노달변형 회로분석

3. 예제

아래 그림은 선형 저항과 커패시터로 구성된 간단한 RC 회로이다. 분석의 편의를 위해 저항 $R$ 대신 어드미턴스 $G\; =\; 1/R$을 사용한다.

이 회로는 그라운드를 기준으로 두 개의 주요 노드($e\_1$, $e\_2$)와 세 개의 주요 전류($i\_\{V\_s\}$, $i\_\{R\}$, $i\_\{C\}$)를 가진다. 노달 변형 회로 분석법은 이러한 회로의 노드 전압을 구하는 데 사용된다. 분석 과정에는 주로 키르히호프의 전류 법칙(KCL)과 각 소자의 분기 구성 방정식(BCE)이 활용된다. 구체적인 분석 단계와 방정식 유도 과정은 이어지는 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

3. 1. 회로 분석

• 노드: 그라운드(기준 전위 0)를 제외하고 $e\_1$과 $e\_2$ 두 개의 주요 노드가 존재한다. 각 노드의 전압을 구하는 것이 분석의 주요 목표 중 하나이다.
• 전류: 회로에는 세 가지 주요 전류가 흐른다. 전압원에서 공급되는 전류 $i\_\{V\_s\}$, 저항을 통과하는 전류 $i\_\{R\}$, 커패시터를 통과하는 전류 $i\_\{C\}$이다.

회로 분석은 일반적으로 다음 단계를 따른다.

1. 키르히호프의 전류 법칙(KCL) 적용: 각 노드($e\_1$, $e\_2$)에 KCL을 적용하여 노드로 들어오고 나가는 전류 간의 관계식을 세운다.

2. 분기 구성 방정식(BCE) 적용: 각 회로 소자(전압원, 저항, 커패시터) 양단의 전압을 노드 전압($e\_1$, $e\_2$)으로 표현한다.

3. 방정식 결합: KCL과 BCE를 통해 얻은 식들을 결합하여 노드 전압에 대한 연립 (미분) 방정식을 유도한다. 경우에 따라 추가적인 제약 조건(예: $e\_1\; =\; V\_s$)을 고려하여 최종 방정식을 완성한다.

이 과정을 통해 얻어진 연립 방정식을 풀면 각 노드의 전압과 회로 내 전류 분포를 알 수 있다. 각 분석 단계에 대한 구체적인 과정과 방정식 유도는 하위 섹션에서 상세히 설명한다.

3. 1. 1. KCL 적용

• '''노드 $e\_1$''': KCL에 따라 이 노드로 들어오는 전류와 나가는 전류의 대수적 합은 0이다.

• '''노드 $e\_2$''': 마찬가지로 노드 $e\_2$에 KCL을 적용한다.

3. 1. 2. BCE 적용

• '''전압원 ($V\_s$)''': 전압원의 양단은 접지와 노드 1($e\_1$)에 연결되어 있다. 따라서 전압원의 전압 $V\_s$는 노드 전압 $e\_1$과 같다.

• '''저항 ($R$)''': 저항의 양단은 노드 1($e\_1$)과 노드 2($e\_2$)에 연결되어 있다. 전류가 전압이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐른다고 가정하면($e\_1$에서 $e\_2$ 방향), 저항 양단의 전압 $V\_R$은 두 노드 전압의 차이($e\_1\; -\; e\_2$)와 같다.

• '''커패시터 ($C$)''': 커패시터의 양단은 노드 2($e\_2$)와 접지에 연결되어 있다. 따라서 커패시터 양단의 전압 $V\_C$는 노드 전압 $e\_2$와 같다.

• 노드 1 KCL 식 ($i\_\{V\_s\}\; +\; i\_R\; =\; 0$)에 $I\_R\; =\; G\; V\_R$과 $V\_R\; =\; e\_1\; -\; e\_2$를 대입:

• 노드 2 KCL 식 ($-i\_R\; +\; i\_C\; =\; 0$)에 $I\_R\; =\; G\; V\_R$, $V\_R\; =\; e\_1\; -\; e\_2$, $I\_C\; =\; C\backslash frac\{dV\_C\}\{dt\}$, $V\_C\; =\; e\_2$를 대입:

3. 1. 3. 방정식 결합

회로를 분석하여 노드 전압과 관련된 방정식을 유도하는 과정은 다음과 같다.

'''1단계: 키르히호프의 전류 법칙(KCL) 적용'''

회로에는 그라운드를 기준으로 두 개의 주요 노드 $e\_1$과 $e\_2$가 있다. 또한, 전원 전류 $i\_\{V\_s\}$, 저항을 흐르는 전류 $i\_\{R\}$, 커패시터를 흐르는 전류 $i\_\{C\}$의 세 가지 전류가 존재한다. 각 노드에 KCL을 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

• 노드 $e\_1$: $i\_\{V\_s\}\; +\; i\_R\; =\; 0$
• 노드 $e\_2$: $-i\_R\; +\; i\_C\; =\; 0$

• $V\_s\; =\; e\_1$ (전압원은 그라운드와 노드 $e\_1$ 사이에 연결되어 있다.)
• $V\_R\; =\; e\_1\; -\; e\_2$ (저항 양단의 전압차)
• $V\_C\; =\; e\_2$ (커패시터는 노드 $e\_2$와 그라운드 사이에 연결되어 있다.)

• $G(e\_1\; -\; e\_2)\; +\; i\_\{V\_S\}\; =\; 0$
• $C\backslash frac\{de\_2\}\{dt\}\; +\; G(e\_2\; -\; e\_1)\; =\; 0$

• $e\_1\; =\; V\_s$

4. 수정 노드 해석법과 미분대수방정식(DAE)

수정 노드 해석법으로 얻어진 회로 방정식은 특정 변수, 예를 들어 독립 전압원의 노드 전압($e\_1=\; V\_s$)을 추가하여 다음과 같은 행렬 형태로 표현할 수 있다.



만약 상태 벡터를 로 정의하면, 위 방정식은 다음과 같은 일반적인 형태로 다시 쓸 수 있다.

$Ex\text{'}(t)\; +\; Ax(t)\; =\; f$

여기서 각 행렬과 벡터는 다음과 같이 정의된다.







이 방정식은 행렬 $E$가 특이 행렬이기 때문에 선형 미분대수방정식(DAE) 형태가 된다. 수정 노드 해석법으로 유도된 이러한 DAE는 회로가 수동적인 RLC 소자만으로 구성될 경우, 그 미분 지수가 2 이하임이 증명되었다.^[4] 하지만 연산 증폭기와 같은 능동 소자가 포함될 경우, 미분 지수는 임의로 높아질 수 있다.^[5] 이러한 형태의 방정식은 SPICE와 같은 회로 시뮬레이션 소프트웨어에서 널리 사용된다.

5. 비선형 회로 해석

미분 대수 방정식(DAE)을 사용하는 수정 노드 해석법(MNA)은 회로 내 개별 소자의 특성이 매끄러운 경우를 가정한다. 예를 들어, 다이오드의 경우 쇼클리 방정식을 사용하면 DAE를 통해 MNA에서 모델링할 수 있다. 하지만 다이오드의 전류-전압 특성 곡선(--)에서 급격한 순방향 및 항복 전도 영역을 단순히 수직선으로 간주하는 더 간단하고 이상적인 모델을 사용하면 문제가 발생한다. 이러한 비선형적인(매끄럽지 않은) 모델을 사용한 회로 분석은 DAE를 사용하는 것보다 더 복잡해진다. 이는 비선형 동적 시스템(Non-smooth Dynamical Systems, NSDS) 분석의 영역에 해당하며, 미분 포함(Differential Inclusion) 이론을 활용하여 해석해야 한다.^[6][7]

참조

_[1] 간행물 The Modified Nodal Approach to Network Analysis 1974-04
_[2] 논문 The Sparse Tableau Approach to Network Analysis and Design 1971-01
_[3] 문서 Lecture Notes for CSE245: Computer-Aided Circuit Simulation and Verification 2006
_[4] 문서 Topological index of DAEs in the Circuit Simulation
_[5] 서적 Numerical Solution of Initial-value Problems in Differential-algebraic Equations SIAM
_[6] 서적 Nonsmooth Modeling and Simulation for Switched Circuits Springer Science & Business Media
_[7] 서적 Non-Smooth Dynamical Systems https://archive.org/[...] Springer Science & Business Media