다운링크 빔포밍

1. 개요

다운링크 빔포밍은 기지국과 단말 간의 통신 시스템에서 다중 안테나를 사용하여 신호를 전송하는 기술을 설명한다. 시스템 모델, 채널 모델, 상향 링크 피드백 채널 모델을 통해 통신 환경을 정의하고, 채널 조건과 빔포밍 방식을 설명한다. 특히, 간섭 제거 빔포밍과 피드백 간섭 제거 빔포밍의 성능 분석을 통해 주파수 효율 용량을 구하고, 피드백 무선 자원과 신호 왜곡 간의 관계를 분석한다. 또한, ZF 빔포밍의 용량 차이식을 유도하여 빔포밍 기술의 성능을 평가한다.

2. 시스템 모델

M개의 안테나를 가진 기지국과 1개의 안테나를 가진 K개의 단말이 있는 이동통신 시스템을 가정한다. 기지국은 다중 안테나를 사용하여 다운링크 채널로 신호를 보낸다. 채널 벡터 $\backslash mathbf\{h\}\_d$의 원소들은 i.i.d이고, $h\_\backslash mathrm\{FB\}$, $n\_d$, $n\_\backslash mathrm\{FB\}$를 포함한 채널들과 노이즈 변수들은 모두 분산이 1이고 평균이 0인 백색 가우시안 랜덤 변수로 가정한다.

2.1. 다운링크 채널 모델

다중 안테나로 송신한 신호를 단말에서 수신한 신호는 다음과 같이 모델링할 수 있다.

:$$
y_d = \sqrt{P_d} \mathbf{h}_d^T \mathbf{x} + n_d


여기서 $h\_d$는 소스 노드에서 목적 노드까지 채널, $\backslash mathbf\{x\}$는 전송 심볼 벡터, $n\_d$는 노이즈 심볼이다. 기지국의 전송 전력은 으로 가정한다. 실효 전력 $P\_d\; =\; D\_d^\{-2\; \backslash gamma\}\; p\_d$는 기지국에서 단말까지 거리 $D\_d$와 기지국 전송 전력 $p\_d$로 정의된다. 여기서 는 거리에 따른 전력 감쇄 상수로 2보다 크고 5보다 작은 값을 가진다. 테스트 환경에서는 일반적으로 $\backslash gamma\; =\; 4$를 주로 사용한다.

2.2. 상향링크 피드백 채널 모델

단말기에서 기지국으로의 상향 링크 채널을 통해 피드백 신호가 전달된다. 이 채널을 $h\_\backslash mathrm\{FB\}$로 나타낸다. 기지국에서 상향 링크를 통해 받는 수신 신호는 다음과 같이 모델링할 수 있다.

:$$
y_\mathrm{FB} = \sqrt{P_\mathrm{MS}} h_\mathrm{FB} x_\mathrm{MS} + n_\mathrm{FB}


여기서 $n\_\backslash mathrm\{FB\}$는 피드백 채널에 추가되는 잡음이다. 피드백 링크의 실효 전력 $P\_\backslash mathrm\{MS\}\; =\; D\_\backslash mathrm\{MS\}^\{-2\; \backslash gamma\}\; p\_\backslash mathrm\{MS\}$에서 $p\_\backslash mathrm\{MS\}$는 단말기의 송신 전력이다.

2.3. 채널 조건

채널 벡터 $\backslash mathbf\{h\}\_d$의 원소들은 i.i.d이고, 이들을 포함한 채널들과 노이즈 변수들인 $h\_\backslash mathrm\{FB\},\; n\_d,\; n\_\backslash mathrm\{FB\}$는 모두 분산이 1이고 평균이 0인 백색 가우시안 랜덤 변수로 가정한다.

3. 빔포밍

다운링크 빔포밍에서 기지국은 단말에 전송할 신호 정보($s$)에 빔포밍 벡터($\backslash mathbf\{w\}$)를 곱한 값($\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash mathbf\{w\}\; s$)을 다중 안테나를 통해 내보낸다. 다중 빔을 사용하면 여러 사용자에게 동시에 신호를 전송할 수 있다. 이때 빔을 통해 사용자 간 간섭을 줄이면서 다중 사용자와 통신하는 방식을 공간 분할 다중 접속(SDMA)이라 한다. 공간 분할 다중 접속에서는 전송할 신호 정보 벡터($\backslash mathbf\{s\}$)에 빔포밍 메트릭스($\backslash mathbf\{W\}$)를 곱한 값($\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash mathbf\{W\}\backslash mathbf\{s\}$)을 다중 안테나를 통해 내보낸다. 여기서 $W\; =\; [w\_1,\; w\_2,\; \backslash ldots,\; w\_M]$는 $M\; \backslash times\; L$ 메트릭스이고, $\backslash mathbf\{s\}\; =\; [s\_1,\; s\_2,\; \backslash ldots,\; s\_M]^T$는 $M\; \backslash times\; 1$벡터이다.

3.1. 방향성 빔포밍 (DOA 빔포밍)

사용자가 기지국으로 채널 벡터를 피드백하지 않고, 기지국이 사용자의 방향을 스스로 측정하여 빔을 형성하는 방법을 방향성 빔포밍 (DOA beamforming) 또는 빔포밍이라 한다. 여기서 DOA는 'direction of arrival'의 약자로 빔포밍이 도착하는 방향을 의미한다.

3.2. 채널 피드백 방법

사용자들은 기지국에서 파일럿 신호를 받아 채널 벡터를 측정한다. 본 설명은 다운링크 빔포밍을 다루기 때문에 설명 편의상 측정한 채널의 오류는 무시한다. 측정한 채널 벡터를 보내기 위해 채널 벡터 정보의 부호화 과정이 필요하다. 부호화 과정은 코드북을 이용하는데, 코드북의 원소인 기지국과 단말들 간에 약속된 코드 워드 벡터들 중에서 측정한 채널 벡터와 가장 가까운 것을 선택하게 된다. 코드북은 $\backslash mathcal\{C\}\_\{FB\}\; \backslash triangleq\; \backslash \{\backslash mathbf\{v\}\_1,\; \backslash mathbf\{v\}\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf\{v\}\_\{2^\{B\_\backslash mathrm\{FB\}\}\}\backslash \}$라고 가정한다. 여기서 $B\_\backslash mathrm\{FB\}$는 코드북의 크기이다. 부호화된 채널 벡터는 아래와 같이 표현한다.
:$$
\hat{\mathbf{h}}_d = f_q(\mathcal{C}_{FB}, \mathbf{h}_d, B_\mathrm{FB}) = \arg \min_{\mathbf{v} \in \mathcal{C}_{FB}} \sin^2 ( \angle( \mathbf{h}_i, \mathbf{v}))

3.3. 채널 피드백 손실

단말기가 채널 벡터를 기지국으로 보내기 위해 코드 워드 인덱스를 사용하므로 코드북의 크기는 피드백량을 결정한다. 채널 벡터의 코드 워드 인덱스를 피드백하는 주기인 $T\_\{FB\}$를 채널이 바뀌는 주기에 맞추어 한다고 하자. 피드백 전송 속도는 $B\_\backslash mathrm\{FB\}\; /\; T\_\{FB\}$가 된다. 피드백 정보 속도인 $B\_\backslash mathrm\{FB\}\; /\; T\_\{FB\}$가 클수록 상향 링크 무선 자원이 많이 소모된다. 여기서 무선 자원은 주파수 대역폭와 전송 전력 자원이다. $T\_\{FB\}$는 정해졌다고 하면 무선 자원의 소모를 줄이기 위해서 $B\_\backslash mathrm\{FB\}$값을 작게 할 수 있지만 그럴수록 전달된 정보의 정확도가 떨어진다. 정확도는 부호화과정에서 발생한 신호 왜곡 노이즈 전력 크기로 나타낼 수 있다. 부호화 대상 신호가 단위 크기의 가우시안 신호라 가정하면 $\backslash sigma^2\_\backslash mathrm\{Bit\}(B\_\backslash mathrm\{FB\})\; \backslash ge\; 2^\{-2B\_\backslash mathrm\{FB\}\}$의 관계가 성립한다. 여기서 등가는 부호화 벡터의 길이가 무한대일 경우 성립한다. 최소 왜곡 노이즈를 적용하면 원 신호 벡터와 부호화 신호 벡터 사이의 관계는 다음과 같게 된다.
:$$
\mathbf{h}_d = ||\mathbf{h}_d|| (\hat{\mathbf{h}}_d + \sigma_\mathrm{Bit}(B_\mathrm{FB}) n_q) = ||\mathbf{h}_d|| (\hat{\mathbf{h}}_d + 2^{-B_\mathrm{FB}} \mathbf{n}_q)

여기서 부호화 오류를 나타내는 $\backslash mathbf\{n\}\_q$는 전력이 $E||\backslash mathbf\{n\}\_q||^2\; =\; 1$이고 평균이 0인 랜덤 가우신안 i.i.d. 벡터이다.

3.4. 피드백 무선 자원

피드백 정보를 보내기 위해 필요한 최소 무선 자원의 크기는 상향링크 채널에 대한 샤논의 채널 용량 관계식으로 유도할 수 있다. 여기서 무선자원은 할당한 주파수 대역폭과 사용한 전력이다. 시스템 모델에서 고려한 상향 링크 수신신호 관계식에 근거하면 상향 링크 채널의 신호대잡음비는 다음과 같다.

:$\backslash rho\_\backslash mathrm\{FB\}\; =\; P\_\backslash mathrm\{FB\}\; |h\_\backslash mathrm\{FB\}|^2$
= \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}}


피드백용 상향 링크로 보낼 수 있는 최대 정보 효율(spectral efficiency)은 다음과 같다.

:$$
C_\mathrm{FB} = \log_2(1+ \rho_\mathrm{FB}) = \Omega_\mathrm{BF} \log_2 \left(1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)


피드백 전송 속도는 로 한정된다. 최대 $B\_\backslash mathrm\{FB\}$는 다음과 같다.

:

여기서 $\backslash Omega\_\backslash mathrm\{BF\}$는 피드백에 사용된 주파수 대역폭이다. 피드백 전송 속도와 상향 링크 채널의 용량의 상관 관계에서 피드백 신호 왜곡과 무선 자원간의 관계를 유도할 수 있다. 신호 왜곡 노이즈를 무선 자원으로 나타내면 다음과 같다.

:$$
\sigma^2_\mathrm{BW}(\Omega_\mathrm{FB}) = \left. \sigma^2_\mathrm{Bit}(B_\mathrm{FB}) \right|_{B_\mathrm{FB} = T_\mathrm{FB} C_\mathrm{FB}} = \left. 2^{-2 B_\mathrm{FB}} \right|_{B_\mathrm{FB} = T_\mathrm{FB} C_\mathrm{FB}} = \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2\gamma}} \right)^{-2 \Omega_\mathrm{FB} T_\mathrm{FB} }

3.5. 단말 수신 신호

채널 부호화 피드백을 통한 ZF 빔포밍을 사용할 경우 수신 신호의 성능을 알아보자. 부호화 피드백을 고려한 빔포밍 메트릭스인 W는 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{H\}\}$를 pseudo-inverse한 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{H\}\}^+$의 각 column을 normalize한 벡터들로 구성된다. 여기서 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{H\}\}\; =\; [\backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_\{d,1\},\; \backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_\{d,2\},\; \backslash ldots,\; \backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_\{d,M\}]$는 1번째 사용자부터 M번째 사용자들에게서 피드백된 채널 벡터들로 구성된 메트릭스이다. 송신 신호 벡터에 빔포밍을 포함하면 기지국에서 보낸 신호를 임의의 한 단말기에서 수신한 신호인 $y\_d$는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$$
y_d = \sqrt{P_d} \mathbf{h}_d^H \mathbf{W} \mathbf{s} + n_d
= \sqrt{P_d} \mathbf{h}_d^H \left( \mathbf{w}_1 s_1 + \sum_{i=2}^M \mathbf{w}_i s_i \right) + n_d


여기서 편의상 1번 사용자를 가정하였다.

4. 간섭 제거 빔포밍

빔포밍 메트릭스 $\backslash mathbf\{W\}$는 다운링크 채널 메트릭스에 맞게 구성되는데, 이 메트릭스는 빔포밍할 사용자의 채널 벡터들로 구성된다. 빔포밍 메트릭스를 구성하는 방법 중 하나는 사용자 채널 벡터들 간의 간섭을 제거하는 것이다. 간섭을 완전히 제거하여 빔포밍 메트릭스를 구성하는 방식을 간섭 제거 빔포밍(Zero forcing beamforming)(ZF 빔포밍)이라고 한다. ZF 빔포밍에서 W는 채널 메트릭스를 역변환(inverse)한 메트릭스의 각 열(column)을 정규화한 벡터들로 구성된다.

4.1. 피드백 간섭 제거 빔포밍

단말기로부터 피드백한 채널을 바탕으로 간섭 제거 빔포밍(Zero forcing beamforming)을 수행하는 경우를 피드백 간섭 제거 빔포밍(limited feedback zero forcing beamforming)이라고 한다. 피드백 간섭 제거 빔포밍은 부분적으로 부정확한 채널을 통해 빔포밍 벡터들을 만들므로 완전한 간섭 제거를 할 수는 없다. 채널의 정확도가 높아질수록 간섭 제거의 성능이 높아진다.

5. 피드백 간섭 제거 빔포밍의 성능 분석

피드백 간섭 제거 빔포밍의 성능은 사용자 1번의 수신 신호 $y\_d$의 신호 대 잡음비(SNR)를 통해 분석할 수 있으며, 다음과 같이 표현된다.

:$$
\rho_d = \frac{ \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_d^H \mathbf{w}_1|^2}{ \frac{P_d}{M} \sum_{i=2}^M |\mathbf{h}_d^H \mathbf{w}_i|^2 + 1}


이를 통해 사용자 1번이 달성할 수 있는 평균 주파수 효율 용량을 유도하면 다음과 같다.

:$$
R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB}) = E[\log_2(1+\rho_d)] = E \left[ \log_2 \left(1 + \frac{ \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_d^H \mathbf{w}_1|^2}{ \frac{P_d}{M} \sum_{i=2}^M |\mathbf{h}_d^H \mathbf{w}_i|^2 + 1} \right) \right]


여기서 $E[]$는 채널 벡터와 빔포밍 벡터에 대해 계산된다.

평균 주파수 효율 용량은 완전 채널 피드백을 가정한 ZF 빔포밍의 용량 ($R\_\backslash mathrm\{ZF\}(P\_d)$)과의 차이를 통해 나타낼 수도 있다.

:$$
R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB}) = R_\mathrm{ZF}(P_d) - \Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})


여기서 용량 차이 $\backslash Delta\; R\_\backslash mathrm\{BF\}(P\_d,\; \backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\})$는 $\backslash \{P\_d,\; \backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\}\backslash \}$에 대한 함수이며, 다음 관계가 성립한다.

:$$
\Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB}) < \log_2 \left( 1 + P_d 2^{-\frac{B_\mathrm{FB}}{M-1}}\right) = \log_2 \left( 1 + P_d \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)^{-\frac{\Omega_\mathrm{FB} T_\mathrm{FB}}{M-1}} \right)

5.1. 분석 결과 설명

용량 차이인 $\backslash Delta\; R\_\backslash mathrm\{BF\}(P\_d,\; \backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\})$를 1bit 이하로 줄이기 위해서는 다음과 같은 관계가 성립되어야 한다.

:$$
\log_2 \left( 1 + P_d \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)^{-\frac{\Omega_\mathrm{FB} T_\mathrm{FB}}{M-1}} \right) = 1
\Leftrightarrow P_d \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)^{-\frac{\Omega_\mathrm{FB} T_\mathrm{FB}}{M-1}} = 1


이를 다시 정리하면 다음과 같다.

:$$
P_d = \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)^{\frac{\Omega_\mathrm{FB} T_\mathrm{FB}}{M-1}} \Leftrightarrow \frac{\Omega_\mathrm{FB} T_\mathrm{FB}}{M-1} =
\frac{\log_2 P_d}{ \log_2 \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)}


필요한 주파수 대역인 $\backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\}$에 대해 정리해보면 다음과 같다.

:$$
\Omega_\mathrm{FB} = \frac{M-1}{T_\mathrm{FB}}
\frac{\log_2 P_d}{ \log_2 \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)}


$\backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\}$는 안테나 수와 기지국 실효 전력에 비례하여 커져야 한다. 단말기에서 기지국까지 신호대잡음비에는 역비례 관계에 있다.

6. 부가 원리

이 섹션에서는 ZF 빔포밍의 용량 차이 공식을 유도하는 과정을 자세히 설명한다.

용량 차이의 기본 관계식은 다음과 같다.

:

이 식은 기지국이 완벽한 채널 상태 정보(CSIT)를 알 때와 부분적인 CSIT만 알 때의 ZF 빔포밍 평균 용량 차이를 이용하여 유도한다.

:$$
\Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})
= R_\mathrm{ZF}(P_d) - R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})


여기서,

* $R\_\backslash mathrm\{ZF\}(P\_d)$: 기지국이 완벽한 CSIT를 알 경우 ZF 빔포밍의 평균 용량
* $R\_\backslash mathrm\{BF\}(P\_d,\; \backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\})$: 기지국이 부분적 CSIT를 알 경우 ZF 빔포밍의 평균 용량

젠센 부등식과 베타 분포를 적용하면, 위 용량 차이 관계식을 얻을 수 있다.

6.1. ZF 빔포밍의 용량 차이식 유도

용량 차이의 기본 관계식인 은 다음과 같이 유도할 수 있다. 전개의 편의를 위해 사용하는 무선자원량 대신 사용하는 비트 수로 전개한다.

기지국이 완벽한 채널 상태 정보(CSIT)를 알 경우와 부분적인 CSIT를 알 경우 ZF 빔포밍의 평균 용량 차이는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

:$$
\Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})
= R_\mathrm{ZF}(P_d) - R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})


여기서,

* $R\_\backslash mathrm\{ZF\}(P\_d)$: 기지국이 완벽한 CSIT를 알 경우 ZF 빔포밍의 평균 용량
* $R\_\backslash mathrm\{BF\}(P\_d,\; \backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\})$: 기지국이 부분적 CSIT를 알 경우 ZF 빔포밍의 평균 용량

(자세한 전개 과정은 하위 섹션 참고)

젠센 부등식과 베타 분포를 적용하면, 다음과 같은 용량 차이 관계식을 얻을 수 있다.

:$$
\Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})
< \log_2 \left(P_d 2 ^{-\frac{B_\mathrm{FB}}{M-1}} + 1 \right)

6.1.1. 기본 가정

먼저 $R\_\backslash mathrm\{ZF\}(P\_d)$과 $R\_\backslash mathrm\{BF\}(P\_d,\; \backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\})$는 각각 기지국이 완벽한 CSIT와 부분적 CSIT를 알 경우 ZF 빔포밍의 평균 용량이며, 다음과 같이 표현된다.

:$R\_\backslash mathrm\{ZF\}(P\_d)\; =\; E\; \backslash left[\backslash log\_2\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{P\_d\}\{M\}\; |\backslash mathbf\{h\}\_1^T\; \backslash hat\backslash mathbf\{w\}\_1|^2\; \backslash right)\; \backslash right]$

:$R\_\backslash mathrm\{BF\}(P\_d,\; \backslash Omega\_\backslash mathrm\{FB\})\; =\; E\; \backslash left[\backslash log\_2\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{\; \backslash frac\{P\_d\}\{M\}\; |\backslash mathbf\{h\}\_1^T\; \backslash mathbf\{w\}\_1|^2\}\{\; \backslash frac\{P\_d\}\{M\}\; \backslash sum\_\{i=2\}^\{M\}\; |\backslash mathbf\{h\}\_1^T\; \backslash mathbf\{w\}\_i|^2\; +\; 1\}\; \backslash right)\; \backslash right]$

여기서 $\backslash hat\backslash mathbf\{w\}\_1$은 완벽한 채널 정보를 통해 구한 빔포밍 벡터이다. 따라서 $\backslash mathbf\{h\}\_i^T\; \backslash hat\backslash mathbf\{w\}\_1\; =\; 0,\backslash \; i=2,\; \backslash ldots,\; M$의 특성이 있다.

6.1.2. 용량 차이 유도

둘을 뺀 용량 차이식은 아래와 같이 전개된다.

:$$
\begin{matrix}
\Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})
&=& R_\mathrm{ZF}(P_d) - R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB}) \\
&=& E \left[\log_2 \left(1 + \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_1^T \hat\mathbf{w}_1|^2 \right) \right] -
E \left[\log_2 \left(1 + \frac{ \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_1^T \mathbf{w}_1|^2}{ \frac{P_d}{M} \sum_{i=2}^{M} |\mathbf{h}_1^T \mathbf{w}_i|^2 + 1} \right) \right] \\
&=& \Delta_a + \Delta_b
\end{matrix}

6.1.3. 분모와 분자 전개

$\backslash Delta\_a$와 $\backslash Delta\_b$를 정의하고, 이를 바탕으로 전개하면 다음과 같다. 우선, 분모에 적용된 $\backslash sum\_\{i=2\}^\{M\}\; \backslash mathbf\{h\}\_1^T\; \backslash mathbf\{w\}\_i$는 채널의 양자화 레벨이 올라갈수록 0에 수렴한다. 또한 $\backslash mathbf\{w\}\_i$는 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{w\}\}\_i$와 마찬가지로 채널 $\backslash mathbf\{h\}\_1$에 대해 독립적이고 균등하게 분포한다. 이 두 성질을 차례로 적용하면 다음과 같다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
\Delta_a &=&
E \left[\log_2 \left(1 + \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_1^T \hat\mathbf{w}_1|^2 \right) \right] -
E \left[\log_2 \left(\frac{P_d}{M} \sum_{i=2}^{M} |\mathbf{h}_1^T \mathbf{w}_i|^2 + 1 + \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_1^T \mathbf{w}_1|^2 \right) \right] \\
&\leq& E \left[\log_2 \left(1 + \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_1^T \hat\mathbf{w}_1|^2 \right) \right] -
E \left[\log_2 \left(1 + \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_1^T \mathbf{w}_1|^2 \right) \right] \\
&=& 0
\end{matrix}
그리고
:$\backslash begin\{matrix\}$
\Delta_b =
E \left[ \log_2 \left(\frac{P_d}{M} \sum_{i=2}^{M} |\mathbf{h}_1^T \mathbf{w}_i|^2 + 1 \right) \right]
\end{matrix}
이다.
따라서
:$\backslash begin\{matrix\}$
\Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})
\leq E \left[ \log_2 \left(\frac{P_d}{M} \sum_{i=2}^{M} |\mathbf{h}_1^T \mathbf{w}_i|^2 + 1 \right) \right]
\end{matrix}

6.1.4. 용량차 관계식

젠센 부등식(Jensen's inequality)과 베타 분포를 적용하여 용량 차이 관계식을 유도하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
\Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})
&\le& \log_2 \left(\frac{P_d}{M} (M-1) E[||\mathbf{h}_1||^2]E[|\tilde{\mathbf{h}}_1^T \mathbf{w}_2|^2] + 1 \right) \\
&=& \log_2 \left(P_d (M-1) E[|\tilde{\mathbf{h}}_1^T \mathbf{w}_2|^2] + 1 \right)
\end{matrix}

여기서 $\backslash tilde\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1\; =\; \backslash mathbf\{h\}\_1/||\backslash mathbf\{h\}\_1||$이고, $\backslash mathbf\{w\}\_i,\; i\; \backslash neq\; 1$에 의한 결과는 i에 대해 동일하게 분포(identically distributed)되므로 임의의 한 경우인 $\backslash mathbf\{w\}\_2$로 대체하였다. 베타 분포를 적용하면 다음과 같이 유도할 수 있다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
\Delta R_\mathrm{BF}(P_d, \Omega_\mathrm{FB})
&\le& \log_2 \left(P_d E[\sin^2 (\angle (\tilde{\mathbf{h}}_1,\hat{\mathbf{h}}_1))] + 1 \right) \\
&<& \log_2 \left(P_d 2 ^{-\frac{B_\mathrm{FB}}{M-1}} + 1 \right) \\
\end{matrix}

6.1.5. 세부 전개

--
$E[|\backslash tilde\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1^T\; \backslash mathbf\{w\}\_2|^2]$를 beta(1,M-2) 무작위 변수의 평균과 부호화 오류의 평균의 곱인 $\backslash frac\{1\}\{M-1\}\; E[\backslash sin^2\; (\backslash angle\; (\backslash tilde\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1,\backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1))]$로 전개하는 과정은 다음과 같다. 여기서 beta(1,M-2) 무작위 변수의 평균은 $\backslash frac\{1\}\{M-1\}$이다.

증명: 빔포밍 벡터 $\backslash mathbf\{w\}\_2$는 $[\backslash hat\backslash mathbf\{h\}\}\_1,\; \backslash hat\backslash mathbf\{h\}\}\_3,\; \backslash ldots,\; \backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_M]$의 null space에 존재한다. $\backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1$은 $\backslash tilde\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1$를 양자화한 벡터이므로 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
:$\backslash tilde\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1\; =\; \backslash sqrt\{1-a\}\backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1\; +\; \backslash sqrt\{a\}\backslash mathbf\{u\}$
여기서 $\backslash mathbf\{u\}$는 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1$의 null space상에 isotropically 분포되어 있으며 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1$과 직교하는 벡터이다. $a\; =\; \backslash sin^2\; (\backslash angle\; (\backslash tilde\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1,\backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1))$는 채널 부호화 오류의 크기이다. $E[|\backslash tilde\{\backslash mathbf\{h\}\}\_1^T\; \backslash mathbf\{w\}\_2|^2]$를 다시 전개하면 다음과 같다.
:$$
E[|\tilde{\mathbf{h}}_1^T \mathbf{w}_2|^2] = E[|(\sqrt{1-a}\hat{\mathbf{h}}_1 + \sqrt{a}\mathbf{u})^T \mathbf{w}_2|^2]
= aE[|\mathbf{u}^T \mathbf{w}_2|^2]

$\backslash mathbf\{u\}$와 $\backslash mathbf\{w\}\_2$는 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{h\}\}\_2$의 $(M-1)$ 차원 nullspace에 존재하는 i.i.d. isotropic 벡터들이므로 $|\backslash mathbf\{u\}^T\; \backslash mathbf\{w\}\_2|^2$는 beta(1,M-2)로 분포된 랜덤 값이고 $a$와 독립적이다.

6.1.6. 보충 특징

베타 무작위 변수는 [0,1] 구간에서 값을 가진다. $|\backslash mathbf\{u\}^T\; \backslash mathbf\{w\}\_2|^2$이므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$
|\tilde{\mathbf{h}}_1^T \mathbf{w}_2|^2 \leq \sin^2 (\angle (\tilde{\mathbf{h}}_1,\hat{\mathbf{h}}_1)), \quad \forall i \neq j