해밀턴의 원리

3. 수학적 설명

해밀턴의 원리는 $N$개의 일반화 좌표 $\backslash mathbf\{q\}\; =\; \backslash left(\; q\_\{1\},\; q\_\{2\},\; \backslash ldots,\; q\_\{N\}\; \backslash right)$로 표현되는 계의 운동이 작용 범함수의 극값(stationary point)을 따른다는 것을 의미한다. 작용 범함수는 다음과 같이 정의된다.

:$$

S[\mathbf{q}(t)] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\

\int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt



여기서 $L(\backslash mathbf\{q\},\backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\},t)$은 계의 라그랑지안이다.

이는 계의 실제 운동 경로는 작용 $S$의 미소 변화(일차 섭동)가 0이 되는 경로임을 뜻한다. 함수해석학적 표기를 사용하면, 해밀턴의 원리는 계의 진화가 다음 범함수 방정식의 해임을 의미한다.

:$$

\frac{\delta S}{\delta \mathbf{q}(t)}=0



여기서 기호 $\backslash delta$는 미소 변화를 의미한다.

3. 1. 라그랑지안과 작용

4. 미분방정식을 통한 고전역학 기술과의 비교

해밀턴의 원리는 라그랑주 방정식 및 해밀턴 방정식을 통해 기술되는 고전역학과 동등하다. 이 동등성은 최소작용 원리(해밀턴의 원리)를 통해 오일러-라그랑주 방정식을 유도함으로써 증명된다.

$\backslash mathbf\{q\}(t)$를 시간 $t\_\{1\}$ 와 $t\_\{2\}$일 때 계의 상태 $\backslash mathbf\{q\}\_\{1\}\; =\; \backslash mathbf\{q\}(t\_\{1\})$ 와 $\backslash mathbf\{q\}\_\{2\}\; =\; \backslash mathbf\{q\}(t\_\{2\})$ 사이의 진화라고 하고, 일반화 좌표 $\backslash mathbf\{q\}$를 가상적으로 $\backslash delta\; \backslash mathbf\{q\}(t)$ 변분했을 때, 양 끝에서 계의 상태가 정해져 있으므로 $\backslash delta\; \backslash mathbf\{q\}(t)$의 값은 0이 된다.

:$\backslash delta\; \backslash mathbf\{q\}(t\_1)\; =\; 0$

:$\backslash delta\; \backslash mathbf\{q\}(t\_2)\; =\; 0$

경로가 변함에 따라 작용이 어떻게 변하는지 알아보기 위해 작용에 변분을 취하면 다음과 같다.

:$\backslash delta\; S\; =\; \backslash delta\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\; L(\backslash mathbf\{q\},\backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\},t)\backslash ,\; dt\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\; \backslash left[\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}\; \backslash delta\; q\_i\; +\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i\; \}\; \backslash delta\; \backslash dot\{q\}\_i\; \backslash right]\backslash ,\; dt$

여기서 마지막 항에 부분적분을 적용하고, 양 끝에서 경로의 변분이 0임을 이용하면,

:$\backslash delta\; S\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash left[\; \backslash int\_\{t\_\{1\}\}^\{t\_\{2\}\}\; \backslash delta\; q\_i\; \backslash left(\; \{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}\; -\; \{d\; \backslash over\; dt\}\{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i\}\; \backslash right)\; dt\; \backslash right]$

를 얻는다. 해밀턴의 원리에 따르면 이 변분의 값이 0이므로,

:$\{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; q\_i\}\; -\; \{d\; \backslash over\; dt\}\{\backslash partial\; L\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i\}\; =0$

이 성립한다. 이 식은 라그랑주 방정식과 일치하며, 오일러-라그랑주 방정식이라고 불린다. 따라서 최소작용 원리는 미분방정식을 사용한 고전역학 기술과 동등하다.

5. 변형 가능체에의 응용

해밀턴의 원리는 탄성동역학에서 중요한 변분 원리이다. 강체로 구성된 계와는 달리, 변형 가능한 물체는 무한한 자유도를 가지며 공간의 연속 영역을 차지한다. 따라서 계의 상태는 공간과 시간의 연속 함수를 사용하여 설명된다. 이러한 물체에 대한 확장된 해밀턴 원리는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:$$\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash left[\; \backslash delta\; W\_e\; +\; \backslash delta\; T\; -\; \backslash delta\; U\; \backslash right]dt\; =\; 0$$

여기서 는 운동 에너지, 는 탄성 에너지, 는 물체에 작용하는 외력이 하는 일, 그리고 , 는 초기 시간과 최종 시간이다. 계가 보존적이라면, 외력이 하는 일은 스칼라 퍼텐셜 로부터 유도될 수 있다. 이 경우,^[1]

:$$\backslash delta\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; \backslash left[\; T\; -\; (U\; +\; V)\; \backslash right]dt\; =\; 0.$$

이것을 해밀턴의 원리라고 하며, 좌표 변환에 대해 불변이다.^[1]

6. 모페르튀의 원리와의 비교

모페르튀의 원리와 해밀턴의 원리는 때때로 혼동되며, 둘 다 작용의 최소 원리라고 불리기도 한다. 두 원리는 다음 세 가지 중요한 면에서 차이가 있다.

7. 장(Field)에 대한 작용 원리

작용 원리는 전자기장이나 중력과 같은 장의 운동 방정식을 얻기 위해 확장될 수 있다.

7. 1. 고전장론

7. 2. 양자역학 및 양자장론

8. 한국의 관점

대한민국에서는 해밀턴의 원리가 물리학, 공학 분야에서 널리 활용되고 있으며, 특히 우주항공 분야에서 활발하게 응용된다.