리 대수

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1. 개요

리 대수는 가환환 위의 가군과 리 괄호라는 이항 연산으로 구성되며, 쌍선형성, 교대성, 야코비 항등식을 만족한다. 이는 리 군을 연구하는 데 사용되었으며, 리 군의 분류와 표현 이론에 중요한 역할을 한다. 리 대수는 아벨, 멱영, 가해, 단순, 반단순 등으로 분류되며, 카르탕의 판정법, 레비 분해 등 다양한 구조론적 성질을 갖는다. 또한, 자유 리 대수, 미분, 반직접합, 몫 리 대수 등 다양한 연산을 정의할 수 있다. 2차원 이하나 3차원 실수 리 대수는 비교적 잘 분류되어 있으며, 4차원 이상에서는 복잡한 분류 체계를 갖는다.

리 대수

개요

분야	수학, 물리학
정의	교환자를 갖춘 벡터 공간
관련 개념	리 군, 표현론, 미분기하학, 양자역학

정의

기본 정의	장 F 위의 벡터 공간 g와 다음 조건을 만족하는 쌍선형 연산 [ , ] : g × g → g를 갖춘 대수 구조이다.
조건 1 (교대성)	모든 x ∈ g에 대해 [x, x] = 0
조건 2 (야코비 항등식)	모든 x, y, z ∈ g에 대해 [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
교환자	[x, y]를 x와 y의 교환자(bracket)라고 부른다.

성질

반대칭성	교대성에 의해 [x, y] = -[y, x]가 성립한다.
리 대수의 준동형 사상	두 리 대수 g와 h 사이의 선형 변환 φ: g → h가 모든 x, y ∈ g에 대해 φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)]를 만족하면, φ를 리 대수의 준동형 사상이라고 한다.
리 대수의 동형 사상	전단사 리 대수 준동형 사상을 리 대수 동형 사상이라고 한다.
리 대수의 부분 대수	리 대수 g의 부분 공간 h가 교환자에 대해 닫혀 있으면 (즉, x, y ∈ h이면 [x, y] ∈ h), h를 g의 부분 대수라고 한다.
리 대수의 아이디얼	리 대수 g의 부분 공간 h가 모든 x ∈ g, y ∈ h에 대해 [x, y] ∈ h를 만족하면, h를 g의 아이디얼이라고 한다.

예시

유클리드 공간의 벡터곱	3차원 유클리드 공간 R³에서 벡터곱은 리 대수의 조건을 만족한다.
행렬 리 대수	n × n 행렬의 집합 gl(n, F)는 행렬의 교환자 [A, B] = AB - BA에 대해 리 대수를 이룬다.
리 군의 리 대수	리 군 G의 항등원에서의 접공간은 리 대수의 구조를 갖는다.

응용

물리학	양자역학에서 각운동량 연산자는 리 대수를 이룬다.
미분기하학	미분다양체의 벡터장은 리 대수를 이룬다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 부분 대수와 아이디얼
- 2.2. 등급 리 대수
3. 성질
4. 연산
5. 구조론과 분류
6. 낮은 차원의 리 대수
7. 예
8. 역사

2. 정의

가환환 K 위의 리 대수(g, [·, ·])는 K-가군 g와 다음 조건을 만족하는 선형 변환 [·,·]: g×g → g로 이루어진다.

* (쌍선형성) 모든 x, y, z ∈ g와 a, b ∈ K에 대해 [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z], [z, ax + by] = a[z, x] + b[z, y]이다.
* (교대성) 모든 x∈g에 대하여 [x,x]=0이다.
* (야코비 항등식) 모든 x, y, z ∈ g에 대해 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0이다.

이 이항 연산은 리 괄호(Lie bracket^영어)로 불린다. 리 대수의 준동형은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

K에서 2의 역원 2^-1이 존재한다면 (예를 들어, K가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성(모든 x,y∈ g에 대하여 [x,y]+[y,x]=0인 성질)으로 대체할 수 있다. 2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.

통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 g, h 등으로 나타낸다.

정수환 Z 위의 리 대수를 리 환(Lie ring^영어)이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 곱셈 결합 법칙을 따르는 환을 이루지 않는다.

2.1. 부분 대수와 아이디얼

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$의 부분 리 대수는 리 괄호에 대하여 닫혀 있는 부분 집합이다. 즉, $\mathfrak h\subseteq\mathfrak g$이며 $[\mathfrak h,\mathfrak h]\subseteq\mathfrak h$이다.

리 대수 $\mathfrak g$의 리 대수 아이디얼 $I\subset\mathfrak g$는 $[\mathfrak g,I]\subseteq I$를 만족하는 부분 집합이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 몫 리 대수 $\mathfrak g/I$를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

예를 들어 $\mathfrak{gl}(n,F)$에서 대각 행렬의 부분 공간 $\mathfrak{t}_n$는 아벨 리 부분 대수이지만, $n\geq 2$일 때 $\mathfrak{gl}(n)$의 아이디얼이 아니다. 리 대수 $\mathfrak{g}$의 모든 1차원 선형 부분 공간은 아벨 리 부분 대수이지만, 아이디얼일 필요는 없다.

$S\subset \mathfrak{g}$의 중앙화 부분 대수는 $S$와 교환하는 원소의 집합이다. 즉, $\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g : [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}$이다. $\mathfrak{g}$ 자체의 중앙화 부분 대수는 중심 $\mathfrak{z}(\mathfrak{g})$이다. 부분 공간 S에 대해, $S$의 정규화 부분 대수는 $\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g : [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}$이다. 만약 $S$가 리 부분 대수이면, $\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)$는 $S$가 $\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)$의 아이디얼인 가장 큰 부분 대수이다.

2.2. 등급 리 대수

환에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, 등급 리 대수(等級Lie代數, graded Lie algebra^영어)를 정의할 수 있다.

가환 모노이드 $(D,+)$ 가 주어졌다고 하자. 가환환 $K$ 위의, $D$ 등급을 갖는 등급 리 대수 $(\mathfrak g,[\cdot,\cdot])$ 는 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,

: $\mathfrak g=\bigoplus_{d\in D}\mathfrak g_d$
: $[\cdot,\cdot]\colon\mathfrak g_d\times\mathfrak g_{d'}\to\mathfrak g_{d+d'}$

이다.

리 대수는 리 괄호와 호환되는 추가적인 구조를 갖출 수 있다. 예를 들어, 등급 리 대수는 호환되는 등급을 가진 리 대수이다. (더 일반적으로는 리 슈퍼대수이다.) 미분 등급 리 대수는 추가로 미분을 포함하여, 기본 벡터 공간을 사슬 복합체로 만든다.

예를 들어, 단일 연결된 위상 공간의 호모토피 군은 화이트헤드 곱을 사용하여 등급 리 대수를 형성한다. 관련된 구성에서 다니엘 퀼렌은 대수적 관점에서 유리 호모토피 이론을 설명하기 위해 유리수 $\mathbb{Q}$ 위에 미분 등급 리 대수를 사용했다.

3. 성질

가환환 $K$ 위의 단위 결합 대수 $(A,\cdot)$ 가 주어졌을 때, $A$ 위에 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, $A$ 는 리 대수를 이룬다.
: $[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$
특히, $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 $\mathfrak{gl}(n;K)$ 이다.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 $\operatorname{Vect}M$ 은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 위의 매끄러운 함수 $f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 에 대하여, 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의한다.
: $\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)$
이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 $\mathbb R$ -리 대수를 이룬다. $\{f,-\}$ 의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 해밀턴 벡터장들로 구성된 $\operatorname{Vect}M$ 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 푸아송 다양체 $(M,\{,\})$ 가 주어졌을 때, $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 $\mathbb R$ -리 대수를 이룬다.

3.1. 리 군론적 성질

리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접하게 연관되어 있다. 모든 리 군은 그에 대응하는 왼쪽 불변 벡터장들로 구성된 유한 차원 실수 리 대수를 가지며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 그에 대응하는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류를 표준적으로 결정한다.

일반적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 해당 리 군 이름의 흑자체 소문자로 표기한다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 $\operatorname{Lie}(\operatorname{SO}(5)) = \mathfrak{so}(5)$ 이다.

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리 대수는 자체로 연구될 수 있지만, 역사적으로는 리 군 연구의 수단으로 등장했다.

리 군과 리 대수의 관계는 다음과 같이 요약된다. 모든 리 군은 $\mathbb{R}$ 위의 리 대수를 결정한다(구체적으로, 항등원에서의 접선 공간). 반대로, 모든 유한 차원 리 대수 $\mathfrak g$ 에 대해, 리 대수가 $\mathfrak g$ 인 연결 리 군 $G$ 가 존재한다. 이는 리의 세 번째 정리이며, Baker–Campbell–Hausdorff 공식을 참고하라. 이 리 군은 유일하게 결정되지 않지만, 동일한 리 대수를 갖는 두 리 군은 "국소적으로 동형"이며, 더 나아가 동일한 보편 덮개를 갖는다. 예를 들어, 특수 직교군 SO(3)과 특수 유니타리군 SU(2)는 동형인 리 대수를 갖지만, SU(2)는 SO(3)의 단일 연결 이중 덮개이다.

"단일 연결" 리 군의 경우, 완전한 대응 관계가 성립한다. 즉, 리 대수를 취하는 것은 단일 연결 리 군에서 $\mathbb{R}$ 위의 유한 차원 리 대수로의 범주 동치를 제공한다.

리 대수와 리 군 사이의 대응은 리 군의 분류 및 리 군의 표현 이론 등 여러 방면에서 활용된다. 유한 차원 표현의 경우, 실수 리 대수의 표현과 해당 단일 연결 리 군의 표현 사이에는 범주 동치가 성립한다. 이는 리 군의 표현 이론을 단순화하는데, 선형 대수를 사용하여 리 대수의 표현을 분류하는 것이 더 쉽기 때문이다.

모든 연결 리 군은 중심 이산군에 대해 모듈로인 해당 보편 덮개와 동형이다. 따라서 리 대수가 알려진 경우, 리 군을 분류하는 것은 단순히 중심의 이산 부분군을 세는 문제가 된다. 예를 들어, 실수 반단순 리 대수는 카르탕에 의해 분류되었으므로, 반단순 리 군의 분류는 잘 알려져 있다.

3.2. 보편 대수학적 성질

리 군과 달리, 주어진 체 $K$ 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.

* 0항 연산:
0 (덧셈 항등원)
* 1항 연산:
− (덧셈 역원)
임의의 $a\in K$ 에 대하여, 스칼라곱 $a\cdot$
* 2항 연산:
+ (덧셈)
** $[-,-]$ (리 괄호)

이는 $K$ 위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

* 아벨 리 대수. 이는 항등식 $[x,y]=0$ 으로 정의된다.
* $k$ 형의 멱영 리 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가 $k$ 이하인 리 대수이다.
* $k$ 형의 가해 리 대수. 이는 유도열의 길이가 $k$ 이하인 리 대수이다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 $\mathcal U$ , $\mathcal V$ 가 주어졌을 때, 그 곱 $\mathcal U\mathcal V$ 는 $\mathcal V$ 의 원소들의, $\mathcal U$ 에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

3.3. 범주론적 성질

리 군과 달리, 주어진 체 $K$ 위의 리 대수와 리 대수 준동형 사상으로 이루어진 범주 $\operatorname{LieAlg}_K$ 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 $\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h$ 의 핵은 $0\in\mathfrak h$ 의 원상 $\phi^{-1}(0)$ 이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. $\phi$ 의 여핵은 그 치역 $\phi(\mathfrak g)$ 를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)

리 대수의 범주는 아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$ 위의 풍성한 범주(enriched category^영어)이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.

체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $\operatorname{uAssoc}_K$ 에서 체 $K$ 위의 리 대수의 범주 $\operatorname{LieAlg}_K$ 로 가는 망각 함자
: $\operatorname{Forget}\colon\operatorname{uAssoc}_K\to\operatorname{LieAlg}_K$
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자
: $\mathcal U\colon\operatorname{LieAlg}_K\to\operatorname{uAssoc}_K$
이다.

3.4. 오퍼라드 이론적 성질

리 대수는 오퍼라드의 일종인 '리 오퍼라드'로 묘사될 수 있다. 이는 리 대수의 구조를 추상화하고, 호모토피 이론 등 다른 분야와의 연결을 가능하게 한다.

4. 연산

환에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있듯이, 등급 리 대수(等級Lie代數, graded Lie algebra^영어)를 정의할 수 있다. 가환 모노이드 $(D,+)$ 가 주어졌을 때, 가환환 $K$ 위의 $D$ 등급을 갖는 등급 리 대수 $(\mathfrak g,[\cdot,\cdot])$ 는 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\mathfrak g=\bigoplus_{d\in D}\mathfrak g_d$
: $[\cdot,\cdot]\colon\mathfrak g_d\times\mathfrak g_{d'}\to\mathfrak g_{d+d'}$

4.1. 중심

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 중심(center^영어) $\operatorname Z(\mathfrak g)$ 는 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\operatorname Z(\mathfrak g)=\{x\in\mathfrak g\colon[x,\mathfrak g]=0\}$

이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심 개념에 대응한다.

$\mathfrak{g}$ 자체의 중앙화 부분 대수는 $\mathfrak{g}$ 의 중심이라고 불린다.

4.2. 몫 리 대수

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 리 대수 아이디얼 $\mathfrak a\subseteq\mathfrak g$ 가 주어졌을 때, 몫 리 대수 $\mathfrak g/\mathfrak a$ 를 정의할 수 있다. 이는 군론의 정규 부분군을 이용한 몫군, 환론의 아이디얼을 이용한 몫환과 유사한 개념이다.

$K$ -가군으로서, $\mathfrak g/\mathfrak a$ 는 몫가군 $\mathfrak g/\mathfrak a$ 이다. 이 위에 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.

: $[x+\mathfrak a, y+\mathfrak a]=[x,y]+\mathfrak a$

이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

리 대수 $\mathfrak{g}$ 와 그 안의 아이디얼 $\mathfrak i$ 가 주어지면, 몫 리 대수 $\mathfrak{g}/\mathfrak i$ 가 정의되며, 리 대수의 전사 준동형사상 $\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ 가 존재한다. 제1 동형 정리는 리 대수에 대해 성립한다. 즉, 리 대수의 임의의 준동형사상 $\phi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ 에 대해, $\phi$ 의 이미지는 $\mathfrak{g}/\text{ker}(\phi)$ 와 동형인 $\mathfrak{h}$ 의 리 부분 대수이다.

4.3. 직합

가환환 $K$ 위의 두 리 대수 $\mathfrak g$ , $\mathfrak h$ 가 주어졌을 때, 그 직합 $\mathfrak g\oplus\mathfrak h$ 를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.
: $[g,g']_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[g,g']_{\mathfrak g}\qquad\forall g,g'\in\mathfrak g$
: $[h,h']_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[h,h']_{\mathfrak h}\qquad\forall h,h'\in\mathfrak h$
: $[g,h]_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[h,g]_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=0\qquad\forall g\in\mathfrak g,\;h\in\mathfrak h$
보다 일반적으로, $K$ -리 대수의 집합 $\{\mathfrak g_i\}_{i\in I}$ 이 주어졌을 때, 그 직합
: $\bigoplus_{i\in I}\mathfrak g_i$
를 정의할 수 있다.
두 리 대수 $\mathfrak{g}$ 와 $\mathfrak{g'}$ 가 주어지면, 그들의 직합은 $x\in\mathfrak{g}$ 와 $x'\in\mathfrak{g'}$ 의 쌍 $(x,x')$ 으로 구성된 벡터 공간 $\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}$ 이며, 리 괄호는 다음과 같이 정의된다.
: $[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in\mathfrak{g},\, x',y'\in\mathfrak{g'}$

4.4. 리 대수의 확대

군의 확장을 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 확대(extension^영어)를 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열
: $0\to\mathfrak h\stackrel i\hookrightarrow\mathfrak e\stackrel q\twoheadrightarrow\mathfrak g\to0$
이 주어졌다면, $\mathfrak e$ 를 $\mathfrak g$ 의 $\mathfrak h$ 로의 확대라고 한다. 만약 $\ker q$ 가 $\mathfrak e$ 의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) 중심 확대(central extension^영어)라고 한다.

4.5. 반직접합

군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 반직접합(semidirect sum^영어)을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다. 리 대수 $\mathfrak{g}$ 와 $\mathfrak{g}$ 의 아이디얼 $\mathfrak{i}$ 가 있을 때, 표준 사상 $\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ 가 분해되면 (즉, 리 대수의 준동형으로 단면 $\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\to \mathfrak{g}$ 을 허용하면), $\mathfrak{g}$ 는 $\mathfrak{i}$ 와 $\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ 의 반직접곱이라고 하며, $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}$ 로 나타낸다.

4.6. 미분

체 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 위의 미분(微分, derivation^영어)은 다음과 같은 $K$ -선형 변환이다.
: $\delta\colon\mathfrak g\to \mathfrak g$
이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.
: $\delta[x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad\forall x,y\in\mathfrak g$
리 대수 $\mathfrak g$ 위의 미분들의 벡터 공간을 $\mathfrak{der}(\mathfrak g)$ 라고 쓴다. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 미분 리 대수(Lie algebra of derivations^영어) $\mathfrak{der}(\mathfrak g)$ 라고 한다.
: $[\delta,\delta']=\delta\circ\delta'-\delta'\circ\delta\qquad\forall\delta,\delta'\in\mathfrak{der}(\mathfrak g)$
이는 $\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)$ 의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 $\mathfrak g$ 가 아벨 리 대수라면 $\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)=\mathfrak{der}(\mathfrak g)$ 이다.

$K=\mathbb R$ 일 경우, $\mathfrak{der}(\mathfrak g)$ 는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 $\operatorname{Aut}(\mathfrak g)$ 의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소 $x\in\mathfrak g$ 에 대하여, 딸림표현 $\operatorname{ad}_x\colon y\mapsto[x,y]$ 는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 내부 미분(內部微分, inner derivation^영어)이라고 한다.

리 대수 $\mathfrak{g}$ (사실은 임의의 비결합적 대수여도 좋다) 위의 미분은, 라이프니츠 법칙, 즉, $\mathfrak{g}$ 의 모든 원소에 대하여
: $\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]$
가 성립하는 선형 사상 $\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}$ 를 말한다. 야코비 항등식에 의해, 임의의 $x$ 에 대하여, $\operatorname{ad}(x)$ 는 미분이다. 따라서, $\operatorname{ad}$ 의 상은, $\mathfrak{g}$ 상의 미분으로 이루어진 $\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ 의 부분 대수 $\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ 에 포함된다. $\operatorname{ad}$ 의 상에 속하는 미분은 내부 미분이라고 불린다. $\mathfrak{g}$ 가 반단순이면, $\mathfrak{g}$ 상의 모든 미분은 내부 미분이다.

5. 구조론과 분류

리 군과 달리, 주어진 체 $K$ 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

리 대수는 그 구조에 따라 여러 종류로 분류된다.
* 아벨 리 대수(Abelian Lie algebra^영어)는 임의의 $x,y\in\mathfrak g$ 에 대하여 $[x,y]=0$ 인 대수다.
* 멱영 리 대수는 $\mathfrak g_0=\mathfrak g$ 이고, $\mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g]$ 로 정의할 때, $\mathfrak g_k=0$ 인 $k\in\mathbb N$ 이 존재한다.
* 가해 리 대수는 $\mathfrak g_0=\mathfrak g$ 이고, $\mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g_k]$ 로 정의할 때, $\mathfrak g_k=0$ 인 $k\in\mathbb N$ 이 존재한다.
* 단순 리 대수는 자신이나 0이 아닌 리 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
* 반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

이들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수
:단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수

다음과 같은 성질들이 알려져 있다.
* 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. (아도 정리 Ado’s theorem^영어)
* 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. (레비 분해 Levi decomposition^영어)
* (실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.
* 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

아벨 리 대수는 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었으나, 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 $\mathfrak a_n$ , $\mathfrak b_n$ , $\mathfrak c_n$ , $\mathfrak d_n$ 4개의 무한 족과 $\mathfrak e_6$ , $\mathfrak e_7$ , $\mathfrak e_8$ , $\mathfrak f_4$ , $\mathfrak g_5$ 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

5.1. 아벨 리 대수, 멱영 리 대수, 가해 리 대수

아벨 리 대수(Abel Lie algebra, Abelian Lie algebra^영어)는 임의의 원소 $x,y\in\mathfrak g$ 에 대하여 리 괄호 $[x,y]=0$ 인 리 대수이다.

멱영 리 대수(nilpotent Lie algebra)는 하위 중심 계열
: $\mathfrak{g} \supseteq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \supseteq [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] \supseteq [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] \supseteq \cdots$
이 유한한 단계 후에 0이 되는 리 대수이다. 엥겔의 정리에 의해, 리 대수가 멱영이라는 것은 모든 원소 $u$ 에 대해 수반 자기 준동형
: $\operatorname{ad}(u)\colon\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]$
이 멱영인 것과 동치이다.

가해 리 대수(solvable Lie algebra)는 도출 열
: $\mathfrak{g} \supseteq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \supseteq \mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g} \supseteq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g},\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \supseteq \cdots$
이 유한한 단계 후에 0이 되는 리 대수이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수

5.2. 단순 리 대수와 반단순 리 대수

단순 리 대수는 자명하지 않은 리 대수 아이디얼을 갖지 않고, 가환하지 않는 리 대수다. 반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 갖지 않는 리 대수다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수

모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

예를 들어, 리 대수 $\mathfrak{sl}(n,F)$ 는 모든 $n\geq 2$ 와 표수가 0인 (또는 n을 나누지 않는) 모든 체 F에 대해 단순하다. 리 대수 $\mathfrak{su}(n)$ 는 $\mathbb{R}$ 상에서 모든 $n\geq 2$ 에 대해 단순하다. 리 대수 $\mathfrak{so}(n)$ 는 $\mathbb{R}$ 상에서 $n=3$ 또는 $n\geq 5$ 일 때 단순하다. (예외적인 동형 $\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$ 및 $\mathfrak{so}(4)\cong\mathfrak{su}(2) \times \mathfrak{su}(2)$ 가 있다.)

리 대수의 반단순성의 개념은 그 표현의 완전 가약성(반단순성)과 밀접하게 관련되어 있다. 기저 체 F의 표수가 0인 경우, 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 표현은 반단순(즉, 기약 표현의 직합)이다.

5.3. 카르탕의 판정법

엘리 카르탕이 제시한 카르탕의 판정법은 킬링 형식을 이용하여 리 대수가 가해 또는 반단순 리 대수임을 판정하는 방법이다. 킬링 형식은 다음과 같이 정의되는 대칭 쌍선형 형식이다.

: $K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v)),$

여기서 tr은 선형 연산자의 대각합을 나타낸다.

카르탕의 판정법에 따르면,

* 리 대수 $\mathfrak{g}$ 가 반단순일 필요충분 조건은 킬링 형식이 비퇴화 형식인 것이다.
* 리 대수 $\mathfrak{g}$ 가 가해일 필요충분 조건은 $K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0$ 이다.

5.4. 레비 분해

Levi decomposition^영어는 유한 차원 실수 리 대수를 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타내는 정리이다. 즉, 어떤 리 대수든지 가해 성분과 반단순 성분의 결합으로 표현할 수 있다는 의미이다.

레비 분해는 리 대수의 구조를 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

6. 낮은 차원의 리 대수

낮은 차원의 리 대수는 특별한 분류 체계를 갖는다. 특히 3차원 이하의 실수 리 대수는 루이지 비앙키가 도입한 비앙키 분류로 알려져 있다.

2차원 이하의 리 대수는 0차원, 1차원, 2차원 아벨 리 대수, 그리고 유일한 2차원 비가환 가해 리 대수의 네 가지 경우만 존재한다.

3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 실수 단순 리 대수는 특수 선형 대수 $\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$ (VIII형)와 직교 대수/유니터리 대수 $\mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak u(2)$ (IX형) 두 가지가 있다. 3차원 실수 가해 리 대수는 조르당 표준형으로 분류되며, I형~VII형으로 불린다. 이들 중 I형은 아벨 리 대수, II형은 하이젠베르크 대수이자 2차원 갈릴레이 대수이며, 이 둘은 유일한 멱영 리 대수이다. III형은 $\mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)$ 와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(homothety^영어, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 $\mathfrak{id}(2;\mathfrak R)$ 이며, VI₀형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 $\mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)$ 와 같으며, VII₀형은 2차원 유클리드 대수 $\mathfrak{iso}(2;\mathbb R)$ 와 같다.

4차원 이상의 리 대수는 레비 분해에 따라 가해 리 대수의 분류 문제로 귀결된다. 최근에는 그뢰브너 기저를 사용하여 4차원 이하의 리 대수가 완전히 분류되었다.

6.1. 2차원 이하 리 대수

2차원 이하의 리 대수는 0차원, 1차원, 2차원 아벨 리 대수, 그리고 유일한 2차원 비가환 가해 리 대수의 네 가지 경우만 존재한다.

임의의 체 $K$ 에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.

* 0차원 아벨 리 대수 $\{0\}$
* 1차원 아벨 리 대수 $K$
* 2차원 아벨 리 대수 $K^{\oplus2}$
* 2차원 비아벨 가해 리 대수 $K\oplus_\psi K$ . 여기서 $\psi\colon K\times K\to K$ 는 곱셈 $\psi(a,b)=ab$ 으로 잡을 수 있다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.

* 특수 상삼각 행렬 대수 $\mathfrak{st}(2;\mathbb R)\subset\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)$ . 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다.
* 1차원 아핀 대수 $\mathfrak{aff}(1;\mathbb R)$

모든 체 F에 대해, 동형 사상까지 고려하면 2차원 비가환 리 대수 $\mathfrak{g}$ 는 유일하게 존재한다. 여기서 $\mathfrak{g}$ 는 괄호 연산이 $\left [X, Y\right ] = Y$ 로 주어지는 기저 $X,Y$ 를 갖는다. 실수체 위에서, $\mathfrak{g}$ 는 실수선 $x\mapsto ax+b$ 의 아핀 변환 리 군 $G=\mathrm{Aff}(1,\mathbb{R})$ 의 리 대수로 볼 수 있다.

아핀 군 G는 다음과 같은 행렬들의 집합과 동일시할 수 있다.

: $\left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array} \right)$

행렬 곱셈 하에서 $a,b \in \mathbb{R}$ 이고 $a \neq 0$ 이다. 이의 리 대수는 모든 행렬로 구성된 $\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})$ 의 리 부분 대수 $\mathfrak{g}$ 이다.

: $\left( \begin{array}{cc} c & d\\ 0 & 0 \end{array}\right).$

이러한 관점에서, $\mathfrak{g}$ 의 위 기저는 다음과 같은 행렬로 주어진다.

: $X= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right), \qquad Y= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right).$

모든 체 $F$ 에 대해, 1차원 부분 공간 $F\cdot Y$ 는 공식 $[X,Y]=Y\in F\cdot Y$ 에 의해 2차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 아이디얼이다. 리 대수 $F\cdot Y$ 와 $\mathfrak{g}/(F\cdot Y)$ 는 모두 가환이다(1차원이기 때문에). 이러한 의미에서, $\mathfrak{g}$ 는 가환적인 "조각"으로 나눌 수 있으며, 이는 가해(하지만 멱영은 아님)임을 의미한다.

6.2. 3차원 실수 리 대수

3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다.

실수 반단순 리 대수는 $\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$ 와 $\mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(2)$ 두 개가 있다. $\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$ 는 VIII형, $\mathfrak o(3;\mathbb R)$ 는 IX형으로 불린다.

3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 $\mathbb R^2\oplus_\psi\mathbb R$ 으로 나타낼 수 있다. 이때 작용
: $\psi\colon\mathbb R\to\mathfrak{der}(\mathbb R^2)=\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)$
: $\psi\colon t\mapsto t\psi(1)$
는 2×2 실수 정사각 행렬 $\psi(1)\in\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)$ 에 의하여 완전히 결정된다. $\psi(1)$ 과 $\alpha M^{-1}\psi(1)M$ ( $\alpha\in\mathbb R^\times$ , $M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb R)$ )는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 $\psi(1)$ 의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 I형~VII형으로의 이름이 붙어 있다.
: $\psi(1)=\begin{cases}\begin{pmatrix}\lambda&1\\&\lambda\end{pmatrix},\;\lambda\in\mathbb R&\begin{cases}\lambda=0&\text{II}\\\lambda\ne0&\text{IV}\end{cases}\\\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix},\;\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R,\;\lambda_1\le\lambda_2&\begin{cases}\lambda_1=\lambda_2=0&\text{I}\\\lambda_1=\lambda_2\ne0&\text{V}\\\lambda_1=-\lambda_2\ne0&\text{VI}_0\\\lambda_1=0<\lambda_2\lor\lambda_1<\lambda_2=0&\text{III}\\\lambda_1\ne\pm\lambda_2,\;\lambda_1\ne0\ne\lambda_2&\text{VI}\end{cases}\\\begin{pmatrix}a-ib&0\\0&a+ib\end{pmatrix},\;a\in\mathbb R,\;b\in\mathbb R^+&\begin{cases}a=0&\text{VII}_0\\a\ne0&\text{VII}\end{cases}\end{cases}$
이 가운데 I형은 아벨 리 대수이며, II형은 하이젠베르크 대수 $\mathfrak h(3;\mathbb R)$ 이자 2차원 갈릴레이 대수 $\mathfrak{gal}(2;\mathbb R)$ 이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. III형은 직합 $\mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)$ 와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(homothety^영어, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 $\mathfrak{id}(2;\mathfrak R)$ 이며, VI₀형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 $\mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)$ 와 같으며, VII₀형은 2차원 유클리드 대수 $\mathfrak{iso}(2;\mathbb R)$ 와 같다. II형과 VI₀형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. VI형과 VII형은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.

즉,
: $\psi(1)=\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}$
일 경우, $\mathfrak g=\operatorname{Span}\{x,y,t\}$ 로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.
: $[t,x]=ax$
: $[t,y]=t(bx+cy)$

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좌우로 밀어서 보기

형	다른 이름	단일 연결 리 군의 중심	외부자기동형군
\| 아벨 리 대수 $\mathbb R^3$	$\mathbb R^3$	$\operatorname{GL}(3;\mathbb R)$	아벨 리 대수
\| 하이젠베르크 대수 $\mathfrak h(3;\mathbb R)$ , 갈릴레이 대수 $\mathfrak{gal}(2;\mathbb R)$	$\mathbb R$	$\operatorname{GL}(2;\mathbb R)$	멱영 리 대수
\| $\mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)$	$\mathbb R$	$\mathbb R^\times$	가해 리 대수
\|	0	$\mathbb R\times(\mathbb Z/2)$
\| 닮음 변환 대수 $\mathfrak{id}(2;\mathbb R)$		$\{M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb R)\colon\det M=\pm1\}$
\|		$\mathbb R^\times\times(\mathbb Z/2)$
0형>\| 푸앵카레 대수 $\mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)$		$\mathbb R\times\operatorname{Dih}(\mathbb Z/4)$
\|		$\mathbb R^\times$
0형>\| 유클리드 대수 $\mathfrak{iso}(2;\mathbb R)$	$\mathbb Z$	$\mathbb R^\times\times(\mathbb Z/2)$
\| 특수 선형 대수 $\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$	$\mathbb Z$	$\mathbb Z/2$	단순 리 대수
\| 직교 대수/유니터리 대수 $\mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak u(2)$	$\mathbb Z/2$	1	단순 리 대수

6.3. 4차원 이상

레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수를 갖는 체 위에서 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.

7. 예

* 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위에 자명한 리 괄호 $[a,b]=0$ 을 부여하면 아벨 리 대수를 이룬다.
* 단위 결합 대수 $(A,\cdot)$ 가 주어졌을 때, $A$ 위에 환 교환자를 리 괄호 $[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$ 로 정의하면 $A$ 는 리 대수가 된다.
* 미분으로 구성된 미분 리 대수.
* 주어진 집합의 원소들로 생성되는 가장 일반적인 리 대수인 자유 리 대수.
* 매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.
* 형식적 멱급수환으로 만들어지는 형식적 벡터장 리 대수.
* 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 갖지 않는 반단순 리 대수.
* 군의 중심렬 $G=G_0\ge G_1\ge\cdots$ 에서, $[xG_i,yG_j]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}$ 와 같이 정의하여 만들어지는 리 대수.
* 점을 가진 공간 $X$ 위의 호모토피 군 $\pi_k(X)$ 위에 화이트헤드 괄호라는 쌍선형 이항 연산을 통해 만들어지는 리 대수.
* 2차원 등각 장론과 끈 이론에 등장하는 무한 차원 리 대수인 비라소로 대수.
* 아핀 리 대수와 그 일반화인 카츠-무디 대수는 무한 차원 리 대수의 예이다.
* 하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.
* 모얄 대수는 모든 고전 리 대수를 부분 대수로 포함하는 무한 차원 리 대수이다.

7.1. 아벨 리 대수

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위에 자명한 리 괄호 $[a,b]=0$ 을 부여하면 리 대수를 이룬다. 이를 아벨 리 대수(Abelian Lie algebra^영어)라고 한다. 만약 $K$ 가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.

영 벡터 공간에 항등적으로 0인 리 괄호를 부여하면 리 대수가 된다. 이러한 리 대수를 아벨 리 대수라고 한다. 모든 1차원 리 대수는 리 괄호의 교대성에 의해 아벨 리 대수이다.

7.2. 단위 결합 대수의 리 대수 구조

가환환 $K$ 위의 단위 결합 대수 $(A,\cdot)$ 가 주어졌을 때, $A$ 위에 환 교환자를 리 괄호로 정의하면 $A$ 는 리 대수가 된다.

: $[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$

특히, $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 $\mathfrak{gl}(n;K)$ 이다.

7.3. 미분

7.4. 자유 리 대수

리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 자유 리 대수(free Lie algebra^영어)를 정의할 수 있다. 자유 리 대수는 주어진 집합의 원소들로 생성되는 가장 일반적인 리 대수이다. 집합 $S$ 위의 자유 리 대수를 $L(S)$ 라고 하고, $S$ 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 $K\langle S\rangle$ 라고 하자. 그렇다면 $L(S)$ 는 자연스럽게 $K\langle S\rangle$ 의 부분 집합을 이루며, $K\langle S\rangle$ 는 $L(S)$ 의 보편 포락 대수이다. $L(S)$ 는 $K\langle S\rangle$ 속의, $S$ 로 생성되는 부분 리 대수이다.

7.5. 벡터장

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 $\operatorname{Vect}M$ 은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

리 군 $G$ 위의 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 $\operatorname{Lie}G$ 를 이룬다. 이는 $\operatorname{Vect}G$ 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 위의 매끄러운 함수 $f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 에 대하여, 푸아송 괄호를 사용하면, $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 $\mathbb R$ -리 대수를 이룬다. $\{f,-\}$ 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 해밀턴 벡터장들로 구성된 $\operatorname{Vect}M$ 의 부분 리 대수이다.

푸아송 다양체 $(M,\{,\})$ 가 주어졌을 때, $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 $\mathbb R$ -리 대수를 이룬다.

미분 다양체 M 위의 매끄러운 벡터장의 공간은 리 대수를 이룬다. 여기서 리 괄호는 벡터장의 교환자로 정의된다. 리 괄호를 표현하는 한 가지 방법은 리 미분 형식화에 의한 것이다. 벡터장 X를 매끄러운 함수에 작용하는 1차 편미분 연산자 L_X와 같이 동일시한다. 즉, L_X(f)를 함수 f의 X 방향의 방향 미분으로 한다. 두 벡터장의 리 괄호 [X, Y]는 다음 식을 통해 함수에 대한 작용으로 정의되는 벡터장이다.

: $L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,$

7.6. 형식적 벡터장

미분 다양체 M 위의 매끄러운 벡터장의 공간은 리 대수를 이룬다. 여기서 리 괄호는 벡터장의 교환자로 정의된다. 리 괄호를 표현하는 한 가지 방법은 리 미분의 형식화에 의한 것이다. 벡터장 X를 매끄러운 함수에 작용하는 1차 편미분 연산자 L_X와 같이 동일시한다. 즉, L_X(f)를 함수 f의 X 방향의 방향 미분으로 한다. 두 벡터장의 리 괄호 [X, Y]는 다음 식을 통해 함수에 대한 작용으로 정의되는 벡터장이다.

:: $L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,$

7.7. 반단순 리 대수

반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 갖지 않는 리 대수이다. 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 반단순 리 대수는 완전히 분류되어 있다. 이들은 단순 리 대수들의 직합으로 표현되며, 단순 리 대수는 $\mathfrak a_n$ , $\mathfrak b_n$ , $\mathfrak c_n$ , $\mathfrak d_n$ 의 네 가지 무한 족과 $\mathfrak e_6$ , $\mathfrak e_7$ , $\mathfrak e_8$ , $\mathfrak f_4$ , $\mathfrak g_5$ 의 다섯 가지 예외적 단순 리 대수로 분류된다.

반단순 리 대수의 분류는 카르탕 부분 대수와 근계의 개념을 통해 이루어진다. 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 안에 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h$ 를 잡으면, $\mathfrak g$ 는 근계 $\Phi$ 에 의해 결정되는 등급 리 대수를 이룬다.

7.8. 중심렬

군의 중심렬
: $G=G_0\ge G_1\ge\cdots$
이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 $i\in\mathbb N$ 에 대하여
: $[G_i,G_j]\le G_{i+j}$
라고 할 때, $G_i/G_{i+1}$ 은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하면,
: $L=\bigoplus_{i=0}^\infty G_i/G_{i+1}$
는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의한다.
: $[xG_i,yG_j]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}$
그러면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.

7.9. 호모토피 군

점을 가진 공간 $X$ 위의 호모토피 군 $\pi_k(X)$ 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

: $[,] \colon \pi_k(X)\times\pi_l(X)\to\pi_{k+l-1}(X)$

이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군

: $\mathfrak g_k=\pi_{k-1}(X;\mathbb Q)$

을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.

7.10. 기타 예

* 비라소로 대수는 2차원 등각 장론과 끈 이론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.
* 아핀 리 대수와 그 일반화인 카츠-무디 대수는 무한 차원 리 대수의 예이다.
* 하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.
* Kac–무디 대수는 $\mathfrak{sl}(n,\C)$ 와 같은 유한 차원 단순 리 대수와 유사한 구조를 갖는 무한 차원 리 대수이다.
* 모얄 대수는 모든 고전 리 대수를 부분 대수로 포함하는 무한 차원 리 대수이다.

8. 역사

소푸스 리는 1870년대에 무한소 변환 개념을 연구하면서 리 대수를 도입했으며, 1880년대에는 빌헬름 킬링이 독자적으로 발견했다. 1930년대에 헤르만 바일이 '리 대수'라는 이름을 붙였는데, 이전에는 '무한소군'이라는 용어가 사용되었다.

리 대수는 그 자체로도 연구되지만, 역사적으로는 리 군 연구를 위한 도구로 등장했다. 리 군과 리 대수의 관계는 리의 기본 정리에 의해 설명된다. 모든 리 군은 표준적으로 리 대수를 결정하며, 반대로 모든 리 대수에 대해 대응하는 연결 리 군이 존재한다(리의 제3 정리, Baker–Campbell–Hausdorff formula^영어 참조). 이 리 군은 유일하게 결정되지는 않지만, 같은 리 대수를 갖는 연결 리 군들은 국소 동형이며, 특히 같은 보편 피복을 갖는다. 예를 들어 특수 직교군 SO(3)과 특수 유니타리 군 SU(2)는 같은 리 대수를 가지며, 이는 크로스 곱을 갖는 R³과 동형이다. SU(2)는 SO(3)의 단일 연결 이중 피복이다.