오비폴드

1. 개요

오비폴드는 국소적으로 유클리드 공간의 유한군 작용에 대한 몫공간으로 모델링되는 위상 공간이다. 오비폴드는 오비폴드 아틀라스를 사용하거나 리 군 범주를 사용하여 정의할 수 있다. 오비폴드는 2차원과 3차원 오비폴드, 삼각군, 오비헤드론 등 다양한 형태를 가지며, 위상수학적 성질과 기본군을 정의할 수 있다. 오비폴드는 끈 이론의 차원 축소, 칼라비-야우 다양체 연구, 거울 대칭 등 물리학 분야와 음악 이론에도 응용된다.

2. 정의

오비폴드는 국소적으로 유클리드 공간의 유한군 작용에 대한 몫공간으로 모델링되는 위상 공간이다. 오비폴드는 오비폴드 아틀라스를 사용하여 정의하거나 리 군 범주를 사용하여 정의할 수 있다.

끈 이론에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 축소 오비폴드는 이산군 $G$와 매끄러운 다양체 $M$에 대한 충실한 작용 $G\backslash times\; M\backslash to\; M$이 주어졌을 때, 몫공간 $M/G$ ($M$의 원소 $x$와 $g\backslash cdot\; x$ ($g\backslash in\; G$)가 같은 값을 갖는 몫공간)으로 나타낼 수 있는 오비폴드이다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로는 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로는 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다.

2.1. 오비폴드 아틀라스를 이용한 정의

하우스도르프 공간 X와 그 열린 덮개 $\backslash \{U\_i\backslash \}$를 생각하자. ($\backslash \{U\_i\backslash \}$는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정한다.)

각 $U\_i$에 대하여, 연속 함수 $\backslash phi\_i\backslash colon\; U\_i\backslash to\; V\_i$를 가정한다. 여기서 $V\_i$는 $\backslash mathbb\; R^n$의 부분집합으로, 유한군 $\backslash Gamma\_i$의 선형작용에 대하여 불변하다. $\backslash phi\_i$가 $U\_i\backslash to\; V\_i/\backslash Gamma\_i$의 위상동형사상을 정의한다고 가정하자. 이들을 오비폴드 국소 좌표계라고 부른다.

일련의 오비폴드 국소 좌표계 $(U\_i,V\_i,\backslash Gamma\_i,\backslash phi\_i)$의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 오비폴드 좌표근방계(orbifold atlas^영어)를 이룬다.
* $U\_i\backslash subset\; U\_j$면 단사 준동형 사상 $\backslash Gamma\_i\backslash to\backslash Gamma\_j$가 존재한다.
* $U\_i\backslash subset\; U\_j$면 $\backslash Gamma\_i$에 대하여 $\backslash Gamma\_i$-위상 동형 사상 $\backslash psi\_\{ij\}\backslash colon\; V\_i\backslash to\; W\_j\backslash subset\; V\_j$이 존재한다. ($W\_j$는 $V\_j$의 열린 부분 집합)
* $\backslash phi\_j\backslash circ\backslash psi\_\{ij\}=\backslash phi\_i$
* 다른 모든 추이 사상$V\_i\backslash to\; V\_j$는 $g\backslash psi\_\{ij\}$의 꼴이다 (여기서 $g\backslash in\backslash Gamma\_j$).

2.2. 리 군 범주를 이용한 정의

오비폴드 군범주는 다음 두 가지 정의 중 하나로 정의된다.

* 고유 에탈 리 군범주
* 등방성이 이산 공간인 고유 리 군범주

고유 군범주의 등방성 군은 자동적으로 콤팩트 공간이므로, 이산성 조건은 등방성이 실제로 유한군이어야 함을 의미한다.

오비폴드 군범주는 위 정의에서 오비폴드 아틀라스와 동일한 역할을 한다. 하우스도르프 공간 $X$에 대한 오비폴드 구조는 위상 동형사상 $|M/G|\; \backslash simeq\; X$와 함께 오비폴드 군범주 $G\; \backslash rightrightarrows\; M$의 모리타 동치 클래스로 정의된다. 여기서 $|M/G|$는 리 군범주 $G$의 궤도 공간(즉, $x\; \backslash sim\; y$일 때 $x$와 $y$가 동치 관계를 가지는 $G$에 의한 $M$의 몫)이다.

두 개의 서로 다른 오비폴드 아틀라스는 연관된 오비폴드 군단이 모리타 동치일 때만 동일한 오비폴드 구조를 생성한다. 모든 오비폴드 구조는 유효한 경우 오비폴드 구조로 축소된다.

3. 위상수학적 성질

오비폴드는 일반적인 오일러 지표와는 다른 두 가지 "오비폴드 오일러 지표"(사타케-서스턴 오일러 지표, 끈 오일러 지표)를 가지며, 이들은 서로 관계없는 개념이다. 또한, 오비폴드의 호모토피 군도 정의할 수 있는데, 이는 오비폴드를 단순히 위상 공간으로 간주하여 정의한 오일러 지표 및 호모토피 군과는 다르다.

오비폴드 기본군을 정의하는 데는 여러 가지 방법이 있다. 더 정교한 방식은 오비폴드 덮개 공간이나 군 범주의 분류 공간을 사용하는 것이다. 가장 간단한 방법은 고리의 일반적인 개념을 확장하는 것이다. 오비폴드 경로는 오비폴드 차트로의 경로 세그먼트의 명시적인 조각별 리프트와 겹치는 차트에서 경로를 식별하는 명시적인 군 원소가 제공된 기본 공간의 경로이며, 기본 경로가 고리이면 오비폴드 고리라고 한다. 두 오비폴드 경로는 오비폴드 차트의 군 원소의 곱셈을 통해 관련되면 동일시된다. 오비폴드 기본군은 오비폴드 고리의 호모토피류로 형성된 군이다.

오비폴드가 이산군 Γ의 적절한 강체 작용에 의해 단일 연결 다양체 M의 몫으로 나타나는 경우, 오비폴드 기본군은 Γ와 동일시될 수 있다. 일반적으로 이는 π₁ M에 의한 Γ의 군 확대이다.

오비폴드는 군 작용에 의해 몫으로 나타나는 경우 '전개 가능' 또는 '좋다'라고 하며, 그렇지 않으면 '나쁘다'라고 한다. 보편 덮개 공간의 구성과 유사하게 오비폴드의 '보편 덮개 오비폴드'를 구성할 수 있다.

수축 가능 열린 부분집합의 오비폴드 차트가 군 Γ에 해당하는 경우, Γ에서 오비폴드 기본군으로의 자연스러운 '국소 준동형'이 존재한다.

다음 조건은 동등하다.

* 오비폴드는 전개 가능하다.
* 보편 덮개 오비폴드의 오비폴드 구조는 자명하다.
* 국소 준동형은 수축 가능한 열린 집합의 덮개에 대해 모두 단사이다.

오비폴드는 디폴로지의 일반적인 틀에서 정의될 수 있으며, 이치로 사타케의 원래 정의와 동등함이 증명되었다. 오비폴드의 기본군은 디폴로지 공간으로서의 기본군과는 같지 않다.

기하학적 군론에서의 응용을 위해, '오비스페이스'라는 개념을 사용하기도 한다. 오비스페이스는 위상 공간에 대해 오비폴드가 다양체에 대해 갖는 관계와 같으며, 오비폴드 개념의 위상적 일반화이다. 오비폴드 차트의 모델을 유한군의 강성 작용을 갖는 국소 콤팩트 공간으로 대체하여 정의한다.

X를 차트가 측지 길이 공간인 메트릭 공간 구조를 갖춘 오비스페이스라고 할 때, 오비폴드에 대한 앞선 정의와 결과는 개발 가능성에 대한 유사한 기준을 가지고 오비스페이스 기본군 및 보편 피복 오비스페이스의 정의를 제공하도록 일반화될 수 있다.

3.1. 사타케-서스턴 오일러 지표

오비폴드 $X$에 세포 복합체의 구조를 주고, 각 세포 $c$의 내부가 국소적 군 $\backslash Gamma\_i$의 작용에 불변이라고 하자. 그렇다면 $X$의 (사타케-서스턴) 오일러 지표는 다음과 같다.

:$\backslash chi(X)=\backslash sum\_c\backslash frac\{(-1)^\{\backslash dim\; c\}\}$

* 경계가 없는 모든 다양체는 자명하게 오비폴드이며, 여기서 각 그룹은 자명군이다.
* 만약 N이 콤팩트한 경계가 있는 다양체라면, 그 이중 M은 N의 복사본과 그 거울상을 접착하여 형성될 수 있다.
* 만약 M이 이산군의 적절한 등거리 작용을 갖는 리만 n-다양체라면, 궤도 공간은 자연스러운 오비폴드 구조를 갖는다.
* 앙리 푸앵카레의 고전적인 정리는 쌍곡 반사군으로서 푸흐시안 군을 구성한다.
* 만약 M이 닫힌 2-다양체라면, M에서 유한 개의 분리된 닫힌 원반을 제거하고 회전의 유한 순환군인 Γ_i가 있는 닫힌 단위 원반 D의 복사본을 다시 접착하여 새로운 오비폴드 구조를 M에 정의할 수 있다.

5. 역사

사타케 이치로(佐武 一郎^일본어)가 1956년에 ‘V-다양체’(V-manifold^영어)라는 이름으로 정의하였다. 윌리엄 서스턴이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’(orbifold^영어)라는 이름을 붙였다.

‘오비폴드’(orbifold^영어)라는 이름은 orbit^영어 (궤도)과 manifold^영어 (다양체)를 합친 혼성어이다.

6. 오비공간

오비공간은 오비폴드의 개념을 위상 공간으로 일반화한 것이다. 오비폴드 차트의 모델을 유한군의 강성 작용을 갖는 국소 콤팩트 공간으로 대체하여 정의한다.

7. 군 복합체

모든 오비폴드는 군 복합체라는 추가적인 조합 구조와 연관된다.

7.1. 정의

추상 단순 복합체 Y 위의 군 복합체 (Y,f,g)는 다음으로 주어진다.

* Y의 각 단순체 σ에 대한 유한군 Γ_σ
* σ ⊂ τ 일 때마다 단사 준동형 사상 f_στ : Γ_τ → Γ_σ
* 모든 포함 관계 ρ ⊂ σ ⊂ τ에 대해, (Ad g_ρστ)·f_ρτ = f_ρσ·f_στ가 되도록 하는 군 원소 g_ρστ in Γ_ρ (여기서 Ad는 수반 작용을 나타냄)

군 원소는 추가로 다음 공사슬 조건을 만족해야 한다.

:f_ρ(g_ρστ) g_πρτ = g_στ g_ρσ

모든 단순체 체인 π ⊂ ρ ⊂ σ ⊂ τ에 대해 (이 조건은 Y의 차원이 2 이하일 경우 자명하다.)

Γ_σ의 원소 h_στ를 선택하면 다음을 정의하여 동치인 군 복합체가 생성된다.

* f_στ = (Ad h_στ)·f_στ
* g_ρστ = h_ρσ·f_ρσ(h_στ)·g_ρστ·h_ρτ⁻¹

군 복합체는 g_ρστ = 1이 모든 곳에서 성립할 때 단순이라고 한다.
* 간단한 귀납적 논증을 통해, 모든 단순체 위의 군 복합체는 모든 곳에서 g_ρστ = 1인 군 복합체와 동치임을 알 수 있다.

Y의 바리 중심 세분으로 이동하는 것이 종종 더 편리하고 개념적으로 매력적이다. 이 세분의 꼭짓점은 Y의 단순체에 해당하므로 각 꼭짓점에는 그룹이 부착되어 있다. 바리 중심 세분의 가장자리는 자연스럽게 방향이 지정되어 있으며 (단순체의 포함 관계에 해당) 각 방향 가장자리는 그룹의 포함 관계를 제공한다. 각 삼각형에는 정확히 하나의 꼭짓점 그룹에 속하는 전이 원소가 부착되어 있으며, 사면체(존재하는 경우)는 전이 원소에 대한 공사슬 관계를 제공한다. 따라서 군 복합체는 바리 중심 세분의 3-골격만 포함하며, 단순한 경우에는 2-골격만 포함한다.

7.2. 예시

오비폴드는 오비폴드 차트에 의한 열린 덮개에 정규적으로 군 복합체를 연결할 수 있다. 비가환 층 이론과 게르브의 언어로, 이 경우의 군 복합체는 덮개 U_i와 관련된 군의 층으로 나타난다. 데이터 g_ρστ는 비가환 층 코호몰로지의 2-코사이클이며, 데이터 h_στ는 2-코바운더리 섭동을 제공한다.

7.3. 에지-경로 군

군 복합체의 에지-경로 군은 단순 복합체의 에지-경로 군을 일반화한 것이다. Y의 무게 중심 세분에서, i에서 j까지 엣지가 있고 주입 ψ_ij : Γ_i → Γ_j가 있으면, i에서 j까지의 엣지에 해당하는 생성자 e_ij를 취한다. Γ를 e_ij와 Γ_k에 의해 생성된 군으로 하고, 관계는 다음과 같다.

:e_ij⁻¹ · g · e_ij = ψ_ij(g)

(Γ_i의 g에 대해)

:e_ik = e_jk·e_ij·g_ijk

(i → j → k인 경우)

고정된 꼭짓점 i₀에 대해, 엣지-경로 군 Γ(i₀)는 모든 곱의 서브그룹으로 정의된다.

:g₀ · e_i0i1 · g₁ · e_i1i2 · ··· · g_n · e_ini0

여기서 i₀, i₁, ..., i_n, i₀는 엣지-경로이고, g_k는 Γ_ik에 속하며, i → j이면 e_ji=e_ij⁻¹이다.

7.4. 개발 가능 복합체

이산군 Γ의 단순 복합체 X에 대한 유한 몫을 갖는 단순한 적절한 작용이 정규이면, 몫 Y = X/Γ는 자연스러운 단순 복합체 구조를 갖는다. 군 복합체 Y가 이러한 방식으로 발생하면 개발 가능하다고 한다.

군 복합체가 개발 가능한 경우는 다음과 같다.
* Γ_σ의 준동형 사상이 에지-경로 군에 단사일 때.
* 각 단순체 σ에 대해 Γ_σ에서 고정된 이산군 Γ로의 단사 준동형 사상 θ_σ가 존재하여 θ_τ·f_στ = θ_σ일 때. 이 경우 단순 복합체 X는 표준적으로 정의된다. 즉, σ가 Y의 k-단순체이고 x가 Γ / Γ_σ에서 실행될 때, k-단순체(σ, xΓ_σ)를 갖는다. 일관성은 군 복합체의 제한이 단순체에 대한 사소한 코사이클 g_ρστ을 갖는 것과 동일하다는 사실을 사용하여 확인할 수 있다.

8. 오비헤드론

오비헤드론은 오비폴드의 단순 아날로그이며, 유한 단순 복합체 X와 그 무게 중심 세분화 X '를 기반으로 정의된다.

오비헤드론 구조는 다음과 같이 구성된다.

* X '의 각 꼭짓점 i에 대해, 유한군 Γ_i의 강성 단순 작용을 갖춘 단순 복합체 L_i'가 주어진다. 또한, L_i'에서 X '에서 i의 링크 L_i로 가는 단순 사상 φ_i가 존재하며, 이 사상은 몫 L_i' / Γ_i를 L_i와 동일시한다.

Γ_i의 L_i'에 대한 작용은 원뿔의 중심 i를 고정하면서 L_i' 위의 단순 원뿔 C_i(i와 L_i'의 단순 결합)에 대한 단순 작용으로 확장될 수 있다. 사상 φ_i는 i를 중심으로 옮기면서 C_i에서 i의 별 St(i)로 가는 단순 사상으로 확장된다. 따라서 φ_i는 C_i에서 i의 별의 몫인 C_i / Γ_i를 St(i)와 동일시하고 i에서 "오비헤드론 차트"를 제공한다.

* 만약 i → j → k라면, 다음과 같은 고유한 "전이 요소" g_ijk가 Γ_k에 존재한다.

:g_ijk·ψ_ik = ψ_jk·ψ_ij

이러한 전이 요소는 다음을 만족한다.

:(Ad g_ijk)·f_ik = f_jk·f_ij

뿐만 아니라 코사이클 관계도 만족한다.

:ψ_km(g_ijk)·g_ikm = g_ijm·g_jkm.

8.1. 정의

X'의 각 꼭짓점 i에 대해, 유한군 Γ_i의 강성 단순 작용을 갖춘 단순 복합체 L_i'가 존재한다. X'의 각 방향 모서리 i → j에 대해, Γ_i에서 Γ_j로의 단사 준동형 사상 f_ij와 C_i에서 C_j로 가는 Γ_i 등변 단순 "접착 사상" ψ_ij가 존재한다. 접착 사상은 차트와 호환되며(φ_j·ψ_ij = φ_i), 군 요소와의 합성을 제외하고 고유하다.

8.2. 주요 성질

* 오비헤드론의 군론적 데이터는 X 상에서 군 복합체를 제공한다.
* X 상의 모든 군 복합체는 X 상의 본질적으로 유일한 오비헤드론 구조와 연관된다.
* 오비헤드론 기본군은 연관된 군 복합체의 가장자리 경로 군이다.
* 모든 오비헤드론은 자연스럽게 오비공간이다.

9. 삼각군

기하학적 군론에서 오비폴드를 적용하는 중요한 사례 중 하나가 삼각군이다. 이는 세르의 나무에 관한 강의에서 논의된 1차원 "군 간의 간격"을 일반화한 2차원 예시이며, 합동 자유 곱은 나무에 대한 작용의 관점에서 연구된다. 이러한 삼각군은 이산군이 SL₃(Q_p)에 대한 아핀 브루아트-티츠 건물의 삼각형에 단순 추이적으로 작용할 때마다 발생한다. 1979년 멈포드는 사영 공간과 동형이 아니지만 동일한 베티 수를 갖는 대수 곡면을 생성하기 위한 단계로 p = 2에 대한 첫 번째 예를 발견했다(멈포드의 예시 참조). 삼각군은 게르스텐과 스탤링스에 의해 자세히 연구되었으며, 위에 설명된 보다 일반적인 경우의 군 복합체는 하에플리거에 의해 독립적으로 개발되었다. 유한하게 제시된 군을 비양의 곡률을 갖는 거리 공간의 관점에서 분석하는 기본적인 기하학적 방법은 그로모프가 제시했다. 이러한 맥락에서 삼각군은 군의 정규 작용을 갖는 비양의 곡률을 갖는 2차원 단체 복합체에 해당하며, 이는 삼각형에 추이적이다.

삼각군은 꼭짓점 A, B, C로 구성된 군의 단순한 복합체이다. 각 꼭짓점에는 군 Γ_A, Γ_B, Γ_C가 있고, 각 변에는 군 Γ_BC, Γ_CA, Γ_AB가 있으며, 삼각형 자체에는 군 Γ_ABC가 있다.

Γ_ABC에서 다른 모든 군으로, 그리고 변 군 Γ_XY에서 Γ_X 및 Γ_Y로의 단사 준동형 사상이 존재한다. Γ_ABC를 꼭짓점 군에 매핑하는 세 가지 방법은 모두 일치한다. (종종 Γ_ABC는 자명군이다.) 해당 오비 공간에 대한 유클리드 거리 구조는 오비헤드론 차트의 각 꼭짓점의 링크 둘레가 6 이상일 때에만 비양의 곡률을 갖는다.

각 꼭짓점에서의 이 둘레는 항상 짝수이며, 스탤링스가 관찰했듯이, 예를 들어 꼭짓점 A에서 변 군 Γ_AB와 Γ_AC의 Γ_ABC에 대한 합동 자유 곱에서 Γ_A로의 자연 준동형 사상의 커널에서 가장 작은 단어의 길이로 설명할 수 있다.

:$\backslash Gamma\_\{AB\}\; \backslash star\_\{\backslash ,\backslash Gamma\_\{ABC\}\}\; \backslash Gamma\_\{AC\}\; \backslash rightarrow\; \backslash Gamma\_A.$

유클리드 거리 구조를 사용한 결과는 최적이 아니다. 스탤링스는 꼭짓점 A, B, C'에서의 각 α, β, γ를 둘레를 2π로 나눈 값으로 정의했다. 유클리드 경우 α, β, γ ≤ π/3이다. 그러나 α + β + γ ≤ π가 요구되는 경우, 삼각형을 쌍곡 평면의 푸앵카레 계량을 갖는 해당 측지 삼각형(또는 등식이 성립하는 경우 유클리드 평면)과 식별할 수 있다. 쌍곡 중앙선이 쌍곡 무게 중심에서 교차한다는 것은 쌍곡 기하학의 고전적인 결과이다. 이는 친숙한 유클리드 경우와 마찬가지이다. 이 모델의 무게 중심 세분화 및 메트릭은 해당 오비 공간에 비양의 곡률 메트릭 구조를 생성한다. 따라서 α+β+γ≤π인 경우,
* 삼각군의 오비 공간은 전개 가능하다.
* 삼각군의 공극한으로 설명할 수도 있는 해당 변-경로 군은 무한하다.
* 꼭짓점 군에서 변-경로 군으로의 준동형 사상은 단사 사상이다.

9.1. 멈포드의 예시

멈포드는 p = 2에 대한 삼각군의 첫 번째 예를 발견하여 사영 공간과 동형이 아니지만 동일한 베티 수를 갖는 대수 곡면을 생성했다.

α = $\backslash sqrt\{-7\}$를 Q₂에서 (1 - 8)^1/2의 이항 전개로 주어지고, K = Q(α) $\backslash subset$ Q₂로 설정한다.

: ζ = exp 2i/7

: λ = (α - 1)/2 = ζ + ζ² + ζ⁴

: μ = λ/λ*.

E = Q(ζ)를 1, ζ, ζ²를 기저로 하는 K 위의 3차원 벡터 공간으로 한다. E에서 다음과 같이 K-선형 연산자를 정의한다.

* σ는 K 위의 E의 갈루아 군의 생성자로, σ(ζ) = ζ²로 주어지는 차수 3의 원소이다.
* τ는 E에서 ζ에 의한 곱셈 연산자로, 차수 7의 원소이다.
* ρ는 ρ(ζ) = 1, ρ(ζ²) = ζ 및 ρ(1) = μ·ζ²로 주어지는 연산자이며, 따라서 ρ³은 스칼라 곱셈 by μ이다.

원소 ρ, σ, τ는 GL₃(K)의 이산 부분군을 생성하며, 이는 Q₂에 해당하는 아핀 브루아트-티츠 빌딩에 대해 고유하게 작용한다. 이 군은 빌딩 내의 모든 꼭짓점, 변 및 삼각형에 대해 추이적으로 작용한다. 다음과 같이 정의한다.

: σ₁ = σ, σ₂ = ρσρ⁻¹, σ₃ = ρ²σρ⁻².

그러면,

* σ₁, σ₂ 및 σ₃는 SL₃(K)의 부분군 Γ을 생성한다.
* Γ는 ρ에 의한 켤레에 대해 불변인 σ 및 τ에 의해 생성된 가장 작은 부분군이다.
* Γ는 빌딩의 삼각형에 단순 추이적으로 작용한다.
* 변의 안정자가 σ_i에 의해 생성된 차수 3의 부분군인 삼각형 Δ가 존재한다.
* Δ의 꼭짓점의 안정자는 꼭짓점에서 만나는 변을 안정시키는 두 개의 차수 3의 원소에 의해 생성된 차수 21의 프로베니우스 군이다.
* Δ의 안정자는 자명하다.

원소 σ 및 τ는 꼭짓점의 안정자를 생성한다. 이 꼭짓점의 링크는 SL₃(F₂)의 구면 빌딩과 동일시될 수 있으며, 안정자는 점을 고정하는 3배 대칭 σ와 모든 7개의 점의 순환 순열 τ로 생성되는 공선형 군과 동일시될 수 있으며, 이는 στ = τ²σ를 만족한다. F₈*를 파노 평면과 동일시하면, σ는 F₈의 프로베니우스 자기 동형사상 σ(x) = x²²의 제한으로 취할 수 있고, τ는 유한체의 곱셈 그룹의 차수 7 생성자인 F₂에 속하지 않는 임의의 원소에 의한 곱셈, 즉 F₈의 순환에 의해 취할 수 있다. 이 프로베니우스 군은 파노 평면의 21개의 깃발, 즉 표시된 점이 있는 선에 대해 단순 추이적으로 작용한다. 따라서 E에 대한 σ 및 τ의 공식은 F₈에 대한 공식을 "올린다".

멈포드는 또한 Γ₁ = <ρ, σ, τ, −I>의 부분군으로 이동하여 빌딩의 꼭짓점에 단순 추이적으로 작용하는 것을 얻는다. 군 Γ₁은 Q(ζ)에 대한

: f(x,y) = xy* + σ(xy*) + σ²(xy*)

의 Q(α) 값을 갖는 에르미트 형식을 보존하며 U₃(f) GL₃(S)와 동일시될 수 있으며, 여기서 S = Z[α,]. S/(α) = F₇이므로, 군 Γ₁에서 GL₃(F₇)으로의 준동형사상이 존재한다. 이 작용은 F₇³의 2차원 부분 공간을 불변으로 유지하므로 Γ₁에서 SL₂(F₇), 차수 16·3·7의 군으로의 준동형사상 Ψ를 생성한다. 한편, 꼭짓점의 안정자는 차수 21의 부분군이며 Ψ는 이 부분군에서 단사이다. 따라서 합동 부분군 Γ₀가 SL₂(F₇)의 2-실로우 부분군의 Ψ 아래에서의 역상으로 정의된다면, Γ₀가 꼭짓점에 작용하는 것은 단순 추이적이어야 한다.

10. 2차원 오비폴드

2차원 오비폴드는 다음과 같은 세 가지 유형의 특이점을 갖는다.

* 경계점
* n차 타원점 또는 자이레이션 점 (예: 회전 차수가 n인 순환군으로 몫을 취한 R²의 원점)
* n차 코너 반사기 (2n차 이면군으로 몫을 취한 R²의 원점)

콤팩트 2차원 오비폴드는 다음 식으로 주어지는 오일러 지표 $\backslash chi$를 갖는다.

:$\backslash chi=\; \backslash chi(X\_0)\; -\; \backslash sum\_\{i\}(1\; -\; 1/n\_i)/2\; -\; \backslash sum\_\{i\}\; (1\; -\; 1/m\_i\; )$

여기서 $\backslash chi(X\_0)$는 기본 위상다양체 $X\_0$의 오일러 지표이고, $n\_i$는 코너 반사기의 차수이며, $m\_i$는 타원점의 차수이다.

2차원 컴팩트 연결 오비폴드는 오일러 지표의 부호에 따라 분류된다. 오일러 지표가 0보다 작으면 쌍곡 구조, 0이면 유클리드 구조, 양수이면 나쁜 구조이거나 타원 구조를 갖는다. 여기서 '나쁜' 구조는 피복 공간으로 다양체를 갖지 않는 경우를 말한다. 즉, 보편 피복 공간은 쌍곡, 유클리드 또는 구면 구조를 갖는다.

쌍곡 구조가 아닌 컴팩트 2차원 연결 오비폴드는 아래 표에 나열되어 있으며, 17개의 포물선 오비폴드는 평면을 17개의 벽지군으로 나눈 몫이다.

11. 3차원 오비폴드

오비폴드 정리: M을 작은 3-다양체라고 하고, φ를 M의 비자명한 주기적 방향 보존 미분동형사상이라고 할 때, M은 φ-불변 쌍곡 구조 또는 세이페르트 섬유화를 허용한다.

이 정리는 1981년에 증명 없이 발표된 오비폴드 정리의 특수한 경우이며, 3-다양체에 대한 그의 기하화 추측의 일부이다. 특히, X가 비어 있지 않은 특이점을 가진 콤팩트하고, 연결되었으며, 가향적이고, 기약적이며, 아토로이드 3-오비폴드인 경우, M은 (오비폴드의 의미에서) 기하학적 구조를 갖는다. 이 정리의 완전한 증명은 2005년에 Boileau, Leeb & Porti에 의해 출판되었다.

12. 응용

끈 이론에서 오비폴드는 칼라비-야우 다양체와 같은 다양체 축소화 과정에 중요하게 사용된다. 초끈 이론의 현상론적 모형은 10차원 끈이 4차원 시공간에서 관측되기 위해 차원 축소를 필요로 한다. 초대칭을 포함하는 현실적인 4차원 모형에서 축소된 공간은 6차원 칼라비-야우 다양체가 된다.

오비폴드는 특이점으로 인해 칼라비-야우 다양체의 퇴화된 형태를 띄지만, 이론 물리학에서는 수용 가능하다. 이러한 오비폴드는 "초대칭"적이며 일반적인 칼라비-야우 다양체보다 연구가 용이하다.

거울 대칭은 끈 이론에서 칼라비-야우 다양체 연구와 서로 다른 끈 이론 모형(IIA형과 IIB형) 간의 이중성에서 비롯되었다. Dixon, Harvey, Vafa, Witten은 오비폴드의 역할을 초기에 제시하였다.

드미트리 티모츠코는 오비폴드를 음악 이론에 적용하여, n개의 구별되지 않는 음표로 구성된 화음을 오비폴드 $T^n/S\_n$의 점으로 표현했다.

2음정은 닫힌 뫼비우스 띠로, 3화음은 120° 꼬인 삼각 기둥 형태의 오비폴드로 나타난다. 티모츠코는 중심 근처의 화음(균일하거나 거의 균일한 간격의 음표)이 전통적인 서양 화성의 기반이며, 시각화가 분석에 유용하다고 주장한다.