노달 회로분석

3. 노드 전압 분석 예제

노달 회로분석은 다양한 회로 문제 해결에 유용하게 사용될 수 있다. 여기서는 노달 분석을 실제로 적용하는 몇 가지 구체적인 예제를 살펴본다. 가장 기본적인 형태의 회로에 키르히호프의 전류 법칙(KCL)을 적용하여 노드 전압을 구하는 방법과, 회로 내에 전압원이 포함되어 있어 슈퍼노드 개념을 도입해야 하는 경우의 분석 방법을 예제를 통해 알아본다. 각 예제에 대한 상세한 설명과 계산 과정은 이어지는 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 기본 예제

• 저항 R₁을 통과하는 전류: $(V\_1\; -\; V\_S)\; /\; R\_1$
• 저항 R₂를 통과하는 전류: $V\_1\; /\; R\_2$
• 전류원 I_S를 통과하는 전류: $-I\_S$ (전류원의 방향이 노드로 들어오는 방향이므로, 나가는 방향은 음수가 된다.)

3. 1. 1. 구체적인 계산 과정

• 저항 R₁을 통해 나가는 전류: $(V\_1\; -\; V\_S)\; /\; R\_1$ (V₁ 노드에서 V_S 방향으로 전류가 나간다고 가정했으므로, 전위차는 V₁ - V_S 이다.)
• 저항 R₂를 통해 나가는 전류: $V\_1\; /\; R\_2$ (V₁ 노드에서 접지(0V) 방향으로 전류가 나가므로, 전위차는 V₁ - 0 = V₁ 이다.)
• 전류원 I_S를 통해 나가는 전류: $-I\_S$ (전류원의 방향이 V₁ 노드로 들어오는 방향으로 정의되어 있으므로, 나가는 방향으로는 -I_S 가 된다.)

3. 2. 슈퍼노드 예제

4. 행렬 형태로 표현하기

노달 회로분석을 통해 얻은 노드-전압 방정식은 행렬 형태로 표현하여 더 간결하게 나타낼 수 있다. 이는 특히 노드의 수가 많은 복잡한 회로를 체계적으로 해석하는 데 유용하며, 컴퓨터 시뮬레이션 등에도 널리 활용된다.

일반적으로 $N$개의 노드를 가진 회로를 생각해보자. 특정 노드 $k$에 키르히호프 전류 법칙(KCL)을 적용하면, 노드 $k$로 들어오고 나가는 전류의 합은 0이 되어야 한다. 이를 컨덕턴스와 전압으로 표현하면 다음과 같다.

$\backslash sum\_\{j\backslash ne\; k\}G\_\{jk\}(v\_k-v\_j)=0$

여기서 $v\_k$는 노드 $k$의 전압이며, $G\_\{jk\}$는 노드 $k$와 노드 $j$ 사이에 연결된 모든 컨덕턴스의 합이다 ($G\_\{jk\}=G\_\{kj\}$). 이 식을 정리하면 다음과 같다.

$0=\backslash sum\_\{j\backslash ne\; k\}G\_\{jk\}(v\_k-v\_j)=\backslash sum\_\{j\backslash ne\; k\}G\_\{jk\}v\_k-\backslash sum\_\{j\backslash ne\; k\}G\_\{jk\}v\_j=G\_\{kk\}v\_k-\backslash sum\_\{j\backslash ne\; k\}G\_\{jk\}v\_j$

여기서 $G\_\{kk\}$는 노드 $k$에 연결된 모든 컨덕턴스의 총합이다. 이 식은 노드 $k$의 전압 $v\_k$가 자신에게 연결된 총 컨덕턴스 $G\_\{kk\}$에 비례하고, 인접한 노드 $j$의 전압 $v\_j$에는 해당 노드와의 컨덕턴스 $G\_\{jk\}$에 비례하여 영향을 받는다는 것을 보여준다 (단, 인접 노드의 영향은 음수 부호로 나타난다).

만약 노드 $k$에 외부에서 전류를 공급하는 독립 전류원 $i\_k$가 연결되어 있다면, KCL 방정식은 다음과 같이 일반화된다.

$i\_k=G\_\{kk\}v\_k-\backslash sum\_\{j\backslash ne\; k\}G\_\{jk\}v\_j$

이 방정식은 회로 내의 모든 $N$개 노드에 대해 각각 세울 수 있다. 이 $N$개의 연립 방정식을 모아 다음과 같은 행렬 형태로 표현할 수 있다.

$$

\begin{pmatrix}

G_{11} & -G_{12} &\cdots & -G_{1N} \\

• G_{21} & G_{22} &\cdots & -G_{2N} \\

• G_{N1} & -G_{N2} &\cdots & G_{NN}

• G_{21} & G_{22} &\cdots & -G_{2,N-1} \\

• G_{N-1,1} & -G_{N-1,2} &\cdots & G_{N-1,N-1}