]
푸리에 변환의 표기법으로는 \(\hat{f}(\xi)\) 외에 \(F(\xi)\), \(\mathcal{F}(f)(\xi)\), \((\mathcal{F}f)(\xi)\), \(\mathcal{F}(f(t))\) 등이 자주 사용된다. 원래 함수를 나타내는 문자에 해당하는 대문자를 사용하여 그 푸리에 변환을 나타내는 것은 자연과학이나 공학에서 특히 자주 사용되는 표기법이다.
복소 함수 \(\hat{f}(\xi)\)는 극좌표에 관해 표시함으로써, 진폭 \(A(\xi) = |\hat{f}(\xi)|\) 및 위상 \(\varphi (\xi) = \arg(\hat{f}(\xi))\)를 사용하여 \(\hat{f}(\xi)=A(\xi)e^{i\varphi(\xi)}\)와 같은 형태로 해석할 수 있다. 이때 역변환은 \(f(x)\)의 '''주파수 성분''' 모두의 재결합으로서 \(f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} A(\xi)\, e^{ i(2\pi \xi x +\varphi (\xi))}\,d\nu\)로 쓸 수 있다. 각 성분은 진폭이 \(A(\xi)\)이고 (x = 0에서의) 초기 위상각이 \(\varphi(\xi)\)인 \(e^{2\pi ix\xi}\) 형태의 복소 사인 곡선이다.
푸리에 변환은 함수 공간 사이의 사상으로 생각할 수도 있다. 이 사상은 \(\mathcal{F}\)로 나타내고, 함수 \(f\)의 푸리에 변환에는 \(\mathcal{F}(f)\)가 사용된다. 이 사상 \(\mathcal{F}\)는 함수 공간 상의 선형 변환으로 볼 수 있으며, \(\mathcal{F}(f)\)라고 쓰는 대신 \(\mathcal{F}f\)라고 쓸 수도 있다. 함수에 푸리에 변환을 적용한 결과는 다시 함수가 되므로, 이 새로운 함수의 \(\xi\)에서의 값이라는 것에는 의미가 있으며, 그것을 \(\mathcal{F}(f)(\xi)\) 또는 \((\mathcal{F} f)(\xi)\) 등으로 나타낸다.
푸리에 변환의 정의는 일반적으로 세 가지가 사용된다. 흔히 푸리에 변환은 라디안/초 단위의 각진동수 ω = 2πξ를 사용하여 표현한다. ξ = ω/(2π)로 치환하면, 위의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:\(\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx \)
그리고 이 규약에 따른 역변환은 다음과 같다.
:\(f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega)e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega\)
이 규약으로 정의된 푸리에 변환은 더 이상 L2(ℝn) 상의 유니터리 변환이 아니며, 푸리에 변환과 역변환 사이의 대칭성도 상실된다. 다른 흔히 사용되는 방법은 (2π)n 인자를 푸리에 변환과 역변환 사이에 균등하게 분배하는 것이다.
:\( \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx,\)
:\(f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega\)
이 규약에 따르면, 푸리에 변환은 다시 L2(ℝn) 상의 유니터리 변환이 되며, 푸리에 변환과 역변환 사이의 대칭성도 회복된다.
| 주파수 ξ (Hz) | 유니터리 여부 | \( \hat{f}_1(\xi)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\xi}\, dx = \hat{f}_2(2 \pi \xi)=(2 \pi)^{n/2}\hat{f}_3(2 \pi \xi) \) |
|---|---|---|
| 각진동수 ω (라디안/초) | 비유니터리 | \( \hat{f}_2(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-i\omega\cdot x} \, dx \ = \hat{f}_1 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right ) = (2 \pi)^{n/2}\ \hat{f}_3(\omega) \) |
| 유니터리 | \( \hat{f}_3(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \ e^{-i \omega\cdot x}\, dx = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_1\left(\frac{\omega}{2 \pi} \right) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_2(\omega) \) |
2. 1. 절대적분가능 함수에 대한 정의
함수 \(x(t)\)가 복소수 범위에서 정의되어 있고 르베그 적분이 가능할 때, 이 함수의 푸리에 변환 \(X(\xi)\)는 다음과 같이 정의된다.:\(X(\xi) = \int_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{-2\pi i \xi t}\,dt\) (여기서 \(\xi\)는 모든 실수 범위이다.)
일반적으로 독립변수 \(t\)는 시간을 나타내고, 변환변수 \(\xi\)는 주파수를 나타낸다. \(X(\xi)\) 대신에 \(\hat{x}(\xi)\) 또는 \(\mathcal{F}\{x\}(\xi)\)와 같은 표기를 사용하기도 한다.
절대적분가능 함수 \(f\): '''R''' → '''C''' 의 푸리에 변환은 여러 방식으로 정의될 수 있지만, 여기서는 다음과 같이 정의한다.[15]
:\(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{-i 2\pi \xi x}\,dx\)
변환 전 함수에서 독립 변수 \(x\)가 물리량인 경우, 푸리에 변환은 독립 변수의 차원을 원래의 역수로 바꾼다.[15] 예를 들어, \(x\)가 시간의 차원을 가질 때, \(\xi\)는 주파수의 차원을 갖는다. \(x\)가 길이의 차원을 가질 때, \(\xi\)는 파수의 차원을 갖는다.
적절한 조건에서, \(f\)는 그 변환 \(\hat{f}\)에서 '''푸리에 역변환'''(inverse transform)
:\(f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{i 2 \pi \xi x}\,d\xi\)
에 의해 복원할 수 있다 (\(x\)는 임의의 실수).
2. 2. 초함수로서의 정의
푸리에 변환은 절대적분가능하지 않은 함수(예: 상수 함수, 다항 함수, 주기 함수)에 대해서 초함수(Schwartz distribution)로 확장하여 정의할 수 있다. 초함수는 급감소 함수열의 극한으로 정의되며, 이 극한은 함수열 자체가 아닌, 임의의 급감소 함수와의 적분값의 극한으로 정의된다.[21]초함수는 슈바르츠 공간의 원소인 급감소 함수열 $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ 로 정의된다. 임의의 급감소 함수 $\phi(x)$에 대해 $\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)\phi(x)dx$가 존재해야 한다. 두 급감소 함수열 $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$, $\{g_n(x)\}_{n=1}^\infty$에 대해, 임의의 급감소 함수 $\phi(x)$에 대하여 다음이 성립하면 $\{f_n(x)\}$와 $\{g_n(x)\}$는 동일한 초함수를 나타낸다.
:$\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)\phi(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g_n(x)\phi(x)dx$
급감소 함수는 절대적분 가능하므로 푸리에 변환이 정의된다. 급감소 함수의 푸리에 변환은 급감소 함수가 되는 성질을 이용하여, 초함수의 푸리에 변환을 다음과 같이 정의한다.
'''정의:''' 급감소 함수열인 초함수 $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$의 푸리에 변환은, 급감소 함수열 $\{\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)e^{- 2\pi i x \xi}dx\}_{n=1}^\infty$로 구성된 초함수로 정의된다.
'''예:''' 상수 함수 $f(x)=c$ ($c$는 0이 아닌 상수)의 경우, 급감소 함수열 $\{c\exp(-x^2/n)\}$을 생각한다.
:$\lim_{n\to\infty}c\exp(-x^2/n)=c$이므로, 임의의 급감소 함수 $\phi(x)$에 대해
:$\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}c\exp(-x^2/n)\phi(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}c\phi(x)dx$가 성립한다.
따라서 $f(x) = c$의 푸리에 변환은 $\{\int_{-\infty}^{\infty} c\exp(-x^2/n- 2\pi i x \xi)dx\}=\{c\exp(-n\pi^2\xi^2)\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-(x+n\pi i\xi)^2/n)dx\} =\{c\sqrt{n\pi}\exp(-n\pi^2\xi^2)\}$가 된다.
여기서,
- $\xi\ne 0$일 때, $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n\pi}\exp(-n\pi^2\xi^2)=0$
- $\xi= 0$일 때, $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n\pi}\exp(-n\pi^2\xi^2)=\infty$
- $\int_{-\infty}^\infty\sqrt{n\pi}\exp(-n\pi^2\xi^2)d\xi=1$
이것은 디랙 델타 함수(델타 함수)라고 불리며, 상수 함수 $f(x)=c$의 푸리에 변환은 $c\delta(\xi)$가 된다.
3. 푸리에 급수
오일러 공식에 의해 ''e''2π''iθ'' 로 나타낼 수 있어, 푸리에 급수의 기본 함수를 삼각함수가 아닌 ''e''2π''iθ''영어로 사용한다. 이를 통해 공식을 더 간단하게 표현할 수 있다.[77] 삼각함수를 복소 지수함수로 나타낼 경우 푸리에 계수들도 복소수 값을 갖는다. 이때 푸리에 계수의 진폭은 원래 함수를 구성하던 그 주파수 성분의 크기를, 편각은 기본 사인 곡선과의 위상차를 나타낸다.[77]
많은 경우에, e2πiθ (오일러 공식)을 이용하여, 사인 함수 및 코사인 함수 대신 기본 파동 e2πiθ영어를 사용하는 것이 편리하다. 이 경우 많은 공식이 단순화되고, 푸리에 변환의 다른 정식화를 제공한다는 장점이 있다. 사인·코사인에서 복소 지수 함수로의 전환은 푸리에 계수가 복소수 값을 가질 것을 요구한다. 이 복소수는 함수에 포함되는 파동의 진폭(또는 크기)과 위상(또는 초기각)을 모두 나타내는 것으로 해석된다.
4. 푸리에 적분
음이 아닌 실수 에 대해 함수 는 다음과 같이 푸리에 적분으로 표현된다.
:
여기서 와 는 다음과 같이 정의된다.
:
:
5. 푸리에 변환의 성질
푸리에 변환은 선형 변환이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.
- 오일러 공식은 음의 (주파수) 가능성을 제시한다. 실수 값을 갖는 함수 의 경우, 그 푸리에 변환 는 라는 켤레 대칭성을 갖는다.
- 주기 함수의 푸리에 변환은 푸리에 급수를 사용하여 정의할 수 있다. 주기가 인 주기 함수 가 수렴하는 푸리에 급수를 갖는다면, 그 푸리에 변환은 다음과 같다.
여기서 은 의 푸리에 급수 계수이고, 는 디랙 델타 함수이다. 즉, 푸리에 변환은 푸리에 급수 계수로 곱해진 디랙 빗 함수이다.
- 주파수 변수는 원래 함수의 정의역 단위의 역수 단위를 가져야 한다. 예를 들어, 시간 가 초 단위로 측정되면 주파수 는 초당 사이클 또는 헤르츠 단위여야 한다.
- 푸리에 변환의 정의에는 여러 가지 규칙이 존재하며, 이들은 다양한 상수 계수만큼 다를 수 있다. 예를 들어, 지수에 대신 를 사용하는 규칙이 있으며, 이는 현대 물리학에서 일반적이다.[17]
- 무차원 단위를 사용하는 경우, 상수 계수가 변환 정의에 명시적으로 나타나지 않을 수도 있다.
실수선 위에서 절대적분가능한 르벡 가측 함수 와 에 대해, 다음이 성립한다고 가정하자.
:
이 함수들의 푸리에 변환을 각각 와 로 나타낸다. 푸리에 변환은 다음과 같은 기본적인 성질들을 갖는다.[18]
- 시간 반전:
- 켤레 복소수: (여기서 *는 켤레 복소수를 나타낸다.)
특히, 가 '''실수''' 함수라면, 는 에르미트 함수 (켤레 대칭)이다.
:
가 순허수 함수라면, 는 반 켤레 대칭이다.
:
- 실수부와 허수부:
- 직류(DC) 성분: 일 때,
이는 함수 의 평균값 또는 직류 바이어스를 나타낸다.
푸리에 변환은 적분 불가능한 함수에 대해서도 어떤 경우에는 정의될 수 있다.
함수 가 더 집중될수록, 그 푸리에 변환 는 더 넓게 퍼져야 한다. 함수를 에서 압축하면, 그 푸리에 변환은 에서 확장된다. 함수와 그 푸리에 변환을 동시에 임의로 집중시키는 것은 불가능하다. 이러한 관계는 불확정성 원리로 공식화될 수 있다.
임의의 차원 에서 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다. 적분 가능한 함수 에 대해,
:
여기서 와 는 차원 벡터이고, 는 벡터들의 내적이다.
차원 푸리에 변환에도 앞서 언급된 기본적인 성질들(선형성, 시간 반전, 켤레 복소수 등)과 플랑셰렐 정리, 파서벌 정리가 동일하게 적용된다. 함수가 적분 가능할 때, 푸리에 변환은 균등연속이며, 리만-르베그 보조정리가 성립한다.[21]
5. 1. 기본 성질
푸리에 변환은 다음과 같은 기본 성질을 갖는다. 절대적분가능 함수 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$가 주어졌을 때, 이들의 푸리에 변환을 각각 $\hat{f}(\xi)$, $\hat{g}(\xi)$, $\hat{h}(\xi)$로 나타낸다.; 선형성
임의의 복소수 $a$, $b$에 대해 $h(x) = af(x) + bg(x)$이면,
:$\hat{h}(\xi) = a \cdot \hat{f}(\xi) + b \cdot \hat{g}(\xi)$
가 성립한다.
; 평행이동
임의의 실수 $x_0$에 대해 $h(x) = f(x - x_0)$이면,
:$\hat{h}(\xi) = e^{-2\pi i x_0 \xi} \hat{f}(\xi)$
가 성립한다.
; 변조
임의의 실수 $\xi_0$에 대해 $h(x) = e^{2\pi ix\xi_0}f(x)$이면,
:$\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi - \xi_0)$
가 성립한다.
; 상수배
영이 아닌 실수 $a$에 대해 $h(x) = f(ax)$이면,
:$\hat{h}(\xi) = \frac{1}
