구심력
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2. 구심력의 공식
질량이 ''m'' 인 물체가 ''v'' 의 속도로 반지름 ''r'' 의 원운동을 할 때 받는 구심력의 크기는 다음과 같다.F = ma_c = \frac{m v^2}{r} a_c 는 구심 가속도이다. 원운동을 하는 물체가 받는 힘의 방향은 원의 중심이다. 힘이 속도의 제곱에 비례하므로 속도가 2배가 되면 힘은 4배가 된다. 반지름이 힘에 반비례 하므로 반지름이 절반이 되면 같은 속도를 내기 위해선 힘이 두배가 되어야 한다. 구심력은 각속도 ''ω'' 로도 표현할 수 있다. 각속도와 속도의 관계는v = \omega r F = m r \omega^2 \,. \omega = \frac{2\pi}{T} \,. F = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 F = \frac{\gamma m v^2}{r} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} 로런츠 인자 라 불린다.a_c = \frac{v^2}{r} a_c 는 구심 가속도이다.F_c = ma_c = m\frac{v^2}{r} 각속도 \omega 를 사용하여 v=r \omega 에 의해 다시 쓸 수 있다.F=mr \omega^2
2. 1. 각속도를 이용한 표현
질량이 ''m'' 인 물체가 ''v'' 의 속도로 반지름 ''r'' 의 원운동을 할 때 받는 구심력의 크기는 다음과 같다.F = ma_c = \frac{m v^2}{r} a_c 는 구심 가속도이다.각속도 ''ω'' 로도 표현할 수 있다. 각속도와 속도의 관계는v = \omega r F = m r \omega^2 \,. \omega = \frac{2\pi}{T} \,. F = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 테두리없음 2. 2. 공전 주기를 이용한 표현
질량이 ''m'' 인 물체가 공전 주기 ''T''를 이용하여 구심력을 표현할 수 있다. 각속도 와 공전 주기의 관계는\omega = \frac{2\pi}{T} \,. F = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 2. 3. 상대성 이론을 고려한 표현
\Delta \textbf{v} 인 밑변과 크기가 v 인 변을 갖고, 다른 하나는 크기가 \Delta \textbf{r} (위치 벡터의 차이)인 밑변과 크기가 r 인 변을 갖는다.\frac{v} = \frac{r}|\Delta \textbf{v}| = \frac{v}{r}|\Delta \textbf{r}| |\Delta\textbf{v}| 는 \frac{v}{r} |\Delta \textbf{r}| 로 대체될 수 있다.a_c = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta t} = \frac{v}{r} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta t} = \frac{v^2}{r}각속도 ''ω''(접선 속도와 다음 공식으로 관련됨)로 표현되기도 한다.v = \omega r F_c = m r \omega^2 \,. 공전 주기 ''T''를 사용하여 표현하면,\omega = \frac{2\pi}{T} F_c = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2. F_c = \frac{\gamma m v^2}{r} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} F_c = \gamma m v \omega \gamma m v 의 변화율이다.
3. 구심력의 발생
줄 끝에 묶여있는 물체가 수평면을 따라서 원운동을 하는 경우, 물체에 가해지는 구심력은 밧줄의 장력에 의해 가해진다.뉴턴 이 생각했던 구심력은 현대의 중심력에 해당한다. 어떤 인공위성이 행성의 주변에서 궤도운동을 할 때, 중력이 구심력으로 작용한다. 편심성 궤도의 경우 중력의 방향은 초점으로 향하지만, 구심력은 곡률중심을 향하지 않는다.일정한 원운동을 하는 물체는 구심력을 필요로 한다. 구심력은 원의 중심을 향한다. 자기장 내에서 나선운동하는 하전입자의 경우 자기력이 구심력으로 작용한다.행성 주위 궤도에 있는 위성 에서는, 구심력은 위성과 행성 사이의 중력 에 의해 제공된다. 중력은 두 물체 모두에 작용하며, 그 방향은 두 물체의 질량중심을 향한다. 원궤도 운동에서는 이 중력의 중심이 원궤도의 중심이다. 원궤도가 아닌 경우나 호의 경우에는, 궤도에 수직인 중력 성분만이 구심력이 된다. 나머지 중력 성분은 위성의 속도를 가속 또는 감속시키는 역할을 한다.아이작 뉴턴 의 저서를 포함한 일부 문헌에서는 중력의 전부가 구심력이라고 설명하고 있지만, 궤도가 원이 아닌 경우에는 엄밀히 말해 정확하지 않다.
4. 여러 가지 경우의 분석
행성 주위 궤도에 있는 위성 에서는, 구심력은 위성과 행성 사이의 중력 에 의해 제공된다.아이작 뉴턴 의 저서를 포함한 일부 문헌에서는 중력의 전부가 구심력이라고 설명하고 있다.
4. 1. 등속 원운동
등속 원운동은 일정한 회전율을 가진 경우를 말한다. 이 경우를 설명하는 두 가지 방법이 있다.행성 주위 궤도에 있는 위성 에서는, 구심력은 위성과 행성 사이의 중력 에 의해 제공된다.아이작 뉴턴 의 저서를 포함한 일부 문헌에서는 중력의 전부가 구심력이라고 설명하고 있다.4. 1. 1. 미적분을 이용한 유도
2차원에서 크기(길이)가 r이고 x축 위로 θ 각도를 이루는 위치 벡터 '''r'''는 직교 좌표계를 사용하여 단위 벡터 \hat\mathbf x 와 \hat\mathbf y 로 다음과 같이 표현할 수 있다.\hat\mathbf x + r sin(θ) \hat\mathbf y .각속도 ω로 움직인다. 따라서 θ = ωt이고, 여기서 t는 시간이다.속도 '''v'''와 가속도 '''a'''는 시간에 대한 위치의 1차 및 2차 미분이다.\hat\mathbf x + r sin(ωt) \hat\mathbf y ,\dot{\textbf{r}} = - r ω sin(ωt) \hat\mathbf x + r ω cos(ωt) \hat\mathbf y ,\ddot{\textbf{r}} = - ω2 (r cos(ωt) \hat\mathbf x + r sin(ωt) \hat\mathbf y ).2 '''r'''.관성 때문에 자연스럽게 직선 경로를 따르지만, 이 구심 가속도는 구심력 에 의해 발생하는 원운동 경로를 설명한다.4. 1. 2. 벡터를 이용한 유도
등속 원운동의 벡터 관계; 회전을 나타내는 벡터 '''Ω'''는 오른손 법칙 에 따라 결정되는 극성을 가진 궤도면에 수직이며, 크기는 ''dθ'' /''dt''이다. 오른손 법칙 )을 사용하여 궤도면에 수직이며, 크기는 다음과 같이 주어진다. |\mathbf{\Omega}| = \frac {\mathrm{d} \theta } {\mathrm{d}t} = \omega \ , \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t) \mathrm{d}t \ , \frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \lim_{\mathrm{d}t} \ . \mathbf{v}\ \stackrel{\mathrm{def}}{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{\boldsymbol{\ell}}}{\mathrm{d}t} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)\ . \mathbf{a}\ \stackrel{\mathrm{def}}{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}} {d\mathrm{t}} = \mathbf {\Omega} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} = \mathbf{\Omega} \times \left[ \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)\right] \ . \mathbf{a} \times \left ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \right ) = \mathbf{b} \left ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \right ) - \mathbf{c} \left ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right ) \ . \mathbf{a} = - }^2 \mathbf{r}(t) \ . |\mathbf{a}| = |\mathbf{r}(t)| \left ( \frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} \right) ^2 = r {\omega}^2 4. 1. 3. 예시: 경사진 도로에서의 회전
상단 패널: 일정한 속도 ''v''로 경사가 진 원형 트랙을 따라 움직이는 공; 하단 패널: 공에 작용하는 힘 n 이다. 곡선 운동에 필요한 구심력도 위에 표시되어 있다. 이 구심력은 공에 작용하는 세 번째 힘이 아니고, 오히려 수직항력과 중력 의 벡터 합으로 인한 공에 대한 알짜힘에 의해 제공되어야 한다. 도로에 의해 작용하는 수직항력과 중력 에 의한 수직력의 벡터 합으로 구해진 공에 대한 합력 또는 알짜힘은 원형 경로를 따라 이동해야 할 필요에 따라 결정되는 구심력과 같아야 한다. 이 알짜힘이 운동에 필요한 구심력을 제공하는 한 곡선 운동은 유지된다.h = ''m'''''a'''n sin ''θ'' 이다. 도로에서 나오는 힘의 수직 성분은 중력을 상쇄해야 한다. '''F'''v = ''m'''''a'''n cos ''θ'' = ''m'''''g''' , 즉 '''a'''n = '''g''' / cos ''θ''}} 를 의미한다. '''F'''h }} 에 대한 위 공식에 대입하면 수평력은 다음과 같다. |\mathbf{F}_\mathrm{h}| = m |\mathbf{g}| \frac { \sin \theta}{ \cos \theta} = m|\mathbf{g}| \tan \theta \, . c 인 안쪽으로 향하는 구심력이다.|\mathbf{F}_\mathrm{c}| = m |\mathbf{a}_\mathrm{c}| = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{r} \, . m |\mathbf{g}| \tan \theta = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{r} \, , \tan \theta = \frac {|\mathbf{v}|^2} 4. 2. 비등속 원운동
\mathbf{a}_{r} = - \omega^{2} r \ \mathbf{u}_r = - \frac4. 3. 일반적인 평면 운동
위 결과는 극좌표 를 사용하여 더 간단하게 유도할 수 있으며, 동시에 다음과 같이 평면 내의 일반적인 운동으로 확장할 수 있다. 평면의 극좌표는 방사 단위 벡터 '''u'''ρ 와 각 단위 벡터 '''u'''θ 를 사용한다.ρ ρ 는 입자와 함께 이동하며 항상 '''r'''(''t'')와 같은 방향을 가리킨다. 단위 벡터 '''u'''θ 또한 입자와 함께 이동하며 '''u'''ρ 에 대해 직교한다. 따라서 '''u'''ρ 와 '''u'''θ 는 입자에 부착되고 입자가 이동한 경로에 연결된 국소 직교 좌표계를 형성한다.ρ 와 '''u'''θ 가 '''r'''(''t'')와 같은 각도 ''θ''(''t'')를 가진 단위원의 둘레를 따라 앞뒤로 추적하는 직각 쌍을 형성하는 것을 알 수 있다.궤적 '''r'''(''t'')를 갖는 입자에 대한 두 시점 ''t''와 ''t'' + ''dt''에서의 극단위 벡터. 왼쪽에는 두 시점에서의 단위 벡터 '''u'''ρ 와 '''u'''θ 의 꼬리가 모두 만나도록 이동되었으며, 단위 반지름 원의 호를 따라 그려짐을 보여준다. 시간 ''dt'' 동안의 회전은 ''d''θ이며, 궤적 '''r'''(''t'')의 회전 각도와 같다. ρ + ρ(d'''u'''ρ /dt)ρ 의 도함수가 필요하다. '''u'''ρ 는 단위 벡터이기 때문에 크기는 고정되어 있으며 방향만 변경될 수 있다. 즉, 그 변화 d'''u'''ρ 는 '''u'''ρ 에 수직인 성분만 갖는다. 궤적 '''r'''(''t'')가 d''θ''만큼 회전하면 '''r'''(''t'')와 같은 방향을 가리키는 '''u'''ρ 도 d''θ''만큼 회전한다. 따라서 '''u'''ρ 의 변화는 다음과 같다.ρ = '''u'''θ dθρ /dt) = '''u'''θ (dθ/dt)θ 의 변화율을 구할 수 있다. '''u'''ρ 와 마찬가지로 '''u'''θ 는 단위 벡터이며 크기를 변경하지 않고 회전만 할 수 있다. 궤적 '''r'''(''t'')가 d''θ''만큼 회전하는 동안 '''u'''ρ 에 대해 직교를 유지하기 위해 '''r'''(''t'')에 직교하는 '''u'''θ 도 d''θ''만큼 회전한다. 따라서 변화 d'''u'''θ 는 '''u'''θ 에 직교하고 d''θ''에 비례한다.θ /dt) = -(dθ/dt)'''u'''ρ ρ 가 d''θ''에 대해 양수이면 d'''u'''θ 는 감소해야 한다.ρ 의 도함수를 속도에 대한 식에 대입하면:ρ + ρ'''u'''θ (dθ/dt) = vρ '''u'''ρ + vθ '''u'''θ = '''v'''ρ + '''v'''θ 2 ρ/dt2 )'''u'''ρ + (dρ/dt)(d'''u'''ρ /dt) + (dρ/dt)'''u'''θ (dθ/dt) + ρ(d'''u'''θ /dt)(dθ/dt) + ρ'''u'''θ (d2 θ/dt2 )ρ 와 '''u'''θ 의 도함수를 대입하면 입자의 가속도는 다음과 같다.2 ρ/dt2 )'''u'''ρ + 2(dρ/dt)'''u'''θ (dθ/dt) - ρ'''u'''ρ (dθ/dt)2 + ρ'''u'''θ (d2 θ/dt2 )ρ [(d2 ρ/dt2 ) - ρ(dθ/dt)2 ] + '''u'''θ [2(dρ/dt)(dθ/dt) + ρ(d2 θ/dt2 )]ρ [(dvρ /dt) - (vθ 2 /ρ)] + '''u'''θ [(2/ρ)vρ vθ + ρ(d/dt)(vθ /ρ)]θ 이고:ρ [-ρ(dθ/dt)2 ] + '''u'''θ [ρ(d2 θ/dt2 )] = '''u'''ρ [-(v2 /r)] + '''u'''θ [(dv/dt)]θ .오일러 힘 이라고 불린다.ρ '''와 '''uθ '''로 정의된 좌표계와 길이 |'''r'''(''t'')| = ''ρ''와 간접적으로만 관련된다. 따라서 일반적인 경우에는 위의 일반적인 가속도 방정식에서 구심력과 오일러 항을 분리하기가 간단하지 않다.곡선 상의 평면 운동에 대한 국소 좌표계. 곡선을 따라 거리 ''s''와 ''s'' + ''ds''에 대해 두 개의 서로 다른 위치가 표시되어 있습니다. 각 위치 ''s''에서 단위 벡터 '''u'''n 은 곡선의 바깥쪽 법선을 따라 향하고 단위 벡터 '''u'''t 는 경로에 접선입니다. 경로의 곡률 반지름은 호 길이에 대한 접선의 회전율로 구해지는 ρ이며 위치 ''s''에서 접촉원의 반지름입니다. 왼쪽의 단위원은 ''s''에 대한 단위 벡터의 회전을 보여줍니다. s = s(t) \ . n (''s'')을 따라 선상에서 곡선으로부터 거리 ''ρ''(곡률 반지름)에 위치하도록 정의된다. 호 길이 ''s''에서 필요한 거리 ''ρ''(''s'')는 곡선의 접선 회전율로 정의되며, 이는 경로 자체에 의해 결정된다. 어떤 시작 위치에 대한 접선의 방향이 ''θ''(''s'')라면, ''ρ''(''s'')는 도함수 d''θ''/d''s''로 정의된다.\frac{1} {\rho (s)} = \kappa (s) = \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\ . \omega(s) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\rho(s)}\ \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{v(s)}{\rho(s)}\ , v(s) = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\ . \frac{d\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{d\theta}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{1}{\rho} \ ; \frac{d\mathbf{u}_\mathrm{t}(s)}{\mathrm{d}s} = -\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = - \mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{1}{\rho} \ . \mathbf{v}(t) = v \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\ ; \mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{t}(s) - \frac{v^2}{\rho}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ; 접선 가속도 \frac{\mathrm{\mathrm{d}}v}{\mathrm{\mathrm{d}}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ v \ . 4. 3. 1. 극좌표
위 결과는 극좌표 를 사용하여 더 간단하게 유도할 수 있으며, 동시에 다음과 같이 평면 내의 일반적인 운동으로 확장할 수 있다. 평면의 극좌표는 방사 단위 벡터 '''u'''ρ 와 각 단위 벡터 '''u'''θ 를 사용한다.ρ ρ 는 입자와 함께 이동하며 항상 '''r'''(''t'')와 같은 방향을 가리킨다. 단위 벡터 '''u'''θ 또한 입자와 함께 이동하며 '''u'''ρ 에 대해 직교한다. 따라서 '''u'''ρ 와 '''u'''θ 는 입자에 부착되고 입자가 이동한 경로에 연결된 국소 직교 좌표계를 형성한다.ρ 와 '''u'''θ 가 '''r'''(''t'')와 같은 각도 ''θ''(''t'')를 가진 단위원의 둘레를 따라 앞뒤로 추적하는 직각 쌍을 형성하는 것을 알 수 있다.ρ + ρ(d'''u'''ρ /dt)ρ 의 도함수가 필요하다. '''u'''ρ 는 단위 벡터이기 때문에 크기는 고정되어 있으며 방향만 변경될 수 있다. 즉, 그 변화 d'''u'''ρ 는 '''u'''ρ 에 수직인 성분만 갖는다. 궤적 '''r'''(''t'')가 d''θ''만큼 회전하면 '''r'''(''t'')와 같은 방향을 가리키는 '''u'''ρ 도 d''θ''만큼 회전한다. 따라서 '''u'''ρ 의 변화는 다음과 같다.ρ = '''u'''θ dθρ /dt) = '''u'''θ (dθ/dt)θ 의 변화율을 구할 수 있다. '''u'''ρ 와 마찬가지로 '''u'''θ 는 단위 벡터이며 크기를 변경하지 않고 회전만 할 수 있다. 궤적 '''r'''(''t'')가 d''θ''만큼 회전하는 동안 '''u'''ρ 에 대해 직교를 유지하기 위해 '''r'''(''t'')에 직교하는 '''u'''θ 도 d''θ''만큼 회전한다. 따라서 변화 d'''u'''θ 는 '''u'''θ 에 직교하고 d''θ''에 비례한다.θ /dt) = -(dθ/dt)'''u'''ρ ρ 가 d''θ''에 대해 양수이면 d'''u'''θ 는 감소해야 한다.ρ 의 도함수를 속도에 대한 식에 대입하면:ρ + ρ'''u'''θ (dθ/dt) = vρ '''u'''ρ + vθ '''u'''θ = '''v'''ρ + '''v'''θ 2 ρ/dt2 )'''u'''ρ + (dρ/dt)(d'''u'''ρ /dt) + (dρ/dt)'''u'''θ (dθ/dt) + ρ(d'''u'''θ /dt)(dθ/dt) + ρ'''u'''θ (d2 θ/dt2 )ρ 와 '''u'''θ 의 도함수를 대입하면 입자의 가속도는 다음과 같다.2 ρ/dt2 )'''u'''ρ + 2(dρ/dt)'''u'''θ (dθ/dt) - ρ'''u'''ρ (dθ/dt)2 + ρ'''u'''θ (d2 θ/dt2 )ρ [(d2 ρ/dt2 ) - ρ(dθ/dt)2 ] + '''u'''θ [2(dρ/dt)(dθ/dt) + ρ(d2 θ/dt2 )]ρ [(dvρ /dt) - (vθ 2 /ρ)] + '''u'''θ [(2/ρ)vρ vθ + ρ(d/dt)(vθ /ρ)]θ 이고:ρ [-ρ(dθ/dt)2 ] + '''u'''θ [ρ(d2 θ/dt2 )] = '''u'''ρ [-(v2 /r)] + '''u'''θ [(dv/dt)]θ .오일러 힘 이라고 불린다.ρ '''와 '''uθ '''로 정의된 좌표계와 길이 |'''r'''(''t'')| = ''ρ''와 간접적으로만 관련된다. 따라서 일반적인 경우에는 위의 일반적인 가속도 방정식에서 구심력과 오일러 항을 분리하기가 간단하지 않다.4. 3. 2. 국소 좌표
s = s(t) \ . n (''s'')을 따라 선상에서 곡선으로부터 거리 ''ρ''(곡률 반지름)에 위치하도록 정의된다. 호 길이 ''s''에서 필요한 거리 ''ρ''(''s'')는 곡선의 접선 회전율로 정의되며, 이는 경로 자체에 의해 결정된다. 어떤 시작 위치에 대한 접선의 방향이 ''θ''(''s'')라면, ''ρ''(''s'')는 도함수 d''θ''/d''s''로 정의된다.\frac{1} {\rho (s)} = \kappa (s) = \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\ . \omega(s) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\rho(s)}\ \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{v(s)}{\rho(s)}\ , v(s) = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\ . \frac{d\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{d\theta}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{1}{\rho} \ ; \frac{d\mathbf{u}_\mathrm{t}(s)}{\mathrm{d}s} = -\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = - \mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{1}{\rho} \ . \mathbf{v}(t) = v \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\ ; \mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{t}(s) - \frac{v^2}{\rho}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ; 접선 가속도 \frac{\mathrm{\mathrm{d}}v}{\mathrm{\mathrm{d}}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ v \ .
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