공간군

1. 개요

공간군은 결정 구조의 대칭성을 나타내는 수학적 개념으로, 2차원과 3차원에서 연구되어 왔다. 2차원 공간군은 17개의 벽지군으로 분류되며, 3차원 공간군은 230개의 공간군으로 분류된다. 공간군은 단위 격자의 병진 대칭, 반사, 회전, 회전반사 등의 대칭 작용과 나사축, 글라이드면의 조합으로 구성된다. 공간군은 헤르만-모갱 표기법, 쇤플리스 표기법 등 다양한 표기법으로 표현되며, 결정계, 브라베 격자, 결정족 등에 따라 분류될 수 있다. 3차원 공간군은 심몰픽과 논심몰픽 공간군으로 나뉘며, 결정학 및 재료 과학 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 역사

2차원 공간군은 수 세기 동안 알려져 온 17개의 벽지군이며, 그 목록이 완전하다는 증명은 훨씬 더 어려운 3차원 공간군의 분류가 대부분 완료된 후인 1891년에야 이루어졌다.

1879년, 독일 수학자 레온하르트 존케는 그 구성원들이 카이랄성을 유지하는 65개의 공간군(존케 군이라고 불림)을 나열했다. 보다 정확히 말하면 그는 66개의 군을 나열했지만, 러시아 수학자이자 결정학자인 예브그라프 페도로프와 독일 수학자 아르투르 모리츠 쇤플리스는 그중 두 개가 실제로 동일하다는 것을 알아챘다. 3차원 공간군은 1891년 페도로프에 의해 처음으로 열거되었고 (그의 목록에는 두 개의 누락(I3d 및 Fdd2)과 하나의 중복(Fmm2)이 있었다), 얼마 후인 1891년 쇤플리스에 의해서도 독립적으로 열거되었다. (그의 목록에는 네 개의 누락(I3d, Pc, Cc, ?)과 하나의 중복(P2₁m)이 있었다). 230개의 공간군에 대한 정확한 목록은 페도로프와 쇤플리스 간의 서신 교환을 통해 1892년에 발견되었다. 윌리엄 바로우는 나중에 다른 방법으로 군을 열거했지만, 페도로프와 쇤플리스로부터 이미 230개의 공간군에 대한 정확한 목록을 가지고 있었음에도 불구하고 네 개의 군(Fdd2, I2d, P2₁d, 및 P2₁c)을 누락시켰다.

3. 공간군의 구성 요소

공간군은 단위 격자의 병진 대칭(격자 중심 포함), (수학)반사, 회전, 반전회전(회전반전이라고도 함)의 점군 대칭 작용, 그리고 나사축과 글라이드면 대칭 작용의 조합으로 이루어진다. 이러한 대칭 작용들은 3차원 공간에서 230개의 서로 다른 공간군으로 나타난다.

공간군에서 특정 공간의 점을 고정하는 요소는 항등원, 반사, 회전 및 회전반사(rotoinversion)를 포함한 반전 중심이다. 공간군 P1은 병진과 항등 요소만을 갖는다.

공간군 원소의 작용은 다음과 같은 공식으로 표현할 수 있다.

: y = M⋅x + D

여기서 M은 행렬, D는 벡터이며, 원소가 점 x를 점 y로 변환한다. 일반적으로 D = D(격자) + 이며, 는 M의 고유 함수이고 M이 항등원일 때 0이다. 행렬 M은 공간군의 기저가 되는 점군을 형성한다. 격자는 그 점군에 대해 대칭적이어야 하지만, 결정 구조 자체는 특정 점에 적용될 때(즉, 병진 없이) 그 점군에 대해 대칭적이지 않을 수 있다. 예를 들어, 다이아몬드 구조는 입방 점군이 적용되는 점이 없다.

미끄럼면과 나사축은 점군에는 존재하지 않지만, 공간군에서 나타나는 대칭 조작이다.

3.1. 미끄럼면과 나사축

어떤 한 면에 대해 평행하게 병진하면서 반사 조작이 나타나는 경우 이 면을 미끄럼면이라고 한다. 이 면은 병진이 일어나는 축에 따라 a나 b, 혹은 c로 나타낸다. n과 d미끄럼면도 있는데, n은 대각선 방향으로 단위 격자의 대각선 길이의 1/2만큼 병진하는 미끄럼면을 나타내고, d미끄럼면은 대각선 방향으로 1/4만큼 병진하는 미끄럼면을 나타낸다. d미끄럼면은 다이아몬드의 결정구조에서 볼 수 있기 때문에 '다이아몬드 미끄럼면'이라고도 한다.

어떤 한 축을 따라 회전 조작과 병진이 함께 나타날 때 그 축을 나사축이라고 한다. 나사축은 회전의 정도를 나타내는 숫자와 병진을 나타내는 숫자로 표현한다. 앞의 숫자는 몇 번 회전 조작을 하였을 때 1회전이 되는가를 표현한다(즉, 3이라면 3번 회전 조작을 해야 360도 회전하게 된다는 것을 나타낸다.). 병진의 정도는 그 뒤에 작게 표시하는데, 한 번의 회전 조작을 할 때(반시계방향임을 유의) 얼마나 병진하는지 격자벡터에 대한 비율로 표현한다. 예를 들어 2₁은 한 번 회전 조작을 할 때 격자벡터의 1/2만큼 병진하는 2회전 나사축을 말하며, 6₅는 한 번에 격자 벡터의 5/6 만큼 병진하는 6회전 나사축을 나타낸다.

17개의 공간군에서는 셀의 면심 배열로 인해 글라이드가 두 개의 서로 수직인 방향으로 동시에 발생한다. 즉, 같은 글라이드면을 b 또는 c, a 또는 b, a 또는 c라고 부를 수 있다. 예를 들어, Abm2 군은 Acm2라고도 할 수 있고, Ccca 군은 Cccb라고도 할 수 있다. 1992년에 이러한 평면에 대해 기호 e를 사용하는 것이 제안되었다. 다섯 개의 공간군에 대한 기호가 수정되었다.

4. 공간군의 표기법

국제 결정학 연합은 모든 공간군에 각각 다른 번호를 붙인 표를 출판하였다. 이 외에도 헤르만-모갱 표기법과 쇤플리스 표기법이 많이 쓰인다.

헤르만-모갱(혹은 국제) 표기법은 4개의 기호로 구성되며 결정학에서 가장 일반적으로 쓰이는 표기법이다. 첫 번째 기호는 브라베 격자에서의 격자 중심 배열(P, A, C, I, R 또는 F)을 나타내며, 그 뒤에 있는 3개의 기호는 대칭성이 높은 방향을 따라 투영하였을 때 나타나는 대칭 조작을 표현한다. 뒤 3개의 기호는 점군의 표현과 동일한데, 나사축과 미끄럼면의 표현이 추가된 것이다. 예를 들어 석영의 공간군은 P3₁21로 표현되는데, P는 격자 종류(Primitive cell)를 나타내고, 3₁21에서 3회전 나사축과 2회전축을 갖고 있음을 알 수 있다. 여기서 이 공간군이 어느 결정계에 포함되는지 명백하게 나타나지는 않지만, 뒤 3개의 점군을 나타내는 기호를 보면 쉽게 알 수 있다.(P3₁21의 경우 삼방정계에 포함된다.)

나사축은 축을 중심으로 한 회전에 이어 축 방향으로의 병진이 뒤따르는 변환이다. 이는 회전의 정도를 나타내는 숫자 n으로 표기되며, 이 숫자는 완전한 회전을 완료하기 위해 적용해야 하는 연산의 횟수를 의미한다(예: 3은 각각 축을 중심으로 1/3 회전을 의미). 그런 다음 병진의 정도가 아래첨자로 추가되어 축을 따라 병진이 평행 격자 벡터의 몇 분의 몇인지 보여준다. 따라서 2₁은 2회 회전에 이어 격자 벡터의 1/2만큼의 병진이 뒤따르는 것을 의미한다.

공간군에는 최소한 열 가지 이상의 명명법이 존재한다. 이러한 명명법 중 일부는 동일한 공간군에 여러 개의 다른 이름을 할당할 수 있으므로, 총 수천 개의 서로 다른 이름이 존재한다.

* 번호: 국제결정학연맹은 모든 공간군 종류의 표를 발행하고 각각 1부터 230까지의 고유 번호를 할당한다. 번호 매기기는 임의적이지만, 동일한 결정계 또는 점군을 가진 군에는 연속적인 번호가 부여된다.
* 국제 기호 표기법 ([[헤르만-모건 표기법]]): 격자와 군의 생성자를 설명한다. 국제 단축 기호라고 하는 축약된 형태를 가지며, 결정학에서 가장 일반적으로 사용되며 일반적으로 네 개의 기호 집합으로 구성된다. 첫 번째 기호는 브라베 격자의 면심 배열을 나타낸다. 다음 세 개는 결정의 고대칭 방향 중 하나를 따라 투영했을 때 보이는 가장 두드러진 대칭 연산을 설명한다. 이 기호들은 점군에서 사용되는 기호와 동일하며, 글라이드면과 나사축이 추가된다. 예를 들어, 석영의 공간군은 P3₁21이며, 이는 모티프의 원시 중심 배열과 삼중 나사축 및 이중 회전축을 나타낸다. 각 공간군에 고유하지만 결정계를 명시적으로 포함하지 않는다.

국제 단축 기호에서 첫 번째 기호(예: 3₁)는 주축(삼방정계의 경우 c축)을 따라 대칭을 나타내고, 두 번째 기호(예: 2)는 두 번째로 중요한 축(a 및 b)을 따라 대칭을 나타내고, 세 번째 기호는 다른 방향의 대칭을 나타낸다. 삼방정계의 경우 P3₁12 공간군도 존재한다. 이 공간군에서 이중 축은 a축과 b축을 따라 있지 않고 30° 회전된 방향에 있다.

일부 공간군의 국제 기호와 국제 단축 기호는 1935년과 2002년 사이에 약간 변경되었으므로, 여러 공간군은 현재 네 가지의 다른 국제 기호를 사용한다.

7개 결정계의 관찰 방향은 다음과 같다.

* 홀 표기법: 명시적인 원점을 가진 공간군 표기법이다. 회전, 병진 및 축 방향 기호는 명확하게 구분되고 반전 중심은 명시적으로 정의된다. 표기법의 구성과 형식은 대칭 정보의 컴퓨터 생성에 특히 적합하다. 예를 들어, 군 번호 3에는 세 가지 홀 기호가 있다: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
* [[쇤플리스 표기법#공간군|쇤플리스 표기법]]: 주어진 점군을 가진 공간군은 1, 2, 3, ...(국제 번호와 같은 순서로)으로 번호가 매겨지며, 이 번호는 점군에 대한 쇤플리스 기호에 위첨자로 추가된다. 예를 들어, 점군이 C₂인 군 번호 3~5는 쇤플리스 기호 C²₁, C²₂, C²₃를 갖는다.
* [[예브그라프 페도로프|페도로프]] 표기법
* [[알렉세이 바실리예비치 슈브니코프|슈브니코프]] 기호
* [[슈트룩투르베리히트 지정]]: 결정 구조에 대한 관련 표기법으로 문자와 색인을 사용한다.
* [[오비폴드 표기법 (2D)|오비폴드 표기법]] (2D) 및 [[파이브리폴드 표기법]] (3D): 공간군으로 유클리드 공간의 몫으로 주어지는 오비폴드를 설명한다. 콘웨이와 서스턴이 도입했으며, 수학 분야 외부에서는 거의 사용되지 않는다. 일부 공간군에는 여러 개의 서로 다른 파이브리폴드가 연관되어 있으므로 여러 개의 서로 다른 파이브리폴드 기호를 갖는다.
* [[콕세터 표기법]]: 순수 반사 콕세터 군의 변형으로 표현되는 공간 및 점 대칭 군.
* [[기하 대수|기하학적 표기법]]: 기하 대수 표기법.

공간군에서 대칭 조작은 회전 조작 α와 병진 조작 b가 결합되어 있다. 이 조작을 (α|b)로 나타낸다. 이를 자이츠 기호(Seitz notation, Seitz symbol) 등이라고 부른다. 회전이 없는 단순한 병진을 나타낼 때는, α 대신 ε을 사용하여 (ε|b)로 나타낸다.

:$(\backslash alpha|b)\backslash boldsymbol\; r\; =\backslash alpha\backslash boldsymbol\; r\; +b$

5. 공간군의 분류

공간군은 다양한 기준으로 분류될 수 있다. 2차원 공간군은 17개의 벽지군으로 분류된다.

3차원에서는 230가지의 결정학적 공간군 종류가 있는데, 이들은 거울상에 따라 구별되는 경우가 있어 219가지의 아핀 공간군 종류로 줄어들기도 한다. 이러한 종류는 거울상이성질체 특성(예: P3₁12와 P3₂12)에 따라 다르게 분류된다.

공간군을 분류하는 방법은 여러 가지가 있으며, 그 관계는 아래 표와 같다.

230종류의 공간군은 심몰픽 공간군과 논심몰픽 공간군으로 분류할 수 있다. 단순한 병진 조작과 결정점군을 조합하여 만들 수 있는 군을 심몰픽 공간군(또는 공형 공간군)이라고 하며, 73종류가 있다. 결정점군에 병진 조작을 더하면, 회전이나 반사와 같은 대칭 조작에 부분적인 병진 조작이 더해져 나선 조작이나 영진 조작(글라이드 조작)과 같은 새로운 대칭 조작이 생겨난다. 이 새로운 대칭 조작과의 조합으로 만들어지는 군을 논심몰픽 공간군(또는 비공형 공간군)이라고 하며, 157종류가 있다.

낮은 차원에서의 공간군 종류 수는 다음 표와 같다.

6. 2차원 공간군 (벽지군) 목록

벽지군(Wallpaper group^영어)은 2차원 평면에서 반복되는 무늬의 대칭성을 나타낸다. 17개의 벽지군이 존재하며, 각각은 국제 표기법, Schoenflies^독일어, 오비폴드 표기법 등으로 표현된다.

7. 3차원 공간군 목록

3차원 공간군은 결정 구조의 대칭성을 나타내며, 총 230개가 존재한다. 이들은 7개의 결정계에 속하는 14개의 브라베 격자와 32개의 결정학적 점군의 조합으로 이루어진다. 공간군은 단위 격자의 병진 대칭(반복)과 점군의 회전, 반사 등의 대칭 조작으로 표현된다. 또한, 공간군에는 점군에는 없는 나사축(회전+병진)과 미끄럼면(반사+병진)과 같은 대칭 조작도 나타난다.

2차원 공간군은 17개의 벽지군으로, 1891년에 3차원 공간군 분류가 완료된 후에야 그 목록이 완전하다는 것이 증명되었다. 1879년 독일의 레온하르트 ゾンケ(Leonhard Sohncke)는 카이랄성을 유지하는 65개의 공간군(존케 군)을 나열했다. 이후 러시아의 예브그라프 페도로프(Evgraf Fedorov)와 독일의 아르투르 모리츠 쇤플리스(Arthur Moritz Schoenflies)가 이 중 두 개가 동일함을 발견했다. 1891년 페도로프와 쇤플리스는 각각 3차원 공간군을 열거했으며, 1892년 서신 교환을 통해 230개의 공간군 목록을 확정지었다.

3차원 공간군은 단위세포의 병진 대칭, 점군 대칭 작용((수학)반사, 회전, 반전회전), 나사축, 글라이드면의 조합으로 표현된다. 단위세포 내 비대칭 단위의 복제본 수는 격자점 수와 점군 위수의 곱으로 계산되며, P1 공간군(1개)부터 Fmmm 공간군(192개)까지 다양하다.

다음은 3차원 공간군 목록을 나타내는 표이다.

공간군은 격자계와 이름의 첫 글자에 따라 브라베 격자가 결정된다. 비마름모체 군에서 P, I, F, A, C는 각각 단순, 체심, 면심, A면심, C면심 격자를 나타낸다. R로 시작하는 마름모체 공간군은 7개가 있다.

230종류의 공간군은 심몰픽(73개)과 논심몰픽(157개) 공간군으로 분류할 수 있다. 심몰픽 공간군은 단순 병진 조작과 결정점군을 조합하여 만들어진다. 논심몰픽 공간군은 결정점군에 병진 조작을 더하여 나선 조작이나 영진 조작(글라이드 조작)과 같은 새로운 대칭 조작을 생성하여 만들어진다.