가우스 구적법

1. 개요

가우스 구적법은 주어진 구간에서 함수의 적분을 르장드르 다항식의 근을 이용하여 계산하는 수치 적분 방법이다. n차 가우스 구적법은 n차 르장드르 다항식에 대응되며, 르장드르 다항식의 근을 가우스 노드로 사용하고, 특정 공식을 통해 가중치를 계산한다. 가우스 구적법은 구간 변환을 통해 일반적인 적분 문제에 적용할 수 있으며, 가중 함수와 직교 다항식을 사용하여 다양한 형태의 적분 문제를 해결할 수 있다. 가우스 구적법의 노드와 가중치는 삼항 점화식, 골럽-웰시 알고리즘, 또는 직교 다항식을 이용하여 계산할 수 있으며, 오차 추정은 도함수 또는 가우스-크론로드 구적법을 통해 수행할 수 있다. 가우스 구적법 외에도 로바토 구적법과 같은 관련 기법이 존재한다.

2. 가우스-르장드르 구적법

가우스-르장드르 구적법은 주어진 구간 [-1, 1]에서 함수의 적분을 르장드르 다항식의 근을 이용해 계산하는 방법이다. n차 가우스 구적법은 n차 르장드르 다항식 P_n(x)에 대응한다. 이때, n차 다항식은 P_n(1) = 1이 되도록 정규화되며, i번째 가우스 노드 x_i는 i번째 P_n의 근이다. 가중치는 다음 식으로 주어진다.

:$w\_i\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash left(\; 1-x\_i^2\; \backslash right)\; [P\text{'}\_n(x\_i)]^2\}.$

2.1. 기본 원리

가우스-르장드르 구적법은 적분 구간 $[-1,\; 1]$에서 정의된 함수 $f(x)$를 르장드르 다항식의 근(노드)과 가중치의 조합으로 근사한다. 관련된 직교 다항식은 르장드르 다항식이며, $P\_n(x)$로 표시된다. $n$차 다항식을 $P\_n(1)\; =\; 1$이 되도록 정규화하면, $i$번째 가우스 노드인 $x\_i$는 $P\_n$의 $i$번째 근이며, 가중치는 다음 공식으로 주어진다.

:$w\_i\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash left(\; 1\; -\; x\_i^2\; \backslash right)\; \backslash left[P\text{'}\_n(x\_i)\backslash right]^2\}.$

몇몇 낮은 차수의 구적 공식은 아래 표와 같다.

2.2. 르장드르 다항식과 노드

가장 간단한 적분 문제, 즉 f(x)가 [-1, 1] 구간에서 다항식으로 잘 근사되는 경우, 관련된 직교 다항식은 르장드르 다항식이며, P_n(x)로 표시된다. n차 다항식을 P_n(1) = 1이 되도록 정규화하면, i번째 가우스 노드인 x_i는 P_n의 i번째 근이며, 가중치는 다음 공식으로 주어진다.

:$w\_i\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash left(\; 1\; -\; x\_i^2\; \backslash right)\; \backslash left[P\text{'}\_n(x\_i)\backslash right]^2\}.$

몇몇 낮은 차수의 구적 공식은 아래 표와 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

점의 수, n	점, xi		가중치, wi
1	0		2
2	±0.57735...		1
3	0		0.888889...
	±0.774597...		0.555556...
4	±0.339981...		0.652145...
	±0.861136...		0.347855...
5	0		0.568889...
	±0.538469...		0.478629...
	±0.90618...		0.236927...

2.3. 가중치 계산

Legendre^영어 다항식의 미분값을 이용하여 각 노드에 대한 가중치를 계산할 수 있다. 번째 가우스 노드 에 대한 가중치는 다음 공식으로 주어진다.

:$w\_i\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash left(\; 1\; -\; x\_i^2\; \backslash right)\; \backslash left[P\text{'}\_n(x\_i)\backslash right]^2\}.$

여기서 는 차 르장드르 다항식이며, 로 정규화된다.

몇몇 낮은 차수의 구적 공식에 대한 가중치는 아래 표와 같다.

2.4. 저차 구적 공식

몇몇 낮은 차수의 구적 공식은 아래 표와 같이 정리할 수 있다. 이 공식들은 구간 [-1, 1] 에 대한 것이다.

3. 구간 변환

가우스 구적법은 특정 구간에서 함수의 적분값을 근사하는 방법이다. 일반적인 구간 [a, b]에서의 적분은 가우스 구적법을 적용하기 전에 표준 구간 [-1, 1]로 변환해야 한다.

구간 변환은 다음과 같은 선형 변환을 통해 수행할 수 있다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash frac\{b-a\}\{2\}\; \backslash int\_\{-1\}^1\; f\backslash left(\backslash frac\{b-a\}\{2\}\backslash xi\; +\; \backslash frac\{a+b\}\{2\}\backslash right)\backslash ,d\backslash xi$

위 식을 통해 $n$개의 점을 사용하는 가우스 구적 규칙 $(\backslash xi,\; w)$을 적용하여 다음과 같은 근사값을 얻는다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx\; \backslash approx\; \backslash frac\{b-a\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\; f\backslash left(\backslash frac\{b-a\}\{2\}\backslash xi\_i\; +\; \backslash frac\{a+b\}\{2\}\backslash right).$

변환된 적분을 계산하는 과정은 하위 섹션에서 예제와 함께 자세히 설명되어 있다.

3.1. 선형 변환

Gauss quadrature rule^영어을 적용하기 위해 적분 구간 [math]a, b[/math]를 [math]-1, 1[/math]로 변환하는 선형 변환 공식은 다음과 같다.

$$
\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx .


이 공식을 이용하면, 가우스 구적법을 적용하여 적분의 근사값을 다음과 같이 얻을 수 있다.

$$
\frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right).

3.2. 변환된 적분 계산

Gauss quadrature rule^영어은 주어진 구간에서 함수의 적분을 근사하는 방법이다. 일반적인 구간 에서의 적분은 가우스 구적법을 적용하기 전에 구간 로 변환해야 한다. 이 변환은 다음 선형 변환을 통해 수행할 수 있다.

$$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash frac\{b-a\}\{2\}\; \backslash int\_\{-1\}^1\; f\backslash left(\backslash frac\{b-a\}\{2\}x\; +\; \backslash frac\{a+b\}\{2\}\backslash right)\backslash ,dx\; .$$

변환된 구간에서 가우스 구적법을 적용하면, 다음과 같이 적분의 근사값을 얻을 수 있다.

$$\backslash frac\{b-a\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\; f\backslash left(\backslash frac\{b-a\}\{2\}x\_i\; +\; \backslash frac\{a+b\}\{2\}\backslash right).$$

여기서 $w\_i$는 가중치, $x\_i$는 가우스 점(구적점)이다.

예제:

두 점 가우스 구적법을 사용하여 $t\; =\; 8\backslash mathrm\{s\}$에서 $t\; =\; 30\backslash mathrm\{s\}$까지 로켓이 이동한 거리를 미터 단위로 근사하는 문제를 살펴보자. 이동 거리는 다음과 같이 주어진다.

$$s\; =\; \backslash int\_\{8\}^\{30\}\{\backslash left(\; 2000\backslash ln\backslash left[\; \backslash frac\{140000\}\{140000\; -\; 2100t\}\; \backslash right]\; -\; 9.8t\; \backslash right)\{dt\}\}$$

1. 구간 변환: 적분 범위를 $\backslash left[\; 8,30\; \backslash right]$에서 $\backslash left[\; -\; 1,1\; \backslash right]$로 변경한다.
$$\backslash int\_\{8\}^\{30\}\; \{f(t)\; dt\}\; =\; \backslash frac\{30\; -\; 8\}\{2\}\; \backslash int\_\{-\; 1\}^\{1\}\{f\backslash left(\; \backslash frac\{30\; -\; 8\}\{2\}x\; +\; \backslash frac\{30\; +\; 8\}\{2\}\; \backslash right)\{dx\}\}\; =\; 11\backslash int\_\{-\; 1\}^\{1\}\{f\backslash left(\; 11x\; +\; 19\; \backslash right)\{dx\}\}$$

2. 가중치 및 구적점: 두 점 가우스 구적법에 대한 가중치와 구적점은 다음과 같다.

*$c\_1\; =\; 1.000000000$
*$x\_1\; =\; -\; 0.577350269$
*$c\_2\; =\; 1.000000000$
*$x\_2\; =\; 0.577350269$

3. 근사값 계산: 가우스 구적 공식을 적용하여 근사값을 계산한다.
$$\backslash begin\{align\}$$
11\int_{-1}^{1}{f\left( 11x + 19 \right){dx}} & \approx 11\left[ c_1 f\left( 11 x_1 + 19 \right) + c_2 f\left( 11 x_2 + 19 \right) \right] \\
&= 11\left[ f\left( 11( - 0.5773503) + 19 \right) + f\left( 11(0.5773503) + 19 \right) \right] \\
&= 11\left[ f(12.64915) + f(25.35085) \right] \\
&= 11\left[ (296.8317) + (708.4811) \right] \\
&= 11058.44
\end{align}

여기서 $f(t)\; =\; 2000\backslash ln\backslash left[\; \backslash frac\{140000\}\{140000\; -\; 2100t\}\; \backslash right]\; -\; 9.8t$ 이므로,

$$f(12.64915)\; =\; 296.8317$$
$$f(25.35085)\; =\; 708.4811$$

4. 오차 계산: 참값(11061.34 m)과 근사값의 차이를 이용하여 절대 상대 참오차를 계산한다.
$$\backslash left|\; \backslash varepsilon\_\{t\}\; \backslash right|\; =\; \backslash left|\; \backslash frac\{11061.34\; -\; 11058.44\}\{11061.34\}\; \backslash right|\; \backslash times\; 100\backslash \%\; =\; 0.0262\backslash \%$$

4. 다른 형식

가우스 구적법은 적분 구간과 가중 함수에 따라 다양한 형태로 일반화될 수 있다. 즉, 아래와 같은 형태의 적분 문제를 고려할 수 있다.

:$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,f(x)\backslash ,dx$$

여기서 $a$, $b$, $\backslash omega(x)$는 적절하게 선택한다. 예를 들어, $a\; =\; -1$, $b\; =\; 1$, $\backslash omega(x)\; =\; 1$인 경우는 기본적인 가우스 구적법과 같다. 다른 선택은 다른 적분 규칙을 유도하며, 그 중 일부는 아래 표에 정리되어 있다. "A & S" 열은 아브라모위츠와 스티건에 있는 식 번호를 나타낸다.

4.1. 가중 함수와 직교 다항식

적분 문제를 보다 일반적으로 표현하기 위해 양의 가중 함수를 도입하고, 구간 외에도 적용할 수 있다. 즉, 다음 형식의 적분 문제를 고려한다.

$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,f(x)\backslash ,dx$$

여기서 $a$, $b$, $\backslash omega$는 적절하게 선택한다. $a\; =\; -1$, $b\; =\; 1$, $\backslash omega(x)\; =\; 1$인 경우는 앞에서 살펴본 것과 동일하다. 다른 선택은 다른 적분 규칙을 유도하며, 그 중 일부는 아래 표에 정리되어 있다. 표의 "A & S" 열은 아브라모위츠와 스티건에 있는 식 번호를 나타낸다.

4.2. 가우스-야코비 구적법

구간 (-1, 1)에서 가중 함수 $(1-x)^\backslash alpha\; (1+x)^\backslash beta,\backslash quad\; \backslash alpha,\; \backslash beta\; >\; -1\backslash ,$에 대해 직교하는 다항식은 야코비 다항식이다.

4.3. 체비쇼프-가우스 구적법

구간 (-1, 1)에서 $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\}\}$를 가중 함수로 사용하는 경우, 체비쇼프 다항식(제1종)을 사용한다. 이는 체비쇼프-가우스 구적법이라고 불린다.

구간 [-1, 1]에서 $\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\}$를 가중 함수로 사용하는 경우, 체비쇼프 다항식 (제2종)을 사용하며, 역시 체비쇼프-가우스 구적법이라고 불린다.

4.4. 가우스-라게르 구적법

구간 [0, ∞)에서 가중 함수 에 대해 직교하는 다항식은 라게르 다항식이다. 가우스-라게르 구적법은 이 라게르 다항식을 사용하여 구간 [0, ∞)에서의 적분을 계산한다.

4.5. 가우스-에르미트 구적법

Gauss–Hermite quadrature^영어에서는 구간 (-∞, ∞)에서 $\backslash exp(-x^2)$를 가중 함수로 사용하여 적분을 계산하며, 이 때 직교 다항식은 에르미트 다항식을 사용한다.

5. 기본 정리

$p\_n$을 차수가 $n$인 비자명 다항식이라 하고, 다음을 만족한다고 가정한다.

$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; \backslash ,\; x^k\; p\_n(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; all\; \}\; k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash ldots,\; n\; -\; 1.$$

여기서 $\backslash omega(x)$는 가중 함수이다.

$n$개의 노드 $x\_i$를 $p\_n$의 영점으로 선택하면, 차수가 $2n\; -\; 1$ 이하인 모든 다항식에 대해 가우스 구적법으로 계산된 적분을 정확하게 만드는 $n$개의 가중치 $w\_i$가 존재한다. 또한, 이러한 모든 노드 $x\_i$는 열린 구간 $(a,\; b)$ 안에 위치한다.

5.1. 직교 다항식의 성질

을 차수 의 비자명 다항식이라 하고, 다음을 만족한다고 가정한다.

$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; \backslash ,\; x^k\; p\_n(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; all\; \}\; k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash ldots,\; n\; -\; 1.$$

각 이 에 대한 다른 다항식 에 직교하도록 구성되기 때문에, 위에서 언급한 모든 직교 다항식에 대해서도 이 성질이 성립하며, 는 해당 집합의 span 안에 있다.

개의 노드 를 의 영점으로 선택하면, 차수가 이하인 모든 다항식 에 대해 가우스 구적법으로 계산된 적분을 정확하게 만드는 개의 가중치 가 존재한다. 또한, 이러한 모든 노드 는 열린 구간 안에 위치한다.

이러한 다항식 을 를 가중 함수로 하는 차수 의 직교 다항식이라고 한다.

5.2. 가중치와 노드의 선택

$p\_n$을 다음 조건을 만족하는 차수 $n$의 비자명 다항식이라고 하자.

$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; \backslash ,\; x^k\; p\_n(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; all\; \}\; k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash ldots,\; n\; -\; 1.$$

여기서 $\backslash omega(x)$는 가중 함수이다. $p\_n$은

$n$개의 노드 $x\_i$를 $p\_n$의 영점으로 선택하면, 차수가 $2n\; -\; 1$ 이하인 모든 다항식 $h(x)$에 대해 가우스 구적법으로 계산된 적분을 정확하게 만드는 $n$개의 가중치 $w\_i$가 존재한다. 또한, 이러한 모든 노드 $x\_i$는 열린 구간 $(a,\; b)$ 안에 위치한다.

이를 증명하기 위해, 먼저 $h(x)$를 차수가 $2n\; -\; 1$ 이하인 임의의 다항식이라고 하고, 이를 직교 다항식 $p\_n$으로 나누면 다음과 같다.

$$h(x)\; =\; p\_n(x)\; \backslash ,\; q(x)\; +\; r(x).$$

여기서 $q(x)$는 몫이며 차수가 $n\; -\; 1$ 이하이고, $r(x)$는 나머지이며 역시 차수가 $n\; -\; 1$ 이하이다. $p\_n$은 차수가 $n$보다 작은 모든 단항식에 직교하므로, 몫 $q(x)$에도 직교한다. 따라서,

$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,h(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,\backslash big(\; \backslash ,\; p\_n(x)\; q(x)\; +\; r(x)\; \backslash ,\; \backslash big)\backslash ,dx\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,r(x)\backslash ,dx.$$

$r(x)$의 차수가 $n\; -\; 1$ 이하이므로, 라그랑주 다항식 $l\_i(x)$를 사용하여 $n$개의 보간점으로 정확하게 보간할 수 있다. 여기서

$$l\_i(x)\; =\; \backslash prod\; \_\{j\; \backslash ne\; i\}\; \backslash frac\{x-x\_j\}\{x\_i-x\_j\}.$$

따라서 다음이 성립한다.

$$r(x)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; l\_i(x)\; \backslash ,\; r(x\_i).$$

그러면 적분은 다음과 같이 표현된다.

$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,r(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; \backslash ,\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; l\_i(x)\; \backslash ,\; r(x\_i)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash ,\; r(x\_i)\; \backslash ,\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; \backslash ,\; l\_i(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash ,\; r(x\_i)\; \backslash ,\; w\_i,$$

여기서 $w\_i$는 노드 $x\_i$와 관련된 가중치로, $l\_i(x)$의 가중 적분과 같도록 정의된다. 모든 $x\_i$는 $p\_n$의 근이므로,

$$h(x\_i)\; =\; p\_n(x\_i)\; \backslash ,\; q(x\_i)\; +\; r(x\_i)\; =\; r(x\_i),$$

이다. 따라서,

$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,h(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; \backslash ,\; r(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\; \backslash ,\; r(x\_i)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\; \backslash ,\; h(x\_i).$$

즉, 차수가 $2n\; -\; 1$ 이하인 임의의 다항식 $h(x)$의 적분은 가우스 구적법 합계로 정확하게 주어진다.

이제 모든 노드 $x\_i$가 열린 구간 $(a,\; b)$ 안에 위치함을 보이자. $p\_n(x)$의 인수분해된 형태를 고려하면, 복소 켤레 근은 항상 양수이거나 항상 음수인 2차 인수를 생성한다. $a$부터 $b$까지의 구간 외부에 있는 근에 대한 모든 인수는 해당 구간에서 부호를 바꾸지 않는다. 구간 $(a,\; b)$ 사이의 근 $x\_i$에 해당하는 인수가 홀수 중복도를 가지는 경우, $p\_n(x)$에 인수를 하나 더 곱하여 새로운 다항식을 만든다.

$$p\_n(x)\; \backslash ,\; \backslash prod\_i\; (x\; -\; x\_i).$$

이 다항식은 구간 $(a,\; b)$에서 부호를 바꿀 수 없다. 왜냐하면 여기에 있는 모든 근이 이제 짝수 중복도를 가지기 때문이다. 따라서,

$$\backslash int\_a^b\; p\_n(x)\; \backslash ,\; \backslash left(\; \backslash prod\_i\; (x\; -\; x\_i)\; \backslash right)\; \backslash ,\; \backslash omega(x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash ne\; 0,$$

이다. 가중 함수 $\backslash omega(x)$는 항상 음수가 아니기 때문이다. $p\_n(x)$은 차수가 $n-1$ 이하인 모든 다항식에 직교하므로, 곱의 차수는

$$\backslash prod\_i\; (x\; -\; x\_i)$$

최소한 $n$이어야 한다. 따라서 $p\_n(x)$은 구간 $(a,\; b)$ 안에 모두 실수인 $n$개의 서로 다른 근을 갖는다.

결론적으로, 가우스 구적법에서 노드를 직교 다항식 $p\_n(x)$의 영점으로 선택하고, 가중치를 적절히 정의하면 차수가 $2n-1$ 이하인 모든 다항식에 대해 정확한 적분값을 얻을 수 있다.

5.3. 노드의 위치

개의 노드 를 의 영점으로 선택하면, 차수가 이하인 모든 다항식 에 대해 가우스 구적법으로 계산된 적분을 정확하게 만드는 개의 가중치 가 존재한다. 또한, 이러한 모든 노드 는 열린 구간 안에 위치한다.

은 구간 에서 까지의 간격 안에 모두 실수인 개의 서로 다른 근을 갖는다.

6. 가중치 계산 일반 공식

가우스 구적법에서 가중치($w\_i$)는 직교 다항식을 이용하여 계산할 수 있다. $a\_k$를 직교 다항식 $p\_k(x)$에서 $x^k$의 계수라고 하면, 가중치는 다음과 같은 일반 공식으로 주어진다.

:$w\_\{i\}\; =\; \backslash frac\{a\_\{n\}\}\{a\_\{n-1\}\}\; \backslash frac\{\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash omega(x)\; p\_\{n-1\}(x)^2\; dx\}\{p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})\; p\_\{n-1\}(x\_\{i\})\}$

이 공식은 라그랑주 보간법이나 직교 다항식의 성질을 이용하여 유도할 수 있으며, 구체적인 유도 과정은 하위 섹션에서 상세히 설명되어 있다.

또한, 3항 재귀 관계를 이용하여 $p\_\{n-1\}(x\_i)$를 $p\_\{n+1\}(x\_i)$로 대체하여 표현할 수도 있다.

6.1. 라그랑주 보간법 이용

라그랑주 보간법을 사용하여 가중치 공식을 유도할 수 있다. $r(x)$를 $r(x\_\{i\})$의 관점에서 다음과 같이 표현한다.

$$r(x)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; r(x\_\{i\})\; \backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\backslash frac\{x-x\_\{j\}\}\{x\_\{i\}-x\_\{j\}\}$$

$r(x)$의 차수가 $n$보다 작고, 따라서 $n$개의 서로 다른 점에서 얻는 값에 의해 고정되기 때문이다. 양변에 $\backslash omega(x)$를 곱하고 $a$에서 $b$까지 적분하면 다음을 얻는다.

$$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)r(x)dx\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; r(x\_\{i\})\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\; \backslash frac\{x-x\_\{j\}\}\{x\_\{i\}-x\_\{j\}\}dx$$

따라서 가중치 $w\_\{i\}$는 다음과 같이 주어진다.

$$w\_\{i\}\; =\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}1\backslash leq\; j\backslash leq\; n\backslash \backslash j\backslash neq\; i\backslash end\{smallmatrix\}\}\backslash frac\{x-x\_\{j\}\}\{x\_\{i\}-x\_\{j\}\}dx$$

$w\_\{i\}$에 대한 이 적분 표현은 직교 다항식 $p\_\{n\}(x)$와 $p\_\{n-1\}(x)$의 관점에서 표현할 수 있다.

다음을 쓸 수 있다.

$$\backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\; \backslash left(x-x\_\{j\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash prod\_\{1\backslash leq\; j\backslash leq\; n\}\; \backslash left(x\; -\; x\_\{j\}\backslash right)\}\{x-x\_\{i\}\}\; =\; \backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{a\_\{n\}\backslash left(x-x\_\{i\}\backslash right)\}$$

여기서 $a\_\{n\}$은 $p\_\{n\}(x)$에서 $x^n$의 계수이다. $x$의 극한을 $x\_\{i\}$로 취하면 로피탈의 규칙을 사용하여 다음을 얻는다.

$$\backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\; \backslash left(x\_\{i\}-x\_\{j\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})\}\{a\_\{n\}\}$$

따라서 가중치에 대한 적분 표현을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$w\_\{i\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})\}\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}dx$$

피적분 함수에서 다음을 쓴다.

$$\backslash frac\{1\}\{x-x\_i\}\; =\; \backslash frac\{1\; -\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{x\_i\}\backslash right)^\{k\}\}\{x\; -\; x\_i\}\; +\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{x\_i\}\backslash right)^\{k\}\; \backslash frac\{1\}\{x\; -\; x\_i\}$$

다음이 산출된다.

$$\backslash int\_a^b\backslash omega(x)\backslash frac\{x^kp\_n(x)\}\{x-x\_i\}dx\; =\; x\_i^k\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_n(x)\}\{x-x\_i\}dx$$

만약 $k\; \backslash leq\; n$인 경우,

$$\backslash frac\{1-\backslash left(\backslash frac\{x\}\{x\_\{i\}\}\backslash right)^\{k\}\}\{x-x\_\{i\}\}$$

는 $k-1$차 다항식이고, 이는 $p\_\{n\}(x)$에 직교하기 때문이다. 따라서, $q(x)$가 최대 $n$차 다항식이라면 다음을 갖는다.

$$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}\; dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{q(x\_\{i\})\}\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash omega(x)\backslash frac\{q(x)\; p\_n(x)\}\{x-x\_\{i\}\}dx$$

$q(x)\; =\; p\_\{n-1\}(x)$에 대해 우변의 적분을 평가할 수 있다. $\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}$가 $n-1$차 다항식이므로 다음을 갖는다.

$$\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}\; =\; a\_\{n\}x^\{n-1\}\; +\; s(x)$$

여기서 $s(x)$는 $n\; -\; 2$차 다항식이다. $s(x)$가 $p\_\{n-1\}(x)$에 직교하므로 다음을 갖는다.

$$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}dx=\backslash frac\{a\_\{n\}\}\{p\_\{n-1\}(x\_\{i\})\}\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)p\_\{n-1\}(x)x^\{n-1\}dx$$

그런 다음 다음을 쓸 수 있다.

$$x^\{n-1\}\; =\; \backslash left(x^\{n-1\}\; -\; \backslash frac\{p\_\{n-1\}(x)\}\{a\_\{n-1\}\}\backslash right)\; +\; \backslash frac\{p\_\{n-1\}(x)\}\{a\_\{n-1\}\}$$

괄호 안의 항은 $n\; -\; 2$차 다항식이며, 따라서 $p\_\{n-1\}(x)$에 직교한다. 따라서 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}dx\; =\; \backslash frac\{a\_\{n\}\}\{a\_\{n-1\}\; p\_\{n-1\}(x\_\{i\})\}\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\; p\_\{n-1\}(x)^\{2\}\; dx$$

가중치는 이것을 $p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})$로 나누어 구하며, 이는 아래 표현식을 산출한다.

$$w\_\{i\}\; =\; \backslash frac\{a\_\{n\}\}\{a\_\{n-1\}\}\; \backslash frac\{\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash omega(x)\; p\_\{n-1\}(x)^2\; dx\}\{p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})\; p\_\{n-1\}(x\_\{i\})\}$$

$w\_\{i\}$는 또한 직교 다항식 $p\_\{n\}(x)$와 $p\_\{n+1\}(x)$의 관점에서도 표현할 수 있다. 3항 재귀 관계 $p\_\{n+1\}(x\_\{i\})\; =\; (a)\; p\_\{n\}(x\_\{i\})\; +\; (b)\; p\_\{n-1\}(x\_\{i\})$에서 $p\_\{n\}(x\_\{i\})$가 있는 항은 사라지므로, 위의 식에서 $p\_\{n-1\}(x\_\{i\})$는 $\backslash frac\{1\}\{b\}\; p\_\{n+1\}\; \backslash left(x\_i\backslash right)$로 대체될 수 있다.

6.2. 직교 다항식 이용

직교 다항식의 성질을 이용하여 가중치 공식을 유도할 수 있다. 가중치 $w\_i$는 다음과 같이 표현된다.

:$w\_\{i\}\; =\; \backslash frac\{a\_\{n\}\}\{a\_\{n-1\}\}\; \backslash frac\{\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash omega(x)\; p\_\{n-1\}(x)^2\; dx\}\{p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})\; p\_\{n-1\}(x\_\{i\})\}$

여기서 $a\_\{k\}$는 $p\_\{k\}(x)$에서 $x^\{k\}$의 계수이다. 이를 증명하기 위해, 라그랑주 보간법을 사용하면, $r(x)$를 $r(x\_\{i\})$의 관점에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$r(x)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; r(x\_\{i\})\; \backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\backslash frac\{x-x\_\{j\}\}\{x\_\{i\}-x\_\{j\}\}$

$r(x)$의 차수가 $n$보다 작고, 따라서 $n$개의 서로 다른 점에서 얻는 값에 의해 고정되기 때문이다. 양변에 $\backslash omega(x)$를 곱하고 $a$에서 $b$까지 적분하면 다음을 얻는다.

:$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)r(x)dx\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; r(x\_\{i\})\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\; \backslash frac\{x-x\_\{j\}\}\{x\_\{i\}-x\_\{j\}\}dx$

따라서 가중치 $w\_i$는 다음과 같이 주어진다.

:$w\_\{i\}\; =\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}1\backslash leq\; j\backslash leq\; n\backslash \backslash j\backslash neq\; i\backslash end\{smallmatrix\}\}\backslash frac\{x-x\_\{j\}\}\{x\_\{i\}-x\_\{j\}\}dx$

$w\_\{i\}$에 대한 이 적분 표현은 직교 다항식 $p\_\{n\}(x)$와 $p\_\{n-1\}(x)$의 관점에서 표현할 수 있다.

:$\backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\; \backslash left(x-x\_\{j\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash prod\_\{1\backslash leq\; j\backslash leq\; n\}\; \backslash left(x\; -\; x\_\{j\}\backslash right)\}\{x-x\_\{i\}\}\; =\; \backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{a\_\{n\}\backslash left(x-x\_\{i\}\backslash right)\}$

여기서 $a\_\{n\}$은 $p\_\{n\}(x)$에서 $x^n$의 계수이다. $x$의 극한을 $x\_\{i\}$로 취하면 로피탈의 정리를 사용하여 다음을 얻는다.

:$\backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\; \backslash left(x\_\{i\}-x\_\{j\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})\}\{a\_\{n\}\}$

따라서 가중치에 대한 적분 표현을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$w\_\{i\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})\}\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}dx$

피적분 함수에서 다음을 쓴다.

:$\backslash frac\{1\}\{x-x\_i\}\; =\; \backslash frac\{1\; -\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{x\_i\}\backslash right)^\{k\}\}\{x\; -\; x\_i\}\; +\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{x\_i\}\backslash right)^\{k\}\; \backslash frac\{1\}\{x\; -\; x\_i\}$

다음이 산출된다.

:$\backslash int\_a^b\backslash omega(x)\backslash frac\{x^kp\_n(x)\}\{x-x\_i\}dx\; =\; x\_i^k\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_n(x)\}\{x-x\_i\}dx$

만약 $k\; \backslash leq\; n$인 경우,

:$\backslash frac\{1-\backslash left(\backslash frac\{x\}\{x\_\{i\}\}\backslash right)^\{k\}\}\{x-x\_\{i\}\}$

는 $k\; -\; 1$차 다항식이고, 이는 $p\_\{n\}(x)$에 직교하기 때문이다. 따라서, $q(x)$가 최대 n차 다항식이라면 다음을 갖는다.

:$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}\; dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{q(x\_\{i\})\}\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash omega(x)\backslash frac\{q(x)\; p\_n(x)\}\{x-x\_\{i\}\}dx$

$q(x)\; =\; p\_\{n-1\}(x)$에 대해 우변의 적분을 평가할 수 있다. $\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}$가 $n\; -\; 1$차 다항식이므로 다음을 갖는다.

:$\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}\; =\; a\_\{n\}x^\{n-1\}\; +\; s(x)$

여기서 $s(x)$는 $n\; -\; 2$차 다항식이다. $s(x)$가 $p\_\{n-1\}(x)$에 직교하므로 다음을 갖는다.

:$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}dx=\backslash frac\{a\_\{n\}\}\{p\_\{n-1\}(x\_\{i\})\}\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)p\_\{n-1\}(x)x^\{n-1\}dx$

:$x^\{n-1\}\; =\; \backslash left(x^\{n-1\}\; -\; \backslash frac\{p\_\{n-1\}(x)\}\{a\_\{n-1\}\}\backslash right)\; +\; \backslash frac\{p\_\{n-1\}(x)\}\{a\_\{n-1\}\}$

괄호 안의 항은 $n\; -\; 2$차 다항식이며, 따라서 $p\_\{n-1\}(x)$에 직교한다. 따라서 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\backslash frac\{p\_\{n\}(x)\}\{x-x\_\{i\}\}dx\; =\; \backslash frac\{a\_\{n\}\}\{a\_\{n-1\}\; p\_\{n-1\}(x\_\{i\})\}\; \backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)\; p\_\{n-1\}(x)^\{2\}\; dx$

가중치는 이것을 $p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})$로 나누어 구하며, 이는 위의 표현식을 산출한다.

$w\_\{i\}$는 또한 직교 다항식 $p\_\{n\}(x)$와 $p\_\{n+1\}(x)$의 관점에서도 표현할 수 있다. 3항 재귀 관계 $p\_\{n+1\}(x\_\{i\})\; =\; (a)\; p\_\{n\}(x\_\{i\})\; +\; (b)\; p\_\{n-1\}(x\_\{i\})$에서 $p\_\{n\}(x\_\{i\})$가 있는 항은 사라지므로, 첫번째 식에서 $p\_\{n-1\}(x\_\{i\})$는 $\backslash frac\{1\}\{b\}\; p\_\{n+1\}\; \backslash left(x\_i\backslash right)$로 대체될 수 있다.

7. 가중치의 양수성 증명

차수 $2n\; -\; 2$인 다음 다항식을 고려한다.

:$$f(x)\; =\; \backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\backslash frac\{\backslash left(x\; -\; x\_j\backslash right)^2\}\{\backslash left(x\_i\; -\; x\_j\backslash right)^2\}$$

여기서, 위와 같이, x_j^영어는 다항식 $p\_\{n\}(x)$의 근이다.

분명히 $f(x\_j)\; =\; \backslash delta\_\{ij\}$이다. $f(x)$의 차수가 $2n\; -\; 1$보다 작으므로, $p\_\{n\}(x)$에서 얻은 가중치와 노드를 포함하는 가우스 구적 공식이 적용된다. j^영어가 i^영어와 같지 않은 경우 $f(x\_\{j\})\; =\; 0$이므로, 다음을 얻는다.

:$$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)f(x)dx=\backslash sum\_\{j=1\}^\{n\}w\_\{j\}f(x\_\{j\})\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{n\}\; \backslash delta\_\{ij\}\; w\_j\; =\; w\_\{i\}\; >\; 0.$$

$\backslash omega(x)$와 $f(x)$가 모두 음수가 아닌 함수이므로, $w\_\{i\}\; >\; 0$이다.

8. 가우스 구적 규칙 계산

가우스 구적법의 노드와 가중치를 계산하는 데는 여러 가지 방법이 있다. 널리 사용되는 골럽-웰시(Golub-Welsch) 알고리즘은 $O(n^2)$ 연산을 필요로 한다. $p\_n(x)\; =\; 0$을 풀기 위해 뉴턴 방법을 사용하는 방법도 있는데, 이 역시 3항 점화식을 활용하여 $O(n^2)$ 연산으로 계산 가능하다. n이 큰 경우에는 점근 공식을 사용하여 $O(n)$ 연산만으로도 가능하다.

8.1. 점화식

직교 다항식 $p\_r$은 스칼라 곱 $(\backslash cdot\; ,\; \backslash cdot)$에 대해 $(p\_r,\; p\_s)\; =\; 0$을 만족하며, 차수가 $(p\_r)\; =\; r$이고 최고차항 계수가 1인 모닉 직교 다항식이다. 이는 다음과 같은 점화 관계를 만족한다.

:$$p\_\{r+1\}(x)\; =\; (x\; -\; a\_\{r,r\})\; p\_r(x)\; -\; a\_\{r,r-1\}\; p\_\{r-1\}(x)\; \backslash cdots\; -\; a\_\{r,0\}p\_0(x)$$

여기서 스칼라 곱은 다음과 같이 정의된다.

:$$(f(x),g(x))=\backslash int\_a^b\backslash omega(x)f(x)g(x)dx$$

$r\; =\; 0,\; 1,\; \backslash ldots,\; n\; -\; 1$에 대해, $n$은 최대 차수이고, $a\_\{r,s\}\; =\; \backslash frac\{\backslash left(xp\_r,\; p\_s\backslash right)\}\{\backslash left(p\_s,\; p\_s\backslash right)\}$이다. $p\_0(x)\; =\; 1$로 시작하는 점화 관계에 의해 정의된 다항식들은 최고차항 계수가 1이고 차수가 올바르다.

만약 스칼라 곱이 $(xf,\; g)\; =\; (f,xg)$를 만족하는 경우 (가우스 구적법의 경우), 점화 관계는 삼항 점화 관계로 축소된다. 인 경우, $xp\_s$는 $r-1$차 이하의 다항식이고, $p\_r$은 $r-1$차 이하의 모든 다항식과 직교한다. 따라서, $(xp\_r,\; p\_s)\; =\; (p\_r,\; xp\_s)\; =\; 0$이고 에 대해 $a\_\{r,s\}\; =\; 0$ 이다. 그러면 점화 관계는 다음과 같이 단순화된다.

:$$p\_\{r+1\}(x)\; =\; (x-a\_\{r,r\})\; p\_r(x)\; -\; a\_\{r,r-1\}\; p\_\{r-1\}(x)$$

또는

:$$p\_\{r+1\}(x)\; =\; (x-a\_r)\; p\_r(x)\; -\; b\_r\; p\_\{r-1\}(x)$$

(규약 $p\_\{-1\}(x)\; \backslash equiv\; 0$으로) 여기서

:$$a\_r\; :=\; \backslash frac\{(xp\_r,p\_r)\}\{(p\_r,p\_r)\},\; \backslash qquad\; b\_r\; :=\; \backslash frac\{(xp\_r,p\_\{r-1\})\}\{(p\_\{r-1\},p\_\{r-1\})\}\; =\; \backslash frac\{(p\_r,p\_r)\}\{(p\_\{r-1\},p\_\{r-1\})\}$$

이다.

$p\_n$이 모닉한 $n$차 직교 다항식(최고차항의 계수가 1인 $n$차 직교 다항식)이라면, 다음과 같은 점화식으로 관계를 나타낼 수 있다.

:$p\_\{n+1\}(x)+(B\_n-x)p\_n\; (x)+A\_n\; p\_\{n-1\}(x)=0,\; \backslash qquad\; n=1,2,\backslash ldots.$

이로부터, 대응하는 행렬의 고유값 및 고유 벡터로부터 노드와 가중치를 계산할 수 있다. 이를 일반적으로 골럽-웰시 알고리즘이라고 한다.

$x\_i$가 직교 다항식 $p\_n$의 근일 때, $k=0,1,\backslash ldots,\; n-1$에 대해 점화식을 사용하고, $p\_n\; (x\_j)=0$임을 감안하면, 다음이 성립한다.

:$$
J\tilde{P}=x_j \tilde{P}.


여기서
:$$
\tilde{P}={}^t[p_0 (x_j),p_1 (x_j),...,p_{n-1}(x_j)]
이고, $J$는 야코비 행렬이다.

:$$
\boldsymbol{J}=
\begin{pmatrix}
B_0 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots\\
A_1 & B_1 & 1 & 0 & \ldots & \ldots \\
0 & A_2 & B_2 & 1 & 0 & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots & A_{n-2} & B_{n-2} & 1 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & A_{n-1} & B_{n-1}
\end{pmatrix}
.


따라서, 가우스 구적법의 노드는 삼중 대각 행렬의 고유값으로 계산할 수 있다.

가중치와 노드를 구하려면, 대칭 삼중 대각 행렬 $\backslash mathcal\{J\}$를 이용하는 것이 좋다. $\backslash mathbf\{J\}$와 $\backslash mathcal\{J\}$는 닮음이므로, 고유값(노드)도 같다. 가중치는 행렬 $J$에서 계산할 수 있다. $\backslash phi^\{(j)\}$가 고유값 $x\_j$에 해당하는 정규화된 고유 벡터일 때, 고유 벡터의 첫 번째 성분으로부터 다음과 같이 가중치를 계산할 수 있다.

:$$
w_j=\mu_0 \left(\phi_1^{(j)}\right)^2.


여기서 $\backslash mu\_0$은 가중 함수의 적분이다.

:$$
\mu_0=\int_a^b w(x) dx.

8.2. 골럽-웰시 알고리즘

가우스 구적법의 노드와 가중치를 계산하는 데는 여러 알고리즘이 있다. 가장 널리 사용되는 알고리즘은 골럽-웰시(Golub-Welsch) 알고리즘으로, 연산을 필요로 한다. 이 알고리즘은 삼중 대각 행렬의 고유값과 고유 벡터를 이용하여 노드와 가중치를 계산한다.

삼항 점화 관계는 행렬 형식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$J\backslash tilde\{P\}\; =\; x\backslash tilde\{P\}\; -\; p\_n(x)\; \backslash mathbf\{e\}\_n$

여기서 이고, $\backslash mathbf\{e\}\_n$은 $n$번째 표준 기저 벡터이며, 는 다음과 같은 삼중 대각 행렬인 자코비 행렬이다.

:$$
\mathbf{J} = \begin{bmatrix}
a_0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
b_1 & a_1 & 1 & \ddots & \vdots \\
0 & b_2 & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_{n-2} & 1 \\
0 & \cdots & 0 & b_{n-1} & a_{n-1}
\end{bmatrix}.

가우스 구적법의 노드로 사용되는 차 이하 다항식의 영점 $x\_j$는 이 행렬의 고유값을 계산하여 찾을 수 있다.

가중치와 노드를 계산하기 위해, 다음과 같은 대칭 삼중 대각 행렬 $\backslash mathcal\{J\}$를 고려하는 것이 좋다.

:$\backslash mathcal\{J\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
a_0 & \sqrt{b_1} & 0 & \cdots & 0 \\
\sqrt{b_1} & a_1 & \sqrt{b_2} & \ddots & \vdots \\
0 & \sqrt{b_2} & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_{n-2} & \sqrt{b_{n-1}} \\
0 & \cdots & 0 & \sqrt{b_{n-1}} & a_{n-1}
\end{bmatrix}.

와 $\backslash mathcal\{J\}$는 닮음 행렬이므로, 동일한 고유값(노드)을 갖는다. 가중치는 해당 고유 벡터로부터 계산할 수 있다. 만약 $\backslash phi^\{(j)\}$가 고유값 $x\_j$와 관련된 정규화된 고유 벡터라면, 해당 가중치는 이 고유 벡터의 첫 번째 성분으로부터 계산할 수 있다.

:$w\_j\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash left(\backslash phi\_1^\{(j)\}\backslash right)^2$

여기서 $\backslash mu\_0$는 가중 함수의 적분이다.

:$\backslash mu\_0\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; dx.$

9. 오차 추정

가우스 구적법의 오차는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 피적분^영어 함수가 개의 연속적인 도함수를 가질 때,

:$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,f(x)\backslash ,dx\; -\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\backslash ,f(x\_i)\; =\; \backslash frac\{f^\{(2n)\}(\backslash xi)\}\{(2n)!\}\; \backslash ,\; (p\_n,\; p\_n)$$

여기서 는 에 속하며, 은 차수 의 모닉(최고차항 계수가 인) 직교 다항식이고,

:$$(f,g)\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; f(x)\; g(x)\; \backslash ,\; dx.$$

이다.

인 중요한 특수한 경우, 오차 추정치는 다음과 같다.

:

슈토어(Stoer)와 불리쉬(Bulirsch)는 이 오차 추정치는 차수 도함수를 추정하기 어려울 수 있고, 실제 오차가 도함수에 의해 설정된 경계보다 훨씬 작을 수 있기 때문에 실용적이지 않다고 언급한다. 다른 접근 방식은 서로 다른 차수의 두 개의 가우스 구적법을 사용하여 두 결과의 차이로 오차를 추정하는 것이다.

9.1. 도함수 이용

피적분 함수가 $2n$개의 연속적인 도함수를 가질 때, 가우스 구적법의 오차는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,f(x)\backslash ,dx\; -\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\backslash ,f(x\_i)\; =\; \backslash frac\{f^\{(2n)\}(\backslash xi)\}\{(2n)!\}\; \backslash ,\; (p\_n,\; p\_n)$$

여기서 $\backslash xi$는 $(a,\; b)$에 속하며, $p\_n$은 차수 $n$의 모닉(최고차항 계수가 1인) 직교 다항식이고,

:$$(f,g)\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; f(x)\; g(x)\; \backslash ,\; dx.$$

이다.

$\backslash omega(x)\; =\; 1$인 중요한 특수한 경우, 오차 추정치는 다음과 같다.

:

슈토어(Stoer)와 불리쉬(Bulirsch)는 이 오차 추정치는 차수 $2n$ 도함수를 추정하기 어려울 수 있고, 실제 오차가 도함수에 의해 설정된 경계보다 훨씬 작을 수 있기 때문에 실용적이지 않다고 언급한다. 다른 접근 방식은 서로 다른 차수의 두 개의 가우스 구적법을 사용하여 두 결과의 차이로 오차를 추정하는 것이다. 이를 위해 가우스-크론로드 구적법이 유용할 수 있다.

9.2. 가우스-크론로드 구적법 이용

슈토어(Stoer)와 불리쉬(Bulirsch)는 가우스 구적법의 오차 추정치는 차수 도함수를 추정하기 어려울 수 있고, 실제 오차가 도함수에 의해 설정된 경계보다 훨씬 작을 수 있기 때문에 실용적이지 않다고 언급한다. 다른 접근 방식은 서로 다른 차수의 두 개의 가우스 구적법을 사용하여 두 결과의 차이로 오차를 추정하는 것이다. 이를 위해 가우스-크론로드 구적법이 유용할 수 있다.

가우스-크론로드 구적법은 차수가 이 되도록 -점 규칙에 개의 점을 추가하여 생성된 가우스 구적 규칙의 확장이다. 이를 통해 하위 차수 추정의 함수 값을 재사용하면서 고차 추정값을 계산할 수 있다. 가우스 구적 규칙과 크론로드 확장의 차이는 종종 근사 오차의 추정치로 사용된다.

10. 가우스-크론로드 구적법

가우스-크론로드 구적법은 가우스 구적법을 확장하여 오차 추정을 용이하게 하는 방법이다. 구간 [a, b]]^영어를 분할하면, 각 부분 구간의 가우스 평가점은 원래 구간에서의 평가점과 일치하지 않으므로(홀수의 경우 0 제외), 새롭게 평가점을 구할 필요가 있다. 가우스-크론로드 구적법은 가우스 구적법의 n개의 점에 n+1개의 점을 추가하여, 구적법으로서의 차수를 2n+1로 만든다. 이로 인해, 낮은 차수의 근사에서 사용하는 함수값을 높은 차수의 근사 계산에 재사용할 수 있다. 일반적인 가우스 구적법과 크론로드 확장에 의한 근사의 차이가 오차 추정에 자주 이용된다.

11. 가우스-로바토 구적법

로바토 구적법이라고도 하며, 네덜란드 수학자 레휠 로바토의 이름을 따서 명명되었다. 가우스 구적법과 유사하지만 다음과 같은 차이점이 있다.

# 적분점은 적분 구간의 끝점을 포함한다.
# n이 적분점의 개수일 때, 2n - 3 차수까지의 다항식에 대해 정확하다.

구간 [-1, 1]에서 함수 f(x)의 로바토 구적법은 다음과 같다.

:$$\backslash int\_\{-1\}^1\; \{f(x)\; \backslash ,\; dx\}\; =\; \backslash frac\; \{2\}\; \{n(n-1)\}[f(1)\; +\; f(-1)]\; +\; \backslash sum\_\{i\; =\; 2\}^\{n-1\}\; \{w\_i\; f(x\_i)\}\; +\; R\_n.$$

절점 x_i는 P'_n-1(x)의 (i - 1)번째 영점이며, 여기서 P_m(x)는 m차 표준 르장드르 다항식을 나타내고, 대시는 미분을 나타낸다.

가중치는 다음과 같다.

:$$w\_i\; =\; \backslash frac\{2\}\{n(n\; -\; 1)\backslash left[P\_\{n-1\}\backslash left(x\_i\backslash right)\backslash right]^2\},\; \backslash qquad\; x\_i\; \backslash ne\; \backslash pm\; 1.$$

나머지는 다음과 같다.

:

일부 가중치는 다음과 같다.

이 알고리즘의 2개의 내부 노드를 갖는 적응형 변형은 GNU Octave와 MATLAB에서 `quadl` 및 `integrate`로 찾을 수 있다.