작은 범주

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1. 개요

작은 범주는 주어진 그로텐디크 전체 U에 대해, 대상과 사상이 U의 원소인 범주를 의미한다. U-작은 범주, 함자, 자연 변환들은 2-범주 Catᵤ를 이루며, 범주들의 모임을 다루기 위해 그로텐디크 전체를 사용한다. 임의의 범주 C가 모든 대상 X, Y에 대해 homC(X, Y)가 U에 속하면 U-국소적으로 작은 범주라고 한다. Catᵤ는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 데카르트 닫힌 범주이기도 하다. 작은 범주와 범주의 동치는 특정 조건을 만족하는 경우에 성립하며, U-작은 아벨 범주의 유도 범주는 일반적으로 U-작은 범주가 아니다.

작은 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 작은 범주
- 2.2. 국소적으로 작은 범주
3. 연산
- 3.1. 극한과 쌍대극한
- 3.2. 데카르트 닫힌 범주
4. 성질
- 4.1. 범주의 동치
- 4.2. 함자
5. 예

2. 정의

범주들의 모임을 다루기 위해 그로텐디크 전체를 사용한다.

2.1. 작은 범주

그로텐디크 전체 $\mathcal U$가 주어졌다고 하자. $\mathcal U$-작은 범주 $\mathcal C$는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.
* $\mathcal C$의 대상들은 집합 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$을 이루며, 이는 $\mathcal U$의 원소이다.
* $\mathcal C$의 사상들은 집합 $\operatorname{Mor}(\mathcal C)$을 이루며, 이는 $\mathcal U$의 원소이다.
$\mathcal U$-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 $\operatorname{Cat}_{\mathcal U}$라고 표기한다.

2.2. 국소적으로 작은 범주

임의의 범주 $\mathcal C$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $\mathcal U$ -국소적으로 작은 범주( $\mathcal U$ -局所的으로 작은範疇, locally $\mathcal U$ -small category^영어)라고 한다.
* 임의의 두 대상 $X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $\hom_{\mathcal C}(X,Y)\in\mathcal U$ 이다.

3. 연산

Cat^영어는 U-완비 범주이자 U-쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 U-작은 범주 I 및 함자 D: I → Cat에 대하여, D는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 또한, Cat는 U-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 hom(-,-)은 (두 U-작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 Cat(-,-)이다.

3.1. 극한과 쌍대극한

Cat_U는 임의의 U-작은 범주 I 및 함자 D: I → Cat_U에 대하여 극한과 쌍대극한을 갖는다.

* Cat_U의 시작 대상은 Ob(0)=Mor(0)=∅인 유일한 범주 0이다.
* Cat_U의 끝 대상은 Ob(1)={•} (한원소 집합)이며, Mor(1)={id_•}인 유일한 범주 1이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.)

3.2. 데카르트 닫힌 범주

$\operatorname{Cat}_{\mathcal U}$ 는 $\mathcal U$ -국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 $\hom(-,-)$ 은 (두 $\mathcal U$ -작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 $\operatorname{Cat}(-,-)$ 이다. 다시 말해, 두 $\mathcal U$ -작은 범주 사이의 함자 범주는 $\mathcal U$ -작은 범주이다.

4. 성질

$\mathcal U$ -국소적으로 작은 범주 $\mathcal C$ 에서, 임의의 기수 $\kappa\le|\mathcal U|$ 와 임의의 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여, 곱 $X^{\times\kappa}$ 이 존재하면 $\mathcal C$ 는 원순서 집합이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 두 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 에 대하여, 사상 집합 $\hom_{\mathcal C}(X,Y^$

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)의 크기는

\left|\hom_{\mathcal C}(X,Y^

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)\right| = |\hom_{\mathcal C}(X,Y)|^

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이다. 정의에 따라

\left|\hom_{\mathcal C}(X,Y^

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좌우로 밀어서 보기

)\right| < |\mathcal U|이므로, 칸토어의 정리에 의해

|\hom_{\mathcal C}(X,Y)| \le 1

임을 알 수 있다.

4.1. 범주의 동치

범주 $\mathcal C$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $\mathcal C$ 는 $\mathcal U$ -작은 범주와 동치이다.
* $\mathcal C$ 는 $\mathcal U$ -국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주 $\operatorname{PSh}(\mathcal C)=\operatorname{Set}_{\mathcal U}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}$ 역시 $\mathcal U$ -국소적으로 작은 범주이다.

4.2. 함자

forgetful functor^영어

: $\operatorname{Ob} \colon \operatorname{Cat}_{\mathcal U}\to\operatorname{Set}_{\mathcal U}$

: $\operatorname{Ob} \colon \mathcal C\mapsto \operatorname{Ob}(\mathcal U)$

위 함자는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 $S$ 를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.

* 대상은 $S$ 의 원소이다.
* 모든 사상은 항등 사상이다.

5. 예

U-작은 아벨 범주 A의 유도 범주 D(A)는 일반적으로 U-작은 범주가 아니다. 칸토어 역설에 따라, Catᵤ는 Catᵤ의 대상이 아니다.