능면체

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1. 개요
2. 특수한 경우
- 2.1. 형태
3. 기하학적 성질
4. 수심 사면체와의 관계
5. 능면체 격자
참조

1. 개요

능면체는 마름모 면의 각도에 따라 찌그러진 형태와 늘어난 형태로 나뉘는 기하학적 도형이다. 마름모의 각도와 대각선 비율에 따라 정육면체, √2 능면체, 황금 능면체와 같은 특수한 형태가 존재한다. 능면체의 부피와 높이는 변의 길이와 마름모의 예각을 사용하여 계산할 수 있으며, 네 꼭짓점은 수심 사면체의 꼭짓점을 형성한다. 능면체는 능면체 격자계를 형성하며, 6개의 합동 능면체는 삼각 사다리꼴 정다면체를 이룬다.

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능면체

2. 특수한 경우

능면체는 마름모 면의 각도에 따라 찌그러진 형태(oblate)와 늘어난 형태(prolate)로 나뉜다. 마름모 면의 각도 θ에 따른 능면체의 형태는 다음과 같다.

찌그러진 능면체	늘어난 능면체
찌그러진 능면체	늘어난 능면체

$\theta > 90^\circ$ 이면 찌그러진 형태, $\theta < 90^\circ$ 이면 늘어난 형태이다.

마름모의 대각선 비율에 따라 다음과 같은 특수한 능면체가 존재한다.

형태	정육면체	√2 능면체	황금 능면체
각도 제한	$\theta=90^\circ$
대각선 비율	1	√2	황금비
발생	정다면체	마름모십이면체의 분할	마름모삼십면체의 분할

2. 1. 형태

3. 기하학적 성질

변의 길이가 1인 단위 능면체의 경우, 마름모의 예각 θ를 가지며, 한 꼭짓점이 원점 (0, 0, 0)에 있고, 한 변이 x축을 따라 놓여 있을 때, 세 개의 생성 벡터는 다음과 같다.^[5]

:'''''e₁''''' : (1, 0, 0),

:'''''e₂''''' : (cosθ, sinθ, 0),

:'''''e₃''''' : (cosθ, (cosθ - cos²θ)/sinθ, √(1 - 3cos²θ + 2cos³θ)/sinθ).

다른 좌표는 세 방향 벡터의 벡터 덧셈으로 얻을 수 있다.^[5]

능면체의 부피 V는 변의 길이 a와 마름모의 예각 θ로 나타낼 수 있으며, 이는 평행육면체의 부피를 단순화한 것이다.

:V = a³(1 - cosθ)√(1 + 2cosθ) = a³√(1 - 3cos²θ + 2cos³θ).

V = 2√3 a³ sin²(θ/2)√(1 - (4/3)sin²(θ/2)).

(마름모) 밑면의 면적이 a²sinθ로 주어지고, 능면체의 높이는 부피를 밑면의 면적으로 나눈 값으로 주어지므로, 능면체의 높이 h는 변의 길이 a와 마름모의 예각 θ로 다음과 같이 주어진다.

:h = a(1 - cosθ)√(1 + 2cosθ)/sinθ = a√(1 - 3cos²θ + 2cos³θ)/sinθ.

h = az_''3'' (여기서 z_''3''는 '''''e₃'''''의 세 번째 좌표이다.)

예각 꼭짓점 사이의 대각선이 가장 길며, 그 대각선에 대한 회전 대칭에 의해, 세 쌍의 둔각 꼭짓점 사이의 다른 세 개의 대각선은 모두 길이가 같다.

4. 수심 사면체와의 관계

능면체의 네 꼭짓점(사면체의 꼭짓점이 아닌)은 수심 사면체의 네 꼭짓점을 형성하며, 모든 수심 사면체는 이러한 방식으로 형성될 수 있다.^[6]

5. 능면체 격자

능면체 격자계는 능면체 세포를 가지며, 6개의 합동 능면체가 삼각 사다리꼴 정다면체를 형성한다.

참조

_[1] 학술지 Maths Resource: Rhombic Dodecahedra Puzzles 1989-01
_[2] 학술지 The Archimedean honeycomb duals 1997-07
_[3] 서적 Regular Polytopes Dover
_[4] 서적 Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals Dover Publications
_[5] 웹사이트 Vector Addition http://mathworld.wol[...] Wolfram 2016-05-17
_[6] 간행물 Notes on the orthocentric tetrahedron 1934-10

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