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낙체의 법칙

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목차

1. 개요

낙체의 법칙은 물체가 중력의 영향으로 자유롭게 떨어지는 운동에 대한 원리와 공식을 설명한다. 갈릴레오 갈릴레이는 경사면을 이용한 실험으로 낙하 운동의 방정식을 증명하고 공식화했다. 이 법칙은 공기 저항과 지구 자전을 무시하며, 공기 저항은 물체의 크기와 형태에 따라 다르게 작용하고, 지구 자전은 코리올리 효과를 발생시켜 낙하 운동에 영향을 미친다. 자유 낙하 운동은 등가속도 운동의 일종으로, 낙하 거리, 시간, 속도 등을 계산하는 여러 공식이 존재한다. 낙하 거리가 매우 커 중력 가속도가 변하는 경우를 고려한 공식도 있으며, 지구 자전에 의한 구심력은 낙하하는 물체의 가속도에 영향을 준다.

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낙체의 법칙
낙하하는 물체
관련 주제역학
운동학
고전 역학
물리학
개요
관련 현상중력
공기 저항
단순 조화 운동
관련된 법칙뉴턴의 운동 법칙
만유인력의 법칙
등가속도 운동 방정식
변수t (시간)
g (중력 가속도)
v (속도)
v₀ (초기 속도)
y (위치)
y₀ (초기 위치)
수식
중력을 받는 물체의 속도v = v₀ + gt
중력을 받는 물체의 위치y = y₀ + v₀t + ½gt²
중력을 받는 물체의 속도 (시간에 무관)v² = v₀² + 2g(y - y₀)

2. 역사

갈릴레오 갈릴레이는 낙하 운동의 방정식을 처음으로 증명하고 공식화했다. 그는 경사면을 이용하여 낙하 속도를 늦추고, 물시계를 사용하여 시간을 측정하는 실험을 진행했다.[1][2][3]

이 방정식은 지구의 자전을 무시하여 코리올리 효과를 설명하지 못한다. 하지만, 높은 곳에서 떨어지는 밀도가 높고 콤팩트한 물체에 대해서는 일반적으로 이 방정식이 충분히 정확하다.

2. 1. 공기 저항과 종단 속도

실제 낙하에서는 공기 저항이 큰 영향을 미치며, 물체는 결국 종단 속도에 도달한다. 공기 저항은 낙하하는 물체의 크기, 형태, 속도에 따라 달라진다.[1] 예를 들어, 질량이 적지만 공기에 대한 저항이 큰 깃털은 공기 저항의 영향을 크게 받는다. 하지만 대기가 없는 환경에서는 모든 물체가 동일한 속도로 낙하하며, 이는 우주 비행사 데이비드 스콧이 달 표면에서 망치와 깃털을 동시에 떨어뜨려 증명했다.[2]

공기 저항은 완벽한 진공이 아닌 모든 대기를 통과하여 낙하하는 모든 물체에 항력을 유발하며, 이 항력은 속도가 중력과 같아질 때까지 증가하여 물체가 일정한 종단 속도로 낙하하게 된다. 종단 속도는 대기 항력, 물체의 항력 계수, 물체의 (순간) 속도 및 기류에 노출된 면적에 따라 달라진다.

예를 들어, 공기 저항을 고려하면, 배를 땅에 대고(엎드린 자세) 자유 낙하하는 스카이다이버의 종단 속도는 약 195km/h (54m/s)이다.[4] 이 속도는 가속 과정의 점근 극한 값인데, 종단 속도에 접근할수록 물체에 작용하는 유효한 힘이 점점 더 균형을 이루기 때문이다. 이 예에서 종단 속도의 50%는 약 3초 후에 도달하지만, 90%에 도달하는 데는 8초, 99%에 도달하는 데는 15초가 걸린다.

스카이다이버가 팔다리를 안으로 당기면 더 높은 속도를 낼 수 있다. 이 경우 종단 속도는 약 320km/h (90m/s)까지 증가하며,[4] 이는 먹이를 향해 급강하하는 송골매의 종단 속도와 거의 같다.[5] 1920년 미국 육군 병기 연구에 따르면, 위로 발사되었거나 탑에서 떨어지는 경우, 전형적인 .30-06 구경 탄환이 아래로 떨어질 때 동일한 종단 속도에 도달한다.[6]

2. 2. 지구 자전과 코리올리 효과

지구의 자전하는 표면에서 측정되는 가속도는 자유 낙하하는 물체에 대해 측정되는 가속도와 다른데, 이는 구심력 때문이다. 회전하는 좌표계에서 겉보기 가속도는 중력 벡터에서 지구의 남북 축을 향하는 작은 벡터를 뺀 값이며, 이는 해당 좌표계에서 정지 상태를 유지하는 것에 해당한다.[1]

3. 관련 공식

다양한 높이에서 낙하하는 작은 강철 구체의 측정 낙하 시간. 이 데이터는 \sqrt{2h/g}의 예측 낙하 시간과 잘 일치한다. 여기서 ''h''는 높이이고 ''g''는 중력 가속도이다.


자유 낙하 운동은 등가속도 운동의 일종으로, 관련 공식은 다음과 같다. (단, 공기 저항은 무시한다.)

공식설명
\ d=\frac{1}{2}gt^2 시간 \ t\ 동안 낙하하는 물체가 이동한 거리 \ d\
\ t =\ \sqrt {\frac{2d}{g}} 물체가 거리 \ d\ 를 낙하하는 데 걸린 시간 \ t\
\ v_i = gt 경과 시간 \ t\ 후 낙하하는 물체의 순간 속도 \ v_i\
\ v_i = \sqrt {2gd}\ 거리 \ d\ 를 이동한 낙하하는 물체의 순간 속도 \ v_i\
\ v_a =\frac{1}{2}gt 시간 \ t\ 동안 낙하한 물체의 평균 속도 \ v_a\ (시간 평균)
\ v_a =\frac{ \sqrt {2gd}}{2} \ 거리 \ d\ 를 이동한 낙하하는 물체의 평균 속도 \ v_a\ (시간 평균)
\ v_i = \sqrt {\frac{2GMd}{r^2}}\ 질량 \ M\ 인 행성에서 거리 \ d\ 를 이동한 낙하하는 물체의 순간 속도 \ v_i\ . 여기서 행성과 낙하 물체의 고도를 합한 반지름이 \ r\ 이고, 이 방정식은 \ g\ 가 지구 표면에서의 표준 \ g\ 보다 작지만 낙하 거리가 짧아 \ g\ 의 변화가 작고 비교적 일정하다고 가정하는 더 큰 반지름에 사용된다.


3. 1. 등가속도 운동 공식

처음에 정지해 있던 물체가 중력에 의해 자유 낙하할 때 낙하 거리는 경과 시간의 제곱에 비례한다. 이 이미지는 0.5초 동안 1초에 20번 플래시를 터뜨려 촬영했다. 처음 0.05초 동안 공은 거리 단위 1(약 12mm)만큼 떨어졌고, 0.10초에는 총 4단위, 0.15초에는 9단위 등으로 떨어졌다.


지구 표면 근처에서 중력 가속도는 = 9.807 m/s2 (초당 미터 매 초 제곱, 또는 "초당 미터, 매 초"로 생각할 수 있음) 또는 32.18 ft/s2 ("초당 피트 매 초")로 근사된다. , , 및 에 대해서는 일관된 단위 집합이 필수적이다. SI 단위계를 가정하면, 는 미터 매 초 제곱으로 측정되므로, 는 미터, 는 초, 는 미터 매 초로 측정해야 한다.

모든 경우에 물체는 정지 상태에서 시작하며 공기 저항은 무시된다고 가정한다. 일반적으로 지구 대기에서 아래의 모든 결과는 낙하 5초 후면 매우 부정확해진다. 이때 물체의 속도는 진공 값 49 m/s (9.8 m/s2 × 5 s)보다 약간 작아지는데, 이는 공기 저항 때문이다. 공기 저항은 완벽한 진공이 아닌 모든 대기를 통과하여 낙하하는 모든 물체에 항력을 유발하며, 이 항력은 속도가 중력과 같아질 때까지 증가하여 물체가 일정한 종단 속도로 낙하하게 된다.[1]

종단 속도는 대기 항력, 물체의 항력 계수, 물체의 (순간) 속도 및 기류에 노출된 면적에 따라 달라진다.[1]

마지막 공식을 제외한 아래의 공식들은 가 낙하 동안 높이에 따라 무시할 정도로 변하지 않는다고 가정한다(즉, 등가속도를 가정한다). 낙하 동안 행성 중심으로부터의 거리의 상당한 변화가 의 상당한 변화를 유발하는 경우, 마지막 방정식이 더 정확하다. 이 방정식은 기본적인 물리학의 많은 응용 분야에서 나타난다.[1]

다음 방정식은 선형 운동의 일반 방정식에서 시작한다.

:d(t) = d_0 + v_0 t + {1 \over 2} a t^2

: v(t) = v_0 + a t

그리고 만유인력의 방정식 (r+d= 행성 질량 중심에서 지상 위 물체의 거리):

: F=G = m g

공식설명
\ d=\frac{1}{2}gt^2 시간 \ t\ 동안 낙하하는 물체가 이동한 거리 \ d\
\ t =\ \sqrt {\frac{2d}{g}} 물체가 거리 \ d\ 를 낙하하는 데 걸린 시간 \ t\
\ v_i = gt 경과 시간 \ t\ 후 낙하하는 물체의 순간 속도 \ v_i\
\ v_i = \sqrt {2gd}\ 거리 \ d\ 를 이동한 낙하하는 물체의 순간 속도 \ v_i\
\ v_a =\frac{1}{2}gt 시간 \ t\ 동안 낙하한 물체의 평균 속도 \ v_a\ (시간 평균)
\ v_a =\frac{ \sqrt {2gd}}{2} \ 거리 \ d\ 를 이동한 낙하하는 물체의 평균 속도 \ v_a\ (시간 평균)
\ v_i = \sqrt {\frac{2GMd}{r^2}}\ 질량 \ M\ 인 행성에서 거리 \ d\ 를 이동한 낙하하는 물체의 순간 속도 \ v_i\ . 여기서 행성과 낙하 물체의 고도를 합한 반지름이 \ r\ 이고, 이 방정식은 \ g\ 가 지구 표면에서의 표준 \ g\ 보다 작지만 낙하 거리가 짧아 \ g\ 의 변화가 작고 비교적 일정하다고 가정하는 더 큰 반지름에 사용된다.
\ v_i = \sqrt {2GM\Big( \frac{1}{r}-\frac{1}{r+d} \Big)}\ 질량 \ M\ 및 반지름 \ r\ 인 행성에서 거리 \ d\ 를 이동한 낙하하는 물체의 순간 속도 \ v_i\ (낙하 거리가 커서 \ g\ 가 크게 변할 수 있는 경우에 사용)



3. 2. 중력 가속도 변화를 고려한 공식

낙하 거리가 매우 커서 중력 가속도가 변하는 경우, 다음과 같은 공식을 사용하여 순간 속도와 낙하 시간을 계산할 수 있다.

  • 순간 속도: ${\displaystyle v_{i}={\sqrt {2GM\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+d}}\right)}}}$

  • 낙하 시간: ${\displaystyle t={\frac -\arcsin \left({\sqrt {\frac {x}{r}}}\right)+{\sqrt \left(1-{\frac {x}{r}}\right)}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}}$ (여기서 ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$는 두 물체의 표준 중력 매개변수의 합)


예를 들어, 물체가 지구로 10,000m를 낙하한다면 중력 가속도가 일정하다고 가정한 공식과 이 공식의 결과는 0.08%만 차이가 나지만, 정지 궤도 높이인 42,164km에서 낙하한다면 차이는 거의 64%로 크게 벌어진다. 따라서 낙하 거리가 길어 중력 가속도의 변화가 클 때는 이 공식을 사용해야 한다.

참고로, ${\displaystyle x=r}$일 때 이 방정식은 예상대로 ${\displaystyle t=0}$을 제공하고, ${\displaystyle x=0}$일 때는 ${\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {r^{3}}{2\mu }}}}$을 제공하는데, 이는 충돌 시간이다.

4. 지구 자전에 의한 가속도 변화

구심력은 지구의 자전하는 표면에서 측정되는 가속도가 자유 낙하하는 물체에 대해 측정되는 가속도와 달라지게 한다.[1] 회전하는 좌표계에서 겉보기 가속도는 중력 벡터에서 지구의 남북 축을 향하는 작은 벡터를 뺀 값이며, 이는 해당 좌표계에서 정지 상태를 유지하는 것에 해당한다.[1]

5. 예시

공기 저항을 고려하면, 배를 땅에 대고(엎드린 자세) 자유 낙하하는 스카이다이버의 종단 속도는 약 195km/h(54m/s)이다.[4] 이 속도는 가속 과정의 점근 극한 값인데, 종단 속도에 접근할수록 물체에 작용하는 유효한 힘이 점점 더 균형을 이루기 때문이다. 이 예에서 종단 속도의 50%는 약 3초 후에 도달하지만, 90%에 도달하는 데는 8초, 99%에 도달하는 데는 15초가 걸린다.

스카이다이버가 팔다리를 안으로 당기면 더 높은 속도를 낼 수 있다(프리 플라잉 참조).[4] 이 경우 종단 속도는 약 320km/h(90m/s)까지 증가하며, 이는 먹이를 향해 급강하하는 송골매의 종단 속도와 거의 같다.[5] 1920년 미국 육군 병기 연구에 따르면, 위로 발사되었거나 탑에서 떨어지는 경우, 전형적인 .30-06 구경 탄환이 아래로 떨어질 때 동일한 종단 속도에 도달한다.[6]

참조

[1] 간행물 From Sundials to Clocks: Understanding Time and Frequency http://tf.nist.gov/g[...] U.S. Department of Commerce Technology Administration and National Institute of Standards and Technology
[2] 서적 Newton's Gravity: An Introductory Guide to the Mechanics of the Universe, Undergraduate Lecture Notes in Physics https://www.springer[...] Springer Science+Business Media 2012
[3] 문서 See the works of Stillman Drake, for a comprehensive study of Galileo Galilei and his times, the Scientific Revolution.
[4] 웹사이트 Speed of a skydiver (terminal velocity) https://hypertextboo[...] 2024-10-24
[5] 웹사이트 All About the Peregrine Falcon http://www.fws.gov/e[...] U.S. Fish and Wildlife Service 2007-12-20
[6] 웹사이트 Bullets in the Sky https://web.archive.[...] W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston, Texas 77089 2001-03
[7] 문서 뉴턴 하이라이트 83, 모든 단위와 중요 법칙.원리집, p 70


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