베타 분포

1. 개요

베타 분포는 두 개의 형상 모수 α와 β로 정의되는 연속 확률 분포이다. 확률 밀도 함수는 감마 함수와 베타 함수를 사용하여 표현되며, 확률 변수의 값은 0과 1 사이이다. 베타 분포는 누적 분포 함수, 다른 매개변수화, 중심 경향성 측도, 통계적 분산 측도, 왜도, 첨도, 특성 함수 등 다양한 성질을 갖는다. 베타 분포는 대칭, 거울상 대칭, 베타 프라임 분포, 일반화된 로지스틱 분포, F-분포, PERT 분포 등 다른 분포와의 관계를 갖는다. 베타 분포는 다운링크 빔포밍, 순서 통계량, 주관적 논리, 신호 처리, 인구 유전학, 프로젝트 관리 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

베타 분포는 두 개의 형상 모수(shape parameter) α^영어와 β^영어에 의해 정의되며, 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:$$
f(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du}
= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}


여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수이다. 베타 함수 B(.,.)는 함수의 적분값이 1이 되도록 하기 위해 사용된 정규화 상수이다. $x$는 실현—실제로 발생한 관측값—확률 변수 $X$이다.

노먼 로이드 존슨과 새뮤얼 코츠를 포함한 여러 저자는 베타 분포의 형상 모수에 대해 베르누이 분포의 매개변수에 전통적으로 사용되는 기호를 연상시키는 기호 $p$와 $q$($\backslash alpha$와 $\backslash beta$ 대신)를 사용한다.

매개변수 $\backslash alpha$와 $\backslash beta$를 갖는 베타 분포를 따르는 확률 변수 $X$는 다음과 같이 나타낸다.

:$X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(\backslash alpha,\; \backslash beta)$

제1종 베타 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$f(x;\; \backslash alpha\; ,\backslash beta\; )=\backslash frac\{x^\{\backslash alpha\; -1\}(1-x)^\{\backslash beta-1\}\}\{B(\backslash alpha\; ,\backslash beta)\}$

여기서 는 베타 함수이며, 확률 변수가 취하는 값은 0 ≤ x ≤ 1 이고, 매개변수 $\backslash alpha$, $\backslash beta\; >\; 0$에 대해 변수 $x$와 그 반사 $(1-x)$의 멱함수이다. 기대값은 이며, 분산은 $\backslash frac\{\backslash alpha\backslash beta\}\{(\backslash alpha+\backslash beta)^2(\backslash alpha+\backslash beta+1)\}$이다. 자연 매개변수를 로 하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있으므로, 베타 분포는 지수족 분포이다.

:$f(x;\backslash eta\; )=h(\backslash eta\; )\backslash exp\; (\backslash eta\; \backslash cdot\; u(x))$

단, $h(\backslash eta\; )=\backslash frac\{1\}\{B(\backslash alpha\; ,\backslash beta\; )\}\; ,u(x)=(\backslash log\; x,\backslash log\; (1-x))$이다.

2.1. 확률 밀도 함수

베타 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:$$
f(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du}
= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}


여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수이다. 베타 함수 B(.,.)는 함수의 적분값이 1이 되도록 하기 위해 사용된 정규화 상수이다. $x$는 실현—실제로 발생한 관측값—확률 변수 $X$이다.

노먼 로이드 존슨과 새뮤얼 코츠를 포함한 여러 저자는 베타 분포의 형상 모수에 대해 베르누이 분포의 매개변수에 전통적으로 사용되는 기호를 연상시키는 기호 $p$와 $q$($\backslash alpha$와 $\backslash beta$ 대신)를 사용한다.

매개변수 $\backslash alpha$와 $\backslash beta$를 갖는 베타 분포를 따르는 확률 변수 $X$는 다음과 같이 나타낸다.

:$X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(\backslash alpha,\; \backslash beta)$

제1종 베타 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$f(x;\; \backslash alpha\; ,\backslash beta\; )=\backslash frac\{x^\{\backslash alpha\; -1\}(1-x)^\{\backslash beta-1\}\}\{B(\backslash alpha\; ,\backslash beta)\}$

여기서 는 베타 함수이며, 확률 변수가 취하는 값은 이고, 매개변수 $\backslash alpha$, $\backslash beta\; >\; 0$에 대해 변수 $x$와 그 반사 $(1-x)$의 멱함수이다. 기대값은 이며, 분산은 $\backslash frac\{\backslash alpha\backslash beta\}\{(\backslash alpha+\backslash beta)^2(\backslash alpha+\backslash beta+1)\}$이다. 자연 매개변수를 로 하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있으므로, 베타 분포는 지수족 분포이다.

:$f(x;\backslash eta\; )=h(\backslash eta\; )\backslash exp\; (\backslash eta\; \backslash cdot\; u(x))$

단, $h(\backslash eta\; )=\backslash frac\{1\}\{B(\backslash alpha\; ,\backslash beta\; )\}\; ,u(x)=(\backslash log\; x,\backslash log\; (1-x))$이다.

2.2. 누적 분포 함수

누적 분포 함수는 다음과 같다.

:$F(x;\backslash alpha,\backslash beta)\; =\; \backslash frac\{\backslash Beta\{\}(x;\backslash alpha,\backslash beta)\}\{\backslash Beta\{\}(\backslash alpha,\backslash beta)\}\; =\; I\_x(\backslash alpha,\backslash beta)$

여기서 $\backslash Beta(x;\backslash alpha,\backslash beta)$는 불완전 베타 함수이고 $I\_x(\backslash alpha,\backslash beta)$는 정규화된 불완전 베타 함수이다. 양의 정수 $\backslash alpha$, $\backslash beta$에 대해, 베타 분포의 누적 분포 함수는 이항 분포의 누적 분포 함수로 표현할 수 있다.

:$F\_\{\backslash text\{beta\}\}(x;\backslash alpha,\backslash beta)\; =\; F\_\{\backslash text\{binomial\}\}(\backslash beta-1;\backslash alpha+\backslash beta-1,1-x)$.

2.3. 다른 모수화

베타 분포는 알파(α)와 베타(β)라는 두 형상 모수를 가지며, [0,1] 또는 (0,1) 범위에서 지원된다. 분포의 최소값 a와 최대값 c (c > a)를 나타내는 두 개의 추가 매개변수를 도입하여 분포의 위치와 척도를 변경할 수 있다.

비차원 변수 x를 새로운 변수 y (지원 범위 [a,c] 또는 (a,c))와 매개변수 a 및 c를 사용하여 선형 변환하면 다음과 같다.

:y = x(c-a) + a, 따라서 x = (y-a)/(c-a).

4개의 매개변수를 갖는 베타 분포의 확률 밀도 함수는 범위 (c − a)로 확장되고 (밀도 곡선 아래의 총 면적이 1의 확률과 같도록) "y" 변수가 이동 및 확장된 2개의 매개변수 분포와 같다.

:f(y; α, β, a, c) = f(x;α,β)/(c-a) = ((y-a)/(c-a))^(α-1) * ((c-y)/(c-a))^(β-1) / ((c-a)B(α, β)) = (y-a)^(α-1) * (c-y)^(β-1) / ((c-a)^(α+β-1)B(α, β)).

임의 변수 Y가 4개의 매개변수 α, β, a, c를 갖는 베타 분포를 따르는 것은 다음과 같이 나타낸다.

:Y ~ Beta(α, β, a, c).

중심 위치의 일부 측도는 (c − a)로 확장되고 a로 이동한다.

:μ_Y = μ_X(c-a) + a = (α/(α+β))(c-a) + a = (αc+ βa)/(α+β)
:최빈값(Y) = 최빈값(X)(c-a) + a = ((α-1)/(α+β - 2))(c-a) + a = ((α-1)c+(β-1)a)/(α+β-2) , if α, β>1
:중앙값(Y) = 중앙값(X)(c-a) + a = (I_(1/2)^([-1])(α,β))(c-a)+a

Y의 형상 매개변수는 평균과 분산을 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있다.

:α = (a - μ_Y)(a c - a μ_Y - c μ_Y + μ_Y^2 + σ_Y^2) / (σ_Y^2(c-a))
:β = -(c - μ_Y)(a c - a μ_Y - c μ_Y + μ_Y^2 + σ_Y^2) / (σ_Y^2(c-a))

통계적 분산 측도는 평균 편차의 경우 선형적으로, 분산의 경우 비선형적으로 범위 (c − a)로 확장된다 (이미 평균을 중심으로 맞춰져 있으므로 이동할 필요가 없다).

:(평균 주변 평균 편차)(Y) = (평균 주변 평균 편차)(X))(c-a) = 2 α^α β^β / (Β(α,β)(α + β)^(α + β + 1))(c-a)
:var(Y) = var(X)(c-a)^2 = αβ (c-a)^2 / ((α+β)^2(α+β+1)).

왜도와 첨도는 비차원적인 양이므로 (평균을 중심으로 하고 표준 편차로 정규화된 모멘트) 매개변수 a와 c에 독립적이며, 따라서 X (지원 범위 [0,1] 또는 (0,1))를 사용하여 주어진 식과 같다.

:왜도(Y) = 왜도(X) = 2 (β - α) √(α + β + 1) / ((α + β + 2) √αβ).
:첨도 초과(Y) = 첨도 초과(X) = 6[(α - β)^2 (α +β + 1) - α β (α + β + 2)] / (α β (α + β + 2) (α + β + 3)).

3. 성질

3.1. 중심 경향성 측도

3.1.1. 최빈값

베타 분포를 따르는 확률 변수 X의 최빈값은 α, β > 1일 때 분포에서 가장 가능성이 높은 값이며 (PDF의 최고점에 해당) 다음 식으로 주어진다.

:{\frac{\alpha - 1} {\alpha + \beta - 2}} .

두 매개변수 모두 1보다 작을 경우(α, β < 1), 이는 반최빈값, 즉 확률 밀도 곡선의 최저점이다.

α = β로 설정하면 최빈값에 대한 표현식이 1/2로 단순화되어, α = β > 1일 때 최빈값 (α, β < 1일 때는 반최빈값)이 분포의 중심에 있음을 보여준다. 이러한 경우 대칭이다. 임의의 α 및 β 값에 대한 최빈값 사례의 전체 목록은 모양 섹션을 참조한다. 이러한 사례 중 일부에서 밀도 함수의 최대값은 한쪽 또는 양쪽 끝에서 발생한다. 어떤 경우에는 끝에서 발생하는 밀도 함수의 (최대) 값이 유한하다. 예를 들어, α = 2, β = 1 (또는 α = 1, β = 2)의 경우 밀도 함수는 오른쪽 삼각형 분포가 되어 양쪽 끝에서 유한하다. 다른 여러 경우에서는 밀도 함수 값이 무한대에 가까워지는 한쪽 끝에서 특이점이 있다. 예를 들어, α = β = 1/2인 경우 베타 분포는 아크사인 분포로 단순화된다. 수학자들 사이에서는 이러한 사례 중 일부, 그리고 끝점(x = 0 및 x = 1)을 최빈값이라고 부를 수 있는지 여부에 대한 논쟁이 있다.

* 끝점이 밀도 함수의 정의역의 일부인지 여부
* 특이점을 최빈값이라고 부를 수 있는지 여부
* 두 개의 최댓값이 있는 경우를 이봉이라고 불러야 하는지 여부

3.1.2. 중앙값

베타 분포의 중앙값은 정규화된 불완전 베타 함수 $I\_x(\backslash alpha,\backslash beta)\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}$가 되는 유일한 실수 $x\; =\; I\_\{1/2\}^\{[-1]\}(\backslash alpha,\backslash beta)$이다. 임의의 α와 β 값에 대한 베타 분포의 중앙값에 대한 일반적인 폐쇄 형식 표현은 없다.

특정 매개변수 α와 β 값에 대한 폐쇄 형식 표현은 다음과 같다.

* 대칭의 경우 α = β, 중앙값 = 1/2.
* α = 1 및 β > 0의 경우, 중앙값 $=1-2^\{-1/\backslash beta\}$ (이 경우는 [0,1] 분포의 거울상이다.)
* α > 0 및 β = 1의 경우, 중앙값 = $2^\{-1/\backslash alpha\}$ (이 경우는 [0,1] 분포이다.)
* α = 3 및 β = 2의 경우, 중앙값 = 0.6142724318676105..., [0,1]에 있는 사차 방정식 1 − 8x³ + 6x⁴ = 0의 실수 해.
* α = 2 및 β = 3의 경우, 중앙값 = 0.38572756813238945... = 1−중앙값(베타(3, 2))

다음은 한 매개변수가 유한(0이 아님)이고 다른 매개변수가 이러한 극한에 접근하는 극한이다.

:$\backslash begin\{align\}$
\lim_{\beta \to 0} \text{중앙값}= \lim_{\alpha \to \infty} \text{중앙값} = 1,\\
\lim_{\alpha\to 0} \text{중앙값}= \lim_{\beta \to \infty} \text{중앙값} = 0.
\end{align}

알파와 베타가 모두 1 이상인 경우 베타 분포 중앙값의 합리적인 근사값은 다음 공식으로 주어진다.

:$\backslash text\{중앙값\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{\backslash alpha\; -\; \backslash tfrac\{1\}\{3\}\}\{\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; -\; \backslash tfrac\{2\}\{3\}\}\; \backslash text\{\; for\; \}\; \backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash ge\; 1.$

α, β ≥ 1일 때, 이 근사값의 상대 오차 (중앙값으로 나눈 절대 오차)는 4% 미만이고, α ≥ 2 및 β ≥ 2의 경우 1% 미만이다. 절대 오차를 평균과 최빈값의 차이로 나눈 값도 마찬가지로 작다.

3.1.3. 평균

두 매개변수 α와 β를 갖는 베타 분포 확률 변수 X의 기댓값(평균)(μ)는 이러한 매개변수의 비율 β/α의 함수일 뿐이다.

:μ = E[X] = α/(α + β) = 1/(1 + (β/α))

위 식에서 α = β로 설정하면 μ = 1/2를 얻을 수 있으며, 이는 α = β인 경우 평균이 분포의 중앙에 있음을 보여준다. 즉, 대칭이다. 또한, 다음 극한을 위 식에서 얻을 수 있다.

:lim_{β/α → 0} μ = 1

:lim_{β/α → ∞} μ = 0

따라서, β/α → 0 또는 α/β → ∞인 경우, 평균은 오른쪽 끝, x = 1에 위치한다. 이러한 극한 비율의 경우, 베타 분포는 오른쪽 끝인 x = 1에 디랙 델타 함수 스파이크가 있는 1점 퇴화 분포가 되며, 확률은 1이고, 다른 모든 곳에서는 확률이 0이다. 오른쪽 끝, x = 1에 100% 확률(절대적 확실성)이 집중되어 있다.

마찬가지로, β/α → ∞ 또는 α/β → 0인 경우, 평균은 왼쪽 끝, x = 0에 위치한다. 베타 분포는 왼쪽 끝인 x = 0에 디랙 델타 함수 스파이크가 있는 1점 퇴화 분포가 되며, 확률은 1이고, 다른 모든 곳에서는 확률이 0이다. 왼쪽 끝, x = 0에 100% 확률(절대적 확실성)이 집중되어 있다. 다음은 한 매개변수가 유한(0이 아님)하고 다른 매개변수가 이러한 극한에 접근하는 극한이다.

:lim_{β → 0} μ = lim_{α → ∞} μ = 1

:lim_{α→ 0} μ = lim_{β → ∞} μ = 0

일반적인 단봉 분포(중앙에 위치한 최빈값, 최빈값의 양쪽에 있는 변곡점, 더 긴 꼬리) (Beta(α, β)이며 α, β > 2)의 경우 표본 평균(위치의 추정치)이 표본 중앙값만큼 강건하지 않다는 것이 알려져 있지만, 최빈값이 분포의 양 끝에 위치한 균일 또는 "U자형" 이봉 분포(Beta(α, β)이며 α, β ≤ 1)의 경우에는 반대이다. Mosteller와 Tukey는 ( p. 207) "두 극단 관측값의 평균은 모든 표본 정보를 사용한다. 이것은 꼬리가 짧은 분포의 경우 극단 관측값에 더 많은 가중치를 부여해야 함을 보여준다."라고 언급한다. 반대로, 분포의 가장자리에 최빈값을 가진 "U자형" 이봉 분포(Beta(α, β)이며 α, β ≤ 1)의 중앙값은 강건하지 않으며, 표본 중앙값은 극단적인 표본 관측값을 고려 대상에서 제외한다. 이러한 실용적인 예는 예를 들어 임의 보행에서 발생하는데, 임의 보행에서 원점에 마지막으로 방문할 시간의 확률이 아크사인 분포 Beta(1/2, 1/2)로 분포되기 때문이다. 임의 보행의 여러 실현에 대한 평균은 중앙값보다 훨씬 더 강건한 추정치이다(이 경우 중앙값은 부적절한 표본 측도 추정치이다).

3.1.4. 기하 평균

형상 모수 α와 β를 갖는 베타 분포의 기하 평균은 다음과 같이 α와 β의 디감마 함수의 지수이다.

:$G\_X\; =e^\{\backslash operatorname\{E\}[\backslash ln\; X]\}=\; e^\{\backslash psi(\backslash alpha)\; -\; \backslash psi(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)\}$

:$G\_\{(1-X)\}\; =\; e^\{\backslash operatorname\{E\}[\backslash ln(1-X)]\; \}\; =\; e^\{\backslash psi(\backslash beta)\; -\; \backslash psi(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)\}$

N. L. 존슨과 S. 코츠는 디감마 함수 ψ(α) ≈ ln(α − 1/2)에 대한 로그 근사를 제안했으며, 이는 기하 평균에 대한 다음과 같은 근사로 이어진다.

:$G\_X\; \backslash approx\; \backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash ,\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\}\{\backslash alpha\; +\backslash beta\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash text\{\; if\; \}\; \backslash alpha,\; \backslash beta\; >\; 1.$

:$G\_\{(1-X)\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{\backslash beta\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\}\{\backslash alpha+\backslash beta-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash text\{\; if\; \}\; \backslash alpha,\; \backslash beta\; >\; 1.$

G_X와 G_(1−X) 둘 다 비대칭이지만, 두 형상 모수가 모두 α = β와 같은 경우, 기하 평균은 같다: G_X = G_(1−X). 이 등식은 두 기하 평균 사이에 표시된 다음과 같은 대칭성에서 비롯된다.

:$G\_X\; (\backslash Beta(\backslash alpha,\; \backslash beta)\; )=G\_\{(1-X)\}(\backslash Beta(\backslash beta,\; \backslash alpha)\; ).$

3.1.5. 조화 평균

확률 변수 X를 갖는 분포의 조화 평균(H_X)의 역수는 1/X의 산술 평균, 즉 기대값과 같다. 따라서 모양 매개변수 α와 β를 갖는 베타 분포의 조화 평균(H_X)은 다음과 같다.

:H_X = (α - 1) / (α + β - 1) (단, α > 1, β > 0)

모양 매개변수 α가 1보다 작은 베타 분포의 조화 평균(H_X)은 정의되지 않는다. 이는 정의 표현식이 1보다 작은 모양 매개변수 α에 대해 [0, 1]에서 제한되지 않기 때문이다.

위 식에서 α = β로 설정하면 다음을 얻는다.

:H_X = (α-1)/(2α-1)

이는 α = β의 경우, 조화 평균이 α = β = 1일 때 0에서 α = β → ∞일 때 1/2까지 범위에 있다는 것을 보여준다.

다음은 한 매개변수가 유한(0이 아님)이고 다른 매개변수가 이러한 한계에 접근하는 한계이다.

:lim(α→0) H_X 는 정의되지 않음
:lim(α→1) H_X = lim(β→∞) H_X = 0
:lim(β→0) H_X = lim(α→∞) H_X = 1

조화 평균은 기하 평균 외에도 4개 매개변수 경우의 최우도 추정에 역할을 한다. 실제로, 4개 매개변수 경우에 대한 최우도 추정을 수행할 때, 확률 변수 X를 기반으로 하는 조화 평균 H_X 외에도 다른 조화 평균이 자연스럽게 나타난다. 즉, X의 거울상인 선형 변환(1 − X)을 기반으로 하는 조화 평균은 H_1 − X로 표시된다.

:H_1-X = (β - 1) / (α + β - 1) (단, β > 1, α > 0)

모양 매개변수 β가 1보다 작은 베타 분포의 조화 평균(H_(1 − X))은 정의되지 않는다. 이는 정의 표현식이 1보다 작은 모양 매개변수 β에 대해 [0, 1]에서 제한되지 않기 때문이다.

위 식에서 α = β로 설정하면 다음을 얻는다.

:H_(1-X) = (β-1) / (2β-1)

이는 α = β의 경우, 조화 평균이 α = β = 1일 때 0에서 α = β → ∞일 때 1/2까지 범위에 있다는 것을 보여준다.

다음은 한 매개변수가 유한(0이 아님)이고 다른 매개변수가 이러한 한계에 접근하는 한계이다.

:lim(β→0) H_1-X 는 정의되지 않음
:lim(β→1) H_1-X = lim(α→∞) H_1-X = 0
:lim(α→0) H_1-X = lim(β→∞) H_1-X = 1

H_X와 H_1−X 모두 비대칭이지만, 두 모양 매개변수 모두 동일한 경우 α = β 조화 평균은 동일하다. H_X = H_1−X. 이러한 동일성은 다음의 두 조화 평균 간에 표시되는 대칭에서 비롯된다.

:H_X (베타 분포(α, β) )=H_1-X(베타 분포(β, α) ) (단, α, β> 1)

3.2. 통계적 분산 측도

3.2.1. 분산

베타 분포의 분산(평균을 중심으로 한 2차 모멘트)은 매개변수 α와 β를 갖는 베타 분포 확률 변수 X에 대해 다음과 같다.

: var(X) = E[(X - μ)²] = αβ / ((α + β)²(α + β + 1))

위 식에서 α = β를 대입하면

: var(X) = 1 / (4(2β + 1))

따라서 α = β인 경우, 분산은 α = β가 증가함에 따라 단조 감소한다. 이 식에 α = β = 0을 대입하면 최대 분산 var(X) = 1/4을 구할 수 있으며, 이는 α = β = 0에서 극한에 접근하는 경우에만 발생한다.

베타 분포는 평균 μ (0 < μ < 1) 및 표본 크기 ν = α + β (ν > 0)로 통계적 매개변수를 나타낼 수도 있다.

: α = μν, where ν = (α + β) > 0
: β = (1 - μ)ν, where ν = (α + β) > 0.

이러한 통계적 매개변수를 사용하여, 분산을 평균 μ 및 표본 크기 ν로 다음과 같이 표현할 수 있다.

: var(X) = μ(1-μ) / (1 + ν)

ν = α + β > 0이므로 var(X) < μ(1 − μ)가 된다.

대칭 분포의 경우, 평균은 분포의 중앙에 위치하며, μ = 1/2 이므로 다음과 같다.

: var(X) = 1 / (4(1 + ν)) if μ = 1/2

또한, 다음과 같은 극한(극한에 접근하는 변수만 명시)은 위 식에서 얻을 수 있다.

: lim_β→0 var(X) = lim_α→0 var(X) = lim_β→∞ var(X) = lim_α→∞ var(X) = lim_ν→∞ var(X) = lim_μ→0 var(X) = lim_μ→1 var(X) = 0
: lim_ν→0 var(X) = μ(1-μ)

3.2.2. 기하 분산과 공분산

로그 변수의 분산과 ln X와 ln(1−X)의 공분산은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{var\}[\backslash ln\; X]=\; \backslash psi\_1(\backslash alpha)\; -\; \backslash psi\_1(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)$
:$\backslash operatorname\{var\}[\backslash ln\; (1-X)]\; =\; \backslash psi\_1(\backslash beta)\; -\; \backslash psi\_1(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)$
:$\backslash operatorname\{cov\}[\backslash ln\; X,\; \backslash ln(1-X)]\; =\; -\backslash psi\_1(\backslash alpha+\backslash beta)$

여기서 삼중 감마 함수는 ψ₁(α)로 표시되며, 폴리감마 함수의 두 번째 함수이며, 다이감마 함수의 도함수로 정의된다.

:$\backslash psi\_1(\backslash alpha)\; =\; \backslash frac\{d^2\backslash ln\backslash Gamma(\backslash alpha)\}\{d\backslash alpha^2\}=\; \backslash frac\{d\; \backslash ,\; \backslash psi(\backslash alpha)\}\{d\backslash alpha\}.$

따라서,

:$\backslash ln\; \backslash operatorname\{var\}\_\{GX\}=\backslash operatorname\{var\}[\backslash ln\; X]=\; \backslash psi\_1(\backslash alpha)\; -\; \backslash psi\_1(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)$
:$\backslash ln\; \backslash operatorname\{var\}\_\{G(1-X)\}\; =\backslash operatorname\{var\}[\backslash ln\; (1-X)]\; =\; \backslash psi\_1(\backslash beta)\; -\; \backslash psi\_1(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)$
:$\backslash ln\; \backslash operatorname\{cov\}\_\{GX,1-X\}\; =\backslash operatorname\{cov\}[\backslash ln\; X,\; \backslash ln(1-X)]\; =\; -\backslash psi\_1(\backslash alpha+\backslash beta)$

첨부된 그림은 형상 모수 α와 β에 대한 로그 기하 분산과 로그 기하 공분산을 보여준다. 그림에서 로그 기하 분산과 로그 기하 공분산은 형상 모수 α와 β가 2보다 클 때 0에 가깝고, 로그 기하 분산이 1보다 작은 형상 모수 값 α와 β에 대해 빠르게 증가함을 보여준다. 로그 기하 분산은 형상 모수의 모든 값에 대해 양수이다. 로그 기하 공분산은 형상 모수의 모든 값에 대해 음수이며, α와 β가 1보다 작을 때 큰 음수 값을 갖는다.

하나의 매개변수가 유한하고(0이 아님) 다른 매개변수가 이러한 한계에 접근하는 한계는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
&\lim_{\alpha\to 0} \ln \operatorname{var}_{GX} = \lim_{\beta\to 0} \ln \operatorname{var}_{G(1-X)} =\infty \\
&\lim_{\beta \to 0} \ln \operatorname{var}_{GX} = \lim_{\alpha \to \infty} \ln \operatorname{var}_{GX} = \lim_{\alpha \to 0} \ln \operatorname{var}_{G(1-X)} = \lim_{\beta\to \infty} \ln \operatorname{var}_{G(1-X)} = \lim_{\alpha\to \infty} \ln \operatorname{cov}_{GX,(1-X)} = \lim_{\beta\to \infty} \ln \operatorname{cov}_{GX,(1-X)} = 0\\
&\lim_{\beta \to \infty} \ln \operatorname{var}_{GX} = \psi_1(\alpha)\\
&\lim_{\alpha\to \infty} \ln \operatorname{var}_{G(1-X)} = \psi_1(\beta)\\
&\lim_{\alpha\to 0} \ln \operatorname{cov}_{GX,(1-X)} = - \psi_1(\beta)\\
&\lim_{\beta\to 0} \ln \operatorname{cov}_{GX,(1-X)} = - \psi_1(\alpha)
\end{align}

두 매개변수가 변화하는 한계는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
&\lim_{\alpha\to \infty}( \lim_{\beta \to \infty} \ln \operatorname{var}_{GX}) = \lim_{\beta \to \infty}( \lim_{\alpha\to \infty} \ln \operatorname{var}_{G(1-X)}) = \lim_{\alpha\to \infty} (\lim_{\beta \to 0} \ln \operatorname{cov}_{GX,(1-X)}) = \lim_{\beta\to \infty}( \lim_{\alpha\to 0} \ln \operatorname{cov}_{GX,(1-X)}) =0\\
&\lim_{\alpha\to \infty} (\lim_{\beta \to 0} \ln \operatorname{var}_{GX}) = \lim_{\beta\to \infty} (\lim_{\alpha\to 0} \ln \operatorname{var}_{G(1-X)}) = \infty\\
&\lim_{\alpha\to 0} (\lim_{\beta \to 0} \ln \operatorname{cov}_{GX,(1-X)}) = \lim_{\beta\to 0} (\lim_{\alpha\to 0} \ln \operatorname{cov}_{GX,(1-X)}) = - \infty
\end{align}

ln(var_GX)와 ln(var_G(1 − X))는 모두 비대칭이지만, 형상 매개변수가 동일할 때 α = β이면, ln(var_GX) = ln(var_G(1−X))이다. 이 등식은 두 로그 기하 분산 간에 표시된 다음 대칭에서 따온다.

:$\backslash ln\; \backslash operatorname\{var\}\_\{GX\}(\backslash Beta(\backslash alpha,\; \backslash beta))=\backslash ln\; \backslash operatorname\{var\}\_\{G(1-X)\}(\backslash Beta(\backslash beta,\; \backslash alpha)).$

로그 기하 공분산은 대칭이다.

:$\backslash ln\; \backslash operatorname\{cov\}\_\{GX,(1-X)\}(\backslash Beta(\backslash alpha,\; \backslash beta)\; )=\backslash ln\; \backslash operatorname\{cov\}\_\{GX,(1-X)\}(\backslash Beta(\backslash beta,\; \backslash alpha))$

3.2.3. 평균 절대 편차

모수 α와 β를 갖는 베타 분포의 평균에 대한 평균 절대 편차는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{E\}[|X\; -\; E[X]|]\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash alpha^\backslash alpha\; \backslash beta^\backslash beta\}\{\backslash Beta(\backslash alpha,\backslash beta)(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)^\{\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; +\; 1\}\}$

평균에 대한 평균 절대 편차는 모드의 각 측면에 꼬리와 변곡점이 있는 베타 분포, 즉 α, β > 2인 베타(α, β) 분포의 통계적 분산에 대한 강건한 추정량이다. 이는 평균에서의 제곱 편차가 아닌 선형(절대) 편차에 따라 달라지기 때문이다. 따라서 평균에서 매우 큰 편차의 영향은 과도하게 가중되지 않는다.

스털링 근사를 감마 함수에 사용하면 N.L.Johnson과 S.Kotz는 형상 모수가 1보다 큰 값에 대해 다음과 같은 근사를 도출했다(이 근사의 상대 오차는 α = β = 1에 대해 -3.5%에 불과하며, α → ∞, β → ∞로 갈수록 0으로 감소한다):

:$\backslash begin\{align\}$
\frac{\text{mean abs. dev. from mean}}{\text{standard deviation}} &=\frac{\operatorname{E}[|X - E[X]|]}{\sqrt{\operatorname{var}(X)}}\\
&\approx \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left(1+\frac{7}{12 (\alpha+\beta)}{}-\frac{1}{12 \alpha}-\frac{1}{12 \beta} \right), \text{ if } \alpha, \beta > 1.
\end{align}

α → ∞, β → ∞의 극한에서 (베타 분포에 대한) 평균 절대 편차와 표준 편차의 비율은 정규 분포에 대한 동일한 척도의 비율인 $\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{\backslash pi\}\}$와 같게 된다. α = β = 1의 경우 이 비율은 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$와 같으므로 α = β = 1에서 α, β → ∞로 갈수록 비율은 8.5% 감소한다. α = β = 0의 경우 표준 편차는 평균에 대한 평균 절대 편차와 정확히 같다. 따라서 이 비율은 α = β = 0에서 α = β = 1로 갈수록 15% 감소하고, α = β = 0에서 α, β → ∞로 갈수록 25% 감소한다. 그러나 α → 0 또는 β → 0과 같이 왜곡된 베타 분포의 경우, 표준 편차와 평균 절대 편차의 비율은 무한대에 접근한다(각각은 개별적으로 0에 접근하지만) 평균 절대 편차가 표준 편차보다 더 빨리 0에 접근하기 때문이다.

평균 μ 및 표본 크기 ν = α + β > 0의 통계적 매개변수를 사용하여:

:α = μν, β = (1−μ)ν

평균 μ와 표본 크기 ν의 관점에서 평균에 대한 평균 절대 편차를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash operatorname\{E\}[|\; X\; -\; E[X]|]\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash mu^\{\backslash mu\backslash nu\}\; (1-\backslash mu)^\{(1-\backslash mu)\backslash nu\}\}\{\backslash nu\; \backslash Beta(\backslash mu\; \backslash nu,(1-\backslash mu)\backslash nu)\}$

대칭 분포의 경우 평균은 분포의 중앙에 있고, μ = 1/2이므로 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\operatorname{E}[|X - E[X]|] = \frac{2^{1-\nu}}{\nu \Beta(\tfrac{\nu}{2} ,\tfrac{\nu}{2})} &= \frac{2^{1-\nu}\Gamma(\nu)}{\nu (\Gamma(\tfrac{\nu}{2}))^2 } \\
\lim_{\nu \to 0} \left (\lim_{\mu \to \frac{1}{2}} \operatorname{E}[|X - E[X]|] \right ) &= \tfrac{1}{2}\\
\lim_{\nu \to \infty} \left (\lim_{\mu \to \frac{1}{2}} \operatorname{E}[| X - E[X]|] \right ) &= 0
\end{align}

또한, 다음 극한(극한에 접근하는 변수만 표시됨)은 위의 식으로 얻을 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\lim_{\beta\to 0} \operatorname{E}[|X - E[X]|] &=\lim_{\alpha \to 0} \operatorname{E}[|X - E[X]|]= 0 \\
\lim_{\beta\to infty} \operatorname{E}[|X - E[X]|] &=\lim_{\alpha \to \infty} \operatorname{E}[|X - E[X]|] = 0\\
\lim_{\mu \to 0} \operatorname{E}[|X - E[X]|]&=\lim_{\mu \to 1} \operatorname{E}[|X - E[X]|] = 0\\
\lim_{\nu \to 0} \operatorname{E}[|X - E[X]|] &= \sqrt{\mu (1-\mu)} \\
\lim_{\nu \to \infty} \operatorname{E}[|X - E[X]|] &= 0
\end{align}

3.2.4. 평균 절대 차이

베타 분포의 평균 절대 차이는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{MD\}\; =\; \backslash int\_0^1\; \backslash int\_0^1\; f(x;\backslash alpha,\backslash beta)\backslash ,f(y;\backslash alpha,\backslash beta)\backslash ,|x-y|\backslash ,dx\backslash ,dy\; =\; \backslash left(\backslash frac\{4\}\{\backslash alpha+\backslash beta\}\backslash right)\backslash frac\{B(\backslash alpha+\backslash beta,\backslash alpha+\backslash beta)\}\{B(\backslash alpha,\backslash alpha)B(\backslash beta,\backslash beta)\}$

3.3. 왜도

베타 분포의 왜도는 평균을 중심으로 하는 세 번째 모멘트를 분산의 3/2 제곱으로 정규화한 값으로, 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash gamma\_1\; =\backslash frac\{\backslash operatorname\{E\}[(X\; -\; \backslash mu)^3]\}\{(\backslash operatorname\{var\}(X))^\{3/2\}\}\; =\; \backslash frac\{2(\backslash beta\; -\; \backslash alpha)\backslash sqrt\{\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; +\; 1\}\}\{(\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; +\; 2)\; \backslash sqrt\{\backslash alpha\; \backslash beta\}\}\; .$

α = β 이면 γ₁ = 0 이 되므로, 분포는 대칭이 된다. α < β 일 때는 양의 왜도(오른쪽 꼬리), α > β 일 때는 음의 왜도(왼쪽 꼬리)를 가진다.

평균 μ와 표본 크기 ν = α + β 를 사용하여 왜도를 표현하면 다음과 같다.

:$\backslash gamma\_1\; =\backslash frac\{\backslash operatorname\{E\}[(X\; -\; \backslash mu)^3]\}\{(\backslash operatorname\{var\}(X))^\{3/2\}\}\; =\; \backslash frac\{2(1-2\backslash mu)\backslash sqrt\{1+\backslash nu\}\}\{(2+\backslash nu)\backslash sqrt\{\backslash mu\; (1\; -\; \backslash mu)\}\}.$

분산 var과 평균 μ의 함수로 왜도를 표현하면 다음과 같다.

:

최대 분산(1/4)은 왜도 0 및 대칭 조건(μ = 1/2)과 결합되고, 최대 왜도(양 또는 음의 무한대)는 평균이 한쪽 끝에 위치하여 확률 분포의 "질량"이 양쪽 끝에 집중될 때(최소 분산) 발생한다.

표본 크기 ν = α + β와 분산 var의 함수로 나타낸 왜도의 제곱은 다음과 같이 네 가지 매개변수의 적률 추정 방법에 사용될수 있다.

:$(\backslash gamma\_1)^2\; =\backslash frac\{(\backslash operatorname\{E\}[(X\; -\; \backslash mu)^3])^2\}\{(\backslash operatorname\{var\}(X))^3\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{(2+\backslash nu)^2\}\backslash bigg(\backslash frac\{1\}\{\backslash text\{var\}\}-4(1+\backslash nu)\backslash bigg)$

이 식은 α = β일 때 왜도가 0임을 정확하게 보여준다.

대칭 사례(α = β)의 경우 왜도는 0이며, 비대칭 사례(α ≠ β)의 경우 특정 조건에서 왜도는 양 또는 음의 무한대로 수렴할 수 있다.

3.4. 첨도

베타 분포의 첨도는 기어 손상 평가를 위한 음향 분석 및 사람 발소리에서 발생하는 지진 신호 구분에 사용된다. Abramowitz와 Stegun은 초과 첨도에 대해 다른 용어를 사용하며, 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\text{초과 첨도}
&=\text{첨도} - 3\\
&=\frac{\operatorname{E}[(X - \mu)^4]}}-3\\
&=\frac{6[\alpha^3-\alpha^2(2\beta - 1) + \beta^2(\beta + 1) - 2\alpha\beta(\beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2)(\alpha + \beta + 3)}\\
&=\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}
{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)} .
\end{align}

위 식에서 α = β로 놓으면 다음과 같이 정리된다.

:$\backslash text\{초과\; 첨도\}\; =-\; \backslash frac\{6\}\{3+2\backslash alpha\}\; \backslash text\{\; if\; \}\backslash alpha=\backslash beta$.

따라서 대칭 베타 분포의 경우 초과 첨도는 음수이며, {α = β} → 0으로 갈 때 최소값 −2에서 증가하고 {α = β} → ∞으로 갈 때 최대값 0에 접근한다. −2는 모든 종류의 임의의 분포가 달성할 수 있는 초과 첨도의 최소값이며, 확률 밀도가 양 끝 x = 0 및 x = 1에 완전히 집중될 때 도달한다. 이는 각 끝에서 1/2의 동일한 확률을 갖는 2점 베르누이 분포의 경우와 같다.

평균 μ 및 표본 크기 ν = α + β로 통계적 매개변수를 사용하면, 초과 첨도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash text\{초과\; 첨도\}\; =\backslash frac\{6\}\{3\; +\; \backslash nu\}\backslash bigg\; (\backslash frac\{(1\; -\; 2\; \backslash mu)^2\; (1\; +\; \backslash nu)\}\{\backslash mu\; (1\; -\; \backslash mu)\; (2\; +\; \backslash nu)\}\; -\; 1\; \backslash bigg\; )$

또한, 초과 첨도는 분산 var과 표본 크기 ν, 또는 분산 var과 평균 μ로 표현될 수 있다.

:

:

분산과 평균의 함수로 초과 첨도를 나타낼 때, 초과 첨도의 최소값 (−2)은 분산의 최대값 (1/4) 및 대칭 조건 (μ = 1/2)과 관련되어 있다. 이는 α = β = 0인 대칭 경우에 해당하며, 각 끝에 1/2의 동일한 확률을 갖는 2점 베르누이 분포와 같다.

초과 첨도는 왜도의 제곱과 표본 크기 ν로도 표현할 수 있다.

:

대칭적인 경우 (α = β)와 비대칭적인 경우 (α ≠ β)에 따라 초과 첨도의 한계가 달라진다.

3.5. 특성 함수

특성 함수는 확률 밀도 함수의 푸리에 변환이다. 베타 분포의 특성 함수는 쿠머의 합류형 초기하 함수 (제1종)이다.

베타 분포의 특성함수는 다음과 같이 표현된다.
:$\backslash begin\{align\}$
\varphi_X(\alpha;\beta;t)
&= \operatorname{E}\left[e^{itX}\right]\\
&= \int_0^1 e^{itx} f(x;\alpha,\beta) \, dx \\
&={}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; it)\!\\
&=\sum_{n=0}^\infty \frac {\alpha^{(n)} (it)^n} {(\alpha+\beta)^{(n)} n!}\\
&= 1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{(it)^k}{k!}
\end{align}
여기서 $x^\{(n)\}=x(x+1)(x+2)\backslash cdots(x+n-1)$는 상승 계승이며, "포흐하머 기호"라고도 한다. 특성 함수 값은 t = 0일 때 1이다.
:$\backslash varphi\_X(\backslash alpha;\backslash beta;0)=\{\}\_1F\_1(\backslash alpha;\; \backslash alpha+\backslash beta;\; 0)\; =\; 1.$
또한, 특성 함수의 실수부와 허수부는 변수 t의 원점에 대해 다음과 같은 대칭성을 갖는다.
:$\backslash operatorname\{Re\}\; \backslash left\; [\; \{\}\_1F\_1(\backslash alpha;\; \backslash alpha+\backslash beta;\; it)\; \backslash right\; ]\; =\; \backslash operatorname\{Re\}\; \backslash left\; [\; \{\}\_1F\_1(\backslash alpha;\; \backslash alpha+\backslash beta;\; -\; it)\; \backslash right\; ]$
:$\backslash operatorname\{Im\}\; \backslash left\; [\; \{\}\_1F\_1(\backslash alpha;\; \backslash alpha+\backslash beta;\; it)\; \backslash right\; ]\; =\; -\; \backslash operatorname\{Im\}\; \backslash left\; [\; \{\}\_1F\_1(\backslash alpha;\; \backslash alpha+\backslash beta;\; -\; it)\; \backslash right\; ]$
대칭 사례 α = β는 베셀 함수로 베타 분포의 특성 함수를 단순화한다. α + β = 2α인 특수한 경우에 합류형 초기하 함수 (제1종)가 베셀 함수 (수정된 제1종 베셀 함수 $I\_\{\backslash alpha-\backslash frac\; 1\; 2\}$ )로 축소되기 때문이다. 쿠머의 두 번째 변환을 사용하여 다음과 같이 표현된다.
:
&= e^{\frac{it}{2}} \left(\frac{it}{4}\right)^{\frac{1}{2}-\alpha} \Gamma\left(\alpha+\tfrac{1}{2}\right) I_{\alpha-\frac 1 2}\left(\frac{it}{2}\right).\end{align}
베타 분포의 실수부 (Re) 특성 함수는 대칭(α = β) 및 왜곡(α ≠ β) 사례에 대해 표시된다.

3.6. 다른 분포와의 관계

* X ~ 베타(α, β)이면 1 − X ~ 베타(β, α)이며 거울상 대칭을 이룬다.
* X ~ 베타(α, β)이면 $\backslash tfrac\{X\}\{1-X\}\; \backslash sim\; \{\backslash beta\text{'}\}(\backslash alpha,\backslash beta)$이다. 이는 "제2종 베타 분포"라고도 불리는 베타 프라임 분포를 따른다.
* $X\backslash sim\backslash text\{베타\}(\backslash alpha,\backslash beta)$이면, $Y=\backslash log\backslash frac\{X\}\{1-X\}$는 밀도가 $\backslash frac\{\backslash sigma(y)^\backslash alpha\backslash sigma(-y)^\backslash beta\}\{B(\backslash alpha,\backslash beta)\}$인 일반화된 로지스틱 분포를 따르며, 여기서 $\backslash sigma$는 로지스틱 시그모이드 함수이다.
* X ~ 베타(α, β)이면 $\backslash tfrac\{1\}\{X\}\; -1\; \backslash sim\; \{\backslash beta\text{'}\}(\backslash beta,\backslash alpha)$이다.
* $X\backslash sim\backslash text\{베타\}(\backslash alpha\_1,\backslash beta\_1)$이고 $Y\backslash sim\backslash text\{베타\}(\backslash alpha\_2,\backslash beta\_2)$이면, $Z\; =\; \backslash tfrac\{X\}\{Y\}$는 일 때 밀도 $\backslash tfrac\{B(\backslash alpha\_1\; +\backslash alpha\_2,\; \backslash beta\_2)\; z^\{\backslash alpha\_1\; -\; 1\}\; \{\}\_2F\_1(\backslash alpha\_1\; +\; \backslash alpha\_2,\; 1-\; \backslash beta\_1;\; \backslash alpha\_1\; +\backslash alpha\_2\; +\; \backslash beta\_2;\; z)\; \}\{B(\backslash alpha\_1,\; \backslash beta\_1)B(\backslash alpha\_2,\; \backslash beta\_2)\}$를 가지며, $z\; \backslash geq\; 1$일 때 밀도 $\backslash tfrac\{B(\backslash alpha\_1\; +\backslash alpha\_2,\; \backslash beta\_1)\; z^\{-(\backslash alpha\_2\; +\; 1)\}\; \{\}\_2F\_1(\backslash alpha\_1\; +\; \backslash alpha\_2,\; 1-\; \backslash beta\_2;\; \backslash alpha\_1\; +\backslash alpha\_2\; +\; \backslash beta\_1;\; \backslash tfrac\{1\}\{z\})\}\{B(\backslash alpha\_1,\; \backslash beta\_1)B(\backslash alpha\_2,\; \backslash beta\_2)\}$를 가지며, 여기서 $\{\}\_2F\_1(a,\; b;\; c;\; x)$는 초기하 함수이다.
* X ~ 베타(n/2, m/2)이면 $\backslash tfrac\{mX\}\{n(1-X)\}\; \backslash sim\; F(n,m)$ (단, n > 0 및 m > 0이라고 가정)이며, 이는 피셔–스네데코어 F 분포를 따른다.
* $X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{베타\}\backslash left(1+\backslash lambda\backslash tfrac\{m-\backslash min\}\{\backslash max-\backslash min\},\; 1\; +\; \backslash lambda\backslash tfrac\{\backslash max-m\}\{\backslash max-\backslash min\}\backslash right)$이면 min + X(max − min) ~ PERT(min, max, m, λ)이며, 여기서 PERT는 PERT 분포를 나타내며, 이는 PERT 분석에 사용되며, m은 최빈값을 나타낸다. 전통적으로 PERT 분석에서 λ = 4이다.
* X ~ 베타(1, β)이면 X ~ 쿠마라스와미 분포 (매개변수 (1, β))를 따른다.
* X ~ 베타(α, 1)이면 X ~ 쿠마라스와미 분포 (매개변수 (α, 1))를 따른다.
* X ~ 베타(α, 1)이면 −ln(X) ~ 지수(α)를 따른다.
* Beta(1, 1) ~ U(0, 1)는 해당 구간에서 밀도가 1이다.
* Beta(n, 1) ~ 독립적인 n개의 확률 변수의 최대값. U(0, 1), 때때로 해당 구간에서 밀도가 n x^n–1인 표준 거듭제곱 함수 분포라고도 한다.
* Beta(1, n) ~ 독립적인 n개의 확률 변수의 최소값. U(0, 1)는 해당 구간에서 밀도가 n(1 − x)ⁿ⁻¹이다.
* X ~ Beta(3/2, 3/2)이고 r > 0이면 2rX − r ~ 비그너 반원 분포이다.
* Beta(1/2, 1/2)는 아크사인 분포와 같다. 이 분포는 또한 베르누이 분포 및 이항 분포에 대한 제프리스 사전확률이다.

* $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; n\; \backslash operatorname\{Beta\}(1,n)\; =\; \backslash operatorname\{Exponential\}(1)$는 지수 분포이다.
* $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; n\; \backslash operatorname\{Beta\}(k,n)\; =\; \backslash operatorname\{Gamma\}(k,1)$는 감마 분포이다.
* 큰 $n$에 대해, $\backslash operatorname\{Beta\}(\backslash alpha\; n,\backslash beta\; n)\; \backslash to\; \backslash mathcal\{N\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{\backslash alpha+\backslash beta\},\backslash frac\{\backslash alpha\backslash beta\}\{(\backslash alpha+\backslash beta)^3\}\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)$는 정규 분포이다. 더 정확하게, $X\_n\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(\backslash alpha\; n,\backslash beta\; n)$이면 $\backslash sqrt\{n\}\backslash left(X\_n\; -\backslash tfrac\{\backslash alpha\}\{\backslash alpha+\backslash beta\}\backslash right)$은 n이 증가함에 따라 평균 0과 분산 $\backslash tfrac\{\backslash alpha\backslash beta\}\{(\backslash alpha+\backslash beta)^3\}$인 정규 분포로 분포 수렴한다.
* 크기 n의 균등 분포 표본에서 k번째 순서 통계량은 베타 확률 변수이며, U_(k) ~ Beta(k, n+1−k)이다.
* X ~ Gamma(α, θ) 및 Y ~ Gamma(β, θ)가 독립적이라면, $\backslash tfrac\{X\}\{X+Y\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(\backslash alpha,\; \backslash beta)\backslash ,$이다.
* $X\; \backslash sim\; \backslash chi^2(\backslash alpha)\backslash ,$ 및 $Y\; \backslash sim\; \backslash chi^2(\backslash beta)\backslash ,$가 독립적이라면, $\backslash tfrac\{X\}\{X+Y\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(\backslash tfrac\{\backslash alpha\}\{2\},\; \backslash tfrac\{\backslash beta\}\{2\})$이다.
* X ~ U(0, 1)이고 α > 0이면, X^1/α ~ Beta(α, 1)이다. 이것은 멱함수 분포이다.
* X ~ Cauchy(0, 1)이면, $\backslash tfrac\{1\}\{1+X^2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}\backslash left(\backslash tfrac12,\; \backslash tfrac12\backslash right)\backslash ,$이다.
* X ~ 베타(α, β)이고 Y ~ F(2β,2α)이면 모든 x > 0에 대해 $\backslash Pr(X\; \backslash leq\; \backslash tfrac\; \backslash alpha\; \{\backslash alpha+\backslash beta\; x\})\; =\; \backslash Pr(Y\; \backslash geq\; x)\backslash ,$이다.
* p ~ Beta(α, β)이고 X ~ Bin(k, p)이면 X ~ 베타-이항 분포이다.
* p ~ Beta(α, β)이고 X ~ NB(r, p)이면 X ~ 베타-음이항 분포이다.
* 여러 변수로의 일반화, 즉 다변량 베타 분포를 디리클레 분포라고 한다. 디리클레 분포의 일변량 주변 분포는 베타 분포를 갖는다. 베타 분포는 켤레이며 이항 분포 및 베르누이 분포에 대해 디리클레 분포가 다항 분포 및 범주형 분포에 켤레인 방식과 정확히 동일하다.
* 피어슨 제1형 분포는 베타 분포와 동일하다(베타 분포의 4개 매개변수화로도 수행할 수 있는 임의의 이동 및 재스케일링 제외).
* 베타 분포는 $\backslash lambda\; =\; 0$인 비중심 베타 분포의 특수한 경우이다: $\backslash operatorname\{Beta\}(\backslash alpha,\; \backslash beta)\; =\; \backslash operatorname\{NonCentralBeta\}(\backslash alpha,\backslash beta,0)$.
* 일반화된 베타 분포는 베타 분포를 특수한 경우로 갖는 5개 매개변수 분포 계열이다.
* 행렬 변량 베타 분포는 양의 정부호 행렬에 대한 분포이다.
* $\backslash alpha=\backslash beta=1/2$일 때, 역정현 분포(Arcsine distribution)가 된다.
* $\backslash alpha=\backslash beta=1$일 때, 균등 분포가 된다.

4. 응용

베타 분포는 다양한 분야에서 응용된다. 다운링크 빔포밍에 쓰이며, 순서 통계량 이론에서 중요한 역할을 한다. 연속 균등 분포에서 크기가 n인 표본 중 k번째로 작은 값의 분포는 베타 분포를 따른다.

주관적 논리에서는 이진 사건의 사후 확률 추정치를 베타 분포로 나타낼 수 있다. 베타 웨이블릿은 신호 처리에서 오디오 신호 및 이미지 등의 데이터에서 정보를 추출하는 데 사용되며, 두 형상 매개변수 α와 β에 의해 모양이 미세 조정되는 하르 웨이블릿의 부드러운 변형으로 볼 수 있다.

인구 유전학에서 사용되는 발딩-니콜스 모형은 하위 집단으로 세분화된 모집단의 대립 유전자 빈도에 대한 통계적 설명을 제공한다.

베타 분포는 최소값과 최대값으로 정의된 간격 내에서 발생하는 이벤트를 모델링하는 데 적합하다. 따라서 PERT, 임계 경로 기법(CPM) 등 프로젝트 관리에서 작업 완료 시간 및 비용을 설명하는 데 널리 사용된다. 프로젝트 관리에서는 베타 분포의 평균과 표준 편차를 추정하기 위해 약식 계산이 사용되는데, 평균 40%, 분산 549%의 평균 오차를 나타낼 수 있는 형편없는 근사치일 수 있다.