아핀 리 대수

1. 개요

아핀 리 대수는 여러 가지 방법으로 정의될 수 있는 특수한 종류의 리 대수이다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우이며, 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대, 또는 특정 프레셰 리 군의 리 대수의 부분 공간으로 정의될 수 있다. 아핀 리 대수는 유한 차원 단순 리 대수에 대응하는 루프 대수의 중심 확장으로 구성되며, 카르탕 행렬을 통해 카츠-무디 대수로 정의되기도 한다. 아핀 리 대수는 뒤틀린 아핀 리 대수를 포함하며, 기하학적 및 리 군을 통해 정의될 수도 있다.

아핀 리 대수는 대칭화 가능한 카츠-무디 대수이며, 킬링 형식과 근계의 구조를 갖는다. 콕서터 수와 쌍대 콕서터 수, 바일 군 등의 성질을 가지며, 표현론은 베르마 가군을 통해 전개된다. 아핀 리 대수는 딘킨 도표를 사용하여 분류할 수 있으며, 딘킨 도표는 untwisted와 twisted 형태로 나뉜다.

아핀 리 대수는 하이젠베르크 대수와 같은 예시를 가지며, 2차원 등각장론의 대칭 대수로 사용되는 등 끈 이론과 2차원 등각장론과 같은 분야에 응용된다. 아핀 리 대수는 빅토르 카츠와 로버트 무디에 의해 발견되었으며, 스가와라 구성, 공액류 구성 등 표현론과 관련된 연구가 이루어졌다.

2. 정의

아핀 리 대수는 여러 가지 방법으로 정의될 수 있지만, 핵심은 유한 차원 단순 리 대수의 구조를 확장하는 것이다. 이들은 서로 동치이다.

아핀 리 대수는 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대이다. 만약 $\backslash mathfrak\{g\}$가 유한 차원 단순 리 대수라면, 이에 대응하는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\{g\}\}$는 루프 대수 $\backslash mathfrak\{g\}\backslash otimes\backslash mathbb\{C\}[t,t^\{-1\}]$의 중심 확장으로 구성되며, 1차원 중심 $\backslash mathbb\{C\}c$를 갖는다. 여기서 $\backslash mathbb\{C\}[t,t^\{-1\}]$는 변수 t에 대한 로랑 다항식의 복소수 벡터 공간이다.

벡터 공간으로서,

:$\backslash widehat\{\backslash mathfrak\{g\}\}=\backslash mathfrak\{g\}\backslash otimes\backslash mathbb\{C\}[t,t^\{-1\}]\backslash oplus\backslash mathbb\{C\}c$

이다. 리 괄호는 다음 공식으로 정의된다.

:$[a\backslash otimes\; t^n+\backslash alpha\; c,\; b\backslash otimes\; t^m+\backslash beta\; c]=[a,b]\backslash otimes\; t^\{n+m\}+\backslash langle\; a|b\backslash rangle\; n\backslash delta\_\{m+n,0\}c$

모든 $a,b\backslash in\backslash mathfrak\{g\},\; \backslash alpha,\backslash beta\backslash in\backslash mathbb\{C\}$ 및 $n,m\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$에 대해, 여기서 $[a,b]$는 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$에서의 리 괄호이고 $\backslash langle\backslash cdot\; |\backslash cdot\backslash rangle$는 $\backslash mathfrak\{g\}$상의 카르탕-킬링 형식이다.

아핀 리 대수의 특정한 미분은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash delta\; (a\backslash otimes\; t^m+\backslash alpha\; c)\; =\; t\{d\backslash over\; dt\}\; (a\backslash otimes\; t^m)$

대응하는 아핀 카츠-무디 대수는 [d, A] = δ(A)를 만족하는 추가 생성자 d를 더하여 반직접 곱으로 정의된다.

2.1. 카츠-무디 대수로서의 정의

카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 $A$가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이 아핀 리 대수이다. 즉, 아핀 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$가 $n+1$개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 $(n+1)\backslash times(n+1)$ 정사각 행렬이며 그 계수는 $l$이다.

2.2. 대수적 구성

아핀 리 대수는 여러 방법으로 정의할 수 있는데, 이들은 서로 동치이다.

* 카츠-무디 대수의 특별한 종류
* 단순 리 대수 계수의 로랑 다항식의 리 대수의 중심 확대
* 특별한 프레셰 리 군의 리 대수(의 복소화의 부분 공간)

여기서는 유한 차원 단순 리 대수와 로랑 다항식을 이용하여 아핀 리 대수를 구성하는 방법을 설명한다. 이 과정에서 중심 확장이 핵심적인 역할을 한다.

복소수체 위의 유한 차원 이차 리 대수 $(\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\},\backslash langle\; |\backslash rangle\; \backslash colon\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}\backslash otimes\_K\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}\backslash to\backslash mathbb\; C)$가 주어졌다고 하자. (만약 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}$가 반단순 리 대수라면, 이는 킬링 형식으로 잡을 수 있다.)

그렇다면, 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}$는 $K$-벡터 공간으로서 다음과 같다.

:$\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}=\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}[\backslash mathsf\; z,\backslash mathsf\; z^\{-1\}]\backslash oplus\; \backslash mathbb\; C\backslash mathsf\; k$.

즉, $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}$의 계수를 가진 로랑 다항식 $\backslash mathfrak\; g^\{\backslash mathbb\; C\}[\backslash mathsf\; z,\backslash mathsf\; z^\{-1\}]$에 중심 확대 $\backslash mathsf\; k$를 더한 것이다. $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}[\backslash mathsf\; z,\backslash mathsf\; z^\{-1\}]$는 대칭의 보존류들을, $\backslash mathsf\; k$는 대칭의 변칙을 나타낸다.

$\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}$ 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. $a,b\backslash in\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}$라고 하면,

:$[a\backslash mathsf\; z^m,b\backslash mathsf\; z^n]=[a,b]\backslash mathsf\; z^\{m+n\}+\backslash delta\_\{m+n,0\}m\backslash langle\; a|b\backslash rangle\backslash mathsf\; k$
:$[\backslash mathsf\; k,a\backslash mathsf\; z^n]=[\backslash mathsf\; k,\backslash mathsf\; k]=0$

$\backslash mathsf\; k$는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열

:$0\; \backslash to\; \backslash mathbb\; C\backslash mathsf\; k\; \backslash to\; \backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}\; \backslash to\; \backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}\; \backslash otimes\; \backslash mathbb\; C[\backslash mathsf\; z,\backslash mathsf\; z^\{-1\}]\; \backslash to\; 0$

이 존재한다.

만약 $\backslash mathfrak\{g\}$가 유한 차원 단순 리 대수라면, 이에 대응하는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\{g\}\}$는 루프 대수 $\backslash mathfrak\{g\}\backslash otimes\backslash mathbb\{\backslash Complex\}[t,t^\{-1\}]$의 중심 확장으로 구성되며, 1차원 중심 $\backslash mathbb\{\backslash Complex\}c$를 갖는다. 벡터 공간으로서,

:$\backslash widehat\{\backslash mathfrak\{g\}\}=\backslash mathfrak\{g\}\backslash otimes\backslash mathbb\{\backslash Complex\}[t,t^\{-1\}]\backslash oplus\backslash mathbb\{\backslash Complex\}c,$

여기서 $\backslash mathbb\{\backslash Complex\}[t,t^\{-1\}]$는 변수 t에 대한 로랑 다항식의 복소수 벡터 공간이다. 리 괄호는 다음 공식으로 정의된다.

:$[a\backslash otimes\; t^n+\backslash alpha\; c,\; b\backslash otimes\; t^m+\backslash beta\; c]=[a,b]\backslash otimes\; t^\{n+m\}+\backslash langle\; a|b\backslash rangle\; n\backslash delta\_\{m+n,0\}c$

모든 $a,b\backslash in\backslash mathfrak\{g\},\; \backslash alpha,\backslash beta\backslash in\backslash mathbb\{\backslash Complex\}$ 및 $n,m\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$에 대해, 여기서 $[a,b]$는 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$에서의 리 괄호이고 $\backslash langle\backslash cdot\; |\backslash cdot\backslash rangle$는 $\backslash mathfrak\{g\}$상의 카르탕-킬링 형식이다.

2.2.1. 실수 형태

$\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}$가 실수 이차 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; R\}$의 복소화라고 하자. 그렇다면, 복소수 아핀 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}$는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.

*$\backslash mathsf\; z\; \backslash mapsto\; \backslash mathsf\; z^\{-1\}$
*$\backslash mathrm\; i\; \backslash mapsto\; -\backslash mathrm\; i$
*$\backslash mathsf\; k\; \backslash mapsto\; \backslash mathsf\; k$
*$x\; \backslash mapsto\; x\; \backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\; \backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; R\}$

즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형(antilinear^영어) 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점

:$\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; R\}\; =\; \backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathbb\; R[z+z^\{-1\},\backslash mathrm\; i(z-z^\{-1\})]\; +\; \backslash mathbb\; R\backslash mathsf\; k$

은 실수 리 대수를 이룬다.

2.2.2. 미분 연산의 추가

아핀 리 대수는 다음과 같은 리 괄호를 추가하여 확장할 수 있다.
:$\backslash tilde\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}\; =\; \backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}\; \backslash oplus\; \backslash mathbb\; C\backslash mathsf\; d$
:$[\backslash mathsf\; d,az^m]=-\backslash mathrm\; ima\backslash mathsf\; z^m\; \backslash qquad\; \backslash forall\; a\backslash in\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; C\}$
:$[\backslash mathsf\; d,\backslash mathsf\; c]=0$
즉,
:$[\backslash mathsf\; d,-]\; =\; -\backslash mathrm\; i\backslash mathsf\; z\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; d\backslash mathsf\; z\}$
이다. 만약 형식적으로 $\backslash mathsf\; z\; =\; \backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash mathsf\; t)$로 놓는다면,
:$[\backslash mathsf\; d,-]\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; d\backslash mathsf\; t\}$
가 된다.

또한,
:$[\backslash mathsf\; d,a(z+z^\{-1\})]\; =\; -\; a\backslash mathrm\; i(z\; -\; \backslash mathsf\; z^\{-1\})$
:$[\backslash mathsf\; d,\backslash mathrm\; ia(z-z^\{-1\})]\; =\; a(z\; +\; \backslash mathsf\; z^\{-1\})$
이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}^\{\backslash mathbb\; R\}$에도 잘 정의된다.

아핀 리 대수의 특정한 미분은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash delta\; (a\backslash otimes\; t^m+\backslash alpha\; c)\; =\; t\{d\backslash over\; dt\}\; (a\backslash otimes\; t^m)$.

대응하는 아핀 카츠-무디 대수는 [d, A] = δ(A)를 만족하는 추가 생성자 d를 더하여 반직접 곱으로 정의된다.

2.2.3. 뒤틀린 아핀 리 대수

$\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$가 자명하지 않은 자기 동형 $\backslash sigma\backslash in\backslash operatorname\{Aut\}(\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\})$를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.

:$\backslash sigma\; a(0)=a(2\backslash pi)$.

이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수(twisted affine Lie algebra^영어)라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수(twisted Kač–Moody algebra^영어)를 정의할 수 있다.

단순 리 대수가 내부 자기 동형이 아닌 자기 동형을 가질 때, 다른 딘킨 도형을 얻을 수 있으며, 이는 뒤틀린 아핀 리 대수에 대응한다.

2.3. 기하학적 정의

리 대수 값의 주기 함수를 통해 아핀 리 대수를 기하학적으로 구성할 수 있다.

구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$값의 매끄러운 주기 함수로 구성된 실수 프레셰 공간 $\backslash mathrm\; L\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}\; =\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; S^1,\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\})$를 정의할 수 있다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다.

고리 리 대수 $\backslash mathrm\; L\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 리 대수 코호몰로지에는 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.

:$\backslash alpha\; \backslash colon\; \backslash mathrm\; L\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash times\; \backslash mathrm\; L\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$
:$\backslash alpha\backslash colon\; (x,\; y)\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{\backslash delta^2\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_\{\backslash mathbb\; S^1\}\; \backslash langle\; x(t)|y(t)\backslash rangle\; \backslash ,\backslash mathrm\; dt$

여기서

* $\backslash langle-|-\backslash rangle$은 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$ 위의 임의의 불변 비퇴화 이차 형식이다. (이는 킬링 형식의 스칼라배이다.)
* $\backslash delta^2$는 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.
* $\backslash mathbb\; S^1$의 측도 $\backslash mathrm\; dt$에 따르면, $\backslash textstyle\backslash int\_\{\backslash mathbb\; S^1\}\backslash mathrm\; dt\; =\; 2\backslash pi$이다.

이 2차 공사슬은 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열을 정의한다.

:$0\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R\; \backslash to\; \backslash bar\{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash to\; \backslash mathrm\; L\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash to\; 0$

만약 $\backslash mathfrak\{g\}$가 유한 차원 단순 리 대수라면, 이에 대응하는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\{g\}\}$는 벡터 공간으로서 다음과 같이 구성된다.

:$\backslash widehat\{\backslash mathfrak\{g\}\}=\backslash mathfrak\{g\}\backslash otimes\backslash mathbb\{\backslash Complex\}[t,t^\{-1\}]\backslash oplus\backslash mathbb\{\backslash Complex\}c,$

여기서 $\backslash mathbb\{\backslash Complex\}[t,t^\{-1\}]$는 변수 t에 대한 로랑 다항식의 복소수 벡터 공간이며, 리 괄호는 다음 공식으로 정의된다.

:$[a\backslash otimes\; t^n+\backslash alpha\; c,\; b\backslash otimes\; t^m+\backslash beta\; c]=[a,b]\backslash otimes\; t^\{n+m\}+\backslash langle\; a|b\backslash rangle\; n\backslash delta\_\{m+n,0\}c$

이때, $a,b\backslash in\backslash mathfrak\{g\},\; \backslash alpha,\backslash beta\backslash in\backslash mathbb\{\backslash Complex\}$ 및 $n,m\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$에 대해, $[a,b]$는 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$에서의 리 괄호이고 $\backslash langle\backslash cdot\; |\backslash cdot\backslash rangle$는 $\backslash mathfrak\{g\}$상의 카르탕-킬링 형식이다.

2.4. 리 군의 기하학적 정의

실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.

구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 $\backslash stackrel\backslash circ\; G$와 그 실수 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.
:$\backslash mathrm\; L\backslash stackrel\backslash circ\; G\; =\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; S^1,\; \backslash stackrel\backslash circ\; G)$
즉, 이는 $\backslash stackrel\backslash circ\; G$값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.

아핀 리 대수는 $\backslash mathbb\; R[\backslash mathsf\; z+\backslash mathsf\; z^\{-1\},\backslash mathrm\; i(\backslash mathsf\; z-\backslash mathsf\; z^\{-1\})]\; \backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\; \backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열
:$1\backslash to\; \backslash operatorname\; U(1)\; \backslash to\; \backslash hat\; G\; \backslash to\; \backslash mathrm\; L\backslash stackrel\backslash circ\; G\; \backslash to\; 1$
에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.

구체적으로, 원판 $\backslash mathbb\; D^2$를 생각하자. 이제,
:$\backslash mathrm\; L\backslash stackrel\backslash circ\; G\; =\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; /\; \backslash mathcal\; G$
:$G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; =\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; D^2,\; G)$
:$\backslash mathcal\; G\; =\; \backslash \{\backslash alpha\backslash in\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; \backslash colon\; \backslash alpha\; \backslash restriction\; \backslash partial\backslash mathbb\; D^2\; =\; 1\_\{\backslash stackrel\backslash circ\; G\}\; \backslash \}\; \backslash cong\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty\_\backslash bullet(\backslash mathbb\; S^2,\; \backslash stackrel\backslash circ\; G)$
이다. 여기서 $\backslash mathcal\; G$는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제, $G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}$ 위의 다음과 같은 함수를 생각하자.
:$\backslash gamma\; \backslash colon\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; \backslash times\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$
:$\backslash gamma\; (g,h)\; =\; \backslash frac1\{4\backslash pi\backslash delta^2\}\backslash int\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; \backslash langle\; g^\{-1\}\backslash mathrm\; dg|h^\{-1\}\backslash mathrm\; dh\backslash rangle$
여기서
* $\backslash langle-|-\backslash rangle$는 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$ 위의 불변 비퇴화 이차 형식이며, (예를 들어) 딸림표현에서의 대각합 $\backslash langle\; x,y\backslash rangle\; =\; \backslash operatorname\{tr\}(xy)$으로 여길 수 있다.
* $\backslash delta^2$는 $\backslash langle-|-\backslash rangle$에 따른, $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 근계의 가장 긴 근의 제곱 노름이다.
그렇다면,
:$\backslash exp(\backslash mathrm\; il\backslash gamma(-,-))\; \backslash colon\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; \backslash times\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; C\backslash qquad(l\backslash in\backslash mathbb\; Z)$
는 (자명한 계수의) $\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; D^2,\; G)$의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 $G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}$의 중심 확대
:$1\backslash to\backslash operatorname\; U(1)\; \backslash to\; \backslash hat\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; \backslash to\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\; \backslash to\; 1$
를 정의한다.

이제, 임의의 $\backslash alpha\backslash in\backslash mathcal\; G$에 대하여,
:$\backslash iota\_l\; \backslash colon\; \backslash mathcal\; G\; \backslash to\; \backslash hat\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}$
:$\backslash iota\_l\; \backslash colon\; \backslash alpha\; \backslash mapsto\; \backslash left(\backslash alpha,\; \backslash exp\backslash left($
\frac{\mathrm il}{12\pi\delta^2}
\int_{\mathbb D^3} \operatorname{tr}(\bar\alpha^{-1} \mathrm d\bar\alpha)^3
\right)\right)
를 정의할 수 있다. 여기서
:$\backslash bar\backslash alpha\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; D^3\; \backslash to\backslash stackrel\backslash circ\; G$
:$(\backslash bar\backslash alpha\; \backslash restriction\; \backslash partial\backslash mathbb\; D^3)\; =\; \backslash alpha$
는 $\backslash alpha\backslash colon\; \backslash mathbb\; S^2\; \backslash to\backslash stackrel\backslash circ\; G$의, 3차원 공 $\backslash mathbb\; D^3$으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 $\backslash bar\backslash alpha$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다.

이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, $\backslash iota\_l(\backslash mathcal\; G)$는 $\backslash hat\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}$의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군
:$\backslash hat\; G\_l\; =\; \backslash frac\{\backslash hat\; G\_\{\backslash mathbb\; D^2\}\}\{\backslash iota\_l(\backslash mathcal\; G)\}$
을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열
:$1\; \backslash to\; \backslash operatorname\; U(1)\; \backslash to\; \backslash hat\; G\_l\; \backslash to\; \backslash mathrm\; LG\; \backslash to\; 1$
을 구성한다. (정수 $l\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z$은 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, $\backslash hat\; G\_l$의 리 대수는 ($l\backslash ne\; 0$일 경우, $l$의 값에 상관없이) $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$이다.

3. 성질

아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

만약 $\backslash mathfrak\{g\}$가 유한 차원 단순 리 대수라면, 이에 대응하는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\{g\}\}$는 루프 대수 $\backslash mathfrak\{g\}\backslash otimes\backslash mathbb\{\backslash Complex\}[t,t^\{-1\}]$의 중심 확장으로 구성되며, 1차원 중심 $\backslash mathbb\{\backslash Complex\}c$를 갖는다. 여기서 $\backslash mathbb\{\backslash Complex\}[t,t^\{-1\}]$는 변수 t에 대한 로랑 다항식의 복소수 벡터 공간이다.

유한 차원 반단순 리 대수에 해당하는 아핀 리 대수는 그 단순 성분들에 해당하는 아핀 리 대수들의 직합이다. 아핀 리 대수의 특정한 미분은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash delta\; (a\backslash otimes\; t^m+\backslash alpha\; c)\; =\; t\{d\backslash over\; dt\}\; (a\backslash otimes\; t^m).$

대응하는 아핀 카츠-무디 대수는 [d, A] = δ(A)를 만족하는 추가 생성자 d를 더하여 반직접 곱으로 정의된다.

해당 단순 리 대수의 딘킨 다이어그램에 여분의 노드를 추가하는 것은 아핀 리 대수가 해당 단순 리 대수의 루프 대수의 중심 확장으로 구성될 수 있다는 구성에 해당한다.

3.1. 콕서터 수와 쌍대 콕서터 수

아핀 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 단순근들이 $\backslash alpha\_0,\backslash dots,\backslash alpha\_n$이며, 단순 쌍대근들이 $\backslash alpha\_0^\backslash vee,\backslash dots,\backslash alpha\_n^\backslash vee$라고 하자. 콕서터 라벨(Coxeter label^영어) $a\_i$와 쌍대 콕서터 라벨(dual Coxeter label^영어) $a\_i^\backslash vee$는 카르탕 행렬 $A$에 대하여
:$0=a^\backslash top\; A=Aa^\backslash vee$
를 만족시키는 벡터이다. 이 경우, $a$ 및 $a^\backslash vee$의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 콕서터 수(Coxeter number^영어) $h$와 쌍대 콕서터 수(dual Coxeter number^영어) $h^\backslash vee$는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.
:$\backslash mathsf\; h(\backslash mathfrak\; g)=\backslash sum\_\{i=0\}^na\_i$
:$\backslash mathsf\; h^\backslash vee(\backslash mathfrak\; g)=\backslash sum\_\{i=0\}^na\_i^\backslash vee$

3.2. 근계의 구조

아핀 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 근계는 유한 차원 단순 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 근계와 허근으로 구성된다.

$\backslash mathfrak\; g$의 실근(實根, real root)들의 집합 $\backslash Delta^\{\backslash text\{re\}\}(\backslash mathfrak\; g)$는 다음과 같다.
* $r=1$인 경우:
::$\backslash Delta^\{\backslash text\{re\}\}(\backslash mathfrak\; g)\; =\; \backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta+\backslash mathbb\; Z\backslash delta$
* $r\backslash in\backslash \{2,3\backslash \},\backslash ;\backslash mathfrak\; g\backslash not\backslash cong\; A\_\{2n\}^\{(2)\}$인 경우:
::$\backslash Delta^\{\backslash text\{re\}\}(\backslash mathfrak\; g)\; =\; (\backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta\_\backslash text\{short\}+\backslash mathbb\; Z\backslash delta)\backslash cup(\backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta\_\{\backslash text\{long\}\}+r\backslash mathbb\; Z\backslash delta)$
* $\backslash mathfrak\; g\backslash cong\; A\_\{2n\}^\{(2)\}$인 경우:
::$\backslash Delta^\{\backslash text\{re\}\}(\backslash mathfrak\; g)\; =\; \backslash frac12\backslash left(\backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta\_\{\backslash text\{long\}\}+(2\backslash mathbb\; Z-1)\backslash delta\backslash right)\backslash cup$
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{short}}+\mathbb Z\delta\right)\cup
\left(\stackrel\circ\Delta_{\text{long}}+2\mathbb Z\delta\right)

여기서 $\backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta$는 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 근계이며, $\backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta\_\backslash text\{short\}$와 $\backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta\_\{\backslash text\{long\}\}$는 각각 짧은 근과 긴 근의 집합이다. $r$은 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수이다. 예를 들어, $\backslash tilde\; D\_4^\{(3)\}$의 경우 $r=3$이다.

$\backslash mathfrak\; g$의 허근(虛根, imaginary root)들의 집합 $\backslash Delta^\{\backslash text\{im\}\}(\backslash mathfrak\; g)$는 다음과 같다.
::$\backslash Delta^\{\backslash text\{im\}\}(\backslash mathfrak\; g)=(\backslash mathbb\; Z\backslash setminus\backslash \{0\backslash \})\backslash delta$

영벡터는 정의에 따라 근이 아니며, $\backslash delta$는 항상 양근(positive root)이다. 따라서 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.
::$\backslash Delta^\{\backslash text\{im\},+\}(\backslash mathfrak\; g)=\backslash mathbb\; Z^+\backslash delta$

유한 차원 단순 복소 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$를 카르탕 부분 대수 $\backslash mathfrak\{h\}$와 특정 근계 $\backslash Delta$를 사용하여 고정하고, $X\_n\; =\; X\backslash otimes\; t^n$ 표기를 도입하면, $\backslash mathfrak\{g\}$에 대한 카르탕-바일 기저 $\backslash \{H^i\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{E^\backslash alpha|\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash Delta\backslash \}$를 $\backslash \{H^i\_n\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{c\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{E^\backslash alpha\_n\backslash \}$로 확장할 수 있다. 여기서 $\backslash \{H^i\_0\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{c\backslash \}$는 아벨 부분 대수를 형성한다.

$E^\backslash alpha\_n$에 대한 $ad(H^i\_0)$ 및 $ad(c)$의 고유값은 각각 $\backslash alpha^i$와 $0$이며 $n$과 무관하다. 따라서 이 아벨 부분 대수에 대해 근 $\backslash alpha$는 무한히 축퇴된다. 위에 설명된 미분을 아벨 부분 대수에 추가하면 아벨 부분 대수가 아핀 리 대수에 대한 카르탕 부분 대수로 바뀌고, $E^\backslash alpha\_n$에 대한 고유값은 $(\backslash alpha^1,\; \backslash cdots,\; \backslash alpha^,\; 0,\; n)$이 된다.

$E^\backslash alpha\_n$에 연관된 아핀 근을 $\backslash hat\; \backslash alpha\; =\; (\backslash alpha;0;n)$으로 쓴다. $\backslash delta\; =\; (0,0,1)$로 정의하면, 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
::$\backslash hat\; \backslash alpha\; =\; \backslash alpha\; +\; n\backslash delta$

전체 근의 집합은 다음과 같다.
::$\backslash hat\; \backslash Delta\; =\; \backslash \{\backslash alpha\; +\; n\backslash delta|n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z,\; \backslash alpha\; \backslash in\; \backslash Delta\backslash \}\backslash cup\; \backslash \{n\backslash delta|n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; Z,\; n\; \backslash neq\; 0\backslash \}$
이때 $\backslash delta$는 길이가 0이므로 특이하다. 즉, $(\backslash delta,\; \backslash delta)\; =\; 0$이며, 여기서 $(\backslash cdot,\backslash cdot)$은 킬링 형식에 의해 유도된 근 위의 쌍선형 형식이다.

아핀 대수의 단순근 기저를 얻기 위해, 추가적인 단순근이 덧붙여져야 하며, 다음과 같이 주어진다.
::$\backslash alpha\_0\; =\; -\backslash theta\; +\; \backslash delta$
여기서 $\backslash theta$는 $\backslash mathfrak\{g\}$의 최고근이며, 이는 근의 일반적인 높이 개념을 사용한다. 이를 통해 확장된 카르탕 행렬과 확장된 딘킨 다이어그램을 정의할 수 있다.

3.3. 기본 단순 리 대수

아핀 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 슈발레 생성원을 $(e\_0,f\_0),\backslash dots,(e\_n,f\_n)$이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 기본 단순 리 대수(underlying simple Lie algebra^영어) $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}\backslash subsetneq\backslash mathfrak\; g$는 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}$ 및 $(e\_1,f\_1),\backslash dots,(e\_n,f\_n)$으로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 카르탕 부분 대수는 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}$이다. 근계 및 쌍대 근계는 다음과 같다.
:$\backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta=\backslash Delta\backslash cap\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}^*$
:$\backslash stackrel\backslash circ\backslash Delta^\backslash vee=\backslash Delta^\backslash vee\backslash cap\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}$
단순근 및 단순 쌍대근은 각각 다음과 같다.
:$\backslash \{\backslash alpha\_1,\backslash dots,\backslash alpha\_n\backslash \}$
:$\backslash \{\backslash alpha\_1^\backslash vee,\backslash dots,\backslash alpha\_n^\backslash vee\backslash \}$

3.4. 바일 군

아핀 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 바일 군 $\backslash operatorname\{Weyl\}(\backslash mathfrak\; g)$은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 바일 군 $\backslash operatorname\{Weyl\}(\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\})$과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.
:$\backslash operatorname\{Weyl\}(\backslash mathfrak\; g)=\backslash operatorname\{Weyl\}(\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\})\; \backslash rtimes\; M$
여기서
:
\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\stackrel\circ\Delta^\vee&r\in\{2,3\}
\end{cases}
는 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}$ 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 $\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}\backslash cong\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}^*$를 암묵적으로 사용하였다.

아핀 리 대수의 바일 군은 0-모드 대수(루프 대수를 정의하는 데 사용되는 리 대수)의 바일 군과 코루트 격자의 반직접곱으로 표현될 수 있다.

아핀 리 대수의 대수적 문자의 바일 문자 공식은 바일-카츠 문자 공식으로 일반화된다.

3.5. 표현론

아핀 리 대수의 표현론은 베르마 가군을 사용하여 전개되며, 유한 차원 표현은 존재하지 않는다. 이는 유한 차원 베르마 가군의 영벡터가 0이어야 하지만, 아핀 리 대수의 경우에는 그렇지 않기 때문이다.

단순 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$에 대응되는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$의 표현 $V$가 주어지면, $V$에는 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.
:$\backslash mathsf\; L\_n\; =\; \backslash frac1\{\backslash mathsf\; k+\backslash mathsf\; h^\backslash vee(\backslash mathfrak\; g)\}\; \backslash sum\_\{m\; \backslash in\backslash mathbb\; Z\}\; \backslash eta\_\{ab\}\; (x^a\backslash mathsf\; z^m)(x^b\backslash mathsf\; z^\{-m\})\; \backslash qquad\; (n\backslash ne0)$
:$\backslash mathsf\; L\_0\; =\; \backslash frac2\{\backslash mathsf\; k+\backslash mathsf\; h^\backslash vee(\backslash mathfrak\; g)\}\; \backslash sum\_\{m\; =0\}^\backslash infty\; \backslash eta\_\{ab\}\; (x^a\backslash mathsf\; z^m)(x^b\backslash mathsf\; z^\{-m\})$
:$\backslash mathsf\; c\; =\; \backslash frac\{\backslash mathsf\; k\backslash dim\; \backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}\}\{\backslash mathsf\; k+\backslash mathsf\; h^\backslash vee(\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\})\}$
이를 스가와라 구성(菅原構成, Sugawara construction^영어)이라고 한다. 여기서
* $\backslash mathsf\; h^\backslash vee(\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\})$는 단순 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 이중 콕서터 수이다.
* $\backslash eta\_\{ab\}$는 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 킬링 형식의 스칼라배이다.
* $\backslash mathsf\; k$는 중심 원소이므로, 기약 표현에서 그 값은 상수이다.

보다 일반적으로, 반단순 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$의 표현 $V$ 및 부분 단순 리 대수 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}\backslash subseteq\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}$가 주어졌다고 하자. $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$에 대응하는 스가와라 구성 $(\backslash mathsf\; L\text{'}\_n,\backslash mathsf\; c\text{'})\_\{\backslash mathbb\; Z\}$ 및 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; h\}$에 대응하는 스가와라 구성 $(\backslash mathsf\; L$_n,\mathsf c)_{\mathbb Z}이 주어진다. 이 경우,
:$\backslash mathsf\; L\_n\; =\; \backslash mathsf\; L\text{'}\_n\; -\; \backslash mathsf\; L$_n
:$\backslash mathsf\; c\; =\; \backslash mathsf\; c\text{'}\; -\; \backslash mathsf\; c$ = \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak g}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak g})} - \frac{\mathsf k\dim \stackrel\circ{\mathfrak h}}{\mathsf k+\mathsf h^\vee(\stackrel\circ{\mathfrak h})}
를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 공액류 구성(coset construction^영어) 또는 고더드-켄트-올리브 구성(Goddard–Kent–Olive construction^영어) 또는 GKO 구성(GKO construction^영어)이라고 한다.

이를 통하여 비라소로 대수의 모든 유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로, $c\; =\; 1-6/(k+2)(k+3)$ 유니터리 표현을 구현하려면,
:$\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}\; =\; \backslash widehat\{\backslash mathfrak\{su\}\}(2)\_k\backslash times\backslash widehat\{\backslash mathfrak\{su\}\}(2)\_1$
:$\backslash hat\{\backslash mathfrak\; h\}\; =\; \backslash widehat\{\backslash mathfrak\{su\}\}(2)\_\{k+1\}$
를 취하면 된다. 여기서 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; h\}=\backslash mathfrak\{su\}(2)$는 $\backslash stackrel\backslash circ\{\backslash mathfrak\; g\}=\backslash mathfrak\{su\}(2)\backslash oplus\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 대각 성분이다. 이 경우
:$\backslash dim\backslash mathfrak\{su\}(2)\; =\; 3$
:$\backslash mathsf\; h^\backslash vee(\backslash mathfrak\{su\}(2))\; =\; 2$
이므로,
:$\backslash mathsf\; c=\backslash frac\{3k\}\{k+2\}+\backslash frac\{3\backslash times1\}\{1+2\}-\backslash frac\{3(k+1)\}\{k+3\}=1-\backslash frac6\{(k+2)(k+3)\}$
임을 계산할 수 있다.

아핀 리 대수의 바일 군은 0-모드 대수(루프 대수를 정의하는 데 사용되는 리 대수)의 바일 군과 코루트 격자의 반직접곱으로 표현될 수 있다.

아핀 리 대수의 대수적 문자의 바일 문자 공식은 바일-카츠 문자 공식으로 일반화된다.

4. 분류

단순 아핀 리 대수는 딘킨 도표(Dynkin diagram)를 이용하여 분류할 수 있다. 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하면 단순 리 대수의 딘킨 도표를 얻을 수 있다.

단순 아핀 리 대수 및 그 딘킨 도표는 아래 표와 같다. 표에서 "긴 실근의 동치류 수"는 근 \(\Delta\)에서 \(\delta\)를 더한 것을 무시한 동치류들 가운데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. \(\tilde A_{2n}^{(2)}\)의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다. 긴 근의 길이는 항상 \(\sqrt2\)로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (카르탕 행렬에서 \(A_{ij}A_{ji}=4\)인 경우)는 \(\xrightarrow4\) 및 \(\stackrel4\leftrightarrow\)로 표기하였다. 이 경우 \(A_{ij}=A_{ji}=-2\)인 경우는 \(\stackrel4\leftrightarrow\)이며, \(A_{ij}=-1,\;A_{ji}=-4\)인 경우는 \(\xrightarrow4\)이다.

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

\(n\ge2\)일 경우, \(\tilde A_n\)의 카르탕 행렬은 다음과 같은 \((n+1)\times(n+1)\) 대칭 정사각 행렬이다.
:\(\operatorname{Cartan}(\tilde A_n)=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 \\
-1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 2& -1\\
-1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{pmatrix}\)

\(\tilde A_1\)의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:\(\operatorname{Cartan}(\tilde A_1)=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}\)

\(\tilde A_n\)의 딘킨 도표는 \(n\ge2\)일 경우 \(n+1\)개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

\(n\ge2\)일 때, \(\tilde A_{2n}^{(2)}\)의 카르탕 행렬은 다음과 같은 \((n+1)\times(n+1)\) 비대칭 정사각 행렬이다.
:\(\operatorname{Cartan}(\tilde A_{2n}^{(2)})=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & \dots & 0& 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots &\vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2& -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1& 2& -1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -2 & 2
\end{pmatrix}\)

여기서 행·열 \(0,1,\dots,n\)의 순서는 다음과 같다.
:\(\alpha_0\Rightarrow\alpha_1-\cdots-\alpha_{n-1}\Rightarrow\alpha_n\)

\(\tilde A_2^{(2)}\)의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:\(\operatorname{Cartan}(\tilde A_2^{(2)})
=\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}
\)

여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.
:\(\alpha_0\xrightarrow4\alpha_1\)

\(\tilde G_2\)의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:\(\operatorname{Cartan}(\tilde G_2)=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1 & 2&-1\\
0 & -3&2 \end{pmatrix}
\)

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
:\(\alpha_0-\alpha_1\Rrightarrow\alpha_2\)
이다.

\(\tilde D_4^{(3)}\)의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
:\(\operatorname{Cartan}(\tilde D_4^{(3)})=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
-1 & 2&-3\\
0 & -1&2 \end{pmatrix}
\)

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
:\(\alpha_0-\alpha_1\Lleftarrow\alpha_2\)
이다.

각 아핀 리 대수의 Dyn킨 다이어그램은 해당 단순 리 대수의 다이어그램과 허수 근을 추가하는 것에 해당하는 추가 노드로 구성된다. 각 단순 리 대수에 대해 리 대수의 외부 자기 동형 사상 그룹의 카디널리티와 동일한 수의 가능한 연결이 존재한다. 특히 이 그룹은 항상 항등원을 포함하며, 해당 아핀 리 대수는 untwisted 아핀 리 대수라고 불린다. 단순 대수가 내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상을 허용할 때, 다른 Dyn킨 다이어그램을 얻을 수 있으며 이는 twisted 아핀 리 대수에 해당한다.

5. 예

$\backslash mathfrak\; g\; =\; \backslash mathbb\; C$가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수
:$\backslash mathbb\; C[\backslash mathsf\; z,\backslash mathsf\; z^\{-1\}]$
역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대
:$0\; \backslash to\; \backslash mathbb\; C\backslash mathsf\; k\; \backslash to\; \backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; C[\backslash mathsf\; z,\backslash mathsf\; z^\{-1\}]\; \backslash to\; 0$
에서
:$[\backslash mathsf\; z^m,\backslash mathsf\; z^n]\; =\; \backslash delta\_\{m+n,0\}\; m\backslash mathsf\; k$
:$[\backslash mathsf\; k,\backslash mathsf\; z^m]\; =\; 0$
이 된다. 이 경우,
:$\backslash mathsf\; z^\{-n\}\; =\; \backslash sqrt\; n\backslash mathsf\; p\_n\backslash qquad(n>0)$
:$\backslash mathsf\; z^n\; =\; \backslash sqrt\; n\backslash mathsf\; q\_n\backslash qquad(n>0)$
:$\backslash mathsf\; k\; =\; \backslash hbar$
로 놓으면,
:$[\backslash mathsf\; q\_m,\backslash mathsf\; p\_n]\; =\; \backslash delta\_\{m,n\}\backslash hbar$
가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 ($\backslash mathsf\; z^0$으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다. 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간 $\backslash mathbb\; C[\backslash mathsf\; x\_1,\backslash mathsf\; x\_2,\backslash dotsb]$ 위에 표준적으로 작용한다.

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.
:$\backslash mathsf\; L\_n\; =\; -\; \backslash frac12\backslash sum\_\{m\backslash in\backslash mathbb\; Z\}\; \backslash mathsf\; z^\{\backslash min\backslash \{m,n-m\backslash \}\}\; \backslash mathsf\; z^\{\backslash max\backslash \{m,n-m\backslash \}\}$
:$\backslash mathsf\; c\; =\; 1$
물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.
하이젠베르크 대수는 생성자 $a\_n,\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$에 의해 정의되며, 교환 관계
:$$[a\_m,\; a\_n]\; =\; m\backslash delta\_\{m+n,0\}c$$
를 만족하며, 아핀 리 대수 $\backslash hat\; \backslash mathfrak\; u(1)$로 실현될 수 있다.

6. 역사

빅토르 카츠와 로버트 무디(Robert Moody^영어)가 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 아핀 리 대수를 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카( 菅原 寛孝^일본어 )가 1968년에 발견하였다. 공액 구성은 피터 고더드(Peter Goddard^영어, 1945~) · 에이드리언 켄트(Adrian Kent^영어) · 데이비드 올리브(David Olive^영어, 1937~2012)가 1985년에 발견하였다.

7. 응용

아핀 리 대수는 스가와라 구성에 따라 모든 아핀 리 대수의 보편 포락 대수가 비라소로 대수를 부분 대수로 갖는다. 이를 통해 아핀 리 대수는 WZW 모형 또는 코셋 모형과 같은 등각장론의 대칭 대수로 사용될 수 있다. 결과적으로 아핀 리 대수는 끈 이론의 세계면 묘사에도 나타난다.

아핀 리 대수는 이론 물리학(등각장론과 같은 WZW 모델, 코셋 모델, heterotic string의 세계면 등), 기하학, 수학의 다른 분야에서 자연스럽게 나타난다.