평행육면체

1. 개요

평행육면체는 세 쌍의 평행한 면을 가지는 3차원 도형으로, 선형 변환을 통해 정육면체로부터 생성될 수 있다. 정육면체, 정사각형 직육면체, 삼방주상이십면체, 직육면체 등이 있으며, 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱으로 계산된다. 고차원에서는 평행다면체로 일반화되며, n-평행육면체는 n차원 공간에서 정의된다.

2. 성질

평행육면체는 세 쌍의 평행한 면 중 어느 한 쌍을 프리즘의 밑면으로 볼 수 있다. 평행육면체는 네 개의 평행한 모서리가 세 벌 있으며, 각 벌의 모서리 길이는 서로 같다.

평행육면체는 선형 변환을 통해 정육면체로부터 생성될 수 있다(퇴화하지 않은 경우: 전단사 선형 변환).

각 면은 점대칭을 가지므로, 평행육면체는 조노헤드론이다. 또한 평행육면체 전체는 점대칭 C_i을 갖는다(삼사정계 참조). 각 면은 바깥에서 볼 때 반대편 면의 거울상이다. 면들은 일반적으로 카이랄하지만, 평행육면체 자체는 카이랄하지 않다.

공간 채우기 테셀레이션은 임의의 평행육면체의 합동인 복사본으로 가능하다. 평행육면체는 서로 다른 36가지의 전개도를 갖는다.

3. 종류

평행육면체는 세 쌍의 평행한 면을 가지며, 이 중 어느 한 쌍을 밑면으로 볼 수 있다. 네 개의 평행한 모서리가 세 벌 있으며, 각 벌의 모서리 길이는 서로 같다. 선형 변환을 통해 정육면체로부터 생성될 수 있다(퇴화하지 않은 경우).

각 면은 점대칭을 가지므로 평행육면체는 조노헤드론이다. 또한, 평행육면체 전체는 점대칭을 갖는다(삼사정계 참조). 각 면은 바깥에서 볼 때 반대편 면의 거울상이다. 면들은 일반적으로 카이랄하지만, 평행육면체 자체는 카이랄하지 않다.

공간 채우기 테셀레이션은 임의의 평행육면체의 합동인 복사본으로 가능하다.

평행육면체는 대칭에 따라 여러 종류로 나눌 수 있다.

3.1. 정육면체

O_h^영어 대칭을 가진 평행육면체는 정육면체로, 6개의 합동인 정사각형 면을 가지고 있다.

직육면체이면서, 동시에 마름면체인 경우가 정육면체이다.

3.2. 정사각형 직육면체

D_4h 대칭을 가진 평행육면체는 정사각형 직육면체로 알려져 있으며, 2개의 정사각형 면과 4개의 합동인 직사각형 면을 가진다.

3.3. 삼방주상이십면체 (등면 마름모면체)

Rhombohedron^영어라고도 불리는 삼방주상이십면체는 D_3d 대칭을 가지며, 6개의 합동인 마름모꼴 면으로 이루어져 있다.

3.4. 직육면체

D_2h 대칭을 가진 평행육면체 중 하나는 직육면체이다. 직육면체는 6개의 직사각형 면을 가진다.(직사각형 평행육면체 또는 간단히 직육면체라고도 함).

모든 인접한 면이 직교하는 평행육면체는 직육면체가 된다.

완벽 직육면체는 모서리, 면대각선, 공간대각선의 길이가 모두 정수인 직육면체이다. 모든 면이 직사각형인 완벽 직육면체(완벽 직육면체)가 존재하는지는 알려져 있지 않다.

3.5. 직각 마름모 기둥

직각 마름모 기둥은 2개의 마름모 면과 4개의 합동인 직사각형 면을 가지며, D_2h 대칭을 갖는다.

3.6. 직각 평행사변형 기둥

직각 평행사변형 기둥은 C_2h 대칭을 가지는 평행육면체이다. 4개의 직사각형 면과 2개의 평행사변형 면을 가진다.

3.7. 사각 마름모 기둥

사각 마름모 기둥은 C_2h 대칭을 가지는 평행육면체의 한 종류이다. 2개의 마름모 면을 가지며, 다른 면 중 인접한 두 면은 서로 같고 나머지 두 면도 서로 같다 (두 쌍은 서로 거울상이다).

4. 부피

평행육면체의 부피는 밑면(평행사변형)의 넓이와 높이의 곱으로 구할 수 있다. 또는 세 벡터의 스칼라 삼중곱 또는 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 기하학적 속성(각도와 모서리 길이)만을 사용하거나, 꼭짓점 좌표를 이용하여 부피를 나타낼 수도 있다.

* 일반적인 경우: 평행육면체의 부피는 밑넓이와 높이의 곱이며, 세 벡터의 스칼라 삼중곱(행렬식으로 표현 가능)을 이용하여 계산할 수 있다.
* 기하학적 속성을 이용한 계산: 모서리 길이와 각도를 이용하여 부피를 계산하는 공식이 존재한다.
* 꼭짓점 좌표를 이용한 계산: 평행육면체의 중심을 원점에 놓고 꼭짓점 좌표를 이용해 부피를 계산할 수 있다.

평행육면체의 세 모서리를 공유하는 사면체의 부피는 평행육면체 부피의 1/6이다.

4.1. 일반적인 경우

평행육면체는 밑면이 평행사변형인 프리즘이다. 따라서 평행육면체의 부피 $V$는 밑면의 넓이 $B$와 높이 $h$의 곱으로 나타낼 수 있다.

*$B\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash gamma\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; b\backslash right|$ (여기서 $\backslash gamma$는 벡터 $\backslash mathbf\; a$와 $\backslash mathbf\; b$ 사이의 각도)
*$h\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|$ (여기서 $\backslash theta$는 벡터 $\backslash mathbf\; c$와 밑면의 법선 사이의 각도)

위 두 식을 곱하면, 다음을 얻는다.
$$V\; =\; B\backslash cdot\; h\; =\; \backslash left(\backslash left|\backslash mathbf\; a\backslash right|\; \backslash left|\backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash sin\; \backslash gamma\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash left(\backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{b\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{c\}\backslash right|.$$
세 벡터의 혼합곱은 스칼라 삼중곱이라고 하며, 행렬식으로 나타낼 수 있다. 따라서 $\backslash mathbf\; a=(a\_1,a\_2,a\_3)^\backslash mathsf\{T\},\; ~\backslash mathbf\; b=(b\_1,b\_2,b\_3)^\backslash mathsf\{T\},\; ~\backslash mathbf\; c=(c\_1,c\_2,c\_3)^\backslash mathsf\{T\}$에 대해 부피는 다음과 같다.

\end{bmatrix} \right| .

위 식을 증명하는 또 다른 방법은 벡터 $\backslash mathbf\; c$의 $\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b$ 방향의 스칼라 성분을 사용하는 것이다.
$$\backslash begin\{align\}$$
V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|
= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}
= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.
\end{align}

부피를 나타내는 또 다른 방법은 기하학적 속성(각도와 모서리 길이)만을 사용하는 것이다.
$$V\; =\; abc\backslash sqrt\{1+2\backslash cos(\backslash alpha)\backslash cos(\backslash beta)\backslash cos(\backslash gamma)-\backslash cos^2(\backslash alpha)-\backslash cos^2(\backslash beta)-\backslash cos^2(\backslash gamma)\},$$
여기서 $\backslash alpha\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; b,\; \backslash mathbf\; c)$, $\backslash beta\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; a,\backslash mathbf\; c)$, $\backslash gamma\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; a,\backslash mathbf\; b)$이고, $a,b,c$는 모서리 길이이다.

평행육면체의 세 모서리가 만나는 임의의 사면체의 부피는 그 평행육면체 부피의 1/6과 같다.
하나의 면을 수평면에 놓으면, 부피는 수평면(각각 평행사변형)의 면적에 높이를 곱한 것과 같다. 여기서 높이는 한 변의 길이가 아니라 수평면에 수직인 축을 따라 측정되는 값이다.

평행육면체의 중심을 좌표 원점에 놓았을 때 8개 꼭짓점의 좌표를 u_i로 나타내면, 부피는 다음 식으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 도형의 위치 각도는 문제되지 않는다.
:$V=\backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}\backslash sum\_\{i\; =\; 1\}^8\; \backslash mathbf\{u\_i\}\backslash otimes\backslash mathbf\{u\_i\}\; \backslash end\{vmatrix\}\}=\; \backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}\backslash sum\_\{i\; =\; 1\}^8\; \backslash mathbf\{u\_i\}\; \backslash mathbf\{u\_i\}^\{\backslash top\}\; \backslash end\{vmatrix\}\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}$
\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_x \\ u_y \\ u_z\end{pmatrix}_i
\begin{pmatrix}u_x & u_y& u_z\end{pmatrix} _i\end{vmatrix}}

::$=\backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}$
\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_xu_x & u_xu_y & u_xu_z \\ u_yu_x & u_yu_y & u_yu_z
\\ u_zu_x & u_zu_y & u_zu_z \end{pmatrix}_i\end{vmatrix}}

::$=\backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}$
\sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iz}\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iz}
\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{ix} & \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iz} \end{vmatrix}}

4.2. 기하학적 속성을 이용한 계산

평행육면체는 밑면이 평행사변형인 프리즘이다. 따라서 평행육면체의 부피 $V$는 밑면의 넓이 $B$와 높이 $h$의 곱으로 나타낼 수 있다.

* $B\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash gamma\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; b\backslash right|$ (여기서 $\backslash gamma$는 벡터 $\backslash mathbf\; a$와 $\backslash mathbf\; b$ 사이의 각도)
* $h\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|$ (여기서 $\backslash theta$는 벡터 $\backslash mathbf\; c$와 밑면의 법선 사이의 각도)

위 두 식을 곱하면 다음을 얻는다.

:$$V\; =\; B\backslash cdot\; h\; =\; \backslash left(\backslash left|\backslash mathbf\; a\backslash right|\; \backslash left|\backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash sin\; \backslash gamma\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash left(\backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{b\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{c\}\backslash right|.$$

세 벡터의 혼합곱은 스칼라 삼중곱이라고 하며, 행렬식으로 나타낼 수 있다. 따라서 $\backslash mathbf\; a=(a\_1,a\_2,a\_3)^\backslash mathsf\{T\},\; ~\backslash mathbf\; b=(b\_1,b\_2,b\_3)^\backslash mathsf\{T\},\; ~\backslash mathbf\; c=(c\_1,c\_2,c\_3)^\backslash mathsf\{T\}$에 대해 부피는 다음과 같다.

:
\end{bmatrix} \right| .

벡터 $\backslash mathbf\; c$의 $\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b$ 방향의 스칼라 성분을 사용하여 위 식을 증명할 수도 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|
= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}
= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.
\end{align}

부피는 기하학적 속성(각도와 모서리 길이)만을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:$$V\; =\; abc\backslash sqrt\{1+2\backslash cos(\backslash alpha)\backslash cos(\backslash beta)\backslash cos(\backslash gamma)-\backslash cos^2(\backslash alpha)-\backslash cos^2(\backslash beta)-\backslash cos^2(\backslash gamma)\},$$

여기서 $\backslash alpha\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; b,\; \backslash mathbf\; c)$, $\backslash beta\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; a,\backslash mathbf\; c)$, $\backslash gamma\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; a,\backslash mathbf\; b)$이고, $a,b,c$는 모서리 길이이다.

평행육면체의 세 개의 만나는 모서리를 공유하는 임의의 사면체의 부피는 그 평행육면체 부피의 1/6과 같다.

4.3. 꼭짓점 좌표를 이용한 계산

평행육면체의 부피 $V$는 밑면의 넓이 $B$와 높이 $h$의 곱으로 나타낼 수 있다.

* $B\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash gamma\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; b\backslash right|$ (여기서 $\backslash gamma$는 벡터 $\backslash mathbf\; a$와 $\backslash mathbf\; b$ 사이의 각도)
* $h\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|$ (여기서 $\backslash theta$는 벡터 $\backslash mathbf\; c$와 밑면의 법선 사이의 각도)

따라서, 다음과 같은 식을 얻는다.

$$V\; =\; B\backslash cdot\; h\; =\; \backslash left(\backslash left|\backslash mathbf\; a\backslash right|\; \backslash left|\backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash sin\; \backslash gamma\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; b\backslash right|\; \backslash left|\backslash mathbf\; c\backslash right|\; \backslash left|\backslash cos\; \backslash theta\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash left(\backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{b\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{c\}\backslash right|.$$

세 벡터의 혼합곱은 스칼라 삼중곱이라고 하며, 행렬식으로 나타낼 수 있다. $\backslash mathbf\; a=(a\_1,a\_2,a\_3)^\backslash mathsf\{T\},\; ~\backslash mathbf\; b=(b\_1,b\_2,b\_3)^\backslash mathsf\{T\},\; ~\backslash mathbf\; c=(c\_1,c\_2,c\_3)^\backslash mathsf\{T\}$에 대해 부피는 다음과 같다.


\end{bmatrix} \right| .

벡터 $\backslash mathbf\; c$의 $\backslash mathbf\; a\backslash times\backslash mathbf\; b$ 방향의 스칼라 성분을 사용하여 위 식을 증명할 수도 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$
V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|
= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}
= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.
\end{align}

기하학적 속성(각도와 모서리 길이)만을 사용하여 부피를 나타내는 방법도 있다.

$$V\; =\; abc\backslash sqrt\{1+2\backslash cos(\backslash alpha)\backslash cos(\backslash beta)\backslash cos(\backslash gamma)-\backslash cos^2(\backslash alpha)-\backslash cos^2(\backslash beta)-\backslash cos^2(\backslash gamma)\},$$

여기서 $\backslash alpha\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; b,\; \backslash mathbf\; c)$, $\backslash beta\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; a,\backslash mathbf\; c)$, $\backslash gamma\; =\; \backslash angle(\backslash mathbf\; a,\backslash mathbf\; b)$이고, $a,b,c$는 모서리 길이이다.

평행육면체의 세 모서리가 만나는 꼭짓점을 공유하는 임의의 사면체의 부피는 그 평행육면체 부피의 1/6과 같다.

평행육면체의 중심을 좌표 원점에 놓았을 때, 8개 꼭짓점의 좌표를 u_i로 나타내면 부피는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:$V=\backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}\backslash sum\_\{i\; =\; 1\}^8\; \backslash mathbf\{u\_i\}\backslash otimes\backslash mathbf\{u\_i\}\; \backslash end\{vmatrix\}\}=\; \backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}\backslash sum\_\{i\; =\; 1\}^8\; \backslash mathbf\{u\_i\}\; \backslash mathbf\{u\_i\}^\{\backslash top\}\; \backslash end\{vmatrix\}\}=\backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}$
\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_x \\ u_y \\ u_z\end{pmatrix}_i
\begin{pmatrix}u_x & u_y& u_z\end{pmatrix} _i\end{vmatrix}}

::$=\backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}$
\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_xu_x & u_xu_y & u_xu_z \\ u_yu_x & u_yu_y & u_yu_z
\\ u_zu_x & u_zu_y & u_zu_z \end{pmatrix}_i\end{vmatrix}}

::$=\backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; \{8\}\backslash begin\{vmatrix\}$
\sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iz}\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iz}
\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{ix} & \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iz} \end{vmatrix}}

5. 표면적

평행육면체의 표면적은 이를 둘러싸는 평행사변형들의 넓이의 합이다.

:$A\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash left(|\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; b|\; +\; |\backslash mathbf\; a\; \backslash times\; \backslash mathbf\; c|\; +\; |\backslash mathbf\; b\; \backslash times\; \backslash mathbf\; c|\backslash right)\; =\; 2\backslash left(ab\backslash sin\backslash gamma+\; bc\backslash sin\backslash alpha+ca\backslash sin\backslash beta\backslash right).$

(표기는 앞 절 참조)

6. 평행다면체 (고차원 일반화)

콕스터는 고차원에서 평행육면체의 일반화를 평행다면체라고 불렀으며, 현대 문헌에서도 고차원 또는 임의의 유한 차원에서 평행육면체라는 용어를 사용한다.

n차원 평행다면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 이 점을 기준으로 이등분된다. 또한, 이 점을 기준으로 한 반전은 n차원 평행다면체를 변화시키지 않는다. 유클리드 공간에서 등거리 변환 군의 고정점도 참고할 수 있다.

평행다면체의 n개의 수렴하는 모서리를 공유하는 임의의 n-단체의 부피는 그 평행다면체의 부피의 1/n!과 같다.

6.1. 정의

콕스터는 고차원에서 평행육면체의 일반화를 평행다면체라고 불렀다. 현대 문헌에서는 고차원(또는 임의의 유한 차원)에서도 평행육면체라는 용어를 자주 사용한다.

특히, n차원 공간에서는 n차원 평행다면체 또는 간단히 n-평행다면체(n-평행육면체)라고 한다. 따라서 평행사변형은 2-평행다면체이고, 평행육면체는 3-평행다면체이다.

n-평행다면체의 대각선들은 한 점에서 교차하며 이 점에 의해 이등분된다. 이 점에서의 반전은 n-평행다면체를 변화시키지 않는다.

k-평행다면체의 한 꼭짓점에서 나오는 모서리들은 벡터 공간의 k-프레임 $(v\_1,\backslash ldots,\; v\_n)$을 형성하며, 이 벡터들의 0과 1 사이의 가중치를 가진 선형 결합을 취하여 이 벡터들로부터 평행다면체를 복원할 수 있다.

$\backslash R^m$에 포함된 n-평행다면체의 n-부피(여기서 $m\; \backslash geq\; n$)는 그램 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 또는 부피는 벡터들의 외적의 노름이다.
$$V\; =\; \backslash left\backslash |\; v\_1\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; v\_n\; \backslash right\backslash |\; .$$

만약 $m\; =\; n$이라면, 이것은 n 벡터의 성분으로 구성된 행렬의 행렬식의 절댓값과 같다.

$\backslash R^n$에서 n-평행다면체 P의 부피를 계산하는 공식은, n + 1개의 꼭짓점이 $V\_0,V\_1,\; \backslash ldots,\; V\_n$일 때, 다음과 같다.
$$\backslash mathrm\{Vol\}(P)\; =\; \backslash left|\backslash det\; \backslash left(\backslash left[V\_0\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\},\; \backslash left[V\_1\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\},\; \backslash ldots,\; \backslash left[V\_n\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\}\backslash right)\backslash right|,$$
여기서 $[V\_i\backslash \; 1]$은 $V\_i$의 성분과 1을 연결하여 형성된 행 벡터이다.

마찬가지로, 평행다면체의 n개의 수렴하는 모서리를 공유하는 임의의 n-단체의 부피는 그 평행다면체의 부피의 1/n!과 같다.

6.2. 성질

콕스터(Coxeter)는 고차원에서 평행육면체의 일반화를 평행다면체(parallelotope)라고 불렀다. 현대 문헌에서는 고차원(또는 임의의 유한 차원)에서도 평행육면체라는 용어를 자주 사용한다.

특히, n차원 공간에서는 n차원 평행다면체 또는 간단히 n^영어-평행다면체(n-평행육면체)라고 한다. 따라서 평행사변형은 2-평행다면체이고, 평행육면체는 3-평행다면체이다.

n-평행다면체의 대각선들은 한 점에서 교차하며 이 점에 의해 이등분된다. 이 점에서의 반전은 n-평행다면체를 변화시키지 않는다. 유클리드 공간에서 등거리 변환 군의 고정점도 참조하라.

k-평행다면체의 한 꼭짓점에서 나오는 모서리들은 벡터 공간의 k-프레임 $(v\_1,\backslash ldots,\; v\_n)$을 형성하며, 이 벡터들의 0과 1 사이의 가중치를 가진 선형 결합을 취하여 이 벡터들로부터 평행다면체를 복원할 수 있다.

$\backslash R^m$에 포함된 n-평행다면체의 n-부피(여기서 $m\; \backslash geq\; n$)는 그램 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 또는 부피는 벡터들의 외적의 노름이다.
$$V\; =\; \backslash left\backslash |\; v\_1\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; v\_n\; \backslash right\backslash |\; .$$

만약 $m=n$이라면, 이것은 n 벡터의 성분으로 구성된 행렬의 행렬식의 절댓값과 같다.

$\backslash R^n$에서 n-평행다면체 $P$의 부피를 계산하는 공식은, $n+1$개의 꼭짓점이 $V\_0,\; V\_1,\; \backslash ldots,\; V\_n$일 때, 다음과 같다.
$$\backslash mathrm\{Vol\}(P)\; =\; \backslash left|\backslash det\; \backslash left(\backslash left[V\_0\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\},\; \backslash left[V\_1\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\},\; \backslash ldots,\; \backslash left[V\_n\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\}\backslash right)\backslash right|,$$
여기서 $[V\_i\backslash \; 1]$은 $V\_i$의 성분과 1을 연결하여 형성된 행 벡터이다.

마찬가지로, 평행다면체의 n개의 수렴하는 모서리를 공유하는 임의의 n-단체의 부피는 그 평행다면체의 부피의 1/n!과 같다.

6.3. 부피 계산

$\backslash R^m$에 포함된 n-평행육면체의 n-부피(여기서 $m\; \backslash geq\; n$)는 그램 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 또는 부피는 벡터들의 외적의 노름이다.

:$$V\; =\; \backslash left\backslash |\; v\_1\; \backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; v\_n\; \backslash right\backslash |\; .$$

만약 $m=n$이라면, 이것은 $n$ 벡터의 성분으로 구성된 행렬의 행렬식의 절댓값과 같다.

$\backslash R^n$에서 $n$-평행육면체 $P$의 부피를 계산하는 공식은, $n+1$개의 꼭짓점이 $V\_0,\; V\_1,\; \backslash ldots,\; V\_n$일 때, 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{Vol\}(P)\; =\; \backslash left|\backslash det\; \backslash left(\backslash left[V\_0\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\},\; \backslash left[V\_1\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\},\; \backslash ldots,\; \backslash left[V\_n\backslash \; 1\backslash right]^\backslash mathsf\{T\}\backslash right)\backslash right|,$$

여기서 $[V\_i\backslash \; 1]$은 $V\_i$의 성분과 1을 연결하여 형성된 행 벡터이다.

마찬가지로, 평행육면체의 n개의 수렴하는 모서리를 공유하는 임의의 n-단체의 부피는 그 평행육면체의 부피의 1/n!과 같다.