달랑베르의 원리

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1. 개요
2. 정의
3. 수학적 표현
- 3.1. 유도
4. 구속력과 달랑베르의 원리
5. 일반화된 표현
- 5.1. 질량이 변하는 경우
- 5.2. 열역학으로의 확장
6. 동적 평형
7. 라그랑지안을 이용한 공식화
8. 응용
참조

1. 개요

달랑베르의 원리는 질량을 가진 입자계에 작용하는 힘과 계 자체의 운동량 시간 미분 간의 관계를 설명하는 역학의 기본 원리이다. 이 원리는 계의 구속 조건과 일치하는 임의의 가상 변위에 투영될 때 힘과 운동량 시간 미분의 차이의 합이 0이 된다고 정의하며, 수학적으로 표현할 수 있다. 달랑베르의 원리는 관성력을 도입하여 동적 문제를 정적 문제로 변환하는 데 사용되며, 열역학으로 확장하여 적용할 수 있다. 또한, 강체계의 동적 평형 상태를 분석하고, 라그랑지안을 사용하여 해밀턴의 원리로 일반화할 수 있다.

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달랑베르의 원리

2. 정의

달랑베르의 원리는 질량을 가진 입자계에 작용하는 힘과 계 자체의 운동량의 시간 미분의 차이의 합이, 계의 구속 조건과 일치하는 임의의 가상 변위에 투영될 때 0이 된다는 원리를 설명한다. 수학적 표기법으로 달랑베르의 원리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\sum_i ( \mathbf F_i - m_i \dot\mathbf{v}_i - \dot{m}_i\mathbf{v}_i)\cdot \delta \mathbf r_i = 0,$

여기서:

$i$ 는 계에서 특정 입자에 해당하는 변수를 나타내는 데 사용되는 정수이다.
$\mathbf {F}_i$ 는 $i$ 번째 입자에 작용하는 총 외력(구속력 제외)이다.
$m_i$ 는 $i$ 번째 입자의 질량이다.
$\mathbf v_i$ 는 $i$ 번째 입자의 속도이다.
$\delta \mathbf r_i$ 는 구속 조건과 일치하는 $i$ 번째 입자의 가상 변위이다.

뉴턴의 점 표기법은 시간에 대한 미분을 나타내는 데 사용된다. 위의 방정식은 종종 달랑베르의 원리라고 불리지만, 이러한 변분 형태로 처음으로 기술한 사람은 조제프 루이 라그랑주이다.^[5] 달랑베르의 공헌은 동역학계의 전체에서 구속력이 사라짐을 보여준 것이다. 즉, 일반화된 힘

\mathbf Q_j

에는 구속력을 포함할 필요가 없다는 것이다. 이것은 가우스의 최소 구속 원리와 동등하다.

3. 수학적 표현

달랑베르의 원리를 수식으로 나타내면 다음과 같다.^[10]

: $\delta W = \sum_{i=1}^{N} (F_i -\dot{p_i}) \delta x_i = 0$

여기서 각 문자의 의미는 다음과 같다.

문자	의미
i	계를 기술하는 좌표를 나타내는 지표
F_i	외부 힘의 i번째 성분
p_i	운동량의 i번째 성분
δx_i	가상 변위의 i번째 성분
δW	구속력이 한 일
N	계의 입자 수

벡터를 사용해 나타내면 다음과 같다.

: $\delta W = \sum_{n=1}^{N} (\mathbf{F}_n -\dot{\mathbf{p}_n}) \cdot \delta \mathbf{x}_n = 0$

여기서 각 문자의 의미는 다음과 같다.

문자	의미
n	입자를 나타내는 지표
F_n	n번째 입자의 외부 힘
p_n	n번째 입자의 운동량
δx_n	n번째 가상 변위
δW	구속력이 한 일
N	계의 입자 수

달랑베르의 원리는 질량을 가진 입자계에 작용하는 힘과 계 자체의 운동량의 시간 미분의 차이의 합이, 계의 구속 조건과 일치하는 임의의 가상 변위에 투영될 때 0이 된다는 원리를 설명한다. 따라서 수학적 표기법으로 달랑베르의 원리는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[5]

: $\sum_i ( \mathbf F_i - m_i \dot\mathbf{v}_i - \dot{m}_i\mathbf{v}_i)\cdot \delta \mathbf r_i = 0,$

여기서 사용된 각 문자의 의미는 다음과 같다.

문자	의미
$i$	계에서 특정 입자에 해당하는 변수를 나타내는 데 사용되는 정수
$\mathbf {F}_i$	$i$ 번째 입자에 작용하는 총 외력(구속력 제외)
$m_i$	$i$ 번째 입자의 질량
$\mathbf v_i$	$i$ 번째 입자의 속도
$\delta \mathbf r_i$	구속 조건과 일치하는 $i$ 번째 입자의 가상 변위

이 식에서 시간에 대한 미분은 뉴턴의 점 표기법을 사용하여 나타낸다.

이러한 변분 형태로 처음으로 이 원리를 기술한 사람은 조제프 루이 라그랑주이다.^[5] 달랑베르의 공헌은 동역학계의 전체에서 구속력이 사라짐을 보여준 것이다. 즉, 일반화된 힘 $\mathbf Q_j$ 에는 구속력을 포함할 필요가 없다는 것이다. 이것은 가우스의 최소 구속 원리와 동등하다.

일정 질량을 가진 입자계에 대한 뉴턴의 법칙을 생각해 보자. $i$ 번째 입자에 작용하는 전체 힘은^[6]

: $\mathbf {F}_{i}^{(T)} = m_i \mathbf {a}_i,$

이다. 여기서

$\mathbf {F}_{i}^{(T)}$ 는 계의 입자에 작용하는 전체 힘이고,
$m_i \mathbf {a}_i$ 는 전체 힘에 의한 관성력이다.

관성력을 좌변으로 옮기면 준정적 평형을 나타내는 것으로 간주할 수 있는 식을 얻지만, 이는 단지 뉴턴의 법칙을 약간 대수적으로 조작한 것에 불과하다.^[6]

:

\mathbf {F}_{i}^{(T)} - m_i \mathbf {a}_i = \mathbf 0.

계의 임의의 가상 변위

\delta \mathbf r_i

를 통해 전체 힘과 관성력이 함께 하는 가상일

\delta W

를 고려하면, 관련된 힘의 합이 각 입자에 대해 0이 되므로 0 항등식이 된다.^[6]

:

\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i} m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0

일의 표현식이 임의의 변위에 대해 성립해야 함을 인식함으로써 원래의 벡터 방정식을 복구할 수 있다. 전체 힘을 외력

\mathbf F_i

와 구속력

\mathbf C_i

로 분리하면^[6]

:

\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i + \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i} m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0.

임의의 가상 변위가 구속력에 직교하는 방향이라고 가정하면(일반적으로 그렇지 않으므로 이 유도는 특수한 경우에만 적용됨), 구속력은 일을 하지 않는다. 즉,

\sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i = 0

이다. 이러한 변위는 구속 조건과 ''일치한다''고 한다.^[7] 이것은 동역학계에 대한 ''달랑베르의 원리''를 공식화하는데 이르게 한다. 달랑베르의 원리는 외력과 관성력의 차이가 가상일을 하지 않는다는 것을 나타낸다.^[6]

:

\delta W = \sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0.

3. 1. 유도

N개의 입자로 이루어진 동역학계의 운동법칙을 뉴턴 법칙을 사용하여 나타내면 다음과 같다.

:

\dot{\mathbf{p}_n} = \mathbf{F}_n + \mathbf{C}_n

여기서 '''C'''_n은 n번째 입자의 구속력이다. 여기에 가상변위 δ'''x'''로 내적을 취해주면 다음을 얻는다.

:

\sum_{n=1}^N \dot{\mathbf{p}_n} \cdot \delta \mathbf{x}_n = \sum_{n=1}^N ( \mathbf{F}_n + \mathbf{C}_n ) \cdot \delta \mathbf{x}_n

위 식을 한변으로 모으면,

:

\sum_{n=1}^N (\mathbf{F}_n + \mathbf{C}_n - \dot{\mathbf{p}_n}) \cdot \delta \mathbf{x}_n = 0

을 얻는다. 여기에 구속력이 한 일은 0이라는 달랑베르의 원리

:

\delta W = \sum_{n=1}^N \mathbf{C}_n \cdot \delta \mathbf{x}_n = 0

를 적용하면 위 식과 동등한 달랑베르의 원리의 수식화된 기술을 얻는다.^[10]

:

\delta W = \sum_{n=1}^{N} (\mathbf{F}_n -\dot{\mathbf{p}_n}) \cdot \delta \mathbf{x}_n = 0

4. 구속력과 달랑베르의 원리

달랑베르는 구속력의 특성에 대해서 다음을 알아내었다.

: 구속력 혹은 반작용 힘의 가상 변위에 대한 일의 양은 0이다.^[9]

예를 들어 평면 위에서 움직이는 입자를 생각해보자. 입자는 항상 평면 위에서 움직이지만 이를 구속하기 위한 힘은 항상 평면에 수직하게 된다. 따라서, 입자는 평면과 평행하게 움직이지만, 구속력은 평면에 수직하게 작용함을 의미한다. 따라서 구속력은 입자의 운동방향에 수직이 되고 일어나는 운동에 대해선 전혀 일을 해주지 않는다.

달랑베르의 원리는 질량을 가진 입자계에 작용하는 힘과 계 자체의 운동량의 시간미분의 차이의 합이, 계의 구속 조건과 일치하는 임의의 가상 변위에 투영될 때 0이 된다는 원리를 설명한다. 따라서 수학적 표기법으로 달랑베르의 원리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\sum_i ( \mathbf F_i - m_i \dot\mathbf{v}_i - \dot{m}_i\mathbf{v}_i)\cdot \delta \mathbf r_i = 0,$

여기서:

$i$ 는 계에서 특정 입자에 해당하는 변수를 나타내는 데 사용되는 정수이다.
$\mathbf {F}_i$ 는 $i$ 번째 입자에 작용하는 총 외력(구속력 제외)이다.
$m_i$ 는 $i$ 번째 입자의 질량이다.
$\mathbf v_i$ 는 $i$ 번째 입자의 속도이다.
$\delta \mathbf r_i$ 는 구속 조건과 일치하는 $i$ 번째 입자의 가상 변위이다.

뉴턴의 점 표기법은 시간에 대한 미분을 나타내는 데 사용된다. 위의 방정식은 종종 달랑베르의 원리라고 불리지만, 이러한 변분 형태로 처음으로 기술한 사람은 조제프 루이 라그랑주이다.^[5] 달랑베르의 공헌은 동역학계의 전체에서 구속력이 사라짐을 보여준 것이다. 즉, 일반화된 힘

\mathbf Q_j

에는 구속력을 포함할 필요가 없다는 것이다. 이것은 다소 복잡한 가우스의 최소 구속 원리와 동등하다.

일정 질량을 가진 입자계에 대한 뉴턴의 법칙을 생각해 보자.

i

번째 입자에 작용하는 전체 힘은^[6]

\mathbf {F}_{i}^{(T)} = m_i \mathbf {a}_i,

이다. 여기서

$\mathbf {F}_{i}^{(T)}$ 는 계의 입자에 작용하는 전체 힘이고,
$m_i \mathbf {a}_i$ 는 전체 힘에 의한 관성력이다.

관성력을 좌변으로 옮기면 준정적 평형을 나타내는 것으로 간주할 수 있는 식을 얻지만, 이는 단지 뉴턴의 법칙을 약간 대수적으로 조작한 것에 불과하다.^[6]

\mathbf {F}_{i}^{(T)} - m_i \mathbf {a}_i = \mathbf 0.

계의 임의의 가상 변위

\delta \mathbf r_i

를 통해 전체 힘과 관성력이 함께 하는 가상일

\delta W

를 고려하면, 관련된 힘의 합이 각 입자에 대해 0이 되므로 0 항등식이 된다.^[6]

\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i} m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0

일의 표현식이 임의의 변위에 대해 성립해야 함을 인식함으로써 원래의 벡터 방정식을 복구할 수 있다. 전체 힘을 외력

\mathbf F_i

와 구속력

\mathbf C_i

로 분리하면^[6]

\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i + \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i} m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0.

임의의 가상 변위가 구속력에 직교하는 방향이라고 가정하면(일반적으로 그렇지 않으므로 이 유도는 특수한 경우에만 적용됨), 구속력은 일을 하지 않는다. 즉,

\sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i = 0

이다. 이러한 변위는 구속 조건과 ''일치한다''고 한다.^[7] 이것은 동역학계에 대한 ''달랑베르의 원리''를 공식화하는데 이르게 한다. 달랑베르의 원리는 외력과 관성력의 차이가 가상일을 하지 않는다는 것을 나타낸다.^[6]

\delta W = \sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0.

정역학계에 대해서는 외력에 대한 가상일의 원리라는 대응 원리가 있다.

5. 일반화된 표현

달랑베르의 원리를 수식으로 나타내면 다음과 같다.^[10]

: $\delta W = \sum_{i=1}^{N} (F_i -\dot{p_i}) \delta x_i = 0$

여기서 각 문자의 의미는 다음과 같다.

문자	의미
i	계를 기술하는 좌표를 나타내는 지표
F_i	외부 힘의 i번째 성분
p_i	운동량의 i번째 성분
δx_i	가상 변위의 i번째 성분
δW	구속력이 한 일
N	계의 입자 수

벡터를 사용해 나타내면 다음과 같다.

: $\delta W = \sum_{n=1}^{N} (\mathbf{F}_n -\dot{\mathbf{p}_n}) \cdot \delta \mathbf{x}_n = 0$

여기서 각 문자의 의미는 다음과 같다.

문자	의미
n	입자를 나타내는 지표
F_n	n번째 입자의 외부 힘
p_n	n번째 입자의 운동량
δx_n	n번째 가상 변위
δW	구속력이 한 일
N	계의 입자 수

달랑베르의 원리는 입자계에 작용하는 힘과 운동량의 시간 미분 차이의 합이, 계의 구속 조건과 일치하는 임의의 가상 변위에 투영될 때 0이 된다는 것을 의미한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.^[5]

: $\sum_i ( \mathbf F_i - m_i \dot{\mathbf{v}_i} - \dot{m}_i\mathbf{v}_i)\cdot \delta \mathbf r_i = 0,$

여기서:

$i$ 는 계에서 특정 입자에 해당하는 변수를 나타내는 정수이다.
$\mathbf {F}_i$ 는 $i$ 번째 입자에 작용하는 총 외력(구속력 제외)이다.
$m_i$ 는 $i$ 번째 입자의 질량이다.
$\mathbf v_i$ 는 $i$ 번째 입자의 속도이다.
$\delta \mathbf r_i$ 는 구속 조건과 일치하는 $i$ 번째 입자의 가상 변위이다.

뉴턴의 점 표기법은 시간에 대한 미분을 나타낸다.

달랑베르의 원리에 따르면, 일반화된 힘

\mathbf Q_j

에는 구속력을 포함할 필요가 없다.

5. 1. 질량이 변하는 경우

달랑베르의 원리는 "계의 운동량의 미분"을 언급한다. 뉴턴의 제2법칙에 의해, 운동량의 1계 시간 미분은 힘이다. i번째 질량의 운동량은 질량과 속도의 곱이다.

:

\mathbf p_i = m_i \mathbf v_i

그리고 그 시간 미분은 다음과 같다.

:

\dot{\mathbf{p}}_i = \dot{m}_i \mathbf{v}_i + m_i \dot{\mathbf{v}}_i.

많은 응용에서 질량은 일정하며, 이 방정식은 다음으로 축소된다.

:

\dot{\mathbf{p}}_i = m_i \dot{\mathbf{v}}_i = m_i \mathbf{a}_i.

그러나, 어떤 응용에서는 변하는 질량(예를 들어, 감기거나 풀리는 사슬)이 포함되며, 이러한 경우

\dot{m}_i \mathbf{v}_i

와

m_i \dot{\mathbf{v}}_i

두 항 모두 남아 있어야 하며, 다음을 제공한다.

:

\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i - \dot{m}_i \mathbf{v}_i)\cdot \delta \mathbf r_i = 0.

5. 2. 열역학으로의 확장

달랑베르 원리는 열역학에도 확장하여 적용할 수 있다.^[4] 예를 들어, 단일 엔트로피 ''S''에 의존하고 질량

m_i

가 일정한 단열적으로 닫힌 열역학 계를 다음과 같은 라그랑지안으로 기술하는 경우,

:

L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},S,t) = \sum_i \frac{1}{2} m_i \dot { \mathbf{r} }_i^2 - V(\mathbf{r},S),

다음과 같이 표현된다.

:

\delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},S,t) dt + \sum_i\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf r_i dt= 0,

이전의 제약 조건

\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \delta \mathbf{r} _i=0

와

\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i=0

은 엔트로피를 포함하도록 다음과 같이 일반화된다.

$\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \delta \mathbf{r} _i+T \delta S=0$
$\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i+T \dot S=0.$

여기서

T=\partial V/\partial S

는 계의 온도이고,

\mathbf{F}_i

는 외력이며,

\mathbf{C}_i

는 내부 소산력이다. 이는 다음과 같은 기계적 및 열적 평형 방정식을 유도한다.^[4]

:

m_i\mathbf{a}_i=- \frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_i}+ \mathbf{C}_i+\mathbf{F}_i, \;\;i=1,...,N \qquad \qquad T \dot  S = -\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i.

이 원리의 전형적인 적용 사례로는 열역학적 시스템, 막 수송 및 화학 반응이 있다.

\delta S=\dot S=0

인 경우 고전적인 달랑베르 원리와 방정식이 회복된다.

6. 동적 평형

달랑베르는 관성력과 "관성 토크" 또는 모멘트를 더함으로써 가속하는 강체를 등가적인 정적 시스템으로 변환할 수 있음을 보였다. 관성력은 질량 중심을 통해 작용해야 하며 관성 토크는 어디든 작용할 수 있다. 그런 다음 이 "관성력과 모멘트"와 외력을 받는 정적 시스템으로 정확하게 분석할 수 있다. 장점은 등가 정적 시스템에서 질량 중심이 아닌 임의의 점에 대해 모멘트를 취할 수 있다는 것이다.^[8] 기계의 동역학 및 운동학 기초 과정에서도 이 원리는 기계의 링크가 움직일 때 작용하는 힘을 분석하는 데 도움이 된다. 공학 역학 교과서에서는 이것을 때때로 '달랑베르의 원리'라고 한다.

달랑베르의 원리에 따르면, 강체계는 계의 임의의 가상 변위에 대해 작용하는 힘과 관성력의 합의 가상 일이 0일 때 동적 평형 상태에 있다. 따라서, m개의 일반화 좌표를 가진 n개의 강체계의 동적 평형은 다음을 만족해야 한다.

$\delta W = \left(Q_1 + Q_1^*\right) \delta q_1 + \dots + \left(Q_m + Q_m^*\right) \delta q_m = 0,$

여기서 $\delta q_j$ 는 임의의 가상 변위 집합이고, $Q_j$ 는 일반화된 작용력이며, $Q^*_j$ 는 일반화된 관성력이다. 이 조건은 m개의 방정식을 갖는다.

$Q_j + Q^*_j = 0, \quad j=1, \ldots, m,$

이는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} -\frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j, \quad j=1,\ldots,m.$

결과는 강체계의 역학을 정의하는 m개의 운동 방정식 집합이다.

7. 라그랑지안을 이용한 공식화

달랑베르의 원리는 계의 라그랑지안 Lagrangian^영어 ''L''=''T''-''V''를 이용하여 일반화된 해밀턴의 원리로 다시 쓸 수 있다.

: $\delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},t) dt + \sum_i\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf r_i dt= 0,$

여기서

$\mathbf{r}=(\mathbf{r}_1,..., \mathbf{r} _N)$
$\mathbf{F}_i$ 는 작용하는 힘이다.
$\delta \mathbf{r}_i$ 는 제약 조건 $\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \delta \mathbf{r} _i=0$ 과 일치하는 i번째 입자의 가상 변위이다.
임계 곡선은 제약 조건 $\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i=0$ 을 만족한다.

라그랑지안

:

L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},t) = \sum_i \frac{1}{2} m_i \dot { \mathbf{r} }_i^2,

을 사용하면 이전의 달랑베르 원리가 복원된다.

8. 응용

달랑베르 원리는 열역학에도 확장하여 적용할 수 있다.^[4] 예를 들어, 단일 엔트로피 ''S''에 의존하고 질량 $m_i$ 가 일정한 단열적으로 닫힌 열역학 계를 다음과 같은 라그랑지안으로 기술하는 경우,

$L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},S,t) = \sum_i \frac{1}{2} m_i \dot { \mathbf{r} }_i^2 - V(\mathbf{r},S),$

다음과 같이 표현된다.

$\delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},S,t) dt + \sum_i\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf r_i dt= 0,$

이전의 제약 조건 $\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \delta \mathbf{r} _i=0$ 와 $\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i=0$ 은 엔트로피를 포함하도록 다음과 같이 일반화된다.

$\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \delta \mathbf{r} _i+T \delta S=0$
$\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i+T \dot S=0.$

여기서

T=\partial V/\partial S

는 계의 온도이고,

\mathbf{F}_i

는 외력이며,

\mathbf{C}_i

는 내부 소산력이다. 이는 다음과 같은 기계적 및 열적 평형 방정식을 유도한다.^[4]

m_i\mathbf{a}_i=- \frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_i}+ \mathbf{C}_i+\mathbf{F}_i, \;\;i=1,...,N \qquad \qquad T \dot  S = -\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i.

이 원리의 전형적인 적용 사례로는 열역학적 시스템, 막 수송 및 화학 반응이 있다.

\delta S=\dot S=0

인 경우 고전적인 달랑베르 원리와 방정식이 회복된다.

참조

_[1] 서적 Variational principles of mechanics https://archive.org/[...] Toronto, University of Toronto Press 1964
_[2] 서적 Traité de dynamique https://books.google[...] 1743
_[3] 논문 On the Foundations of Analytical Dynamics https://web.archive.[...] 2002
_[4] 논문 From Lagrangian Mechanics to Nonequilibrium Thermodynamics: A Variational Perspective
_[5] 서적 Mechanics: Lectures on Theoretical Physics 1956
_[6] 서적 Advanced Dynamics for Engineers CBS College Publishing
_[7] 학회발표 Teaching Students Work and Virtual Work Method in Statics:A Guiding Strategy with Illustrative Examples http://search.asee.o[...] 2014-06-24
_[8] 서적 Introduction to statics and dynamics http://ruina.tam.cor[...] Oxford University Press
_[9] 서적 개정판 고전역학 서울대학교출판부 2006
_[10] 서적 개정판 고전역학 서울대학교출판부 2006

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