두 점 사이의 거리
"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
1. 개요
두 점 사이의 거리는 좌표 평면에서 두 점 사이의 길이를 계산하는 데 사용되는 수학적 개념이다. 삼각함수의 덧셈정리를 유도하는데 사용되며, 두 점 사이의 거리를 이용하여 삼각함수 계산, 삼각함수 방정식 및 부등식 풀이, 물리학 및 공학 문제 해결 등에 활용된다.
📚 더 읽어볼만한 페이지
기하학 -
밀러 지수 밀러 지수는 결정학에서 결정 면과 방향을 나타내기 위해 사용되는 지수이며, 역격자 벡터 또는 격자 벡터 절편의 역수를 통해 정의되며, 물질의 물리적, 화학적 성질 및 기술적 응용에 중요한 역할을 한다.
기하학 -
반지름 반지름은 원의 중심에서 원 위의 점까지의 거리로, 원의 지름과 둘레, 넓이 계산에 사용될 뿐 아니라 정다각형 외접원, 그래프 이론, 극좌표계 등 다양한 분야에서 활용되며, 여러 도형의 반지름을 구하는 공식이 존재하고 한국의 교육, 건축, 디자인 분야에서도 널리 쓰인다.
2. 삼각함수의 덧셈정리
300px 원 과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,l = \sqrt {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2} 이므로,P= (cos \; \alpha, sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (cos \beta, sin \beta) \overline{PQ}^2= (cos \beta - cos \; \alpha )^2 + ( sin \beta - sin \; \alpha)^2 = \left ( (cos \beta - cos \; \alpha ) \cdot (cos \beta - cos \; \alpha ) \right) + \left( ( sin \beta - sin \; \alpha) \cdot (- sin \beta - sin \; \alpha) \right) = \left ( (cos \beta)^2 - 2cos \alpha cos \beta + (cos \; \alpha)^2 \right) + \left( ( sin \beta)^2 -2 sin\alpha sin \beta + (sin \alpha)^2 \right) = (cos \beta)^2 + (cos \; \alpha)^2 + ( sin \beta)^2 + (sin \alpha)^2 - 2cos \alpha cos \beta -2 sin\alpha sin \beta = (cos^2 \beta + cos \; \alpha^2 ) + ( sin^2 \beta + sin^2 \alpha ) - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각 함수 항등식 의 피타고라스 정리 에서, \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 = 1 + 1 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 제2코사인법칙 에서\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ} cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1 cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) cos \left({ \alpha-\beta} \right)= \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각함수의 덧셈정리 이다.
2.1. 유도 과정
300px 원 과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,l = \sqrt {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2} 이므로,P= (cos \; \alpha, sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (cos \beta, sin \beta) \overline{PQ}^2= (cos \beta - cos \; \alpha )^2 + ( sin \beta - sin \; \alpha)^2 = \left ( (cos \beta - cos \; \alpha ) \cdot (cos \beta - cos \; \alpha ) \right) + \left( ( sin \beta - sin \; \alpha) \cdot (- sin \beta - sin \; \alpha) \right) = \left ( (cos \beta)^2 - 2cos \alpha cos \beta + (cos \; \alpha)^2 \right) + \left( ( sin \beta)^2 -2 sin\alpha sin \beta + (sin \alpha)^2 \right) = (cos \beta)^2 + (cos \; \alpha)^2 + ( sin \beta)^2 + (sin \alpha)^2 - 2cos \alpha cos \beta -2 sin\alpha sin \beta = (cos^2 \beta + cos \; \alpha^2 ) + ( sin^2 \beta + sin^2 \alpha ) - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각 함수 항등식 의 피타고라스 정리 에서, \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 = 1 + 1 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 제2코사인법칙 에서\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ} cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1 cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) cos \left({ \alpha-\beta} \right)= \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각함수의 덧셈정리 이다.
2.1.1. 두 점 사이의 거리를 이용한 유도
300px 원 과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,l = \sqrt {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2} 이므로,P= (cos \; \alpha, sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (cos \beta, sin \beta) \overline{PQ}^2= (cos \beta - cos \; \alpha )^2 + ( sin \beta - sin \; \alpha)^2 = \left ( (cos \beta - cos \; \alpha ) \cdot (cos \beta - cos \; \alpha ) \right) + \left( ( sin \beta - sin \; \alpha) \cdot (- sin \beta - sin \; \alpha) \right) = \left ( (cos \beta)^2 - 2cos \alpha cos \beta + (cos \; \alpha)^2 \right) + \left( ( sin \beta)^2 -2 sin\alpha sin \beta + (sin \alpha)^2 \right) = (cos \beta)^2 + (cos \; \alpha)^2 + ( sin \beta)^2 + (sin \alpha)^2 - 2cos \alpha cos \beta -2 sin\alpha sin \beta = (cos^2 \beta + cos \; \alpha^2 ) + ( sin^2 \beta + sin^2 \alpha ) - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각 함수 항등식 의 피타고라스 정리 에서, \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 = 1 + 1 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 제2코사인법칙 에서\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ} cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1 cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) cos \left({ \alpha-\beta} \right)= \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각함수의 덧셈정리 이다.
2.1.2. 제2 코사인 법칙을 이용한 유도
300px 원 과 그 원의 중심점에 한 점을 두는 삼각형을 예약하고,l = \sqrt {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2} 이므로,P= (cos \; \alpha, sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (cos \beta, sin \beta) \overline{PQ}^2= (cos \beta - cos \; \alpha )^2 + ( sin \beta - sin \; \alpha)^2 = \left ( (cos \beta - cos \; \alpha ) \cdot (cos \beta - cos \; \alpha ) \right) + \left( ( sin \beta - sin \; \alpha) \cdot (- sin \beta - sin \; \alpha) \right) = \left ( (cos \beta)^2 - 2cos \alpha cos \beta + (cos \; \alpha)^2 \right) + \left( ( sin \beta)^2 -2 sin\alpha sin \beta + (sin \alpha)^2 \right) = (cos \beta)^2 + (cos \; \alpha)^2 + ( sin \beta)^2 + (sin \alpha)^2 - 2cos \alpha cos \beta -2 sin\alpha sin \beta = (cos^2 \beta + cos \; \alpha^2 ) + ( sin^2 \beta + sin^2 \alpha ) - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각 함수 항등식 의 피타고라스 정리 에서, \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 = 1 + 1 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 제2코사인법칙 에서\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ} cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1 cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) cos \left({ \alpha-\beta} \right)= \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각함수의 덧셈정리 이다.
2.1.3. 기하학적 증명
300px 원 과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,l = \sqrt {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2} 이므로,P= (cos \; \alpha, sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (cos \beta, sin \beta) \overline{PQ}^2= (cos \beta - cos \; \alpha )^2 + ( sin \beta - sin \; \alpha)^2 = \left ( (cos \beta - cos \; \alpha ) \cdot (cos \beta - cos \; \alpha ) \right) + \left( ( sin \beta - sin \; \alpha) \cdot (- sin \beta - sin \; \alpha) \right) = \left ( (cos \beta)^2 - 2cos \alpha cos \beta + (cos \; \alpha)^2 \right) + \left( ( sin \beta)^2 -2 sin\alpha sin \beta + (sin \alpha)^2 \right) = (cos \beta)^2 + (cos \; \alpha)^2 + ( sin \beta)^2 + (sin \alpha)^2 - 2cos \alpha cos \beta -2 sin\alpha sin \beta = (cos^2 \beta + cos \; \alpha^2 ) + ( sin^2 \beta + sin^2 \alpha ) - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각 함수 항등식 의 피타고라스 정리 에서, \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 = 1 + 1 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 제2코사인법칙 에서\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ} cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1 cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) cos \left({ \alpha-\beta} \right)= \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right) 삼각함수의 덧셈정리 이다.
2.2. 공식 목록
3. 덧셈정리의 활용
3.1. 삼각함수 계산
3.2. 삼각함수 방정식 및 부등식
3.3. 물리학에서의 활용
3.4. 공학에서의 활용
4. 역사
