딸림표현

1. 개요

딸림표현은 리 군의 자기 동형 사상으로부터 유도되는 리 대수의 표현이다. 리 군 G의 원소 g에 대한 내부 자기 동형 사상의 미분을 통해 리 대수의 자기 동형 사상 Adg를 얻으며, Ad: G → Aut(g)는 G의 딸림표현이 된다. 딸림표현은 리 군의 켤레 작용과 관련된 등방 표현으로, 리 군의 표현에서 리 대수의 표현으로 가는 것은 항등원에서 미분을 취함으로써 가능하다. 리 대수의 딸림표현은 리 대수의 원소 x에 대한 x의 수반 작용 adx: g → g, adx(y) = [x, y]로 정의되며, 리 대수의 수반 표현으로 불린다. 딸림표현의 미분은 리 대수의 딸림표현과 같으며, 지수 사상을 통해 리 군과 리 대수 준동형을 관련시킨다. 딸림표현은 리 군의 중심과 관련된 중요한 성질을 가지며, 구조 상수 및 다양한 예시를 통해 구체적으로 이해할 수 있다.

2. 정의

리 군 $G$가 주어졌을 때, 그 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$를 정의할 수 있다. $\backslash mathfrak\{g\}$는 $G$의 항등원에서의 접공간이다.

$G$의 원소 $g$에 대하여, $h\; \backslash mapsto\; ghg^\{-1\}$ 와 같이 내부 자기 동형 사상을 정의한다. 이 사상의 항등원에서의 밂을 취하면, 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$의 자기 사상 $\backslash operatorname\{Ad\}\_g$를 얻을 수 있다. 이는 $G$의 유한 차원 실수 표현을 이루며, 리 군 $G$의 딸림표현이라고 한다.

2.1. 리 군의 딸림표현

리 군 $G$의 원소 $g$에 대하여, 내부 자기 동형 사상 $\backslash phi\_g(h)\; =\; ghg^\{-1\}$을 정의할 수 있다. 이 사상의 원점(항등원)에서의 미분(밂)을 통해 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$의 자기 동형 사상 $\backslash operatorname\{Ad\}\_g$를 얻는다.

$\backslash operatorname\{Ad\}\backslash colon\; G\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Aut\}(\backslash mathfrak\{g\})$는 리 군 $G$의 딸림표현이다. 즉, 이는 사상
:$\backslash operatorname\{Ad\}\backslash colon\; G\backslash to\backslash operatorname\{Aut\}(\backslash mathfrak\; g)$
를 정의한다.

$G$의 각 $g$에 대해, $\backslash operatorname\{Ad\}\_g$를 원점에서 $\backslash Psi\_g$의 도함수로 정의한다.
:$\backslash operatorname\{Ad\}\_g\; =\; (d\backslash Psi\_g)\_e\; :\; T\_eG\; \backslash rightarrow\; T\_eG$
여기서 $d$는 미분이고 $\backslash mathfrak\{g\}\; =\; T\_e\; G$는 원점 $e$에서의 접 공간이다 ($e$는 군 $G$의 항등원). $\backslash Psi\_g$가 리 군 자기 동형 사상이므로, $\backslash operatorname\{Ad\}\_g$는 리 대수 자기 동형 사상이다. 즉, $\backslash mathfrak\; g$를 자체적으로 보존하는 가역 선형 변환이다. 더 나아가, $g\; \backslash mapsto\; \backslash Psi\_g$가 군 준동형 사상이므로, $g\; \backslash mapsto\; \backslash operatorname\{Ad\}\_g$도 군 준동형 사상이다. 따라서, 다음 사상
:$\backslash mathrm\{Ad\}\backslash colon\; G\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Aut\}(\backslash mathfrak\; g),\; \backslash ,\; g\; \backslash mapsto\; \backslash mathrm\{Ad\}\_g$
은 G의 수반 표현이라고 불리는 군 표현이다.

$g\; \backslash in\; G$에 대해 $h\; \backslash in\; G$에 대해 $\backslash phi\_\{g\}\; :\; G\; \backslash to\; G,\backslash ,\backslash phi\_\{g\}\; :\; h\; \backslash mapsto\; ghg^\{-1\}$를 $G$의 내부 자기 동형 사상이라 하고, 더 나아가 미분 $d(\backslash phi\_\{g\})\_\{e\}\; =:\; \backslash operatorname\{Ad\}\_\{g\}\; :\; \backslash mathfrak\{g\}\; \backslash to\; \backslash mathfrak\{g\}$에 의해 부수하는 리 대수의 동형 사상을 얻을 수 있다.

$\backslash operatorname\{Ad\}\_\{g\}$는 $\backslash mathfrak\{g\}$의 선형 사상이 되며, 준동형 사상

:$\backslash operatorname\{Ad\}\; :\; G\; \backslash to\; \backslash operatorname\{GL\}(\backslash mathfrak\{g\}),\backslash quad\; g\; \backslash mapsto\; \backslash operatorname\{Ad\}\_\{g\}$

를 리 군의 딸림 표현이라고 한다.

2.2. 리 대수의 딸림표현

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$가 주어졌을 때, $\backslash mathfrak\{g\}$의 원소 $x$에 대한 사상 $\backslash operatorname\{ad\}\_x(y)\; =\; [x,\; y]$를 정의한다. $\backslash operatorname\{ad\}\backslash colon\; \backslash mathfrak\{g\}\; \backslash to\; \backslash mathfrak\{der\}(\backslash mathfrak\{g\})$는 $\backslash mathfrak\{g\}$에서 스스로 위의 리 대수 미분의 리 대수로 가는 리 대수 준동형이며, $\backslash mathfrak\{g\}$의 표현으로 볼 수 있다. 이를 $\backslash mathfrak\{g\}$의 딸림표현이라고 한다.

리 군 G의 표현에서 리 대수의 표현으로 가는 것은 항등원에서 미분을 취하여 가능하다. ad는 G의 항등원에 대한 Ad의 미분이다.

수반 사상
:$\backslash mathrm\{Ad\}\; :\; G\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Aut\}(\backslash mathfrak\; g)$
의 항등원에서의 미분을 취하면 G의 리 대수 $\backslash mathfrak\; g\; =\; \backslash operatorname\{Lie\}(G)$의 수반 표현을 얻는다.
:$\backslash begin\{align\}$
\mathrm{ad} : & \, \mathfrak g \to \mathrm{Der}(\mathfrak g) \\
& \,x \mapsto \operatorname{ad}_x = d(\operatorname{Ad})_e(x)
\end{align}
여기서 $\backslash mathrm\{Der\}(\backslash mathfrak\; g)\; =\; \backslash operatorname\{Lie\}(\backslash operatorname\{Aut\}(\backslash mathfrak\{g\}))$는 $\backslash mathrm\{Aut\}(\backslash mathfrak\; g)$의 리 대수이며, 이는 $\backslash mathfrak\; g$의 미분 대수와 동일시될 수 있다.

$\backslash mathrm\{ad\}\_x(y)\; =\; [x,y]$ 이다.

Ad와 ad는 지수 사상을 통해 관련되어 있다. Lie 대수의 모든 x에 대해 Ad_exp(x) = exp(ad_x)이다.

$\backslash mathfrak\{g\}$가 유한 차원이고, 이에 대한 기저가 선택되면, $\backslash mathfrak\{gl\}(\backslash mathfrak\{g\})$는 정사각 행렬의 리 대수이고, 합성은 행렬 곱셈에 해당한다.

$\backslash mathfrak\{g\}$의 각 원소 $z$에 대해, 선형 사상 $\backslash delta\; =\; \backslash operatorname\{ad\}\_z$는 라이프니츠 법칙을 따른다.

:$\backslash delta\; ([x,\; y])\; =\; [\backslash delta(x),y]\; +\; [x,\; \backslash delta(y)]$

즉, ad_z는 미분이며 ad 아래의 $\backslash mathfrak\{g\}$의 이미지는 Der$(\backslash mathfrak\{g\})$, 즉 $\backslash mathfrak\{g\}$의 모든 미분들의 공간의 부분 대수이다.

라이프니츠 공식과 유사한 다음 공식이 있다: 스칼라 $\backslash alpha,\; \backslash beta$와 리 대수 원소 $x,\; y,\; z$에 대해,
:$(\backslash operatorname\{ad\}\_x\; -\; \backslash alpha\; -\; \backslash beta)^n\; [y,\; z]\; =\; \backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^n\; \backslash binom\{n\}\{i\}\; \backslash left[(\backslash operatorname\{ad\}\_x\; -\; \backslash alpha)^i\; y,\; (\backslash operatorname\{ad\}\_x\; -\; \backslash beta)^\{n\; -\; i\}\; z\backslash right].$

3. 성질

리 군의 딸림표현의 미분은 리 대수의 딸림표현과 같다($\backslash operatorname\{ad\}\_\{\backslash mathfrak\{g\}\}\; =\; \backslash operatorname\{D\}\_1\backslash operatorname\{Ad\}\_G$). 아벨 리 군의 딸림표현은 자명하다(항등 함수로 가는 상수 함수). 연결된 리 군 $G$의 딸림표현의 핵(kernel)은 $G$의 중심과 일치한다. 딸림표현은 지수 사상을 통해 관련된다: Ad_exp(x) = exp(ad_x).

정의에서 언급된 다양한 맵의 속성은 아래 표와 같이 요약할 수 있다.

4. 구조 상수

리 대수에서 기저 벡터를 $e^i영어$라고 할 때, 구조 상수 $\{c^\{ij영어\_k\}\}$는 $[e^i,\; e^j]\; =\; \backslash sum\_k\; \{c^\{ij\}\}\_k\; e^k$로 정의된다. 딸림표현의 행렬 성분은 구조 상수를 통해 $\{\backslash left[\; \backslash operatorname\{ad\}\_\{e^i\}\backslash right]\_k\}^j\; =\; \{c^\{ij\}\}\_k$와 같이 표현된다. 예를 들어, su(2)의 아다조인트 표현은 so(3)의 정의 표현이다.

5. 예

* G가 가환군이면, G의 딸림표현은 자명한 n차원 표현이다.
* G가 행렬 리 군이면, Ad_g(x) = gxg⁻¹이다.
* G가 SL(2, R)이면, 이변수 이차 형식 공간에서 G의 작용으로 주어지는 표현과 동치이다.
* G가 반단순 리 군이면, 딸림표현의 영이 아닌 무게는 근계를 형성한다.

5.1. SL(2, R)의 예

반단순군 G = SL(n, R)의 경우, 대각 행렬 diag(t₁, ..., t_n)을 최대 토러스 T로 사용할 수 있다. T의 원소에 의한 켤레는 다음과 같이 작용한다.

:$\backslash begin\{bmatrix\}$
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}
\mapsto
\begin{bmatrix}
a_{11}&t_1t_2^{-1}a_{12}&\cdots&t_1t_n^{-1}a_{1n}\\
t_2t_1^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots&t_2t_n^{-1}a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
t_nt_1^{-1}a_{n1}&t_nt_2^{-1}a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}.


따라서, T는 G의 리 대수의 대각 부분에 자명하게 작용하고, 다양한 비대각 항목에 대해서는 고유 벡터 t_it_j⁻¹로 작용한다. G의 근은 diag(t₁, ..., t_n) → t_it_j⁻¹인 무게이다. 이는 G = SL_n(R)의 근계를 e_i−e_j 형태의 벡터 집합으로 표준적으로 설명하는 것과 관련이 있다.

SL(2, R)은 행렬식이 1인 2차원 행렬의 집합으로 구성된 군으로, 다음과 같은 형태의 행렬로 구성된다.

:$\backslash begin\{bmatrix\}$
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix}

여기서 a, b, c, d는 실수이고 ad − bc = 1이다.

최대 토러스 T는 다음과 같은 형태의 모든 행렬의 부분 집합이다.

:$\backslash begin\{bmatrix\}$
t_1 & 0\\
0 & t_2\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
t_1 & 0\\
0 & 1/t_1\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\exp(\theta) & 0 \\
0 & \exp(-\theta) \\
\end{bmatrix}

여기서 $t\_1\; t\_2\; =\; 1$이다.

최대 토러스의 리 대수는 다음과 같은 행렬로 구성된 카르탕 부분대수이다.

:$$
\begin{bmatrix}
\theta & 0\\
0 & -\theta \\
\end{bmatrix} =
\theta\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}-\theta\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
= \theta(e_1-e_2).


SL(2, R)의 원소를 최대 토러스의 원소로 켤레하면 다음과 같다.

:$$
\begin{bmatrix}
t_1 & 0\\
0 & 1/t_1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1/t_1 & 0\\
0 & t_1\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a t_1 & b t_1 \\
c / t_1 & d / t_1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 / t_1 & 0\\
0 & t_1\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a & b t_1^2\\
c t_1^{-2} & d\\
\end{bmatrix}


다음 행렬들은 켤레 연산의 '고유 벡터'이며, 고유값은 $1,1,t\_1^2,\; t\_1^\{-2\}$이다.

:$$
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0\\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 1\\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}


$t\_1^2$를 제공하는 함수 Λ는 군의 토러스에서 기본 필드 R로의 곱셈 문자 또는 준동형 사상이다. θ를 제공하는 함수 λ는 행렬의 span으로 주어진 무게 공간을 가진 리 대수의 무게이다.

6. 추가 정보

쌍대 수반 표현은 수반 표현의 반대 표현이다. 알렉산드르 키릴로프는 쌍대 수반 표현에서 임의의 벡터의 궤도가 심플렉틱 다양체임을 보였다. 궤도 방법으로 알려진 표현론의 철학(키릴로프 문자 공식 참조)에 따르면, 리 군 G의 기약 표현은 쌍대 수반 궤도에 의해 어떤 방식으로 색인화되어야 한다. 이러한 관계는 멱영 리 군의 경우에 가장 가깝다.