마름모구십면체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

마름모구십면체는 깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 각뿔을 붙여 만들 수 있는 다면체이다. 넓은 마름모 60개와 좁은 마름모 30개로 구성되며, 넓은 마름모는 마름모 십이면체와 동일한 형태를 가진다. 좁은 마름모는 황금비의 제곱과 관련된 대각선 비율을 갖는다. 마름모구십면체의 최적 충전율은 약 0.7947이다.

마름모구십면체

개요

이미지 준비중입니다.

마름모구십면체

종류	존슨 다면체
면	90개 마름모 (60개 넓은 마름모, 30개 좁은 마름모)
모서리	180개 (60+120)
꼭짓점	92개 (12+20+60)
콘웨이 표기법	PolyHédronisme
쌍대	깎은 정이십면체
성질	볼록
전개도	Rhombic enneacontahedron flat.png

📚 더 읽어볼만한 페이지

수학 - 회귀 분석
회귀 분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 통계적 기법으로, 최소 제곱법 개발 이후 골턴의 연구로 '회귀' 용어가 도입되어 다양한 분야에서 예측 및 인과 관계 분석에 활용된다.
수학 - 수학적 최적화
수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.
다면체 - 삼각쌍뿔
삼각쌍뿔은 6개의 정삼각형 면, 5개의 꼭짓점, 9개의 모서리를 가진 존슨 다면체이자 델타다면체로, 두 정사면체를 밑면끼리 결합한 형태이며, 분자 기하학, 색채 이론 등 다양한 분야에 응용된다.
다면체 - 팔면체
팔면체는 8개의 면을 가진 다면체를 통칭하며, 특히 정팔면체는 8개의 정삼각형으로 이루어져 기하학적 성질과 표면적, 부피 계산 공식을 가지며, 결정 구조, 예술, 과학 기술, 건축 등 다양한 분야에서 활용된다.

1. 개요
2. 구성
- 2.1. 깎은 정이십면체와의 관계
- 2.2. 마름모의 형태
  - 2.2.1. 넓은 마름모
  - 2.2.2. 좁은 마름모
3. 성질
- 3.1. 밀도
4. 관련 다면체
5. 같이 보기

2. 구성

마름모구십면체는 깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 각뿔을 붙이고, 이각이 0이 되도록 높이를 조절하여 만들 수 있다. 이때, 두 종류의 각뿔 옆면 모서리 길이가 같도록 하면 마름모구십면체가 된다. 이러한 구조는 Conway 다면체 표기법에서 결합 연산자 'j'를 사용하여 jtI로 표현한다.

2.1. 깎은 정이십면체와의 관계

깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 각뿔을 붙이고, 이각이 0이 되도록 높이를 조절하여 마름모구십면체를 만들 수 있다. Conway 다면체 표기법으로는 jtI로 표현된다.

2.2. 마름모의 형태

마름모구십면체는 깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 피라미드를 붙이고 이각이 0이 되도록 높이를 조절하여, 두 종류의 피라미드 옆면 모서리가 길이가 같도록 만든 비균일 도형으로 볼 수 있다. 이러한 구조는 Conway 다면체 표기법에서 결합 연산자 j를 사용하여 jtI로 표현된다. 모서리 길이 같음 제약 조건이 없으면 넓은 마름모는 연이 되며, 정이십면체 대칭으로만 제한된다.

로이드 칸(Lloyd Kahn)의 Domebook 2에서는 마름모구십면체라고도 불린다.

2.2.1. 넓은 마름모

마름모구십면체의 60개의 넓은 마름모 면은 마름모 십이면체와 동일하며, 대각선의 비율은 1: 제곱근 2(백은비)이다. 이 마름모의 면각은 약 70.528°와 109.471°이다.

2.2.2. 좁은 마름모

30개의 좁은 마름모 면의 꼭짓각은 41.810°와 138.189°이며, 대각선의 비율은 1: φ²(황금비의 제곱)이다.

3. 성질

마름모구십면체는 마름모십이면체 내부에 포함되어 있으며, 내접구는 마름모구십면체의 내접구와 같다.

3.1. 밀도

마름모구십면체의 최적 충전율은 다음과 같다.
: $\eta = 16 - \frac{34}{\sqrt{5}} \approx 0.7947377530014315$ .
이 최적값은 브라베 격자에서 얻어지는 것으로 밝혀졌다. 마름모구십면체는 마름모십이면체 내부에 포함되어 있으며, 그 내접구는 마름모구십면체의 내접구와 동일하므로, 최적 충전율 값은 케플러 추측의 귀결이다. 즉, 마름모 십이면체 벌집의 각 세포에 깎은 정육면체를 배치함으로써 얻을 수 있으며, 이를 초과할 수 없다. 그렇지 않으면 이를 초과하는 가상의 채움에서 각 깎은 정육면체에 구를 배치함으로써 구의 최적 채움 밀도를 초과할 수 있기 때문이다.

4. 관련 다면체

마름모구십면체는 깎은 정이십면체의 오각형 면과 육각형 면에 피라미드를 붙이고 이각이 0이 되도록 높이를 조절하며, 두 종류의 피라미드 옆면 모서리가 길이가 같도록 한 비균일 도형으로 볼 수도 있다. 이러한 구조는 Conway 다면체 표기법에서 결합 연산자 j를 사용하여 jtI로 표현된다. 모서리 길이 같음 제약 조건이 없으면 넓은 마름모는 연이 되며, 정이십면체 대칭으로만 제한된다.

마름모구십면체의 60개의 넓은 마름모 면은 마름모 십이면체와 동일하며, 대각선의 비율은 1 대 제곱근 2이다. 이 마름모의 면각은 약 70.528°와 109.471°이다. 30개의 좁은 마름모 면의 면 꼭지각은 41.810°와 138.189°이며, 대각선의 비율은 1 대 φ²이다.

로이드 칸의 Domebook 2에서는 마름모구십면체라고도 불린다.

5. 같이 보기

* 마름모십이면체
* 깎은 정이십면체
* 존슨 다면체
* 황금비
* 백은비