라그랑주 항등식

1. 개요

라그랑주 항등식은 대수적 표현, 일반적인 형태, 복소수 형태, 벡터 해석, 사원수 등 다양한 형태로 표현되는 수학적 항등식이다. 이 항등식은 수열의 곱셈과 전개를 통해 증명할 수 있으며, 복소수와 외적, 내적을 활용하여 기하학적으로 해석될 수 있다. 특히, 3차원 및 7차원 벡터 공간에서의 외적과 내적 관계를 통해 평행사변형의 면적을 나타내는 공식으로 활용된다.

2. 대수적 표현

라그랑주 항등식은 주어진 두 수열의 곱의 합과 관련된 항등식으로, 직접적인 증명을 통해 확인할 수 있다.

먼저, 좌변의 첫 번째 항을 전개하면 다음과 같다.

:(as의 열과 bs의 행의 곱은 abs의 제곱의 합을 생성하고, 이 제곱은 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 삼각형으로 나눌 수 있다.)

다음으로, 좌변의 두 번째 항을 전개하면 다음과 같다.

:(대칭 제곱은 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 동일한 삼각형으로 나눌 수 있다.)

우변의 합계를 전개하기 위해, 먼저 합계 내의 제곱을 전개한다.

:

우변의 합계를 분배하면 다음과 같다.

:

이제 우변의 두 번째 항의 인덱스 i와 j를 교환하고, 세 번째 항의 b 인수를 순열하면 다음을 얻는다.

:

마지막으로, 좌변의 두 항을 방정식 (1)과 (2)에서 전개된 형태로 가져온다. 방정식 (2)의 우변 첫 번째 항은 방정식 (1)의 우변 첫 번째 항을 상쇄하여 다음을 얻는다.

:

이는 방정식 (3)과 동일하므로, 라그랑주 항등식이 성립한다.

2.1. 복소수 형태

Lagrange's identity^영어은 곱의 노름이 노름의 곱과 같아야 한다는 노름 나눗셈 대수의 성질을 보여준다.

$a\_\{i\},b\_\{i\}\backslash in\backslash mathbb\{C\}$를 복소수라 하고, 오버바를 복소 공액이라 할 때, 복소수에 대한 라그랑주 항등식은 다음과 같이 표현된다.

:

이는 다음과 같은 곱 항등식에서 4차 항을 고려하여 유도할 수 있다.

:$\backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash left(1\; -\; a\_\{i\}\; \backslash bar\{a\}\_\{i\}\; -\; b\_\{i\}\; \backslash bar\{b\}\_\{i\}\; +\; a\_\{i\}\; \backslash bar\{a\}\_\{i\}\; b\_\{i\}\; \backslash bar\{b\}\_\{i\}\backslash right)\; =\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash left(1\; -\; a\_\{i\}\; \backslash bar\{a\}\_\{i\}\backslash right)\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash left(1\; -\; b\_\{i\}\; \backslash bar\{b\}\_\{i\}\backslash right).$

복소수 형태의 라그랑주 항등식은 코시-슈바르츠 부등식의 특수한 경우이므로, 이 증명은 코시-슈바르츠 부등식을 유도하는 또 다른 방법이기도 하다.

3. 벡터 해석

3차원에서 라그랑주 항등식은 벡터의 외적과 내적을 통해 기하학적으로 해석할 수 있다. a와 b가 이루는 각도를 θ라고 하면, 라그랑주 항등식의 좌변은 |a||b|sinθ의 제곱으로 표현되는데, 이는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적의 제곱과 같다. 우변의 외적은 평행사변형을 yz, zx, xy 평면에 투영한 면적의 크기를 성분으로 갖는 벡터이다.

3.1. 3차원 벡터

a와 b가 크기가 |a|와 |b|인 R³의 벡터라면, 라그랑주 항등식은 외적과 내적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf {a} \cdot \mathbf{b})^2 = |\mathbf a \times \mathbf b|^2

내적에 기초한 각도의 정의(코시-슈바르츠 부등식 참조)를 사용하면 좌변은 다음과 같다.

:\left|\mathbf{a}\right|^2 \left|\mathbf{b}\right|^2 \left( 1- \cos^2\theta\right) = \left|\mathbf{a}\right|^2 \left|\mathbf{b}\right|^2\sin^2\theta

여기서 θ는 벡터 a와 b가 이루는 각도이다. 변이 |a|와 |b|이고 각도가 θ인 평행사변형의 면적은 초등 기하학에서 다음과 같다.

:\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right| \left|\sin\theta\right|

따라서 라그랑주 항등식의 좌변은 평행사변형의 면적의 제곱이다. 우변에 나타나는 외적은 다음과 같이 정의된다.

:\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left(a_2 b_3- a_3 b_2\right)\mathbf{i} + \left(a_3 b_1 - a_1 b_3\right)\mathbf{j} + \left(a_1 b_2 - a_2 b_1\right)\mathbf{k}

이는 평행사변형을 각각 yz, zx, xy 평면에 투영한 면적의 크기와 같은 성분을 가진 벡터이다.

3.2. 7차원 벡터

라그랑주 항등식은 R⁷의 벡터 a와 b에 대해 R³의 경우와 동일한 형식을 취한다.

:|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 -|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2

그러나 7차원에서의 외적은 3차원에서의 외적의 모든 성질을 공유하지는 않는다. 예를 들어, 7차원에서 a × b의 방향은 c와 d가 a와 b에 선형 독립임에도 불구하고 c × d와 같을 수 있다. 또한 7차원 외적은 야코비 항등식과 호환되지 않는다.

3.3. 외대수

쐐기곱을 사용하여 라그랑주 항등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$(a\; \backslash cdot\; a)(b\; \backslash cdot\; b)\; -\; (a\; \backslash cdot\; b)^2\; =\; (a\; \backslash wedge\; b)\; \backslash cdot\; (a\; \backslash wedge\; b).$$

이는 두 벡터의 외적의 길이를 나타내는 공식으로 볼 수 있으며, 두 벡터가 정의하는 평행사변형의 면적을 두 벡터의 내적을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$\backslash |a\; \backslash wedge\; b\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{(a\; \backslash cdot\; a)(b\; \backslash cdot\; b)\; -\; (a\; \backslash cdot\; b)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash |a\backslash |^2\backslash |b\backslash |^2\; -\; (a\; \backslash cdot\; b)^2\}.$$

4. 사원수

사원수 p는 스칼라 t와 벡터 v의 합으로 정의된다.
$$p\; =\; t\; +\; \backslash mathbf\; v\; =\; t\; +\; x\; \backslash \; \backslash mathbf\; i\; +y\; \backslash \; \backslash mathbf\; j\; +\; z\backslash \; \backslash mathbf\; k.$$

두 사원수 p = t + v^영어, q = s + w^영어의 곱은 다음과 같이 정의된다.
$$pq\; =\; (st\; -\; \backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{w\})\; +\; s\; \backslash \; \backslash mathbf\{v\}\; +\; t\; \backslash \; \backslash mathbf\{w\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\backslash times\backslash mathbf\{w\}.$$

q의 사원수 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다.
$$\backslash overline\{q\}\; =\; t\; -\; \backslash mathbf\{v\},$$
노름 제곱은 다음과 같다.
$$|q|^2\; =\; q\backslash overline\{q\}\; =\; t^2\; \backslash \; +\; \backslash \; x\; ^2\; +\; \backslash \; y^2\; \backslash \; +\backslash \; z^2.$$

사원수 대수에서 노름의 곱셈성은 사원수 p와 q에 대해 다음을 만족한다.
$$\backslash left|pq\backslash right|\; =\; \backslash left|p\backslash right|\; \backslash left|q\backslash right|.$$

4.1. 허수 사원수

사원수 p와 q가 스칼라 부분이 0일 경우, 즉 다음이 성립할 경우 허수라고 한다.
$$p\; =\; \backslash mathbf\{v\},\backslash quad\; q\; =\; \backslash mathbf\{w\}.$$

라그랑주 항등식은 허수 사원수의 노름의 곱셈성, 즉
$$|\backslash mathbf\{v\}\backslash mathbf\{w\}|^2\; =\; |\backslash mathbf\{v\}|^2|\backslash mathbf\{w\}|^2,$$
인데, 이것은 다음 정의에 의해 성립한다.
$$|\backslash mathbf\{v\}\backslash mathbf\{w\}|^2\; =\; (\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{w\})^2\; +\; |\backslash mathbf\{v\}\backslash times\backslash mathbf\{w\}|^2.$$

5. 증명

라그랑주 항등식은 대수, 벡터 해석, 복소수 등 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 비네-코시 등식에서 c_i = a_i 및 d_i = b_i로 설정하면 벡터 형식을 얻을 수 있다.

5.1. 대수적 증명

라그랑주 항등식의 대수적 증명은 다음과 같다. 좌변의 첫 번째 항을 전개하면 다음과 같다.

:(as의 열)과 (bs의 행)의 곱은 abs의 제곱의 (합)을 생성하고, 이 제곱은 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 삼각형으로 나눌 수 있음을 의미한다.

라그랑주 항등식의 좌변에 있는 두 번째 항은 다음과 같이 전개할 수 있다.

:이는 대칭 제곱이 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 동일한 삼각형으로 나눌 수 있음을 의미한다.

라그랑주 항등식의 우변의 합계를 전개하려면 먼저 합계 내의 제곱을 전개한다.

::

우변에 있는 합계를 분배하면,

::

이제 우변의 두 번째 항의 인덱스 i와 j를 교환하고, 세 번째 항의 b 인수를 순열하면 다음을 얻는다.

::

라그랑주 항등식의 좌변으로 돌아가면, 방정식 (1)과 (2)에 의해 전개된 형태로 제공되는 두 개의 항이 있다. 방정식 (2)의 우변의 첫 번째 항은 방정식 (1)의 우변의 첫 번째 항을 상쇄하여

::

이는 방정식 (3)과 동일하므로, 라그랑주 항등식은 실제로 항등식이다.

5.2. 복소수 증명

$a\_\{i\},b\_\{i\}\backslash in\backslash mathbb\{C\}$를 복소수라 하고, 오버바를 복소 공액을 나타낸다고 하자.

곱 항등식 $$\backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash left(1\; -\; a\_\{i\}\; \backslash bar\{a\}\_\{i\}\; -\; b\_\{i\}\; \backslash bar\{b\}\_\{i\}\; +\; a\_\{i\}\; \backslash bar\{a\}\_\{i\}\; b\_\{i\}\; \backslash bar\{b\}\_\{i\}\backslash right)\; =\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash left(1\; -\; a\_\{i\}\; \backslash bar\{a\}\_\{i\}\backslash right)\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash left(1\; -\; b\_\{i\}\; \backslash bar\{b\}\_\{i\}\backslash right)$$는 급수 전개에서 4차 항을 고려할 때 복소 라그랑주 항등식으로 축소된다.

이를 증명하기 위해, 곱 항등식의 좌변에 있는 곱을 4차까지의 급수로 전개한다. $\backslash left(1\; +x\_\{i\}\backslash right)$ 형태의 곱은 다음과 같이 합의 관점에서 전개될 수 있다.

여기서 $\backslash mathcal\{O\}^\{3+\}(x)$는 $x$에 대해 3차 이상인 항을 의미한다.

따라서,
$$$$
\prod_{i=1}^{n}\left(1 - a_{i} \bar{a}_{i} - b_{i} \bar{b}_{i} + a_{i} \bar{a}_{i} b_{i} \bar{b}_{i}\right) = 1-\sum_{i=1}^{n} \left(a_{i}\bar{a}_{i} + b_{i} \bar{b}_{i}\right) + \sum_{i=1}^{n} a_{i} \bar{a}_{i} b_{i} \bar{b}_{i}
+ \sum_{i

우변의 두 인자도 급수의 관점에서 작성하면,
$$$$
\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\left(1-\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}+\sum_{i\left(1-\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}+\sum_{i

4차까지 이 표현의 곱은 다음과 같다.
$$$$
\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right)=1-\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}\bar{a}_{i}+b_{i}\bar{b}_{i}\right)
+\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right)+\sum_{i

이 두 결과를 곱 항등식에 대입하면 다음을 얻는다.
$$$$
\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}+\sum_{i

두 공액 급수의 곱은 공액 항의 곱을 포함하는 급수로 표현될 수 있다. 공액 급수 곱은
$$$$
\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)-\sum_{i=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).


좌변의 마지막 두 급수의 항은 $$a\_\{i\}\backslash bar\{a\}\_\{i\}b\_\{j\}\backslash bar\{b\}\_\{j\}+a\_\{j\}\backslash bar\{a\}\_\{j\}b\_\{i\}\backslash bar\{b\}\_\{i\}-a\_\{i\}b\_\{i\}\backslash bar\{a\}\_\{j\}\backslash bar\{b\}\_\{j\}-\backslash bar\{a\}\_\{i\}\backslash bar\{b\}\_\{i\}a\_\{j\}b\_\{j\}\; =\; \backslash left(a\_\{i\}\backslash bar\{b\}\_\{j\}-a\_\{j\}\backslash bar\{b\}\_\{i\}\backslash right)\backslash left(\backslash bar\{a\}\_\{i\}b\_\{j\}-\backslash bar\{a\}\_\{j\}b\_\{i\}\backslash right),$$ 와 같이 묶인다.

따라서, 복소 라그랑주 항등식은 다음과 같다.
$$$$
\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)+\sum_{i

절댓값으로 표현하면,
$$$$
\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum_{i

복소수에 대한 라그랑주 항등식은 간단한 곱 항등식에서 얻어졌다. 실수에 대한 유도는 더욱 간결하다. 코시-슈바르츠 부등식은 라그랑주 항등식의 특수한 경우이므로, 이 증명은 코시-슈바르츠 부등식을 얻는 또 다른 방법이다. 급수의 고차 항은 새로운 항등식을 생성한다.