완비 범주

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1. 개요

완비 범주는 범주론에서 정의되는 개념으로, 작은 극한을 갖는 범주를 의미한다. 쌍대 완비 범주는 쌍대극한을 갖는 범주이며, 유한 완비 범주는 유한 개의 대상과 사상을 갖는 범주에 대한 극한을 갖는 범주이다. 완비 범주는 동등자와 곱을 가지며, 유한 완비 범주는 동등자, 이항 곱, 끝 대상을 갖거나, 당김과 끝 대상을 가진다. 완비 범주, 쌍대 완비 범주, 유한 완비 범주에 대한 다양한 예시가 존재하며, 대수 구조 다양체의 범주, 작은 범주의 범주 등이 완비 범주이자 쌍대 완비 범주에 해당한다.

완비 범주

정의

정의	범주 내의 모든 작은 도표가 극한을 가지면 완비 범주라고 한다.

쌍대 개념	쌍대 완비
더 약한 조건	유한 완비

존재 조건	범주가 동등화자를 가지고 모든 집합 크기의 곱을 가지면 완비 범주이다.
함의 관계	완비 범주는 유한 완비이다.
함의 관계	완비 범주는 쌍대 완비인 경우 균형을 이룬다.

집합의 범주	집합과 함수로 이루어진 범주는 완비 범주이다.
작은 범주의 범주	작은 범주와 관사로 이루어진 범주는 완비 범주이다.
술형식의 범주	술형식으로 이루어진 범주는 완비 범주이다.
술형식 위의 술형식 범주	술형식 위의 술형식 범주는 완비 범주이다.
술형식 위의 술형식 범주	사유적 그래프 범주는 완비 범주이다.

참고 문헌	Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the Working Mathematician》 (영어) (2nd edition ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, 편집. (2004). 《Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7.

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

* (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주 $\mathcal J$ 및 함자 $F\colon\mathcal J\to\mathcal C$ 에 대하여, $F$ 는 극한 $\varprojlim F$ 를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
* (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 동등자 $\operatorname{Eq}\{f,g\}$ 가 존재한다.
* (작은 곱의 존재) 임의의 $\mathcal C$ 의 대상들의 집합 $S\subseteq\mathcal C$ 에 대하여, 곱 $\prod S$ 가 존재한다.

* (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주 $\mathcal J$ 및 함자 $F\colon\mathcal J\to\mathcal C$ 에 대하여, $F$ 는 쌍대극한 $\varinjlim F$ 를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
* (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 쌍대동등자 $\operatorname{Coeq}\{f,g\}$ 가 존재한다.
* (작은 쌍대곱의 존재) 임의의 $\mathcal C$ 의 대상들의 집합 $S\subseteq\mathcal C$ 에 대하여, 쌍대곱 $\coprod S$ 가 존재한다.

* (유한 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주 $\mathcal J$ 및 함자 $F\colon\mathcal J\to\mathcal C$ 에 대하여, $F$ 는 극한 $\varprojlim F$ 를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
* (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 동등자 $\operatorname{Eq}\{f,g\}$ 가 존재한다.
* (유한 곱의 존재) 임의의 $\mathcal C$ 의 대상들의 유한 집합 $S\subseteq\mathcal C$ 에 대하여, 곱 $\prod S$ 가 존재한다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
* (당김의 존재) 임의의 $X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY$ 에 대하여, 당김 $X\times_ZY$ 가 존재한다.
* (끝 대상의 존재) 끝 대상 $1\in\mathcal C$ 가 존재한다.
* 다음 세 조건이 성립한다.
* (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 동등자 $\operatorname{Eq}\{f,g\}$ 가 존재한다.
* (이항 곱의 존재) 임의의 $\mathcal C$ 의 두 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 에 대하여, 곱 $X\times Y$ 가 존재한다.
* (끝 대상의 존재) 끝 대상 $1\in\mathcal C$ 가 존재한다.

2.1. 완비 범주

범주 $\mathcal C$ 가 다음 두 조건과 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다.

* (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주 $\mathcal J$ 및 함자 $F\colon\mathcal J\to\mathcal C$ 에 대하여, $F$ 는 극한 $\varprojlim F$ 를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
* (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 동등자 $\operatorname{Eq}\{f,g\}$ 가 존재한다.
* (작은 곱의 존재) 임의의 $\mathcal C$ 의 대상들의 집합 $S\subseteq\mathcal C$ 에 대하여, 곱 $\prod S$ 가 존재한다.

극한의 존재 정리에 따르면, 범주가 모든 (모든 사상의 쌍에 대한) 동등자와 모든 (작은) 곱을 가지는 것은 완비 범주가 되기 위한 필요충분 조건이다. 동등자는 당김과 이진 곱으로부터 구성될 수 있으므로(대각선 Δ를 따라 ('f', 'g')의 당김을 고려), 범주는 당김과 곱을 가지는 경우에만 완비 범주가 된다.

작은 범주 C가 완비 범주이면 코완비 범주이다. 작은 완비 범주는 필연적으로 얇다.

포셋 범주는 자명하게 모든 동등자와 공동등자를 가지므로, 모든 (유한) 곱을 가지는 경우에만 (유한) 완비 범주가 되며, 코완비성에 대해서도 쌍대적으로 성립한다. 유한성 제한이 없으면, 모든 곱을 가진 포셋 범주는 완전 격자에 관한 정리에 의해 자동적으로 코완비 범주가 되며, 쌍대적으로도 성립한다.

2.2. 쌍대 완비 범주

범주 $\mathcal C$ 는 다음 두 조건과 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주(雙對完備範疇, cocomplete category^영어)라고 한다.
* (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주 $\mathcal J$ 및 함자 $F\colon\mathcal J\to\mathcal C$ 에 대하여, $F$ 는 쌍대극한 $\varinjlim F$ 를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
(쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 쌍대동등자 $\operatorname{Coeq}\{f,g\}$ 가 존재한다.
(작은 쌍대곱의 존재) 임의의 $\mathcal C$ 의 대상들의 집합 $S\subseteq\mathcal C$ 에 대하여, 쌍대곱 $\coprod S$ 가 존재한다.

2.3. 유한 완비 범주

범주 $\mathcal C$ 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다.

* (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주 $\mathcal J$ 및 함자 $F\colon\mathcal J\to\mathcal C$ 에 대하여, $F$ 는 극한 $\varprojlim F$ 를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
(동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 동등자 $\operatorname{Eq}\{f,g\}$ 가 존재한다.
(유한 곱의 존재) 임의의 $\mathcal C$ 의 대상들의 유한 집합 $S\subseteq\mathcal C$ 에 대하여, 곱 $\prod S$ 가 존재한다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
(당김의 존재) 임의의 $X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY$ 에 대하여, 당김 $X\times_ZY$ 가 존재한다.
(끝 대상의 존재) 끝 대상 $1\in\mathcal C$ 가 존재한다.
* 다음 세 조건이 성립한다.
(동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 동등자 $\operatorname{Eq}\{f,g\}$ 가 존재한다.
(이항 곱의 존재) 임의의 $\mathcal C$ 의 두 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 에 대하여, 곱 $X\times Y$ 가 존재한다.
** (끝 대상의 존재) 끝 대상 $1\in\mathcal C$ 가 존재한다.

3. 성질

작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 완비 범주이다.
* 쌍대 완비 범주이다.

또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.

모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이다.

극한의 존재 정리로부터, 범주는 모든 (모든 사상의 쌍에 대한) 동등자와 모든 (작은) 곱을 가지는 필요충분 조건일 때 완비 범주가 된다는 것을 알 수 있다. 동등자는 당김과 이진 곱으로부터 구성될 수 있으므로, 범주는 당김과 곱을 가지는 경우에만 완비 범주가 된다.

쌍대적으로, 범주는 공동등자와 모든 (작은) 공곱을 가지거나, 동등하게는 푸시 아웃과 공곱을 가지는 경우에만 코완비 범주가 된다.

포셋 범주는 자명하게 모든 동등자와 공동등자를 가지므로, 모든 (유한) 곱을 가지는 경우에만 (유한) 완비 범주가 되며, 코완비성에 대해서도 쌍대적으로 성립한다. 유한성 제한이 없으면, 모든 곱을 가진 포셋 범주는 완전 격자에 관한 정리에 의해 자동으로 코완비 범주가 되며, 쌍대적으로도 성립한다.

4. 예

대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ , 군의 범주 $\operatorname{Grp}$ , 아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$ , 환의 범주 $\operatorname{Ring}$ , 가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$ , 환 $R$ 위의 왼쪽 가군들의 범주 $R\text{-Mod}$ 등은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 작은 범주들의 범주 $\operatorname{Cat}$ 역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

부분 순서 집합 $P$ 를 얇은 범주로 간주하였을 때, $P$ 가 완비 범주인 것과 $P$ 가 완비 격자인 것은 동치이다. 군 $G$ 를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, $G$ 가 완비 범주인 것과 $G$ 가 자명군인 것은 동치이다.

이 밖에도 Set (집합 범주), Top (위상 공간 범주), Grp (군 범주), Ab (아벨 군 범주), Ring (환 범주), K-Vect (체 K 위의 벡터 공간 범주), R-Mod (가환환 R 위의 가군 범주), CmptH (모든 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주), Cat (모든 작은 범주의 범주), Whl (휠의 범주), sSet (심플리셜 집합의 범주) 등이 완비 범주이다.

유한 집합의 범주, 유한 아벨 군의 범주, 유한 차원 벡터 공간의 범주는 유한 완비 및 유한 쌍대 완비이지만 완비 범주도, 쌍대 완비 범주도 아니다. 모든 (준) 아벨 범주는 유한 완비 및 유한 쌍대 완비이다.

완전 격자의 범주는 완비 범주이지만 쌍대 완비 범주는 아니다. 거리 공간 범주, Met는 유한 완비 범주이지만 이진 쌍대곱도 무한 곱도 갖지 않는다. 체 범주, Field는 유한 완비 범주도, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 작은 범주로 간주되는 포셋은 완전 격자인 경우에만 완비 범주 (및 쌍대 완비 범주)이다. 모든 서수의 부분 순서 집합은 쌍대 완비 범주이지만 완비 범주는 아니다 (종단 객체가 없기 때문). 단일 객체를 가진 범주로 간주되는 군은 자명군인 경우에만 완비 범주이다. 비자명군은 당김과 밀기를 가지지만 곱, 쌍대곱, 등자, 쌍대 등자, 종단 객체 또는 시작 객체는 갖지 않는다.

4.1. 완비 범주이자 쌍대 완비 범주

대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

* 집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$
* 군의 범주 $\operatorname{Grp}$
* 아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$
* 환의 범주 $\operatorname{Ring}$
* 가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$
* 환 $R$ 에 대하여, $R$ 위의 왼쪽 가군들의 범주 $R\text{-Mod}$

작은 범주들의 범주 $\operatorname{Cat}$ 역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

Top (위상 공간 범주), CmptH (모든 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주), Whl (휠의 범주), sSet (심플리셜 집합의 범주) 역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

4.2. 완비 범주 또는 쌍대 완비 범주

부분 순서 집합 $P$ 를 얇은 범주로 간주하는 경우와 군 $G$ 를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하는 경우, 다음 두 조건은 각각 동치이다.

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범주	조건 1	조건 2
$P$	$P$ 는 완비 범주이다.	$P$ 는 완비 격자이다.
$G$	$G$ 는 완비 범주이다.	$G$ 는 자명군이다.

* 다음 범주는 완비이지만 쌍대 완비는 아니다.
완전 격자의 범주

* 다음 범주는 유한 완비이지만 이진 쌍대곱도 무한 곱도 갖지 않는다.
거리 공간 범주, Met

* 다음 범주는 쌍대 완비이지만 완비는 아니다.
** 모든 서수들의 부분 순서 집합 (종단 객체가 없기 때문)

4.3. 유한 완비/쌍대 완비 범주

다음 범주들은 유한 완비 및 유한 쌍대 완비이지만 완비도, 쌍대 완비도 아니다.

* 유한 집합의 범주
* 유한 아벨 군의 범주
* 유한 차원 벡터 공간의 범주

모든 (준) 아벨 범주는 유한 완비 및 유한 쌍대 완비이다.

4.4. 완비/쌍대 완비 범주가 아닌 범주

체의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 곱이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.

단일 객체를 가진 범주로 간주되는 군은 자명군인 경우에만 완비이다. 비자명군은 당김과 밀기를 가지지만 곱, 쌍대곱, 등자, 쌍대 등자, 종단 객체 또는 시작 객체는 갖지 않는다.