가우스 구적법

3. 구간 변환

가우스 구적법은 특정 구간에서 함수의 적분값을 근사하는 방법이다. 일반적인 구간 [a, b]에서의 적분은 가우스 구적법을 적용하기 전에 표준 구간 [-1, 1]로 변환해야 한다.

구간 변환은 다음과 같은 선형 변환을 통해 수행할 수 있다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash frac\{b-a\}\{2\}\; \backslash int\_\{-1\}^1\; f\backslash left(\backslash frac\{b-a\}\{2\}\backslash xi\; +\; \backslash frac\{a+b\}\{2\}\backslash right)\backslash ,d\backslash xi$

위 식을 통해 $n$개의 점을 사용하는 가우스 구적 규칙 $(\backslash xi,\; w)$을 적용하여 다음과 같은 근사값을 얻는다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx\; \backslash approx\; \backslash frac\{b-a\}\{2\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\; f\backslash left(\backslash frac\{b-a\}\{2\}\backslash xi\_i\; +\; \backslash frac\{a+b\}\{2\}\backslash right).$

변환된 적분을 계산하는 과정은 하위 섹션에서 예제와 함께 자세히 설명되어 있다.

3. 1. 선형 변환

4. 다른 형식

가우스 구적법은 적분 구간과 가중 함수에 따라 다양한 형태로 일반화될 수 있다. 즉, 아래와 같은 형태의 적분 문제를 고려할 수 있다.

:$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,f(x)\backslash ,dx$$

여기서 $a$, $b$, $\backslash omega(x)$는 적절하게 선택한다. 예를 들어, $a\; =\; -1$, $b\; =\; 1$, $\backslash omega(x)\; =\; 1$인 경우는 기본적인 가우스 구적법과 같다. 다른 선택은 다른 적분 규칙을 유도하며, 그 중 일부는 아래 표에 정리되어 있다. "A & S" 열은 아브라모위츠와 스티건^[15]에 있는 식 번호를 나타낸다.

4. 1. 가중 함수와 직교 다항식

4. 2. 가우스-야코비 구적법

4. 3. 체비쇼프-가우스 구적법

4. 4. 가우스-라게르 구적법

4. 5. 가우스-에르미트 구적법

5. 기본 정리

$p\_n$을 차수가 $n$인 비자명 다항식이라 하고, 다음을 만족한다고 가정한다.

$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; \backslash ,\; x^k\; p\_n(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; all\; \}\; k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash ldots,\; n\; -\; 1.$$

여기서 $\backslash omega(x)$는 가중 함수이다.

$n$개의 노드 $x\_i$를 $p\_n$의 영점으로 선택하면, 차수가 $2n\; -\; 1$ 이하인 모든 다항식에 대해 가우스 구적법으로 계산된 적분을 정확하게 만드는 $n$개의 가중치 $w\_i$가 존재한다. 또한, 이러한 모든 노드 $x\_i$는 열린 구간 $(a,\; b)$ 안에 위치한다.^[4]

5. 1. 직교 다항식의 성질

5. 2. 가중치와 노드의 선택

5. 3. 노드의 위치

6. 가중치 계산 일반 공식

가우스 구적법에서 가중치($w\_i$)는 직교 다항식을 이용하여 계산할 수 있다. $a\_k$를 직교 다항식 $p\_k(x)$에서 $x^k$의 계수라고 하면, 가중치는 다음과 같은 일반 공식으로 주어진다.^[1]

:$w\_\{i\}\; =\; \backslash frac\{a\_\{n\}\}\{a\_\{n-1\}\}\; \backslash frac\{\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash omega(x)\; p\_\{n-1\}(x)^2\; dx\}\{p\text{'}\_\{n\}(x\_\{i\})\; p\_\{n-1\}(x\_\{i\})\}$

이 공식은 라그랑주 보간법이나 직교 다항식의 성질을 이용하여 유도할 수 있으며, 구체적인 유도 과정은 하위 섹션에서 상세히 설명되어 있다.

또한, 3항 재귀 관계를 이용하여 $p\_\{n-1\}(x\_i)$를 $p\_\{n+1\}(x\_i)$로 대체하여 표현할 수도 있다.

6. 1. 라그랑주 보간법 이용

6. 2. 직교 다항식 이용

7. 가중치의 양수성 증명

차수 $2n\; -\; 2$인 다음 다항식을 고려한다.

:$$f(x)\; =\; \backslash prod\_\{\backslash begin\{smallmatrix\}\; 1\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash neq\; i\; \backslash end\{smallmatrix\}\}\backslash frac\{\backslash left(x\; -\; x\_j\backslash right)^2\}\{\backslash left(x\_i\; -\; x\_j\backslash right)^2\}$$

여기서, 위와 같이, x_j^영어는 다항식 $p\_\{n\}(x)$의 근이다.

분명히 $f(x\_j)\; =\; \backslash delta\_\{ij\}$이다. $f(x)$의 차수가 $2n\; -\; 1$보다 작으므로, $p\_\{n\}(x)$에서 얻은 가중치와 노드를 포함하는 가우스 구적 공식이 적용된다. j^영어가 i^영어와 같지 않은 경우 $f(x\_\{j\})\; =\; 0$이므로, 다음을 얻는다.

:$$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash omega(x)f(x)dx=\backslash sum\_\{j=1\}^\{n\}w\_\{j\}f(x\_\{j\})\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{n\}\; \backslash delta\_\{ij\}\; w\_j\; =\; w\_\{i\}\; >\; 0.$$

$\backslash omega(x)$와 $f(x)$가 모두 음수가 아닌 함수이므로, $w\_\{i\}\; >\; 0$이다.

8. 가우스 구적 규칙 계산

가우스 구적법의 노드와 가중치를 계산하는 데는 여러 가지 방법이 있다. 널리 사용되는 골럽-웰시(Golub-Welsch) 알고리즘은 $O(n^2)$ 연산을 필요로 한다. $p\_n(x)\; =\; 0$을 풀기 위해 뉴턴 방법을 사용하는 방법도 있는데, 이 역시 3항 점화식을 활용하여 $O(n^2)$ 연산으로 계산 가능하다. n이 큰 경우에는 점근 공식을 사용하여 $O(n)$ 연산만으로도 가능하다.^[16][17]

8. 1. 점화식

8. 2. 골럽-웰시 알고리즘

9. 오차 추정

가우스 구적법의 오차는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[5] 피적분^영어 함수가 개의 연속적인 도함수를 가질 때,

:$$\backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\backslash ,f(x)\backslash ,dx\; -\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\backslash ,f(x\_i)\; =\; \backslash frac\{f^\{(2n)\}(\backslash xi)\}\{(2n)!\}\; \backslash ,\; (p\_n,\; p\_n)$$

여기서 는 에 속하며, 은 차수 의 모닉(최고차항 계수가 인) 직교 다항식이고,

:$$(f,g)\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash omega(x)\; f(x)\; g(x)\; \backslash ,\; dx.$$

이다.

인 중요한 특수한 경우, 오차 추정치는 다음과 같다.^[6]

:

슈토어(Stoer)와 불리쉬(Bulirsch)는 이 오차 추정치는 차수 도함수를 추정하기 어려울 수 있고, 실제 오차가 도함수에 의해 설정된 경계보다 훨씬 작을 수 있기 때문에 실용적이지 않다고 언급한다. 다른 접근 방식은 서로 다른 차수의 두 개의 가우스 구적법을 사용하여 두 결과의 차이로 오차를 추정하는 것이다.

9. 1. 도함수 이용

9. 2. 가우스-크론로드 구적법 이용

10. 가우스-크론로드 구적법

가우스-크론로드 구적법은 가우스 구적법을 확장하여 오차 추정을 용이하게 하는 방법이다.^[19][20] 구간 [''a'', ''b'']]^영어를 분할하면, 각 부분 구간의 가우스 평가점은 원래 구간에서의 평가점과 일치하지 않으므로(홀수의 경우 0 제외), 새롭게 평가점을 구할 필요가 있다. 가우스-크론로드 구적법은 가우스 구적법의 n개의 점에 n+1개의 점을 추가하여, 구적법으로서의 차수를 2n+1로 만든다. 이로 인해, 낮은 차수의 근사에서 사용하는 함수값을 높은 차수의 근사 계산에 재사용할 수 있다. 일반적인 가우스 구적법과 크론로드 확장에 의한 근사의 차이가 오차 추정에 자주 이용된다.

11. 가우스-로바토 구적법

'''로바토 구적법'''이라고도 하며^[7], 네덜란드 수학자 레휠 로바토의 이름을 따서 명명되었다. 가우스 구적법과 유사하지만 다음과 같은 차이점이 있다.

# 적분점은 적분 구간의 끝점을 포함한다.

# n이 적분점의 개수일 때, 2n - 3 차수까지의 다항식에 대해 정확하다.^[8]

구간 [-1, 1]에서 함수 f(x)의 로바토 구적법은 다음과 같다.

:$$\backslash int\_\{-1\}^1\; \{f(x)\; \backslash ,\; dx\}\; =\; \backslash frac\; \{2\}\; \{n(n-1)\}[f(1)\; +\; f(-1)]\; +\; \backslash sum\_\{i\; =\; 2\}^\{n-1\}\; \{w\_i\; f(x\_i)\}\; +\; R\_n.$$

절점 x_i는 P'_n-1(x)의 (i - 1)번째 영점이며, 여기서 P_m(x)는 m차 표준 르장드르 다항식을 나타내고, 대시는 미분을 나타낸다.

가중치는 다음과 같다.

:$$w\_i\; =\; \backslash frac\{2\}\{n(n\; -\; 1)\backslash left[P\_\{n-1\}\backslash left(x\_i\backslash right)\backslash right]^2\},\; \backslash qquad\; x\_i\; \backslash ne\; \backslash pm\; 1.$$

나머지는 다음과 같다.

:

일부 가중치는 다음과 같다.

이 알고리즘의 2개의 내부 노드를 갖는 적응형 변형은^[9] GNU Octave와 MATLAB에서 `quadl` 및 `integrate`로 찾을 수 있다.^[10][11]

참조

_[1] 인용
_[2] 인용
_[3] 인용
_[4] 인용
_[5] 인용
_[6] 인용
_[7] 인용
_[8] 인용
_[9] 인용
_[10] 인용
_[11] 인용
_[12] 서적 数値計算 岩波書店
_[13] 서적 Numerical Recipes in C Cambridge University Press 1988年
_[14] 서적 Introduction to Numerical Analysis Springer 2002年
_[15] 서적 Handbook of Mathematical Functions (with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables) Dover 1972年
_[16] 서적 Numerical Methods for Special Functions SIAM 2007年
_[17] 서적 "A Software Repository for Gaussian Quadratures and Christoffel Functions" SIAM
_[18] 서적 Numerical Methods and Software Prentice-Hall 1989年
_[19] 논문 Gauss–Kronrod quadrature formulae–a survey of fifty years of research.
_[20] 웹사이트 Gauss-Kronrod quadrature formula http://www.encyclope[...]