구심력

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1. 개요

구심력은 물체가 원운동을 할 때 원의 중심 방향으로 작용하는 힘이다. 구심력의 크기는 질량, 속도, 반지름에 의해 결정되며, 각속도, 공전 주기, 상대성 이론을 고려한 형태로도 표현할 수 있다. 구심력은 밧줄의 장력, 수직항력, 중력, 자기력 등 다양한 힘에 의해 발생하며, 물체의 궤적의 곡률 중심을 향한다.

구심력

개요

정의	물체가 원의 중심을 향해 움직이도록 하는 힘
방향	원의 중심

수식

구심력 (F)	질량 (m) × 속도 (v)^2 / 원의 반지름 (r) 또는 질량 (m) × 각속도 (ω)^2 × 원의 반지름 (r)
F	구심력
m	질량
v	속도
r	원의 반지름
ω	각속도

설명

특징	항상 운동 방향에 수직으로 작용한다. 물체의 속력은 변화시키지 않고 운동 방향만 변화시킨다. 알짜힘이다.

예시

예시	행성이 태양 주위를 공전하는 힘 (중력) 자동차가 원형 도로를 주행할 때 작용하는 힘 (마찰력) 끈에 매달린 물체를 회전시킬 때 끈이 물체를 당기는 힘 (장력)

주의 사항

구심력과 원심력	구심력은 실제 힘이고, 원심력은 관성력이다.

관련 개념	회전 운동, 원심력, 관성력

2. 구심력의 공식

질량이 m 인 물체가 v 의 속도로 반지름 r 의 원운동을 할 때 받는 구심력의 크기는 다음과 같다.

: $F = ma_c = \frac{m v^2}{r}$

: $a_c$ 는 구심 가속도이다. 원운동을 하는 물체가 받는 힘의 방향은 원의 중심이다. 힘이 속도의 제곱에 비례하므로 속도가 2배가 되면 힘은 4배가 된다. 반지름이 힘에 반비례 하므로 반지름이 절반이 되면 같은 속도를 내기 위해선 힘이 두배가 되어야 한다. 구심력은 각속도 ω 로도 표현할 수 있다. 각속도와 속도의 관계는

: $v = \omega r$

이므로 다음과 같다.

: $F = m r \omega^2 \,.$

공전주기 T를 이용하여 식을 표현할 수도 있다. 공전주기와 각속도의 관계는

: $\omega = \frac{2\pi}{T} \,.$

이므로 다음과 같다.

: $F = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$

입자가속기에선 입자가 빛의 속도에 가깝게 가속되므로 특수 상대성 이론에 따라 관성이 커지므로 똑같이 가속시키기 위해선 더 많은 힘이 필요할 것이다. 특수 상대성 이론을 고려하면

: $F = \frac{\gamma m v^2}{r}$

으로 나타낼 수 있다. 여기서 γ는

: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

이며 로런츠 인자라 불린다.

곡률 반지름 r을 갖는 경로를 따라 접선 속도 v로 움직이는 물체는 곡률 중심을 향해 가속된다.

: $a_c = \frac{v^2}{r}$

여기서 $a_c$ 는 구심 가속도이다.

뉴턴의 운동 제2법칙에 따르면, 가속도의 원인은 물체에 작용하는 알짜힘이며, 이 힘은 질량 m과 가속도에 비례한다. 이 힘의 크기는

: $F_c = ma_c = m\frac{v^2}{r}$

이며, 구심 가속도와 마찬가지로 물체의 궤적의 곡률 중심을 향한다.

힘의 방향은 원운동의 경우 물체가 운동하고 있는 원의 중심을 향하고 있다. 운동 궤적이 원이 아닌 경우에는, 부분적인 궤적에 가장 일치하는 접촉원의 중심을 향한다.

이 힘은 각속도 $\omega$ 를 사용하여 $v=r \omega$ 에 의해 다시 쓸 수 있다.

: $F=mr \omega^2$

2.1. 각속도를 이용한 표현

질량이 m 인 물체가 v 의 속도로 반지름 r 의 원운동을 할 때 받는 구심력의 크기는 다음과 같다.

: $F = ma_c = \frac{m v^2}{r}$

여기서 $a_c$ 는 구심 가속도이다. 구심력은 각속도 ω 로도 표현할 수 있다. 각속도와 속도의 관계는

: $v = \omega r$

이므로 구심력 공식은 다음과 같다.

: $F = m r \omega^2 \,.$

공전주기 T를 이용하여 식을 표현할 수도 있다. 공전주기와 각속도의 관계는

: $\omega = \frac{2\pi}{T} \,.$

이므로 구심력 공식은 다음과 같이 표현 가능하다.

: $F = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$

구심 가속도는 두 시점의 속도 벡터 다이어그램에서 유추할 수 있다.
힘의 방향은 물체가 움직이는 원의 중심 또는 접촉원(경로가 원형이 아닌 경우 물체의 국부 경로에 가장 잘 맞는 원)을 향한다.

2.2. 공전 주기를 이용한 표현

질량이 m 인 물체가 공전 주기 T를 이용하여 구심력을 표현할 수 있다. 각속도와 공전 주기의 관계는
: $\omega = \frac{2\pi}{T} \,.$
이므로 구심력은 다음과 같다.

: $F = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$

2.3. 상대성 이론을 고려한 표현

구심 가속도는 두 시점의 속도 벡터 다이어그램에서 유추할 수 있다. 등속 원운동의 경우 속도의 크기는 일정하다. 각 속도 벡터는 각 위치 벡터에 수직이므로, 간단한 벡터 뺄셈을 통해 두 개의 유사한 이등변삼각형이 합동인 각도를 갖는다는 것을 알 수 있다. 하나는 크기가

\Delta \textbf{v}

인 밑변과 크기가

v

인 변을 갖고, 다른 하나는 크기가

\Delta \textbf{r}

(위치 벡터의 차이)인 밑변과 크기가

r

인 변을 갖는다.

:

\frac

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{v} = \frac

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{r}
:

|\Delta \textbf{v}| = \frac{v}{r}|\Delta \textbf{r}|

따라서,

|\Delta\textbf{v}|

는

\frac{v}{r} |\Delta \textbf{r}|

로 대체될 수 있다.

:

a_c = \lim_{\Delta t \to 0} \frac

👆

좌우로 밀어서 보기

{\Delta t} = \frac{v}{r} \lim_{\Delta t \to 0} \frac

👆

좌우로 밀어서 보기

{\Delta t} = \frac{v^2}{r}

힘의 방향은 물체가 움직이는 원의 중심 또는 접촉원(경로가 원형이 아닌 경우 물체의 국부 경로에 가장 잘 맞는 원)을 향한다. 공식에서 속도는 제곱되므로, 주어진 반지름에서 속도가 두 배가 되면 힘은 네 배가 된다.

이 힘은 때때로 물체의 원 중심에 대한 각속도 ω(접선 속도와 다음 공식으로 관련됨)로 표현되기도 한다.

:

v = \omega r

따라서

:

F_c = m r \omega^2 \,.

원의 한 바퀴 회전에 대한 공전 주기 T를 사용하여 표현하면,

:

\omega = \frac{2\pi}{T}

방정식은 다음과 같이 된다.

:

F_c = m r \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.

입자 가속기에서는 속도가 매우 높을 수 있으므로(진공 중 빛의 속도에 가까움) 같은 정지 질량이 더 큰 관성(상대론적 질량)을 나타내어 같은 구심 가속도에 더 큰 힘이 필요하므로 방정식은 다음과 같이 된다.

:

F_c = \frac{\gamma m v^2}{r}

여기서

:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

는 로렌츠 인자이다.

따라서 구심력은 다음과 같이 주어진다.

:

F_c = \gamma m v \omega

이는 상대론적 운동량

\gamma m v

의 변화율이다.

3. 구심력의 발생

줄 끝에 묶여있는 물체가 수평면을 따라서 원운동을 하는 경우, 물체에 가해지는 구심력은 밧줄의 장력에 의해 가해진다. 이때 밧줄의 경우 끌어당기는 힘이 구심력으로 작용한다. 벽의 수직항력에 의한 미는힘도 구심력으로 작용할 수 있다. 뉴턴이 생각했던 구심력은 현대의 중심력에 해당한다. 어떤 인공위성이 행성의 주변에서 궤도운동을 할 때, 중력이 구심력으로 작용한다. 편심성 궤도의 경우 중력의 방향은 초점으로 향하지만, 구심력은 곡률중심을 향하지 않는다.

일정한 원운동을 하는 물체는 구심력을 필요로 한다. 구심력은 원의 중심을 향한다.

자기장 내에서 나선운동하는 하전입자의 경우 자기력이 구심력으로 작용한다. 행성 주위 궤도에 있는 위성에서는, 구심력은 위성과 행성 사이의 중력에 의해 제공된다. 중력은 두 물체 모두에 작용하며, 그 방향은 두 물체의 질량중심을 향한다. 원궤도 운동에서는 이 중력의 중심이 원궤도의 중심이다. 원궤도가 아닌 경우나 호의 경우에는, 궤도에 수직인 중력 성분만이 구심력이 된다. 나머지 중력 성분은 위성의 속도를 가속 또는 감속시키는 역할을 한다.

아이작 뉴턴의 저서를 포함한 일부 문헌에서는 중력의 전부가 구심력이라고 설명하고 있지만, 궤도가 원이 아닌 경우에는 엄밀히 말해 정확하지 않다.

줄의 끝에 매달아 수직 축을 따라 회전시킨 물체에서는, 줄의 장력의 수평 성분이 구심력이 되어 회전축을 향해 작용한다. 자전하는 물체에서는, 내부의 인장응력이 구심력이 되어 물체의 모든 부분이 함께 원운동을 한다.

4. 여러 가지 경우의 분석

행성 주위 궤도에 있는 위성에서는, 구심력은 위성과 행성 사이의 중력에 의해 제공된다. 중력은 두 물체 모두에 작용하며, 그 방향은 두 물체의 질량중심을 향한다. 원궤도 운동에서는 이 중력의 중심이 원궤도의 중심이다. 원궤도가 아닌 경우나 호의 경우에는, 궤도에 수직인 중력 성분만이 구심력이 된다. 나머지 중력 성분은 위성의 속도를 가속 또는 감속시키는 역할을 한다.

아이작 뉴턴의 저서를 포함한 일부 문헌에서는 중력의 전부가 구심력이라고 설명하고 있다. 이것은 궤도가 원이 아닌 경우에는 엄밀히 말해 정확하지 않다. 앞서 언급한 공식은 이러한 경우에는 적용할 수 없다.

줄의 끝에 매달아 수직 축을 따라 회전시킨 물체에서는, 줄의 장력의 수평 성분이 구심력이 되어 회전축을 향해 작용한다. 자전하는 물체에서는, 내부의 인장응력이 구심력이 되어 물체의 모든 부분이 함께 원운동을 한다.

4.1. 등속 원운동

등속 원운동은 일정한 회전율을 가진 경우를 말한다. 이 경우를 설명하는 두 가지 방법이 있다.

행성 주위 궤도에 있는 위성에서는, 구심력은 위성과 행성 사이의 중력에 의해 제공된다. 중력은 두 물체 모두에 작용하며, 그 방향은 두 물체의 질량중심을 향한다. 원궤도 운동에서는 이 중력의 중심이 원궤도의 중심이다. 원궤도가 아닌 경우나 호의 경우에는, 궤도에 수직인 중력 성분만이 구심력이 된다. 나머지 중력 성분은 위성의 속도를 가속 또는 감속시키는 역할을 한다.

한편, 아이작 뉴턴의 저서를 포함한 일부 문헌에서는 중력의 전부가 구심력이라고 설명하고 있다. 이것은 궤도가 원이 아닌 경우에는 엄밀히 말해 정확하지 않다. 앞서 언급한 공식은 이러한 경우에는 적용할 수 없다.

줄의 끝에 매달아 수직 축을 따라 회전시킨 물체에서는, 줄의 장력의 수평 성분이 구심력이 되어 회전축을 향해 작용한다. 자전하는 물체에서는, 내부의 인장응력이 구심력이 되어 물체의 모든 부분이 함께 원운동을 한다.

4.1.1. 미적분을 이용한 유도

2차원에서 크기(길이)가 r이고 x축 위로 θ 각도를 이루는 위치 벡터 r는 직교 좌표계를 사용하여 단위 벡터 $\hat\mathbf x$ 와 $\hat\mathbf y$ 로 다음과 같이 표현할 수 있다.

r = r cos(θ) $\hat\mathbf x$ + r sin(θ) $\hat\mathbf y$ .

등속 원운동을 가정하려면 세 가지 조건이 필요하다.
# 물체는 원 위에서만 움직인다.
# 원의 반지름 r은 시간에 따라 변하지 않는다.
# 물체는 원 주위를 일정한 각속도 ω로 움직인다. 따라서 θ = ωt이고, 여기서 t는 시간이다.

운동의 속도 v와 가속도 a는 시간에 대한 위치의 1차 및 2차 미분이다.

r = r cos(ωt) $\hat\mathbf x$ + r sin(ωt) $\hat\mathbf y$ ,

v = $\dot{\textbf{r}}$ = - r ω sin(ωt) $\hat\mathbf x$ + r ω cos(ωt) $\hat\mathbf y$ ,

a = $\ddot{\textbf{r}}$ = - ω² (r cos(ωt) $\hat\mathbf x$ + r sin(ωt) $\hat\mathbf y$ ).

괄호 안의 항은 직교 좌표계에서 r의 원래 표현식이다. 따라서,

a = - ω² r.

음의 부호는 가속도가 원의 중심을 향하고 있음(반지름과 반대 방향)을 나타내며, 따라서 "구심"(즉, "중심을 향하는")이라고 불린다. 물체는 관성 때문에 자연스럽게 직선 경로를 따르지만, 이 구심 가속도는 구심력에 의해 발생하는 원운동 경로를 설명한다.

4.1.2. 벡터를 이용한 유도

등속 원운동의 벡터 관계; 회전을 나타내는 벡터 Ω는 오른손 법칙에 따라 결정되는 극성을 가진 궤도면에 수직이며, 크기는 dθ /dt이다.

오른쪽 그림은 등속 원운동의 벡터 관계를 보여준다. 회전 자체는 각속도 벡터 Ω로 표현되는데, 이 벡터는 (오른손 법칙)을 사용하여 궤도면에 수직이며, 크기는 다음과 같이 주어진다.

:

|\mathbf{\Omega}| = \frac {\mathrm{d} \theta } {\mathrm{d}t} = \omega \ ,

여기서 θ는 시간 t에서의 각도 위치이다. 이 절에서는 dθ/dt는 시간에 무관하게 일정하다고 가정한다. 시간 dt 동안 원형 경로를 따라 입자가 이동한 거리 dℓ는 다음과 같다.

:

\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t) \mathrm{d}t \ ,

이는 벡터 외적의 성질에 따라 크기가 rdθ이고 원형 경로에 접하는 방향이다.

결과적으로,

:

\frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \lim_{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{\boldsymbol{\ell}}}{\mathrm{d}t} = \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)\ .

시간에 대해 미분하면,

\mathbf{a}\ \stackrel{\mathrm{def}}{ = }\ \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}} {d\mathrm{t}} = \mathbf {\Omega} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} = \mathbf{\Omega} \times \left[ \mathbf {\Omega} \times \mathbf{r}(t)\right] \ .

라그랑주 공식은 다음과 같이 명시한다.

\mathbf{a} \times \left ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \right ) = \mathbf{b} \left ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \right ) - \mathbf{c} \left ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right ) \ .

Ω • r(t)는 항상 0이라는 관찰을 사용하여 라그랑주 공식을 적용하면,

\mathbf{a} = -

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}^2 \mathbf{r}(t) \ .

즉, 가속도는 항상 반지름 변위 r와 정반대 방향을 가리키며, 크기는 다음과 같다.

|\mathbf{a}| = |\mathbf{r}(t)| \left ( \frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} \right) ^2 = r {\omega}^2

여기서 세로 막대 |...|는 벡터의 크기를 나타내며, r(t)의 경우에는 단순히 경로의 반지름 r이다. 이 결과는 이전 절의 결과와 일치하지만 표기법이 약간 다르다.

비등속 원운동의 분석에서 회전 속도를 일정하게 만들면 그 분석은 이 분석과 일치한다.

벡터 접근 방식의 장점은 어떤 좌표계에도 명백하게 독립적이라는 것이다.

4.1.3. 예시: 경사진 도로에서의 회전

상단 패널: 일정한 속도 v로 경사가 진 원형 트랙을 따라 움직이는 공; 하단 패널: 공에 작용하는 힘

오른쪽 그림의 상단 패널은 경사진 곡선에서 원운동하는 공을 보여준다. 곡선은 수평면에서 θ 각도로 경사져 있으며, 도로 표면은 미끄럽다고 가정한다. 목표는 공이 도로에서 미끄러지지 않도록 경사각을 얼마나 만들어야 하는지 알아내는 것이다. 직관적으로, 전혀 경사가 없는 평평한 곡선에서는 공이 단순히 도로에서 미끄러질 것이고, 매우 가파른 경사에서는 빠르게 곡선을 주행하지 않는 한 공이 중심으로 미끄러질 것이다.

경로 방향으로 발생할 수 있는 가속도를 제외하고, 위 그림의 하단 패널은 공에 작용하는 힘을 나타낸다. 힘은 두 가지가 있다. 하나는 공의 질량 중심을 통해 수직 아래쪽으로 작용하는 중력 mg이고, 여기서 m은 공의 질량이고 g는 중력 가속도이다. 다른 하나는 도로 표면에 수직으로 작용하는 위쪽 수직항력 ma_n이다. 곡선 운동에 필요한 구심력도 위에 표시되어 있다. 이 구심력은 공에 작용하는 세 번째 힘이 아니고, 오히려 수직항력과 중력의 벡터 합으로 인한 공에 대한 알짜힘에 의해 제공되어야 한다. 도로에 의해 작용하는 수직항력과 중력에 의한 수직력의 벡터 합으로 구해진 공에 대한 합력 또는 알짜힘은 원형 경로를 따라 이동해야 할 필요에 따라 결정되는 구심력과 같아야 한다. 이 알짜힘이 운동에 필요한 구심력을 제공하는 한 곡선 운동은 유지된다.

공에 작용하는 수평 알짜힘은 도로에서 나오는 힘의 수평 성분이며, 크기는 F_h = ma_n sin θ 이다. 도로에서 나오는 힘의 수직 성분은 중력을 상쇄해야 한다. F_v = ma_n cos θ = mg , 즉 a_n = g / cos θ}} 를 의미한다. F_h}} 에 대한 위 공식에 대입하면 수평력은 다음과 같다.

|\mathbf{F}_\mathrm{h}| = m |\mathbf{g}| \frac { \sin \theta}{ \cos \theta} = m|\mathbf{g}| \tan \theta \, .

반면에, 반지름 r의 원형 경로에서 속도 |v|일 때, 운동학에 따르면 공을 계속해서 회전시키는 데 필요한 힘은 크기가 F_c인 안쪽으로 향하는 구심력이다.

|\mathbf{F}_\mathrm{c}| = m |\mathbf{a}_\mathrm{c}| = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{r} \, .

결과적으로, 도로의 각도가 다음 조건을 만족하도록 설정될 때 공은 안정적인 경로에 있다.

m |\mathbf{g}| \tan \theta = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{r} \, ,

또는,

\tan \theta = \frac {|\mathbf{v}|^2} {|\mathbf{g}|r} \, .

경사각 θ가 90°에 가까워짐에 따라 탄젠트 함수는 무한대로 접근하여 |v|²/r의 더 큰 값을 허용한다. 다시 말해, 이 방정식은 더 높은 속도(더 큰 |v|)의 경우 도로의 경사가 더 가파라야 함을(더 큰 θ 값) 그리고 더 급격한 회전(더 작은 r)의 경우에도 도로의 경사가 더 가파라야 함을 나타내는데, 이는 직관과 일치한다. 각도 θ가 위 조건을 만족하지 않으면, 도로에 의해 작용하는 힘의 수평 성분이 올바른 구심력을 제공하지 않고, 도로 표면에 접선 방향의 추가적인 마찰력이 차이를 제공해야 한다. 마찰이 이것을 할 수 없다면(마찰 계수가 초과되면) 공은 균형을 이룰 수 있는 다른 반지름으로 미끄러진다.

이러한 아이디어는 항공에도 적용된다. FAA 조종사 매뉴얼을 참조하십시오.

4.2. 비등속 원운동

등속 원운동의 일반화로서, 회전의 각속도가 일정하지 않은 경우를 비등속 원운동이라고 한다. 이 경우 가속도는 접선 성분을 갖는다. 가속도의 방사 성분과 접선 성분은 다음과 같다.

:

\mathbf{a}_{r} = - \omega^{2} r \ \mathbf{u}_r = - \frac{|\mathbf{v}|^2}{r} \ \mathbf{u}_r

\mathbf{a}_\theta = r \ \frac {d\omega}{dt} \ \mathbf{u}_\theta = \frac {d | \mathbf{v} | }{dt} \ \mathbf{u}_\theta \ ,

여기서 는 속도의 크기(속력)이다.

이 방정식은 속도가 변하는 원형 경로를 따라 움직이는 물체의 경우, 물체의 가속도는 운동 방향을 바꾸는 수직 성분(구심 가속도)과 속도를 바꾸는 평행 또는 접선 성분으로 분해될 수 있음을 수학적으로 나타낸다.

4.3. 일반적인 평면 운동

궤적 r(t)를 갖는 입자에 대한 두 시점 t와 t + dt에서의 극단위 벡터. 왼쪽에는 두 시점에서의 단위 벡터 uρ와 uθ의 꼬리가 모두 만나도록 이동되었으며, 단위 반지름 원의 호를 따라 그려짐을 보여준다. 시간 dt 동안의 회전은 dθ이며, 궤적 r(t)의 회전 각도와 같다. — 궤적 r(t)를 갖는 입자에 대한 두 시점 t와 t + dt에서의 극단위 벡터. 왼쪽에는 두 시점에서의 단위 벡터 u_ρ와 u_θ의 꼬리가 모두 만나도록 이동되었으며, 단위 반지름 원의 호를 따라 그려짐을 보여준다. 시간 dt 동안의 회전은 dθ이며, 궤적 r(t)의 회전 각도와 같다.

입자가 움직일 때 속도는 다음과 같다.

:v = (dρ/dt)u_ρ + ρ(du_ρ/dt)

속도를 평가하려면 단위 벡터 u_ρ의 도함수가 필요하다. u_ρ는 단위 벡터이기 때문에 크기는 고정되어 있으며 방향만 변경될 수 있다. 즉, 그 변화 du_ρ는 u_ρ에 수직인 성분만 갖는다. 궤적 r(t)가 dθ만큼 회전하면 r(t)와 같은 방향을 가리키는 u_ρ도 dθ만큼 회전한다. 따라서 u_ρ의 변화는 다음과 같다.

:du_ρ = u_θdθ

또는

:(du_ρ/dt) = u_θ(dθ/dt)

마찬가지로 u_θ의 변화율을 구할 수 있다. u_ρ와 마찬가지로 u_θ는 단위 벡터이며 크기를 변경하지 않고 회전만 할 수 있다. 궤적 r(t)가 dθ만큼 회전하는 동안 u_ρ에 대해 직교를 유지하기 위해 r(t)에 직교하는 u_θ도 dθ만큼 회전한다. 따라서 변화 du_θ는 u_θ에 직교하고 dθ에 비례한다.

:(du_θ/dt) = -(dθ/dt)u_ρ

위 식은 부호가 음수임을 보여준다. 직교성을 유지하려면, du_ρ가 dθ에 대해 양수이면 du_θ는 감소해야 한다.

u_ρ의 도함수를 속도에 대한 식에 대입하면:

:v = (dρ/dt)u_ρ + ρu_θ(dθ/dt) = v_ρu_ρ + v_θu_θ = v_ρ + v_θ

가속도를 얻으려면 시간 미분을 한 번 더 수행한다.

:a = (d²ρ/dt²)u_ρ + (dρ/dt)(du_ρ/dt) + (dρ/dt)u_θ(dθ/dt) + ρ(du_θ/dt)(dθ/dt) + ρu_θ(d²θ/dt²)

u_ρ와 u_θ의 도함수를 대입하면 입자의 가속도는 다음과 같다.

:a = (d²ρ/dt²)u_ρ + 2(dρ/dt)u_θ(dθ/dt) - ρu_ρ(dθ/dt)² + ρu_θ(d²θ/dt²)
= u_ρ[(d²ρ/dt²) - ρ(dθ/dt)²] + u_θ[2(dρ/dt)(dθ/dt) + ρ(d²θ/dt²)]
= u_ρ[(dv_ρ/dt) - (v_θ²/ρ)] + u_θ[(2/ρ)v_ρv_θ + ρ(d/dt)(v_θ/ρ)]

특정한 예로, 입자가 일정한 반지름 R의 원형으로 움직이는 경우 dρ/dt = 0, v = v_θ이고:

:a = u_ρ[-ρ(dθ/dt)²] + u_θ[ρ(d²θ/dt²)] = u_ρ[-(v²/r)] + u_θ[(dv/dt)]

여기서 v = v_θ.

이 결과는 등속원운동이 아닌 경우에 대한 위 결과와 일치한다. 등속원운동이 아닌 경우에 대한 문서도 참조하라. 이 가속도에 입자 질량을 곱하면, 첫 번째 항은 구심력이고, 각가속도와 관련된 두 번째 항의 음수는 때때로 오일러 힘이라고 불린다.

원운동 이외의 궤적, 예를 들어 더 일반적인 궤적의 경우, 궤적의 순간 회전 중심과 곡률 반지름은 u_ρ와 u_θ로 정의된 좌표계와 길이 |r(t)| = ρ와 간접적으로만 관련된다. 따라서 일반적인 경우에는 위의 일반적인 가속도 방정식에서 구심력과 오일러 항을 분리하기가 간단하지 않다.

곡선 상의 평면 운동에 대한 국소 좌표계. 곡선을 따라 거리 s와 s + ds에 대해 두 개의 서로 다른 위치가 표시되어 있습니다. 각 위치 s에서 단위 벡터 un은 곡선의 바깥쪽 법선을 따라 향하고 단위 벡터 ut는 경로에 접선입니다. 경로의 곡률 반지름은 호 길이에 대한 접선의 회전율로 구해지는 ρ이며 위치 s에서 접촉원의 반지름입니다. 왼쪽의 단위원은 s에 대한 단위 벡터의 회전을 보여줍니다. — 곡선 상의 평면 운동에 대한 국소 좌표계. 곡선을 따라 거리 s와 s + ds에 대해 두 개의 서로 다른 위치가 표시되어 있습니다. 각 위치 s에서 단위 벡터 u_n은 곡선의 바깥쪽 법선을 따라 향하고 단위 벡터 u_t는 경로에 접선입니다. 경로의 곡률 반지름은 호 길이에 대한 접선의 회전율로 구해지는 ρ이며 위치 s에서 접촉원의 반지름입니다. 왼쪽의 단위원은 s에 대한 단위 벡터의 회전을 보여줍니다.

국소 좌표계는 입자와 함께 이동하고, 입자의 경로에 의해 방향이 결정되는 좌표계를 의미한다. 오른쪽 그림과 같이 경로에 접선 및 법선인 단위 벡터가 형성된다. 이 좌표계는 때때로 내재적 또는 경로 좌표 또는 이러한 단위 벡터를 가리키는 nt 좌표라고도 한다. 이러한 좌표는 미분 형식 이론의 보다 일반적인 국소 좌표 개념의 매우 특수한 예이다.

입자의 경로를 따라 거리는 호 길이 s이며, 시간의 알려진 함수로 간주된다.

:

s = s(t) \ .

곡률 중심은 각 위치 s에 법선 u_n(s)을 따라 선상에서 곡선으로부터 거리 ρ(곡률 반지름)에 위치하도록 정의된다. 호 길이 s에서 필요한 거리 ρ(s)는 곡선의 접선 회전율로 정의되며, 이는 경로 자체에 의해 결정된다. 어떤 시작 위치에 대한 접선의 방향이 θ(s)라면, ρ(s)는 도함수 dθ/ds로 정의된다.

:

\frac{1} {\rho (s)} = \kappa (s) = \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\ .

곡률 반지름은 일반적으로 양수(즉, 절대값)로 취하는 반면, 곡률 κ는 부호가 있는 양이다.

곡률 중심과 곡률 반지름을 찾는 기하학적 방법은 접촉원으로 이어지는 극한 과정을 사용한다. 위 그림을 참조하라.

이러한 좌표를 사용하면 경로를 따라 이동이 중심이 끊임없이 변하는 원형 경로의 연속으로 간주되며, 각 위치 s는 반지름 ρ를 갖는 해당 위치에서 비균일 원운동을 구성한다. 그러면 국소 각속도는 다음과 같이 주어진다.

:

\omega(s) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\rho(s)}\ \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{v(s)}{\rho(s)}\ ,

국소 속도 v는 다음과 같이 주어진다.

:

v(s) = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\ .

위의 다른 예와 마찬가지로 단위 벡터는 크기가 변할 수 없기 때문에 그 변화율은 항상 방향에 수직이다(위 그림의 왼쪽 삽입 그림 참조):

:

\frac{d\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{d\theta}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{1}{\rho} \ ;

\frac{d\mathbf{u}_\mathrm{t}(s)}{\mathrm{d}s} = -\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = - \mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{1}{\rho} \ .

결과적으로 속도와 가속도는 다음과 같다.
:

\mathbf{v}(t) = v \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\ ;

그리고 미분의 연쇄 법칙을 사용하여:

:

\mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{t}(s) - \frac{v^2}{\rho}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ;

접선 가속도

\frac{\mathrm{\mathrm{d}}v}{\mathrm{\mathrm{d}}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ v \ .

이 국소 좌표계에서 가속도는 국소 반지름 ρ(s)를 갖는 비균일 원운동에 대한 표현과 유사하며, 구심 가속도는 두 번째 항으로 식별된다.

이 방법을 3차원 공간 곡선으로 확장하면 프레네-세르레 공식이 생성된다.

4.3.1. 극좌표

위 결과는 극좌표를 사용하여 더 간단하게 유도할 수 있으며, 동시에 다음과 같이 평면 내의 일반적인 운동으로 확장할 수 있다. 평면의 극좌표는 방사 단위 벡터 u_ρ와 각 단위 벡터 u_θ를 사용한다. 위치 r에 있는 입자는 다음과 같이 기술된다.

:r = ρu_ρ

여기서 기호 ρ는 이 거리가 고정되어 있지 않고 시간에 따라 변한다는 것을 강조하기 위해 R 대신 원점으로부터의 경로 거리를 나타내는 데 사용된다. 단위 벡터 u_ρ는 입자와 함께 이동하며 항상 r(t)와 같은 방향을 가리킨다. 단위 벡터 u_θ 또한 입자와 함께 이동하며 u_ρ에 대해 직교한다. 따라서 u_ρ와 u_θ는 입자에 부착되고 입자가 이동한 경로에 연결된 국소 직교 좌표계를 형성한다. 단위 벡터의 꼬리를 일치시켜 움직이면 u_ρ와 u_θ가 r(t)와 같은 각도 θ(t)를 가진 단위원의 둘레를 따라 앞뒤로 추적하는 직각 쌍을 형성하는 것을 알 수 있다.

입자가 움직일 때 속도는 다음과 같다.

:v = (dρ/dt)u_ρ + ρ(du_ρ/dt)

속도를 평가하려면 단위 벡터 u_ρ의 도함수가 필요하다. u_ρ는 단위 벡터이기 때문에 크기는 고정되어 있으며 방향만 변경될 수 있다. 즉, 그 변화 du_ρ는 u_ρ에 수직인 성분만 갖는다. 궤적 r(t)가 dθ만큼 회전하면 r(t)와 같은 방향을 가리키는 u_ρ도 dθ만큼 회전한다. 따라서 u_ρ의 변화는 다음과 같다.

:du_ρ = u_θdθ

또는

:(du_ρ/dt) = u_θ(dθ/dt)

마찬가지로 u_θ의 변화율을 구할 수 있다. u_ρ와 마찬가지로 u_θ는 단위 벡터이며 크기를 변경하지 않고 회전만 할 수 있다. 궤적 r(t)가 dθ만큼 회전하는 동안 u_ρ에 대해 직교를 유지하기 위해 r(t)에 직교하는 u_θ도 dθ만큼 회전한다. 따라서 변화 du_θ는 u_θ에 직교하고 dθ에 비례한다.

:(du_θ/dt) = -(dθ/dt)u_ρ

위 식은 부호가 음수임을 보여준다. 직교성을 유지하려면, du_ρ가 dθ에 대해 양수이면 du_θ는 감소해야 한다.

u_ρ의 도함수를 속도에 대한 식에 대입하면:

:v = (dρ/dt)u_ρ + ρu_θ(dθ/dt) = v_ρu_ρ + v_θu_θ = v_ρ + v_θ

가속도를 얻으려면 시간 미분을 한 번 더 수행한다.

:a = (d²ρ/dt²)u_ρ + (dρ/dt)(du_ρ/dt) + (dρ/dt)u_θ(dθ/dt) + ρ(du_θ/dt)(dθ/dt) + ρu_θ(d²θ/dt²)

u_ρ와 u_θ의 도함수를 대입하면 입자의 가속도는 다음과 같다.

:a = (d²ρ/dt²)u_ρ + 2(dρ/dt)u_θ(dθ/dt) - ρu_ρ(dθ/dt)² + ρu_θ(d²θ/dt²)
= u_ρ[(d²ρ/dt²) - ρ(dθ/dt)²] + u_θ[2(dρ/dt)(dθ/dt) + ρ(d²θ/dt²)]
= u_ρ[(dv_ρ/dt) - (v_θ²/ρ)] + u_θ[(2/ρ)v_ρv_θ + ρ(d/dt)(v_θ/ρ)]

특정한 예로, 입자가 일정한 반지름 R의 원형으로 움직이는 경우 dρ/dt = 0, v = v_θ이고:

:a = u_ρ[-ρ(dθ/dt)²] + u_θ[ρ(d²θ/dt²)] = u_ρ[-(v²/r)] + u_θ[(dv/dt)]

여기서 v = v_θ.

이 결과는 등속원운동이 아닌 경우에 대한 위 결과와 일치한다. 등속원운동이 아닌 경우에 대한 문서도 참조하라. 이 가속도에 입자 질량을 곱하면, 첫 번째 항은 구심력이고, 각가속도와 관련된 두 번째 항의 음수는 때때로 오일러 힘이라고 불린다.

원운동 이외의 궤적, 예를 들어 더 일반적인 궤적의 경우, 궤적의 순간 회전 중심과 곡률 반지름은 u_ρ와 u_θ로 정의된 좌표계와 길이 |r(t)| = ρ와 간접적으로만 관련된다. 따라서 일반적인 경우에는 위의 일반적인 가속도 방정식에서 구심력과 오일러 항을 분리하기가 간단하지 않다.

4.3.2. 국소 좌표

s = s(t) \ .

\frac{1} {\rho (s)} = \kappa (s) = \frac {\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\ .

\omega(s) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\rho(s)}\ \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{v(s)}{\rho(s)}\ ,

국소 속도 v는 다음과 같이 주어진다.

:

v(s) = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\ .

위의 다른 예와 마찬가지로 단위 벡터는 크기가 변할 수 없기 때문에 그 변화율은 항상 방향에 수직이다(위 그림의 왼쪽 삽입 그림 참조):

:

\frac{d\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{d\theta}{ds} = \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\frac{1}{\rho} \ ;

\frac{d\mathbf{u}_\mathrm{t}(s)}{\mathrm{d}s} = -\mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = - \mathbf{u}_\mathrm{n}(s)\frac{1}{\rho} \ .

결과적으로 속도와 가속도는 다음과 같다.
:

\mathbf{v}(t) = v \mathbf{u}_\mathrm{t}(s)\ ;

그리고 미분의 연쇄 법칙을 사용하여:

:

\mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}_\mathrm{t}(s) - \frac{v^2}{\rho}\mathbf{u}_\mathrm{n}(s) \ ;

접선 가속도

\frac{\mathrm{\mathrm{d}}v}{\mathrm{\mathrm{d}}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\ v \ .

정의	물체가 원의 중심을 향해 움직이도록 하는 힘
방향	원의 중심

수식

구심력 (F)	질량 (m) × 속도 (v)^2 / 원의 반지름 (r) 또는 질량 (m) × 각속도 (ω)^2 × 원의 반지름 (r)
F	구심력
m	질량
v	속도
r	원의 반지름
ω	각속도

설명

특징	항상 운동 방향에 수직으로 작용한다. 물체의 속력은 변화시키지 않고 운동 방향만 변화시킨다. 알짜힘이다.

예시

예시	행성이 태양 주위를 공전하는 힘 (중력) 자동차가 원형 도로를 주행할 때 작용하는 힘 (마찰력) 끈에 매달린 물체를 회전시킬 때 끈이 물체를 당기는 힘 (장력)

주의 사항

구심력과 원심력	구심력은 실제 힘이고, 원심력은 관성력이다.