대칭 모노이드 범주

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1. 개요

대칭 모노이드 범주는 모노이드 범주에 추가적인 조건을 만족하는 범주로, 두 대상의 텐서곱을 교환하는 자연 동형 사상이 존재한다. 구체적으로, 대칭 모노이드 범주는 결합자와의 호환 및 멱등성 조건을 만족하는 모노이드 범주이다. 이러한 구조는 꼬임 모노이드 범주의 특수한 경우이며, 데카르트 모노이드 범주와 같은 다양한 예시를 포함한다. 손더스 매클레인이 1963년에 처음 정의했으며, 앙드레 주아요와 로스 하워드 스트리트가 꼬임 모노이드 범주 개념을 도입했다.

대칭 모노이드 범주

범주 이론

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대칭 모노이드 범주

분야	범주론

구조

포함	모노이드 범주
같이 포함	매듭 이론, 양자장론

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 꼬임 모노이드 범주
- 2.2. 대칭 모노이드 범주
3. 성질
4. 예시
5. 관련 개념
6. 역사

2. 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 모노이드 범주 $(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$
* 함자 $\otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C,\;(X,Y)\mapsto X\otimes Y$ 와 $\otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C,\;(X,Y)\mapsto Y\otimes X$ 사이의 자연 동형 $\sigma\colon\otimes\Rightarrow\otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}$ . 여기서 $\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C$ , $(X,Y)\mapsto(Y,X)$ 는 곱범주 위의 표준적인 자연 동형이다.

이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각할 수 있다.

* (결합자와의 호환)
* (결합자의 역원과의 호환)
* (멱등성)

이 데이터가 (결합자와의 호환) 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 꼬임 모노이드 범주(braided monoidal category^영어)라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, symmetric monoidal category^영어)라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다.

2.1. 꼬임 모노이드 범주

모노이드 범주 $(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$ 와 자연 동형 $\sigma\colon\otimes\Rightarrow\otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}$ 가 주어졌을 때, 다음 두 조건을 만족하면 꼬임 모노이드 범주라고 한다.

* (결합자와의 호환) 임의의 대상 $X,Y,Z\in\mathcal C$ 에 대하여, $\alpha_{Y,Z,X}\circ\sigma_{X,Y\otimes Z}\circ\alpha_{X,Y,Z}=(\operatorname{id}_Y\otimes\sigma_{X,Z})\circ\alpha_{Y,X,Z}\circ(\sigma_{X,Y}\otimes\operatorname{id}_Z)$ . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
:: $\begin{matrix}(X\otimes Y)\otimes Z&\xrightarrow\sigma&(Y\otimes X)\otimes Z\\{\scriptstyle\alpha}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha\\X\otimes(Y\otimes Z)&&Y\otimes(X\otimes Z)\\{\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\(Y\otimes Z)\otimes X&\xrightarrow[\alpha]{}&Y\otimes(Z\otimes X)\\\end{matrix}$
* (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상 $X,Y,Z\in\mathcal C$ 에 대하여, $\alpha^{-1}_{Z,X,Y}\circ\sigma_{X\otimes Y,Z}\circ\alpha^{-1}_{X,Y,Z}=(\sigma_{X,Z}\otimes\operatorname{id}_Y)\circ\alpha^{-1}_{X,Z,Y}\circ(\operatorname{id}_X\otimes\sigma_{Y,Z})$ . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
:: $\begin{matrix}X\otimes(Y\otimes Z)&\xrightarrow\sigma& X\otimes(Z\otimes Y)\\{\scriptstyle\alpha^{-1}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha^{-1}\\(X\otimes Y)\otimes Z&&(X\otimes Z)\otimes Y\\{\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\Z\otimes(X\otimes Y)&\xrightarrow[\alpha^{-1}]{}&(Z\otimes X)\otimes Y\\\end{matrix}$

이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 꼬임 모노이드 범주(braided monoidal category^영어)라고 한다.

2.2. 대칭 모노이드 범주

모노이드 범주 $(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$ 와 자연 동형 $\sigma\colon\otimes\Rightarrow\otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}$ 가 주어졌을 때, 다음 두 조건을 만족하면 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, symmetric monoidal category^영어)라고 한다.

* (멱등성) 임의의 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 에 대하여, $\operatorname{id}_{X\otimes Y}=\sigma_{Y,X}\circ\sigma_{X,Y}$ . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

:: $\begin{matrix}X\otimes Y&\xrightarrow\sigma&Y\otimes X\\\|&\swarrow\scriptstyle\sigma\\X\otimes Y\end{matrix}$

* (결합자와의 호환) 임의의 대상 $X,Y,Z\in\mathcal C$ 에 대하여, $\alpha_{Y,Z,X}\circ\sigma_{X,Y\otimes Z}\circ\alpha_{X,Y,Z}=(\operatorname{id}_Y\otimes\sigma_{X,Z})\circ\alpha_{Y,X,Z}\circ(\sigma_{X,Y}\otimes\operatorname{id}_Z)$ . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

:: $\begin{matrix}(X\otimes Y)\otimes Z&\xrightarrow\sigma&(Y\otimes X)\otimes Z\\{\scriptstyle\alpha}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha\\X\otimes(Y\otimes Z)&&Y\otimes(X\otimes Z)\\{\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\(Y\otimes Z)\otimes X&\xrightarrow[\alpha]{}&Y\otimes(Z\otimes X)\\\end{matrix}$

대칭 모노이드 범주는 (결합자의 역원과의 호환) 조건을 자동적으로 만족하므로, 꼬임 모노이드 범주이다.

대칭 모노이드 범주는 모든 대상 A, B에 대해 $s_{AB}: A \otimes B \to B \otimes A$ 라는 동형 사상, 즉 swap map(교환 사상)이 존재하는 모노이드 범주(C, ⊗, I)이다. swap map은 A와 B 모두에서 자연 변환이며, 다음의 그림들이 가환한다.

*단위 일관성:
*:

*결합 일관성:
*:

*역법칙:
*:

위 그림에서 a, l, r은 각각 결합 동형 사상, 왼쪽 단위 동형 사상, 오른쪽 단위 동형 사상이다.

3. 성질

모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다.

* (항등원과의 호환) 임의의 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여, $\rho_X=\lambda_X\circ\sigma_{X,I}$ .

대칭 모노이드 범주의 분류 공간(신경의 기하학적 실현)은 $E_\infty$ 공간이므로, 그 군 완비는 무한 루프 공간이다.

4. 예시

* 집합 범주. 텐서 곱은 집합론적 데카르트 곱이며, 모든 단일 집합은 단위 대상이 될 수 있다.
* 군 범주. 이전과 마찬가지로 텐서 곱은 군의 데카르트 곱이며, 자명군이 단위 대상이다.
* 더 일반적으로, 유한 곱을 갖는 범주, 즉 데카르트 모노이드 범주는 대칭 모노이드 범주이다. 텐서 곱은 대상들의 직접 곱이며, 모든 종단 대상(공집합 곱)이 단위 대상이다.
* 환 R 위의 쌍가군 범주는 모노이드 범주(모듈의 일반적인 텐서 곱을 사용)이지만, 반드시 대칭적이지는 않다. 만약 R이 가환적이라면, 왼쪽 R-가군 범주는 대칭 모노이드 범주이다. 후자의 예시에는 주어진 체 위의 모든 벡터 공간의 범주가 포함된다.
* 체 k와 군(또는 k 위의 리 대수)이 주어지면, 모든 k-선형 군의 표현 (또는 리 대수의 표현)의 범주는 대칭 모노이드 범주이다. 여기서 표현의 표준 텐서 곱이 사용된다.
* C^영어 위의 스테레오타입 공간의 범주 (Ste,circledast^영어)와 (Ste,odot^영어)는 대칭 모노이드 범주이며, 더욱이 (Ste,circledast^영어)는 내부 hom-함수 oslash^영어를 갖는 닫힌 모노이드 범주이다.

5. 관련 개념

대거 대칭 모노이드 범주는 호환 가능한 대거 구조를 갖춘 대칭 모노이드 범주이다.

코스모스는 완비 쌍대 완비 닫힌 대칭 모노이드 범주이다.

브레이디드 모노이드 범주는 대칭 모노이드 범주에서 자연 동형 사상 $s_{AB}: A \otimes B \to B \otimes A$ 가 $s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}$ 조건을 만족하는, 즉 "스스로"의 역원이라는 조건을 제거하여 얻는 더 일반적인 개념이다. ( $A\otimes B$ 가 $B\otimes A$ 와 자연스럽게 동형이라는 것은 여전히 요구한다.)

6. 역사

손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다.

꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요(André Joyal^프랑스어, 1943~)와 로스 하워드 스트리트(Ross Howard Street^영어)가 도입하였다.