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피타고라스 정리

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목차

1. 개요

피타고라스 정리는 직각삼각형의 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 기하학적 정리이다. 이 정리는 a^2 + b^2 = c^2로 표현되며, 여기서 c는 빗변의 길이이고 a와 b는 직각을 이루는 두 변의 길이이다. 피타고라스 정리는 코사인 법칙의 특수한 경우이며, 삼각형의 변의 길이를 통해 직각, 둔각, 예각삼각형을 판별하는 데 사용될 수 있다. 또한, 피타고라스 정리는 유클리드 공간, 내적 공간 등에서 일반화되어 사용되며, 여러 가지 증명 방법이 존재한다. 한국에서는 조선 시대 실학자 홍대용의 저서 《주해수용》에 '구고현의 정리'라는 이름으로 소개되었다.

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피타고라스 정리
기본 정보
유형정리
분야유클리드 기하학
내용두 변 () 위의 두 정사각형의 넓이의 합은 빗변 () 위의 정사각형의 넓이와 같다.
기호 표현a^2 + b^2 = c^2
일반화
일반화코사인 법칙
입체 기하학
비유클리드 기하학
미분 기하학
결과
결과피타고라스 수
역 피타고라스 정리
복소수
유클리드 거리
피타고라스 삼각항등식
명칭
한국어피타고라스 정리, 삼제곱의 정리, 구고현의 정리
영어Pythagorean theorem, Pythagoras' theorem
문화어세 평방의 정리
추가 정보
관련 수학자피타고라스
기호, ,
좌표 평면점 과 점 사이의 거리는 + y}}}} 이다.

2. 정의

직각삼각형의 빗변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 할 때, 다음 등식이 성립한다.

:a^2+b^2=c^2

즉, c의 제곱은 a와 b의 제곱의 합이다. 다시 말해, c를 변으로 하는 정사각형의 넓이는 a를 변으로 하는 정사각형의 넓이와 b를 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.

피타고라스 정리의 재배열 증명.
(흰색 공간의 넓이는 삼각형의 재배열 과정 내내 일정하게 유지된다. 모든 순간 넓이는 항상 '''c²'''이다. 마찬가지로 모든 순간 넓이는 항상 '''a²+b²'''이다.)


변의 길이가 a + b인 두 개의 정사각형을 사용한 재배치 증명을 통해 위 등식이 성립함을 알 수 있다.[2]

영국의 수학자 토마스 히스는 유클리드의 ''원론''의 명제 I.47에 대한 주석에서 이 증명을 제시하고, 독일 수학자 칼 안톤 브레트슈나이더와 헤르만 한켈이 피타고라스가 이 증명을 알고 있었을 가능성을 제기했다고 언급한다. 히스 자신은 피타고라스의 증명에 대한 다른 제안을 선호하지만, "피타고라스 이후 처음 5세기 동안 우리가 소유하고 있는 그리스 문헌에는 이것이나 다른 어떤 특별한 위대한 기하학적 발견을 그에게 특정적으로 언급하는 진술이 없다"고 인정한다.[3] 최근 학문적 연구는 수학 창시자로서 피타고라스의 역할에 대해 의문을 제기하고 있지만, 이에 대한 논쟁은 계속되고 있다.[4]

이 정리는 코사인 법칙에 의해 일반적인 삼각형으로 확장될 수 있다. 즉, 임의의 삼각형에서 한 내각의 크기와 그 내각을 끼고 있는 두 변의 길이를 알면, 나머지 변(대변)의 길이를 계산할 수 있다. 특히 이 내각의 크기가 직각인 경우, 코사인 법칙은 피타고라스의 등식으로 귀결된다.

2. 1. 다른 형식

피타고라스 정리는 직각 삼각형의 세 변 중 두 변의 길이를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구하는 데 사용될 수 있다. 직각 삼각형에서 빗변의 길이를 모를 경우, 다음 방정식으로 계산할 수 있다.

:c=\sqrt{a^2+b^2}

빗변과 다른 한 변의 길이를 알고 있다면, 나머지 한 변의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:a=\sqrt{c^2-b^2}

또는

:b=\sqrt{c^2-a^2}

여기서 x가 음이 아닌 실수일 때, \sqrt x는 x의 음이 아닌 제곱근을 나타낸다.

코사인 법칙은 피타고라스 정리를 일반화한 것으로, 임의의 삼각형에서 두 변의 길이와 그 사이 각의 크기를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 계산할 수 있게 해준다. 만약 두 변 사이의 각도가 직각이라면 코사인 법칙은 피타고라스 방정식으로 간단해진다.

2. 2. 피타고라스 삼조

피타고라스 정리의 관계를 만족시키는 세 양의 정수의 쌍을 '''피타고라스 삼조'''라고 한다. 예를 들어 (3, 4, 5)는 피타고라스 수이다.[1] 이러한 세 숫자의 집합은 일반적으로 (''a'', ''b'', ''c'')로 표기한다. 잘 알려진 예로는 (3, 4, 5)와 (5, 12, 13)이 있다.

원시 피타고라스 수는 ''a'', ''b'', ''c''가 서로소( ''a'', ''b'', ''c''의 최대공약수가 1)인 경우이다. 100보다 작은 값을 갖는 원시 피타고라스 수는 다음과 같다.[99]

:(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

피타고라스 수에는 다음과 같은 성질이 있다.

  • ''a'' 또는 ''b''는 4의 배수이다.
  • ''a'' 또는 ''b''는 3의 배수이다.
  • ''a'' 또는 ''b'' 또는 ''c''는 5의 배수이다.

따라서, 곱 ''abc''는 60의 배수이다.자연수의 쌍 (''a'', ''b'', ''c'')가 원시 피타고라스 수이기 위한 필요충분조건은, 어떤 자연수 ''m'', ''n''이 다음 조건을 만족할 때,

  • ''m'', ''n''은 서로소이다.
  • ''m'' > ''n''
  • ''m''과 ''n''의 홀짝이 다르다(하나는 짝수, 다른 하나는 홀수).


위 조건을 만족하는 자연수 ''m'', ''n''에 대해,

:(''a'', ''b'', ''c'') = (''m''2 - ''n''2, 2''mn'', ''m''2 + ''n''2) 또는 (2''mn'', ''m''2 - ''n''2, ''m''2 + ''n''2)

가 성립한다.[100][101]

''a'' < ''b''를 만족하는 원시 피타고라스 수를 ''a''의 오름차순으로 나열하면 다음과 같다.[102]

{|class="wikitable"

|+원시 피타고라스 수 목록

|style="vertical-align:top"|

#mnabc
121345
23251213
34372425
44181517
55494041
665116061
761123537
876138485
98715112113
1081166365
119817144145
1210919180181
1352202129
141012099101
15111021220221
16121123264265
1712124143145
18131225312313
19141327364365
2072284553
2114128195197
22151429420421
23161531480481
2416132255257
2574335665



|style="vertical-align:top"|

#mnabc
26171633544545
27181735612613
2892367785
2918136323325
30191837684685
3185398089
32201939760761
3320140399401
34212041840841
35222143924925
3611244117125
3722144483485
3823224510121013
3924234711041105
4083485573
4124148575577
4225244912001201
4310751140149
4426255113001301
4513252165173
4626152675677
4727265314041405
4828275515121513
4928156783785
5011857176185



|style="vertical-align:top"|

#mnabc
5129285716241625
5230295917401741
531036091109
5415260221229
5530160899901
5631306118601861
5732316319841985
583216410231025
5994657297
6033326521122113
6134336722442245
6217268285293
633416811551157
64131069260269
6535346923802381
6636357125202521
673617212951297
6837367326642665
69141175308317
7038377528122813
7119276357365
723817614431445
7339387729642965
7440397931203121
754018015991601



|}

프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 일반적인 피타고라스 수 (''a'', ''b'', ''c'')에 대해, ''S'' = (1/2)''ab'' (직각삼각형의 넓이)는 제곱수가 아님을 무한강하법으로 증명했다.[103]

3. 증명

피타고라스 정리는 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다.


  • 재배열 증명: 한 변의 길이가 a + b인 두 개의 정사각형을 이용한다. 이 정사각형들은 각 변이 a, b, 빗변이 c인 네 개의 직각삼각형을 포함한다. 오른쪽 정사각형에서는 삼각형들이 직각의 꼭짓점이 정사각형의 꼭짓점과 일치하도록 배치되어 중앙에 변의 길이가 c인 정사각형을 형성한다. 각 외곽 정사각형의 넓이는 (a+b)²이자 2ab + c²이며, 2ab는 네 개의 삼각형의 총 넓이를 나타낸다. 왼쪽 큰 정사각형 안에서는 네 개의 삼각형을 움직여 변의 길이가 a와 b인 두 개의 유사한 직사각형을 만든다. 이 직사각형들은 두 개의 새로운 정사각형(변의 길이가 a인 정사각형, 변의 길이가 b인 정사각형)을 만든다. 이 새로운 위치에서 왼쪽 정사각형의 넓이는 (a+b)²이자 2ab + a² + b²이다.[2] 두 정사각형의 넓이가 모두 (a+b)²이므로, 2ab + c² = 2ab + a² + b²가 된다. 양변에서 2ab를 제거하면 a² + b² = c²가 남는다.[2]
  • 다른 증명: 두 번째 상자의 직사각형을 정사각형의 연속된 모서리와 한 꼭짓점이 일치하도록 배치할 수도 있다. 이 경우 넓이는 각각 a²과 b²인 두 개의 상자가 형성되며, 이는 다시 넓이가 2ab + a² + b²인 두 번째 정사각형을 만들어낸다.


토마스 히스 경은 유클리드의 ''원론'' 주석에서 이 증명을 제시하며, 칼 안톤 브레트슈나이더, 헤르만 한켈의 제안(피타고라스가 이 증명을 알고 있었을 가능성)을 언급한다. 히스는 피타고라스의 증명에 대한 다른 제안을 선호하지만, "피타고라스 이후 처음 5세기 동안 그리스 문헌에는 이것이나 다른 어떤 특별한 위대한 기하학적 발견을 그에게 언급하는 진술이 없다"고 인정한다.[3] 최근 학문적 연구는 수학 창시자로서 피타고라스의 역할에 대해 의문을 제기하고 있지만, 논쟁은 계속되고 있다.[4]

아인슈타인의 증명에 따라 빗변에 직각삼각형이 두 다리에 유사한 직각삼각형으로 분할됨


알베르트 아인슈타인은 도형 재배치가 필요 없는 분할을 통한 증명을 제시했다.[9] 빗변 위의 정사각형과 두 다리 위의 두 정사각형 대신, 빗변을 포함하는 다른 도형과 빗변 대신 각각 두 다리 중 하나를 포함하는 두 개의 닮은 도형을 사용할 수 있다. 아인슈타인의 증명에서 빗변을 포함하는 도형은 직각삼각형 자체이다. 삼각형의 직각 꼭짓점에서 빗변에 수선을 내려 전체 삼각형을 두 부분으로 나눈다. 이 두 부분은 원래의 직각삼각형과 같은 모양을 가지며, 원래 삼각형의 다리를 빗변으로 가지고, 그 넓이의 합은 원래 삼각형의 넓이와 같다. 직각삼각형의 넓이와 빗변의 제곱의 비율은 닮은 삼각형에 대해 동일하므로, 세 삼각형의 넓이 관계는 큰 삼각형 변의 제곱에도 적용된다.

면적 보존 전단 변환을 이용한 피타고라스 정리의 시각적 증명


면적을 보존하는 전단 사상과 평행 이동은 직각을 이루는 변의 제곱을 빗변의 제곱으로 변환하여 정확하게 덮을 수 있다.[18] 각 전단 변환은 밑변과 높이를 변경하지 않으므로 면적 또한 변경되지 않는다. 평행 이동 또한 모양을 전혀 변경하지 않으므로 면적을 변경하지 않는다. 각 정사각형은 먼저 평행사변형으로 전단 변환된 다음, 빗변의 제곱의 한 부분으로 이동할 수 있는 직사각형으로 변환된다.

이 외에도 피타고라스 수를 이용한 증명 등 수백 가지가 넘는 서로 다른 증명이 있다.

3. 1. 유클리드의 증명

유클리드는 그의 저서 원론에서 기하학적 방법을 사용하여 피타고라스 정리를 증명하였다.

유클리드의 원론에 실린 증명


그림에서, ABDE, ACFG, BCHJ는 모두 정사각형이다. C를 지나는 AB의 수선은 정사각형 ABDE를 직사각형 AELM과 BDLM으로 나눈다.

삼각형의 넓이는 '1/2 × 밑변 × 높이'이므로, 삼각형 ABG의 넓이는 정사각형 ACFG의 넓이의 절반이다. 마찬가지로, 삼각형 AEC의 넓이는 직사각형 AELM의 빨간색 부분 넓이의 절반이다.

삼각형 ABG를 A를 중심으로 시계 방향으로 90도 회전하면 삼각형 AEC를 얻으므로, SAS 합동에 따라 삼각형 ABG와 AEC는 합동이다. 서로 합동인 삼각형의 넓이는 같으므로, 두 삼각형의 넓이는 같다.

따라서, 정사각형 ACFG의 넓이는 직사각형 AELM의 넓이와 같다. 마찬가지로, 정사각형 BCHJ의 넓이는 직사각형 BDLM의 넓이와 같다. 따라서, 정사각형 ACFG와 BCHJ의 넓이의 합은 정사각형 ABDE의 넓이와 같다.

3. 2. 삼각형의 닮음을 통한 증명

삼각형의 닮음을 사용한 증명


피타고라스 정리는 삼각형의 닮음을 사용하여 증명할 수 있다.

그림에서 CH는 C를 지나는 빗변 AB의 수선이다.

삼각형 ACH와 ABC는 각 A를 공유하는 직각삼각형이므로, AA 닮음에 따라 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 CBH와 ABC도 서로 닮음이다. 따라서 대응변에 대한 비례식은 다음과 같이 성립한다.

:\frac{AC}{AH}=\frac{AB}{AC}

:\frac{BC}{BH}=\frac{AB}{BC}

즉, 다음이 성립한다.

:AC^2=AB\cdot AH

:BC^2=AB\cdot BH

이 두 식을 합하면 피타고라스 정리를 얻는다.

:AC^2+BC^2=AB\cdot AH+AB\cdot BH=AB\cdot(AH+BH)=AB^2

꼭짓점 C에서 빗변 AB에 내린 수선의 발을 H라고 하자. △ABC와 △ACH는 닮음이다. 따라서

:\text{AC}:\text{AH} = \text{AB}:\text{AC} \Longrightarrow \text{AH} = { \text{AC} \times \text{AC} \over \text{AB}} = {b^2 \over c}

이고, 마찬가지로

:\text{BH} = {a^2 \over c}

이다. 따라서

:c = \text{AH} + \text{BH} = {b^2 \over c} + {a^2 \over c}

이므로, 양변에 c를 곱하면

:c^2=a^2+b^2

을 얻는다.

3. 3. 대수적 증명

대수학적 증명


피타고라스 정리는 대수학의 방법을 사용하여 증명할 수 있다.[5]

그림과 같이, 직각변이 a,b, 빗변이 c인 4개의 직각 삼각형을 배열하여 큰 정사각형을 만들 수 있다.

이 큰 정사각형은 (a+b)를 변으로 하므로 그 넓이는 (a+b)^2이다. 이는 c를 변으로 하는 작은 정사각형의 넓이 c^2와 직각 삼각형의 넓이 \textstyle\frac 12ab의 4배의 합과 같다.

:(a+b)^2=c^2+4\cdot\frac 12ab=c^2+2ab

이를 정리하면 피타고라스 정리를 얻는다.

:c^2=(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2

대수적 증명


한 변의 길이가 ''a'', ''b'', ''c''인 직각삼각형 네 개를 그림과 같이 한 변의 길이가 ''c''인 정사각형 안에 배열할 수도 있다.[6] 이 삼각형들은 서로 닮았고 넓이는 \tfrac12ab이며, 작은 정사각형의 한 변의 길이는 (b-a)이고 넓이는 (b-a)^2이다. 따라서 큰 정사각형의 넓이는

:(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = b^2-2ab+a^2+2ab = a^2+b^2.

이 된다. 이것은 한 변의 길이가 ''c''이고 넓이가 ''c''2인 정사각형이므로,

:c^2 = a^2 + b^2.

가 된다.

재배열을 이용한 또 다른 증명을 보여주는 애니메이션


정교한 재배열을 이용한 증명


애니메이션은 재배열을 이용한 또 다른 증명을 보여준다. 변이 ''a'', ''b'', ''c''인 네 개의 합동인 직각삼각형을 작은 정사각형 주위에 배치하여 넓이가 ''c''2인 큰 정사각형을 만든다. 그런 다음 삼각형을 이동하여 변이 ''a''와 ''b''인 두 개의 직사각형을 만든다. 이 직사각형들과 작은 정사각형을 합치면 넓이가 ''a''2와 ''b''2인 두 개의 정사각형이 만들어지는데, 이들의 넓이의 합은 처음 큰 정사각형의 넓이와 같아야 한다.[16]

위쪽의 두 개의 정사각형은 파란색과 녹색 음영으로 표시된 대로 나뉘는데, 이 조각들을 재배열하면 밑변(빗변)에 있는 큰 정사각형에 맞출 수 있다. 반대로 큰 정사각형을 나누어 다른 두 정사각형에 맞출 수도 있다. 이처럼 한 도형을 여러 조각으로 나누어 재배열하여 다른 도형을 만드는 것을 도형 분할이라고 한다. 이는 큰 정사각형의 넓이가 두 개의 작은 정사각형의 넓이의 합과 같음을 보여준다.[17]

3. 4. 가필드의 증명

미국의 20대 대통령 제임스 가필드는 사다리꼴의 넓이를 이용하여 피타고라스 정리를 증명했다.[127]

제임스 가필드의 증명


두 평행한 변의 길이가 각각 a,b이고 이 두 변과 수직인 변의 길이가 a+b인 사다리꼴의 넓이는 다음 공식을 따른다.

:A=\frac{1}{2}(a+b)^2 = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2)

그림에서 삼각형 1, 2의 면적은 각각 \tfrac{1}{2} ab이고, 두 삼각형의 면적의 합은 ab이다.

삼각형 3의 면적은 A-ab=\frac{1}{2}(a^2+b^2)=\frac{1}{2}c^2이므로

이를 정리하면 피타고라스 정리를 얻는다.

:a^2+b^2=c^2

4. 역

피타고라스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 삼각형의 세 변 a, b, c가 a2 + b2 = c2를 만족시키면, 이 삼각형은 c를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.[25]

이 역정리는 유클리드의 ''원론''(제1권, 명제 48)에 다음과 같이 나온다. "삼각형에서 한 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다면, 나머지 두 변이 이루는 각은 직각이다."[26]

이는 코사인 법칙을 사용하거나, 피타고라스 정리 자체를 이용하여 증명할 수 있다.[27][28]

피타고라스 정리의 역은 삼각형이 직각삼각형인지, 예각삼각형인지, 둔각삼각형인지 판별하는 데 사용될 수 있다. 세 변 중 가장 긴 변을 c라고 하고 a + b > c라고 할 때 (그렇지 않으면 삼각부등식에 따라 삼각형이 존재하지 않는다), 다음과 같은 명제가 적용된다.[29]


  • a2 + b2 = c2이면, 삼각형은 직각삼각형이다.
  • a2 + b2 > c2이면, 삼각형은 예각삼각형이다.
  • a2 + b2 < c2이면, 삼각형은 둔각삼각형이다.


미국의 제임스 A. 가필드 대통령(당시 미국 하원 의원)이 피타고라스 정리의 역과 관련된 증명을 발표하기도 했다.[19][20][21]

4. 1. 역의 증명

피타고라스 정리의 역은 다음과 같이 증명할 수 있다.

삼각형 ABC에서, A, B, C의 대변 a, b, c가 a^2 + b^2 = c^2를 만족시킨다고 가정하자. 이때, 이 삼각형이 직각삼각형임을 보이면 된다.

임의의 점 C'을 잡고, C'를 꼭짓점으로 하는 직각을 만든다. 직각의 두 변 위에 A'C' = AC = b이고 B'C' = BC = a가 되도록 두 점 A', B'를 잡는다.

그러면 A'B'C'는 a, b를 직각변으로 하는 직각삼각형이 된다. 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 c가 된다. SSS 조건에 의해 삼각형 ABC와 A'B'C'는 합동이다. 따라서 각 C는 각 C'와 같이 직각이다. 즉, ABC는 c를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.[119]

다음은 피타고라스 정리를 사용하지 않고 역을 증명하는 방법이다.

\triangle ABC가 a^2 + b^2 = c^2을 만족한다고 하자. 선분 AB를 b^2 : a^2로 내분하는 점을 D라고 하면

:\begin{align}

\text{AD}

&= c \times \frac{b^2}{b^2+a^2} \\

&= c \times \frac{b^2}{c^2} \\

&= \frac{b^2}{c}

\end{align}

이다. 이로부터

:\text{AC} : \text{AD} =b:\frac{b^2}{c} = c:b = \text{AB} : \text{AC}

이므로 두 변의 비와 끼인각이 같다는 조건에 따라 \triangle \text{ACD} \sim \triangle \text{ABC}이다.

:\therefore \angle \text{ADC} = \angle \text{ACB}

마찬가지로

:\angle \text{BDC} = \angle \text{BCA}

가 되므로

:\angle \text{ADC} = \angle \text{ACB} = \angle \text{BDC}

이다.

따라서

:\angle \text{ADC} = \angle \text{BDC}

이다.

한편

:\angle \text{ADC} + \angle \text{BDC} = \pi

이므로, 위의 두 식에 의해

:\angle \text{ADC} = \angle \text{BDC} = \frac\pi{2}

이다.

따라서

:\angle \text{ACB} = \frac{\pi}{2}

이므로, \triangle ABC는 \angle C = \frac{\pi}{2}인 직각삼각형이다.[119]

5. 일반화

피타고라스 정리는 여러 가지 방법으로 일반화될 수 있다.


  • 닮은 도형으로의 확장:


기원전 5세기에 히포크라테스(키오스)는 피타고라스 정리가 정사각형뿐만 아니라 닮은 도형에도 적용된다는 것을 발견했다.[42] 유클리드는 그의 저서 ''원론''에서 이를 다음과 같이 기술했다.[43]

직각삼각형의 각 변을 대응변으로 하는 닮은 도형들을 그렸을 때, 작은 두 변 위의 도형들의 넓이의 합은 큰 변 위의 도형의 넓이와 같다.


이 확장은 원래 삼각형의 변이 세 합동인 도형들의 대응변이라는 가정 하에 이루어진다.[44] 유클리드의 증명은 볼록 다각형에만 적용되었지만, 오목 다각형이나 곡선 경계를 가진 닮은 도형에도 적용된다 (단, 도형 경계의 일부가 원래 삼각형의 변이어야 한다).[44]

이 일반화의 핵심은 평면 도형의 넓이가 선형 차원의 제곱에 비례한다는 것이다. 닮은 도형들의 넓이를 ''A'', ''B'', ''C'', 대응하는 변의 길이를 ''a'', ''b'', ''c''라고 하면, 다음이 성립한다.

:\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, ,

:\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C\, .

피타고라스 정리에 의해 ''a''2 + ''b''2 = ''c''2이므로, ''A'' + ''B'' = ''C''가 된다.

만약 피타고라스 정리를 사용하지 않고 ''A'' + ''B'' = ''C''임을 증명할 수 있다면, 역으로 이 논리를 통해 피타고라스 정리를 증명할 수도 있다. 예를 들어, 중심 삼각형을 빗변 위의 삼각형 ''C''로 복제하고, 다른 두 변 위에 중심 삼각형을 높이로 나누어 만든 닮은 직각삼각형 ''A''와 ''B''를 작도할 수 있다. 그러면 두 작은 삼각형의 넓이의 합은 세 번째 삼각형의 넓이와 같으므로, ''A'' + ''B'' = ''C''이고, 이를 통해 피타고라스 정리 ''a''2 + ''b''2 = ''c''2를 유도할 수 있다. (''재배치 없는 해체에 의한 아인슈타인의 증명 참조'')

닮은 삼각형에 대한 일반화, 녹색 영역 영역 C


닮은 직각삼각형을 사용한 피타고라스 정리


정오각형에 대한 일반화

  • 임의의 삼각형에 대한 일반화 (파푸스의 넓이 정리):


파푸스의 넓이 정리는 직각삼각형이 아닌 일반 삼각형에 대한 피타고라스 정리의 일반화이다. 세 변에 정사각형 대신 평행사변형을 사용한다 (정사각형은 특수한 경우). 빗변이 아닌 두 변에 있는 평행사변형의 넓이의 합은 가장 긴 변에 있는 평행사변형의 넓이와 같다. 단, 긴 변의 평행사변형은 특정 방식으로 구성되어야 한다 (그림의 화살표로 표시된 치수가 같아야 함).[49][50]

임의의 삼각형에 대한 일반화, 녹색 넓이


평행사변형 일반화 증명을 위한 구성


이 일반화는 서기 4세기에 알렉산드리아의 파푸스에 의해 제시되었다.[49][50]

  • 비유클리드 기하학:


피타고라스 정리는 유클리드 기하학의 공리에서 유도되므로, 비유클리드 기하학[61]에서는 성립하지 않는다. 예를 들어, 구면 기하학에서 단위 구의 8분원을 경계 짓는 직각삼각형은 세 변의 길이가 모두 π/2이고 모든 각이 직각이므로 피타고라스 정리를 만족하지 않는다.

구면삼각형

구면 기하학에서 반지름이 ''R''인 구면 위의 직각삼각형 (그림에서 γ가 직각)의 변의 길이가 ''a'', ''b'', ''c''일 때, 변들 사이의 관계는 다음과 같다.[63]

: \cos{\frac cR} = \cos{\frac aR} \, \cos{\frac bR}.

이 방정식은 구면 코사인 법칙의 특수한 경우이다.

쌍곡선 삼각형

쌍곡 기하학에서 가우스 곡률이 −1/''R''2인 공간에서 직각삼각형 (빗변의 길이가 ''c'')의 변의 길이가 ''a'', ''b''일 때, 변들 사이의 관계는 다음과 같다.[64]

: \cosh \frac{c}{R} = \cosh \frac{a}{R} \, \cosh \frac{b}{R}

여기서 cosh는 쌍곡 코사인이다. 이 공식은 쌍곡선 코사인 법칙의 특수한 형태이다.[65]

  • 내적 공간:


피타고라스 정리는 내적 공간으로 일반화될 수 있다.[53] 내적 공간에서 수직 개념은 직교 개념으로 대체된다. 두 벡터 '''v'''와 '''w'''의 내적 \langle \mathbf{v} , \mathbf{w}\rangle 가 0일 때 두 벡터는 직교한다.

길이는 벡터 '''v'''의 노름 ‖'''v'''‖으로 정의된다.[56]

:\lVert \mathbf{v} \rVert \equiv \sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} \, .

내적 공간에서 피타고라스 정리는 두 직교 벡터 '''v'''와 '''w'''에 대해 다음과 같이 표현된다.

:\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 = \left\| \mathbf{v} \right\|^2 + \left\| \mathbf{w} \right\|^2 .

이는 내적의 성질에 따른 결과이다.

피타고라스 정리는 직교하지 않는 벡터에 대한 ''평행사변형 법칙''으로 일반화될 수 있다.[56]

:2\|\mathbf v\|^2 +2 \|\mathbf w\|^2 = \|\mathbf {v + w} \|^2 +\| \mathbf{v-w}\|^2 \ ,

평행사변형 법칙에 관련된 벡터


피타고라스 항등식은 두 개 이상의 직교 벡터의 합으로 확장될 수 있다.[57]

5. 1. 코사인 법칙

코사인 법칙은 피타고라스 정리를 임의의 삼각형으로 확장한 것이다. 임의의 삼각형에서 세 변 a, b, c와 각 C (c의 대각) 사이에 다음 관계가 성립한다.[45]

:c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

여기서 \cos는 코사인을 나타낸다.

upright


코사인 법칙에 C = 90^\circ를 대입하면 피타고라스 정리를 얻을 수 있다. 즉, 피타고라스 정리는 코사인 법칙의 특수한 경우이다.[45]



타빗 이븐 쿠라(Thābit ibn Qurra)는 임의의 삼각형에서 각 θ에 대해 밑각이 θ인 이등변삼각형을 내접시켜 피타고라스 정리를 일반화했다.[47][48] 그는 세 삼각형의 변들 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다고 주장했다.

: a^2 +b^2 =c(r+s) \ .

여기서 r과 s는 이등변삼각형을 내접시켰을 때 변 c가 나누어지는 두 부분의 길이이다. θ가 90°에 가까워지면 r과 s는 겹치는 부분이 줄어들고, θ = 90°일 때 r + s = c가 되어 원래의 피타고라스 정리가 된다.

제2 코사인 법칙은 다음과 같다.

:

이 법칙은 피타고라스 정리를 C=90° 인 경우로 포함하며, 일반적인 삼각형에 대해 확장한 정리이다.

피타고라스 정리를 이미 알고 있다면, 코사인 법칙을 사용하여 증명할 수도 있다.

5. 2. 유클리드 거리

직교 좌표계에서의 거리 공식은 피타고라스 정리에서 유도된다.[36] 평면상의 두 점 (x_1, y_1)와 (x_2, y_2) 사이의 거리, 즉 유클리드 거리는 다음과 같이 주어진다.

: \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}.

보다 일반적으로, 유클리드 ''n''-공간에서 두 점 A = (a_1, a_2, \dots, a_n)와 B = (b_1, b_2, \dots, b_n) 사이의 유클리드 거리는 피타고라스 정리의 일반화를 통해 다음과 같이 정의된다.

:\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.

유클리드 거리 대신 이 값의 제곱(즉, 유클리드 제곱거리, 또는 SED)을 사용하면, 결과 방정식에서 제곱근을 피할 수 있으며, 단순히 좌표들의 SED의 합이 된다.

:(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2 = \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2.

제곱 형태는 두 점 모두에 대해 부드러운 볼록 함수이며, 최적화 이론과 통계학에서 널리 사용되며, 최소 제곱법의 기초를 형성한다.

5. 3. 노름 공간

내적 공간 (V,\langle\cdot,\cdot\rangle)의 두 벡터 v,w\in V가 직교하는 경우(즉, \langle v,w\rangle=0인 경우), 이 두 원소의 노름과 둘의 합의 노름 사이에는 다음 관계가 성립하며, 이를 노름 공간 위의 피타고라스 정리라고 한다.

:\Vert v+w\Vert^2=\Vert v\Vert^2+\Vert w\Vert^2

보다 일반적으로, n개의 벡터 v_1,\dots,v_n\in V가 쌍마다 직교하는 경우 (즉, \langle v_i,v_j\rangle가 대각 행렬을 이루는 경우), 이들의 노름과 합의 노름 사이에는 다음 관계가 성립한다.

:\Vert v_1+\cdots+v_n\Vert^2=\Vert v_1\Vert^2+\cdots+\Vert v_n\Vert^2

피타고라스 정리는 2차원 및 3차원 유클리드 공간의 일반화인 내적 공간으로 일반화될 수 있다.[53] 예를 들어, 함수는 함수 해석학에서처럼 내적 공간에서 무한히 많은 성분을 가진 벡터로 간주될 수 있다.[54]

내적 공간에서, 수직 개념은 직교 개념으로 대체된다. 두 벡터 '''v'''와 '''w'''는 내적 \langle \mathbf{v} , \mathbf{w}\rangle 가 0일 때 직교한다. 내적은 벡터의 점곱의 일반화이다. 점곱은 ''표준'' 내적 또는 ''유클리드'' 내적으로 불린다. 그러나 다른 내적도 가능하다.[55]

길이 개념은 벡터 '''v'''의 노름 ‖'''v'''‖ 개념으로 대체되며, 다음과 같이 정의된다.[56]

:\lVert \mathbf{v} \rVert \equiv \sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} \, .

내적 공간에서, '''피타고라스 정리'''는 임의의 두 직교 벡터 '''v'''와 '''w'''에 대해 다음이 성립함을 나타낸다.

:\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 = \left\| \mathbf{v} \right\|^2 + \left\| \mathbf{w} \right\|^2 .

여기서 벡터 '''v'''와 '''w'''는 벡터 합 '''v''' + '''w'''로 주어진 빗변을 가진 직각삼각형의 변과 유사하다. 이 형태의 피타고라스 정리는 내적의 성질의 결과이다.

:\begin{align}

\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2

&= \langle \mathbf{ v+w},\ \mathbf{ v+w}\rangle \\[3mu]

&= \langle \mathbf{ v},\ \mathbf{ v}\rangle +\langle \mathbf{ w},\ \mathbf{ w}\rangle +\langle\mathbf{ v,\ w }\rangle + \langle\mathbf{ w,\ v }\rangle \\[3mu]

&= \left\| \mathbf{v}\right\|^2 + \left\| \mathbf{w}\right\|^2,

\end{align}

여기서 \langle\mathbf{ v,\ w }\rangle = \langle\mathbf{ w,\ v }\rangle = 0는 직교성 때문에 성립한다.

내적 공간에서 피타고라스 정리의 추가적인 일반화는 직교하지 않는 벡터에 대한 ''평행사변형 법칙''이다.[56]

:2\|\mathbf v\|^2 +2 \|\mathbf w\|^2 = \|\mathbf {v + w} \|^2 +\| \mathbf{v-w}\|^2 \ ,

이는 평행사변형의 변 길이의 제곱의 합의 두 배는 대각선의 길이의 제곱의 합과 같다는 것을 의미한다. 이 등식을 만족하는 모든 노름은 ''사실상'' 내적에 해당하는 노름이다.[56]

피타고라스 항등식은 두 개 이상의 직교 벡터의 합으로 확장될 수 있다. '''v'''1, '''v'''2, ..., '''v'''''n''이 내적 공간에서 쌍별로 직교하는 벡터라면, 이러한 벡터의 연속적인 쌍에 대한 피타고라스 정리의 적용(입체 기하 섹션에서 3차원에 대해 설명된 대로)은 다음 방정식을 생성한다.[57]

:\biggl\|\sum_{k=1}^n\mathbf{v}_k\biggr\|^2=\sum_{k=1}^n\|\mathbf{v}_k\|^2

6. 역사

피타고라스 정리는 고대 바빌로니아, 이집트, 인도, 중국 등 여러 문명에서 독립적으로 발견되었거나, 혹은 서로 영향을 주고받으며 발전했을 가능성이 있다.

바빌로니아에서는 플림프턴 322 점토판을 통해 많은 쌍의 피타고라스 삼조를 알고 있었음을 알 수 있다.[67] 메소포타미아 수학사학자들은 피타고라스 정리가 피타고라스가 태어나기 1000년 이상 전인 고대 바빌로니아 시대(기원전 20세기~16세기)에 널리 사용되었다고 결론 내렸다.[68][69][70][71]

이집트에서는 밧줄을 3:4:5 비율로 매듭내어 직각삼각형을 만들었다는 검증되지 않은 일화가 전해진다.[129]

피타고라스 학파는 홀수 m에 대하여 \textstyle(m,\frac{m^2-1}2,\frac{m^2+1}2)가 피타고라스 삼조가 됨을 보이는 등, 피타고라스 삼조를 구하는 방법을 고안하였다. 히파소스는 이 과정에서 통약 불가능 비율을 발견하였다고 여겨진다.

에우클레이데스(유클리드)는 원론에서 피타고라스 정리를 서술 및 증명하였으며, 이는 발견된 최초의 증명이다.

인도에서는 "직사각형의 대각선의 제곱은 두 이웃변의 제곱합과 같다"는 내용으로 피타고라스 정리를 알고 있었으며,[129] 이는 제단을 만드는 데 응용되었다.[128]

유휘는 《구장산술주》에서 원주율을 계산하는 데 피타고라스 정리를 사용하였다.

중국에서는 기원전 1세기경의 기록인 주비산징에서 (3, 4, 5) 삼각형에 대한 피타고라스 정리(구고정리)에 대한 추론을 제시한다.[81][82] 한나라 시대의 구장산술에는 피타고라스 수와 직각삼각형에 대한 언급이 함께 나타난다.[83][84]

피타고라스 학파가 피타고라스 정리를 발견 및 증명하였는지는 확실하지 않다. 프로클로는 원론 주해에서 정리의 발견과 최초 증명에 대한 공로를 피타고라스에게 돌렸다. 그러나 모리스 클라인은 피타고라스 학파가 닮음 도형에 대한 완전한 이론을 갖지 못했기 때문에, 피타고라스 학파가 정리를 증명하지 않았을 수도 있다고 지적했다.[129]

6. 1. 한국의 피타고라스 정리 관련 역사

한국에서는 고대부터 피타고라스 정리가 알려져 있었을 것으로 추정되지만, 구체적인 기록은 부족하다. 조선 시대 실학자 홍대용은 자신의 저서 《주해수용》에서 '구고현의 정리'라는 이름으로 피타고라스 정리를 소개하고, 이를 측량에 활용하는 방법을 제시하였다.[81][82] 이는 한국 수학사에서 피타고라스 정리가 명시적으로 언급된 중요한 사례 중 하나이다. 한편, 중국에서는 피타고라스 정리를 "구고정리"(勾股定理)라고 부른다.[81][82]

7. 피타고라스 정리를 이용한 삼각형의 종류 판별

삼각형의 세 변의 길이를 통해 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형 여부를 판별할 수 있다. 여기서 c는 가장 긴 변의 길이이다.



여기서 c는 빗변, a, b는 직각을 낀 빗변이 아닌 나머지 두 변이고, 삼각형이 될 필요충분조건인 a+b>c 를 만족한다. (여기서, \angle C는 변 c의 대각을 뜻한다.)

참고로,

  • ∠C < π/2 ⇔ a² + b² > c²
  • ∠C = π/2 ⇔ a² + b² = c²
  • ∠C > π/2 ⇔ a² + b² < c²

라는 대응관계가 있다.

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