삼각 함수 항등식
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2. 삼각함수의 정의
삼각함수는 직각삼각형 의 변의 비율을 이용하여 정의할 수 있다. 직각삼각형에서 빗변(hypotenuse)은 직각의 대변을 의미하며, 높이(opposite)는 주어진 각의 대변, 밑변(adjacent)은 주어진 각과 직각이 만나는 변이다.
'''사인(sin)''': 높이를 빗변으로 나눈 값 '''코사인(cos)''': 밑변을 빗변으로 나눈 값 '''탄젠트(tan)''': 높이를 밑변으로 나눈 값 2. 1. 기본 삼각함수
:\cos x = \sin \left(x + \frac{\pi}{2} \right) \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad \operatorname{cot} x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x} \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x} \qquad \operatorname{csc} x = \frac{1}{\sin x} 2. 2. 주기성, 대칭성, 이동
다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다. \sin{x} = \sin(x + 2k\pi) \qquad \cos{x} = \cos(x + 2k\pi) \qquad \tan{x} = \tan(x + k\pi) \sec{x} = \sec(x + 2k\pi) \qquad \csc{x} = \csc(x + 2k\pi) \qquad \cot{x} = \cot(x + k\pi) -sin \theta , cos \theta a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)
3. 삼각함수의 성질
삼각함수는 그 자체로 여러 가지 성질을 가지고 있다.피타고라스 정리 와 관련된 다음 공식은 삼각함수의 정의를 통해 쉽게 증명할 수 있다.\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad \cot^2 x + 1 = \csc^2 x 오일러 공식 을 이용하면 삼각함수의 덧셈정리를 쉽게 증명할 수 있다.\sin(x \pm y) = \sin{x} \cos{y} \pm \cos{x} \sin{y}\, \cos(x \pm y) = \cos{x} \cos{y} \mp \sin{x} \sin{y}\, \tan(x \pm y) = \frac{\tan{x} \pm \tan{y}}{1 \mp \tan{x}\tan{y}} \cot(x \pm y) = \frac{\cot{y}\cot{x} \mp 1}{\cot{y} \pm \cot{x}} {\rm c\dot{\imath} s}{x} = \exp(i x) = e^{i x} = \cos{x}+i \sin{x}\, i^{2}=-1.\, x = y 로 놓으면 배각 공식 을 유도할 수 있다.드무아브르의 공식 에서 n = 2 로 놓아도 된다.\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \, \cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} = 2 \cos^2{x} - 1 = 1 - 2 \sin^2{x} = \frac{1-\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}\, \tan{2x} = \frac{2 \tan {x}} {1 - \tan^2{x}} \frac{\tan^2{x}-1}{\tan{x}} = \frac{-2} {\tan{2x}} \cot{2x} = \frac{\cot^2{x}-1}{2\cot{x}} 차수 줄이기 공식 은 배각 공식의 코사인 공식을 변형하여 얻을 수 있다.\cos^2{x} = {1 + \cos{2x} \over 2} \sin^2{x} = {1 - \cos{2x} \over 2} \tan^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{1 + \cos{2x}} \cot^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{1 - \cos{2x}}
3. 1. 피타고라스 정리
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리 를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad \cot^2 x + 1 = \csc^2 x 3. 2. 덧셈 정리
오일러의 공식을 이용하면 삼각함수의 덧셈정리를 쉽게 증명할 수 있다. 탄젠트 공식은 사인, 코사인 공식을 결합하여 얻는다.\sin(x \pm y) = \sin{x} \cos{y} \pm \cos{x} \sin{y}\, \cos(x \pm y) = \cos{x} \cos{y} \mp \sin{x} \sin{y}\, \tan(x \pm y) = \frac{\tan{x} \pm \tan{y}}{1 \mp \tan{x}\tan{y}} \cot(x \pm y) = \frac{\cot{y}\cot{x} \mp 1}{\cot{y} \pm \cot{x}} {\rm c\dot{\imath} s}(x+y)={\rm c\dot{\imath} s}{x}\,{\rm c\dot{\imath} s}{y} {\rm c\dot{\imath} s}(x-y)= {\rm c\dot{\imath} s}{x} = \exp(i x) = e^{i x} = \cos{x}+i \sin{x}\, i^{2}=-1.\, 3. 3. 배각 공식
다음 공식은 덧셈 공식에서 x = y 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식 에서 n = 2 로 놓아도 된다.\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \, \cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} = 2 \cos^2{x} - 1 = 1 - 2 \sin^2{x} = \frac{1-\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}\, \tan{2x} = \frac{2 \tan {x}} {1 - \tan^2{x}} \frac{\tan^2{x}-1}{\tan{x}} = \frac{-2} {\tan{2x}} \cot{2x} = \frac{\cot^2{x}-1}{2\cot{x}} \sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^3{x}\, \cos{3x} = 4\cos^3{x} - 3\cos{x}\, \tan{3x} = \frac{3\tan{x} - \tan^3{x}} {1 - 3\tan^2{x}} \sin{4x} = 4\sin{x}\cos{x} - 8\sin^3{x}\cos{x} \cos{4x} = 8\cos^4{x} - 8\cos^2{x} + 1 \tan{4x} = \frac{4\tan{x} - 4\tan^3{x}}{1 - 6\tan^2{x} + \tan^4{x}} \sin{5x} = 5\sin{x} - 20\sin^3{x} + 16\sin^5{x} \cos{5x} = 5\cos{x} - 20\cos^3{x} + 16\cos^5{x} \tan{5x} = \frac{\tan^5{x} - 10\tan^3{x} + 5\tan{x}}{1 - 10\tan^2{x} + 5\tan^4{x}} \sin{6x} = 6\sin{x}\cos{x} - 32\sin^3{x}\cos^3{x} \cos{6x} = 32\cos^6{x} - 48\cos^4{x} +18\cos^2{x} - 1 T_n 이 n 번째 체비쇼프 다항식 일 때,\cos{nx}=T_n(\cos{x}) 드무아브르의 공식 :\cos{nx}+i\sin{nx}=(\cos{x}+i\sin{x})^n D_n(x) 은 다음 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다.1+2\cos{x}+2\cos{2x}+2\cos{3x}+\cdots+2\cos{nx}=\frac{\sin{\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{\sin{x \over 2}} 3. 4. 차수 줄이기 공식
n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.\cos^2{x} 과 \sin^2{x} 으로 푼다.\cos^2{x} = {1 + \cos{2x} \over 2} \sin^2{x} = {1 - \cos{2x} \over 2} \tan^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{1 + \cos{2x}} \cot^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{1 - \cos{2x}} \sin^3{x} = \frac{3\sin{x} - \sin{3x}}{4} \cos^3{x} = \frac{3\cos{x} + \cos{3x}}{4} \sin^4{x} = \frac{3 - 4\cos{2x} + \cos{4x}}{8} \cos^4{x} = \frac{3 + 4\cos{2x} + \cos{4x}}{8} \sin^5{x} = \frac{10\sin{x} - 5\sin{3x} + \sin{5x}}{16} \cos^5{x} = \frac{10\cos{x} + 5\cos{3x} + \cos{5x}}{16} x 에 \textstyle \frac x 2 을 대입하고, \textstyle \cos \frac x 2 과 \textstyle \sin \frac x 2 으로 푼다.\left|\cos{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{\frac{1 + \cos{x}}{2}} \left|\sin{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{\frac{1 - \cos{x}}{2}} \left|\tan{\frac{x}{2}}\right| =\sqrt{\frac{1 - \cos{x}}{1 + \cos{x}}} \textstyle \tan \frac x 2 는 \textstyle \frac {\sin \frac x 2} {\cos \frac x 2} 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 \textstyle 2 \cos \frac x 2 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 \sin x 이 되고, 분모는 \textstyle 2 \cos^2 \frac x 2 - 1 + 1 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 \cos x + 1 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 \sin x 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.\tan{\frac{x}{2}} =\frac{\sin{x}}{\cos{x} + 1} = \frac{1 - \cos{x}}{\sin{x}} =\csc{x} - \cot{x} 3. 5. 곱을 합/차로 바꾸는 공식
우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.\sin{x} \cos{y} = \frac{\sin(x + y) + \sin(x - y)}{2} \cos{x} \sin{y} = \frac{\sin(x + y) - \sin(x - y)}{2} \cos{x} \cos{y} = \frac{\cos(x + y) + \cos(x - y)}{2} \sin{x} \sin{y} = -\frac{\cos(x + y) - \cos(x - y)}{2} 3. 6. 합/차를 곱으로 바꾸는 공식
위 식의 x 를 \textstyle \frac{x + y}{2} 로, y 를 \textstyle \frac{x - y}{2} 로 바꾸면 다음과 같은 공식들을 얻을 수 있다.\sin{x} \pm \sin{y} = 2 \sin\left( \frac{x \pm y}{2} \right) \cos\left( \frac{x \mp y}{2} \right) \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \cos{x} - \cos{y} = -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) \tan{x} \pm \tan{y} = \frac{\sin{(x \pm y)}}{\cos{x}\cos{y}} \frac{\sin{x} + \sin{y}}{\sin{x} - \sin{y}} = \frac{\tan{\tan \frac{\sin{x} + \sin{y}}{\cos{x} - \cos{y}} = \cot{\cos{x} + \cos{y}} = \tan{\cos{x} + \cos{y}} = \tan{{1 \over 2}(x-y)}
4. 삼각함수의 역함수
역삼각함수라고도 한다.x > 0 이면,\arctan{x}+\arccot{x}=\frac{\pi}{2}. x < 0 이면, 등식 우변이 \textstyle -\frac \pi 2 가 된다.\arctan{x}+\arctan{y}=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \cos(\arcsin{x})=\sqrt{1-x^2}
5. 변수 없는 항등식
리처드 파인만 은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac 1 8 \scriptstyle x=20^\circ, k=3 을 넣고, \scriptstyle \sin x = \sin (180^\circ-x) 를 이용해 우변을 정리한다.)\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin{x}} \cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\frac 1 2 \cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac 1 2 \cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac 1 2 \frac{21}{2} 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)
6. 미적분학
미적분학 에서 삼각함수를 사용할 때는 각을 라디안 으로 표현해야 한다. 그렇지 않으면 다음 관계식들은 성립하지 않는다.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0 테일러 급수 로 정의된 경우에는 각 항을 미분하여 증명할 수 있다. 나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어지며, 적분식은 적분표 를 참고한다.
6. 1. 미분
미적분학 에서 삼각함수는 각을 라디안 으로 써야 한다. 그렇지 않으면 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선 다음을 증명한다.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0 테일러 급수 로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다. (참고 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}) ){d \over dx}\sin{x} = \cos{x} {d \over dx}\cos{x} = -\sin{x} {d \over dx}\tan{x} = \sec^2{x} {d \over dx}\csc{x} = -\csc{x}\cot{x} {d \over dx}\sec{x} = \sec{x}\tan{x} {d \over dx}\cot{x} = -\csc^2{x} {d \over dx}\arcsin{x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} {d \over dx}\arccos{x} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} {d \over dx}\arctan{x} = \frac{1}{1+x^2} {d \over dx}\arccot{x} = -\frac{1}{1+x^2} {d \over dx}\arcsec{x} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} {d \over dx}\arccsc{x} = -\frac{1}6. 2. 적분
적분표 를 참고하라.
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