단사정계

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1. 개요

단사정계는 결정학에서 사용되는 결정 격자 시스템 중 하나이다. 이 시스템은 두 가지 브라베 격자, 즉 단순 격자와 저심 격자를 포함하며, 각각 직사각형과 마름모꼴의 격자층을 갖는다. 단사정계에 속하는 점군은 국제 표기법과 쇤플리스 표기법으로 표현되며, 완면상, 이극상, 반면상 단사정계가 주요 점군이다. 또한, 스페노이드형, 도마틱형, 프리즘형의 세 가지 결정 클래스로 분류되며, 각 클래스에 따라 다양한 공간군이 존재한다. 2차원에서는 사방격자가 유일한 단사정계 브라베 격자이다.

단사정계

결정계	단사정계
격자 상수	a ≠ b ≠ c
결정축 사이의 각도	α = γ = 90°, β ≠ 90°
공간군	13개
브라베 격자	단순 단사정 (simple monoclinic), 저심 단사정 (base-centered monoclinic)

특징

대칭성	1개의 2회 회전축 1개의 거울면 또는 1개의 2회 회전축과 거울면

공간군

분류	P2 P2₁ C2 Pm Pc Cm Cc P2/m P2₁/m C2/m P2/c P2₁/c C2/c

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하위 결정계	삼사정계 (Triclinic crystal system)

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1. 개요
2. 브라베 격자
- 2.1. 단순 단사정계 (Simple Monoclinic)
- 2.2. 저심 단사정계 (Base-centered Monoclinic)
3. 점군 및 공간군
- 3.1. 점군 목록
- 3.2. 공간군 목록
4. 2차원에서의 단사정계

2. 브라베 격자

단사정계에는 단순 격자와 저심 격자(base-centered) 두 종류의 브라베 격자가 존재한다. 단순 단사정계는 직사각형 격자층을, 저심 단사정계는 마름모꼴 격자층을 가진다. 저면심 단사정계의 원시 세포는 사방정사면체 프리즘 모양을 갖는다.

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단사정계의 브라베 격자
이름	피어슨 기호	단위 세포
단순 단사정계	mP	단순 단사정계
저심 단사정계	mS	저심 단사정계

2.1. 단순 단사정계 (Simple Monoclinic)

단사정계에는 단순 단사정계와 저심 단사정계 두 종류의 브라베 격자가 존재하며, 이 격자들은 각각 직사각형과 마름모꼴의 격자층을 가진다.

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단사정계의 브라베 격자
이름	단순 단사정계	저심 단사정계
피어슨 기호	mP	mS
단위세포	단순 단사정계	저심 단사정계

2.2. 저심 단사정계 (Base-centered Monoclinic)

단사정계에는 두 종류의 브라베 격자가 존재하는데, 그 중 하나가 저심 단사정계이다. 저심 격자는 직사각형과 마름모꼴의 격자층을 가진다. 저면심 단사정계의 원시 세포는 사방정사면체 프리즘 모양을 갖는다. 이는 2차원 중심 직사각형 기저층을 원시 마름모꼴 축으로도 설명할 수 있기 때문에 구성될 수 있다.

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브라베 격자	저면심 단사정계
피어슨 기호	mS
단위 세포	저심 단사정계

3. 점군 및 공간군

단사정계에는 세 가지 유형의 점군과 그에 대응하는 공간군이 존재한다.

세 가지 단사 반형태 공간군은 다음과 같다.

* 벽지 무늬군 p2 단면을 가진 프리즘
* 축 대신 나사축을 가진 것
* 나사축과 축을 모두 가지고 평행하게 중간에 위치하는 것. 이 경우 추가적인 병진 벡터는 기저면의 병진 벡터의 절반과 기저면 사이의 수직 벡터의 절반을 더한 것이다.

네 가지 단사 반면체 공간군은 다음을 포함한다.

* 프리즘의 바닥과 중간에 순수 반사를 가진 것
* 순수 반사면 대신 활주면을 가진 것. 활주는 기저면의 병진 벡터의 절반이다.
* 서로 중간에 둘 다 있는 것. 이 경우 추가적인 병진 벡터는 이 활주와 기저면 사이의 수직 벡터의 절반을 더한 것이다.

3.1. 점군 목록

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이름	국제 표기법	쇤플리스 표기법	예
완면상 단사정계	$\frac{2}{m}$	C_2h	석고
이극상 단사정계	2	C₂
반면상 단사정계	$m$	C_1h	자당

3.2. 공간군 목록

다음은 국제 표기법과 쇤플리스 표기법으로 표현된 단사정계 점군의 목록이다.

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이름	국제 표기법	쇤플리스 표기법	예
완면상 단사정계	$\frac2m$	C_2h	석고
이극상 단사정계	2	C₂
반면상 단사정계	$m$	C_1h	자당

각 결정족은 6, 3, 4개의 공간군을 포함한다.

다음 표는 결정 클래스별로 단사정계의 공간군을 정리한 것이다. 국제 결정학 표의 공간군 번호, 결정 클래스 이름, 쇼엔플리스(Schönflies) 표기의 점군, 헤르만-모건(국제) 표기, 오비폴드 표기, 콕세터 표기, 유형 설명자, 광물 예시 및 공간군에 대한 표기를 나열한다.

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#	점군					유형	예시	공간군
#	이름	Schönflies	Intl	Orb.	Cox.	유형	예시	원시	저면심중심
3–5	스페노이드형	C₂	2	22	[2]⁺	거울상이성질체 극성	할로트리차이트(halotrichite)	P2, P2₁	C2
6–9	도마틱형	C_s (C_1h)	m	*11	[ ]	극성	힐가라이트(hilgardite)	Pm, Pc	Cm, Cc
10–15	프리즘형	C_2h	2/m	2*	[2,2⁺]	중심대칭	석고(gypsum)	P2/m, P2₁/m	C2/m
13–15	프리즘형	C_2h	2/m	2*	[2,2⁺]	중심대칭	석고(gypsum)	P2/c, P2₁/c	C2/c

스페노이드형은 단사 반형태(monoclinic hemimorphic)라고도 하며, 도마틱형은 단사 반면체(monoclinic hemihedral)라고도 하고, 프리즘형은 단사 정상형(monoclinic normal)이라고도 한다.

4. 2차원에서의 단사정계

2차원에서 유일한 단사정계 브라베 격자는 사방격자이다.

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브라베 격자	사방격자
피어슨 기호	mp
단위세포