코시-슈바르츠 부등식

1. 개요

코시-슈바르츠 부등식은 내적 공간에서 두 벡터의 내적과 노름 사이의 관계를 나타내는 부등식이다. 이 부등식은 다양한 분야에서 활용되며, 유한 차원 및 무한 차원 공간 모두에서 성립한다. 1821년 오귀스탱 루이 코시에 의해 유한 차원 벡터 공간에 대한 부등식이 증명되었고, 1859년 빅토르 부냐콥스키가 무한 차원 공간에 대한 부등식을 증명했으며, 1888년 헤르만 아만두스 슈바르츠가 이를 재발견했다. 이 부등식은 삼각 부등식, 연속 함수 증명, 두 벡터 사이의 각도 정의 등에 사용된다.

2. 정의

$\backslash mathbb\; K$가 실수체 또는 복소수체라고 하고, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* $\backslash mathbb\; K$-벡터 공간 $V$
* $V$ 위의 양의 준정부호 에르미트 형식 $\backslash langle,\backslash rangle$ ($\backslash mathbb\; K=\backslash mathbb\; R$일 때, 이는 양의 준정부호 쌍선형 형식과 같다). 즉, 다음이 성립한다. (특히, 첫째 벡터에 대하여 반선형, 둘째 벡터에 대하여 선형이라고 하자.)
*: $\backslash langle\; w,\backslash alpha\; u+v\backslash rangle=\backslash alpha\backslash langle\; w,u\backslash rangle+\backslash langle\; w,v\backslash rangle=\backslash overline\{\backslash langle\; \backslash alpha\; u+v,w\backslash rangle\}\backslash qquad\backslash forall\; \backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; K,\backslash ;u,v\backslash in\; V$

그렇다면, 코시-슈바르츠 부등식에 의하면 다음이 성립한다.

:$|\backslash langle\; u,v\backslash rangle|^2\backslash le\; \backslash langle\; u,u\backslash rangle\backslash langle\; v,v\backslash rangle\backslash qquad\backslash forall\; u,v\backslash in\; V$

$\backslash langle\; u,u\backslash rangle=\backslash langle\; v,v\backslash rangle=0$이며 $\backslash mathbb\; K=\backslash mathbb\; R$일 경우, 양의 준정부호 조건에 따라 자명하게 성립한다. 마찬가지로, $\backslash langle\; u,u\backslash rangle=\backslash langle\; v,v\backslash rangle=0$이며 $\backslash mathbb\; K=\backslash mathbb\; C$일 경우에도 양의 준정부호 조건에 따라 성립한다. (양의 정부호 에르미트 형식의 경우 $\backslash langle\; u,u\backslash rangle=\backslash langle\; v,v\backslash rangle=0$은 $u=v=0$을 함의하며 이는 자명하게 $\backslash langle\; u,v\backslash rangle=0$을 함의하므로 위와 같은 과정이 필요 없다.) 따라서, $\backslash langle\; u,u\backslash rangle$ 또는 $\backslash langle\; v,v\backslash rangle$ 가운데 하나가 양의 실수라고 가정할 수 있다. 편의상 $\backslash langle\; v,v\backslash rangle>0$라고 하자.

양의 준정부호 조건에 의하여, 임의의 $\backslash lambda\backslash in\backslash mathbb\; K$에 대하여 다음이 성립한다.

:$0\backslash le\backslash langle\; u-\backslash lambda\; v,u-\backslash lambda\; v\backslash rangle=\backslash langle\; u,u\backslash rangle+|\backslash lambda|^2\backslash langle\; v,v\backslash rangle-\backslash lambda\backslash langle\; u,v\backslash rangle-\backslash bar\backslash lambda\backslash langle\; v,u\backslash rangle$

$\backslash lambda=\backslash frac\{\backslash langle\; v,u\backslash rangle\}\{\backslash langle\; v,v\backslash rangle\}$를 대입하면 다음과 같다.

:$0\backslash le\backslash langle\; u,u\backslash rangle-\backslash frac\{|\backslash langle\; u,v\backslash rangle|^2\}\{\backslash langle\; v,v\backslash rangle\}$

이를 정리하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.

:$|\backslash langle\; u,v\backslash rangle|^2\; \backslash le\; \backslash langle\; u,u\; \backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; v,v\; \backslash rangle$

또한, 만약 $\backslash langle,\backslash rangle$가 양의 정부호라면, 코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립할 필요 충분 조건은 $u$와 $v$가 일차 종속인 경우이다.

2.1. 일반적인 경우

내적 공간의 벡터 u와 v에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash left\; |\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\backslash right\; |^2\; \backslash leq\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle$

여기서 $\backslash langle\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; \backslash rangle$는 내적이다. 내적의 예시에는 실수 및 복소수 점곱이 포함된다. 모든 내적은 유클리드 $\backslash ell\_2$ 노름을 생성하며, 이를 정규 또는 유도된 노름이라고 하며, 벡터 $\backslash mathbf\{u\}$의 노름은 다음과 같이 표기하고 정의한다.

:$\backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |\; :=\; \backslash sqrt\{\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash rangle\}$

여기서 $\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash rangle$는 항상 음수가 아닌 실수이다 (내적이 복소수 값을 갖는 경우에도).

위 부등식의 양변에 제곱근을 취함으로써, 코시-슈바르츠 부등식은 노름을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$|\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle|\; \backslash leq\; \backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |\; \backslash |\backslash mathbf\{v\}\backslash |$

양변은 $\backslash mathbf\{u\}$와 $\backslash mathbf\{v\}$가 선형 종속일 때에만 같다. 즉, 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라 배일 때 성립한다.

x^영어, y^영어가 실수 또는 복소수내적 공간 $(X,\backslash langle\; \backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle)$의 원소일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash langle\; x,y\backslash rangle^2\; \backslash leq\; \backslash langle\; x,x\backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; y,y\backslash rangle$

이 등호는 x^영어, y^영어가 선형 종속일 때, 즉 x^영어, y^영어의 한쪽이 0이거나, 그렇지 않으면 평행할 때 성립한다. 내적에서 유도되는 노름 $\backslash |x\backslash |^2:=\backslash langle\; x,x\backslash rangle$을 사용하면 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$|\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle|\; \backslash leq\; \backslash Vert\; x\backslash Vert\backslash cdot\backslash Vert\; y\backslash Vert$

코시-슈바르츠 부등식의 중요한 귀결로서, 내적이 두 벡터에 대해 연속 사상이라는 점을 들 수 있다. 따라서 특히 벡터 x^영어에 대한 연속 범함수 $\backslash langle\; x,\backslash cdot\backslash rangle$ 또는 $\backslash langle\; \backslash cdot,x\backslash rangle$를 정의할 수 있다. 또한 벡터 x^영어에 범함수 $x^*\; \backslash colon\; y\; \backslash mapsto\; \backslash langle\; y,x\backslash rangle$를 작용시키면 등거리 작용소가 되는 것도 따른다.

또한, 이 정리의 계로 내적 노름에 관한 삼각 부등식

:$\backslash Vert\; x+y\; \backslash Vert\; \backslash le\; \backslash Vert\; x\backslash Vert\; +\; \backslash Vert\; y\backslash Vert$

가 유도된다. 이 등호는 x^영어와 y^영어의 한쪽이 다른 쪽의 음이 아닌 실수배일 때 성립한다.

2.2. 부정부호의 경우

일반적으로, 부정부호 에르미트 형식의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, 민코프스키 공간의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 실수 벡터 공간 $V$
* $V$ 위의 쌍선형 형식 $\backslash langle,\backslash rangle$. 또한, 은 1차원 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다. (정부호의 경우에 대하여 부호가 반대인 것에 주의.)

:$\backslash forall\; u,v\backslash in\; V\backslash colon\; \backslash min\backslash \{\backslash langle\; u,u\backslash rangle,\backslash langle\; v,v\backslash rangle\backslash \}\backslash le0\backslash implies\; |\backslash langle\; u,v\backslash rangle|^2\backslash ge\; \backslash langle\; u,u\backslash rangle\backslash langle\; v,v\backslash rangle\backslash qquad\backslash forall\; u,v\backslash in\; V$

또한, 2차원 민코프스키 공간의 경우는 위와 같은 조건을 생략할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 실수 벡터 공간 $V$
* $V$ 위의 쌍선형 형식 $\backslash langle,\backslash rangle$. 또한, 은 1차원 이하 부분 벡터 공간이며, $\backslash \{v\backslash in\; V\backslash colon\backslash langle\; v,v\backslash rangle>0\backslash \}\backslash cup\backslash \{0\backslash \}$ 역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

:$\backslash forall\; u,v\backslash in\; V\backslash colon\; |\backslash langle\; u,v\backslash rangle|^2\backslash ge\; \backslash langle\; u,u\backslash rangle\backslash langle\; v,v\backslash rangle\backslash qquad\backslash forall\; u,v\backslash in\; V$

3. 증명

코시-슈바르츠 부등식은 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 이 문서에서는 두 가지 증명을 제시하며, 그 외에도 여러 증명 방법이 존재한다.

먼저, 벡터 중 하나가 영벡터인 경우와 등식 조건의 한 방향은 다음과 같이 쉽게 증명할 수 있다.

두 벡터 $\backslash mathbf\{u\}$, $\backslash mathbf\{v\}$가 선형 종속이면, 즉 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라 배이면 $\backslash mathbf\{u\}\; =\; c\; \backslash mathbf\{v\}$ (c는 스칼라)로 나타낼 수 있다. 이 경우,
$$|\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle|$$
= |\langle c \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle|
= |c \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle|
= |c|\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{v}\|
=\|c \mathbf{v}\| \|\mathbf{v}\|
=\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|
가 성립하여 등식이 성립한다. $\backslash mathbf\{v\}\; =\; c\; \backslash mathbf\{u\}$인 경우도 마찬가지로 유도할 수 있다.

특히, $\backslash mathbf\{u\}$나 $\backslash mathbf\{v\}$ 중 하나가 영벡터이면, 두 벡터는 선형 종속이므로 (예: $\backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$이면 $\backslash mathbf\{u\}\; =\; 0\backslash mathbf\{v\}$) 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.

따라서, 이제부터는 두 벡터가 모두 영벡터가 아닌 경우에 대해서만 증명하고, 등식 조건의 나머지 방향을 증명하면 된다. $\backslash mathbf\{v\}\; \backslash neq\; \backslash mathbf\{0\}$라고 가정한다.

증명 1:

$\backslash mathbf\{z\}\; =\; \backslash mathbf\{u\}\; -\; \backslash frac\; \{\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\}\; \{\backslash langle\; \backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\}\; \backslash mathbf\{v\}$ 로 정의하면, 내적의 선형성에 의해 $\backslash langle\; \backslash mathbf\{z\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\; =\; 0$이 성립한다. 즉, $\backslash mathbf\{z\}$는 $\backslash mathbf\{v\}$에 직교한다.

피타고라스 정리를 $\backslash mathbf\{u\}=\; \backslash frac\{\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\}\; \{\backslash langle\; \backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\}\; \backslash mathbf\{v\}\; +\; \backslash mathbf\{z\}$ 에 적용하면,
$$\backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |^2$$
= \left|\frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}\right|^2 \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{z}\|^2
= \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2}{\|\mathbf{v}\|^2} + \|\mathbf{z}\|^2 \geq \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2}{\|\mathbf{v}\|^2}
를 얻는다. 양변에 $\backslash |\backslash mathbf\{v\}\backslash |^2$를 곱하고 제곱근을 취하면 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.

위 식에서 $\backslash geq$ 가 등호가 되려면 $\backslash |\backslash mathbf\{z\}\backslash |^2\; =\; 0$, 즉 $\backslash mathbf\{z\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$이어야 한다. 이는 $\backslash mathbf\{u\}$와 $\backslash mathbf\{v\}$가 선형 종속임을 의미하며, 이는 앞서 증명한 등식 조건과 일치한다.

증명 2:

$|\backslash alpha|\; =\; 1$이고 $\backslash alpha\backslash langle\backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\backslash rangle\; =\; |\backslash langle\backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\backslash rangle|$를 만족하는 복소수 $\backslash alpha$를 이용하여 함수 $p(t)\; =\; \backslash langle\; t\backslash alpha\backslash mathbf\{u\}\; +\; \backslash mathbf\{v\},\; t\backslash alpha\backslash mathbf\{u\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\backslash rangle$ ($t$는 실수)를 정의한다. 내적의 양의 정부호성에 의해 $p(t)\; \backslash geq\; 0$이다.

$p(t)$를 내적의 쌍선형성을 이용하여 전개하면,
$$p(t)\; =\; \backslash lVert\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash rVert^2\; t^2\; +\; 2|\backslash langle\backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\backslash rangle|t\; +\; \backslash lVert\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rVert^2$$
를 얻는다. 이는 $t$에 대한 2차 다항식이고, $p(t)\; \backslash geq\; 0$이므로 판별식은 0보다 작거나 같아야 한다. 즉,
$$\backslash Delta\; =\; 4\; \backslash bigl(\backslash ,|\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle|^2\; -\; \backslash Vert\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash Vert^2\; \backslash Vert\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash Vert^2\backslash bigr)\; \backslash leq\; 0.$$
이로부터 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.

등호 조건의 경우, $\backslash Delta\; =\; 0$이면 $p(t)\; =\; \backslash bigl(t\backslash Vert\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash Vert\; +\; \backslash Vert\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash Vert\backslash bigr)^2$ 형태가 되고, $t\_0\; =\; -\backslash Vert\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash Vert\; /\; \backslash Vert\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash Vert$에 대해 $p(t\_0)\; =\; 0$, 즉 $\backslash mathbf\{v\}\; =\; -t\_0\backslash alpha\backslash mathbf\{u\}$가 성립한다.

이 외에도 이차식과 판별식을 이용하거나, 직교 사영을 이용하는 등 다양한 증명 방법이 존재한다.

4. 특수한 경우

수 벡터 공간에서 표준 내적을 사용할 때 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash left(\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i\; y\_i\; \backslash right)^2\; \backslash leq\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{x\_i\}^2\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{y\_i\}^2\; \backslash right)$

특히 n = 2, 3인 경우에는 각각 다음과 같은 부등식을 얻는다.

:$(x\_1\; y\_1\; +\; x\_2\; y\_2)^2\; \backslash leq\; (\{x\_1\}^2\; +\; \{x\_2\}^2)(\{y\_1\}^2\; +\; \{y\_2\}^2)$
:$(x\_1\; y\_1\; +\; x\_2\; y\_2\; +\; x\_3\; y\_3)^2\; \backslash leq\; (\{x\_1\}^2\; +\; \{x\_2\}^2\; +\; \{x\_3\}^2)(\{y\_1\}^2\; +\; \{y\_2\}^2\; +\; \{y\_3\}^2)$

이 부등식은 유한 차원뿐만 아니라 무한 차원 내적 공간에서도 성립한다. 제곱 적분 가능 함수 공간에서는 횔더 부등식으로 일반화되는 다음과 같은 적분 형태의 부등식이 슈바르츠 부등식에 해당한다.

:$\backslash left(\; \backslash int\; f(x)g(x)^*\backslash ,dx\; \backslash right)^2\; \backslash leq\; \backslash int\; \backslash left|f(x)\backslash right|^2\backslash ,dx\; \backslash cdot\; \backslash int\; \backslash left|g(x)\backslash right|^2\backslash ,dx$

4.1. 세드라키안 부등식 (Sedrakyan's lemma)

세드라키안 부등식은 베르그스트룀 부등식, 엥겔의 형태, 티투의 보조 정리(또는 T2 보조 정리)라고도 알려져 있으며, 실수 $u\_1,\; u\_2,\; \backslash dots,\; u\_n$과 양의 실수 $v\_1,\; v\_2,\; \backslash dots,\; v\_n$에 대해 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash frac\{\backslash left(u\_1\; +\; u\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; u\_n\backslash right)^2\}\{v\_1\; +\; v\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; v\_n\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{u^2\_1\}\{v\_1\}\; +\; \backslash frac\{u^2\_2\}\{v\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{u^2\_n\}\{v\_n\},$

또는 합 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash biggl(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; u\_i\backslash biggr)^2\; \backslash bigg/\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; v\_i\; \backslash ,\backslash leq\backslash ,\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{u\_i^2\}\{v\_i\}.$

이는 코시-슈바르츠 부등식의 직접적인 결과이며, $u\_i\text{'}\; =\; \backslash frac\{u\_i\}\{\backslash sqrt\{v\_i\backslash vphantom\{t\}\}\}$ 및 $v\_i\text{'}\; =\; \{\backslash textstyle\; \backslash sqrt\{v\_i\backslash vphantom\{t\}\}\}$를 대입하여 $\backslash R^n$에 대한 내적을 사용함으로써 얻을 수 있다. 이 형태는 분자가 제곱수인 분수가 포함된 부등식에 특히 유용하다.

4.2. 2차원 유클리드 공간 (R^2)

실벡터 공간 $\backslash R^2$는 2차원 평면을 나타낸다. 이는 내적이 점곱인 2차원 유클리드 공간이기도 하다.
만약 $\backslash mathbf\{u\}\; =\; (u\_1,\; u\_2)$이고 $\backslash mathbf\{v\}\; =\; (v\_1,\; v\_2)$라면, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.
:$\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle^2\; =\; \backslash bigl(\backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |\; \backslash |\backslash mathbf\{v\}\backslash |\; \backslash cos\; \backslash theta\backslash bigr)^2\; \backslash leq\; \backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |^2\; \backslash |\backslash mathbf\{v\}\backslash |^2,$
여기서 $\backslash theta$는 $\backslash mathbf\{u\}$와 $\backslash mathbf\{v\}$ 사이의 각도이다.

이 형태는 부등식을 이해하기에 가장 쉬울 수 있는데, 코사인의 제곱이 최대 1이 될 수 있으며, 이는 벡터가 같은 방향 또는 반대 방향일 때 발생한다. 이것은 또한 벡터 좌표 $u\_1$, $u\_2$, $v\_1$ 및 $v\_2$로 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.
:$\backslash left(u\_1\; v\_1\; +\; u\_2\; v\_2\backslash right)^2\; \backslash leq\; \backslash left(u\_1^2\; +\; u\_2^2\backslash right)\; \backslash left(v\_1^2\; +\; v\_2^2\backslash right),$
여기서 등식은 벡터 $\backslash left(u\_1,\; u\_2\backslash right)$가 벡터 $\backslash left(v\_1,\; v\_2\backslash right)$와 같은 방향 또는 반대 방향에 있거나, 둘 중 하나가 영벡터인 경우에만 성립한다.

4.3. n차원 유클리드 공간 (R^n)

n차원 유클리드 공간에서 표준 내적을 사용할 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.

: $\backslash biggl(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; u\_i\; v\_i\backslash biggr)^2\; \backslash leq\; \backslash biggl(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; u\_i^2\backslash biggr)\; \backslash biggl(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; v\_i^2\backslash biggr).$

이 부등식은 다음 이차 다항식을 이용하여 증명할 수 있다.

: $(u\_1\; x\; +\; v\_1)^2\; +\; \backslash cdots\; +\; (u\_n\; x\; +\; v\_n)^2\; =\; \backslash biggl(\backslash sum\_i\; u\_i^2\backslash biggr)\; x^2\; +\; 2\; \backslash biggl(\backslash sum\_i\; u\_i\; v\_i\backslash biggr)\; x\; +\; \backslash sum\_i\; v\_i^2.$

이 다항식은 음수가 아니므로 최대 하나의 실근을 가지며, 그 판별식은 0보다 작거나 같다. 따라서 다음이 성립한다.

: $\backslash biggl(\backslash sum\_i\; u\_i\; v\_i\backslash biggr)^2\; -\; \backslash biggl(\backslash sum\_i\; \{u\_i^2\}\backslash biggr)\; \backslash biggl(\backslash sum\_i\; \{v\_i^2\}\backslash biggr)\; \backslash leq\; 0.$

표준 내적을 갖는 수 벡터 공간에서, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 성분으로 표시된다.

: $\backslash left(\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; x\_i\; y\_i\; \backslash right)^2\; \backslash leq\; \backslash left(\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \{x\_i\}^2\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \{y\_i\}^2\; \backslash right)$

특히, n = 2, 3인 경우에는 각각 다음과 같은 부등식을 얻는다.

: $(x\_1\; y\_1\; +\; x\_2\; y\_2)^2\; \backslash leq\; (\{x\_1\}^2\; +\; \{x\_2\}^2)(\{y\_1\}^2\; +\; \{y\_2\}^2)$

: $(x\_1\; y\_1\; +\; x\_2\; y\_2\; +\; x\_3\; y\_3)^2\; \backslash leq\; (\{x\_1\}^2\; +\; \{x\_2\}^2\; +\; \{x\_3\}^2)(\{y\_1\}^2\; +\; \{y\_2\}^2\; +\; \{y\_3\}^2)$

4.4. n차원 복소 공간 (C^n)

표준 복소 내적을 사용하는 n차원 복소 공간에서 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash bigl|u\_1\; \backslash bar\{v\}\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; u\_n\; \backslash bar\{v\}\_n\backslash bigr|^2\; \backslash leq\; \backslash bigl(|u\_1|\{\}^2\; +\; \backslash cdots\; +\; |u\_n|\{\}^2\backslash bigr)\; \backslash bigl(|v\_1|\{\}^2\; +\; \backslash cdots\; +\; |v\_n|\{\}^2\backslash bigr).$

이는 벡터 공간 $\backslash mathbb\; C^n$에서 두 벡터 $\backslash mathbf\{u\}\; =\; (u\_1,\; \backslash ldots,\; u\_n)$, $\backslash mathbf\{v\}\; =\; (v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_n)$에 대한 표준 복소 내적 $\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\; :=\; u\_1\; \backslash overline\{v\_1\}\; +\; \backslash cdots\; +\; u\_\{n\}\; \backslash overline\{v\_n\}$ (여기서 윗줄 표시는 복소 켤레)을 사용하여 다음과 같이 더 명시적으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash bigl|\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\backslash bigr|^2$
= \Biggl|\sum_{k=1}^n u_k\bar{v}_k\Biggr|^2
\leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle
= \biggl(\sum_{k=1}^n u_k \bar{u}_k\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n v_k \bar{v}_k\biggr)
= \sum_{j=1}^n |u_j|^2 \sum_{k=1}^n |v_k|^2.

$V=\backslash mathbb\; K^n$일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

:$\backslash left|\backslash bar\; a\_1b\_1+\backslash bar\; a\_2b\_2+\backslash dotsb+\backslash bar\; a\_nb\_n\backslash right|^2\backslash le$
\left(|a_1|^2+|a_2|^2+\dotsb+|a_n|^2\right)
\left(|b_1|^2+|b_2|^2+\dotsb+|b_n|^2\right)\qquad
\forall a_i,b_i\in\mathbb K


특히, $n=2$인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다.

:$|\backslash bar\; ac+\backslash bar\; bd|^2\backslash le(|a|^2+|b|^2)(|c|^2+|d|^2)\backslash qquad\backslash forall\; a,b,c,d\backslash in\backslash mathbb\; K$

4.5. 르베그 공간 (L^2)

가측 공간 $X$ 위의 $p=2$ 르베그 공간 $V=\backslash operatorname\; L^2(X;\backslash mathbb\; K)$은 $\backslash mathbb\; K$-힐베르트 공간을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

:$\backslash left|\backslash int\; \backslash overline\{f(x)\}g(x)\backslash ,dx\backslash right|^2\backslash le\; \backslash int\; \backslash left|f(x)\backslash right|^2\backslash ,dx\; \backslash cdot\; \backslash int\backslash left|g(x)\backslash right|^2\backslash ,dx\backslash qquad\backslash forall\; f,g\backslash in\backslash operatorname\; L^2(X;\backslash mathbb\; K)$

이는 횔더 부등식의 특수한 경우이다.

제곱 적분 가능 복소수 값 함수의 내적 공간에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:$$\backslash left|\backslash int\_\{\backslash R^n\}\; f(x)\; \backslash overline\{g(x)\}\backslash ,dx\backslash right|^2\; \backslash leq\; \backslash int\_\{\backslash R^n\}\; \backslash bigl|f(x)\backslash bigr|^2\backslash ,dx\; \backslash int\_\{\backslash R^n\}\; \backslash bigl|g(x)\backslash bigr|^2\; \backslash ,dx.$$

제곱 적분 가능 함수 공간에서는 내적으로 적분 형태가 있으며, 두 개의 제곱 적분 가능 함수에 대해

:$\backslash left(\; \backslash int\; f(x)g(x)^*\backslash ,dx\; \backslash right)^2\; \backslash leq\; \backslash int\; \backslash left|f(x)\backslash right|^2\backslash ,dx\; \backslash cdot\; \backslash int\; \backslash left|g(x)\backslash right|^2\backslash ,dx$

가 슈바르츠 부등식에 해당하는 부등식이다. 이것은 횔더 부등식으로 일반화된다.

4.6. C* 대수

C* 대수 $A$ 위의 상태 $f\backslash colon\; A\backslash to\backslash mathbb\; C$가 주어졌을 때, $\backslash langle\; a,b\backslash rangle=f(a^*b)\backslash qquad\backslash forall\; a,b\backslash in\; A$는 $A$ 위의 양의 준정부호 에르미트 형식을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

:$|f(a^*b)|^2\backslash le\; f(a^*a)f(b^*b)\backslash qquad\backslash forall\; a,b\backslash in\; A$

5. 응용

코시-슈바르츠 부등식은 여러 분야에서 활용된다.

해석학에서 모든 내적 공간의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 결과이다. 또한, 코시-슈바르츠 부등식은 내적이 그 자체로 유도된 위상에서 연속 함수임을 증명하는 데 사용된다.

기하학에서는 "두 벡터 사이의 각도" 개념을 임의의 실수 내적 공간으로 확장할 수 있게 해준다. 이는 (실수) 힐베르트 공간이 유클리드 공간의 일반화라는 개념을 뒷받침한다.

확률론에서 두 확률 변수 $X$와 $Y$에 대한 공분산 부등식은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{Var\}(X)\; \backslash geq\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{Cov\}(X,\; Y)^2\}\{\backslash operatorname\{Var\}(Y)\}.$

5.1. 해석학

모든 내적 공간에서 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 결과이다. 증명은 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{alignat\}\{4\}$$
\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2
&= \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle && \\
&= \|\mathbf{u}\|^2 + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2 ~ && ~ \text{ 여기서 } \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle = \overline{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} \\
&= \|\mathbf{u}\|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2 && \\
&\leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| + \|\mathbf{v}\|^2 && \\
&\leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{v}\|^2 ~ && ~ \text{ 코시-슈바르츠 부등식 사용}\\
&=\bigl(\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|\bigr)^2. &&
\end{alignat}

제곱근을 취하면 삼각 부등식이 얻어진다.

:$$\backslash |\backslash mathbf\{u\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |\; +\; \backslash |\backslash mathbf\{v\}\backslash |.$$

코시-슈바르츠 부등식은 내적이 내적 자체에 의해 유도된 위상에 대해 연속 함수임을 증명하는 데 사용된다.

5.2. 기하학

코시-슈바르츠 부등식은 "두 벡터 사이의 각도" 개념을 임의의 실수 내적 공간으로 확장할 수 있게 해준다.

:$$\backslash cos\backslash theta\_\{\backslash mathbf\{u\}\; \backslash mathbf\{v\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash langle\; \backslash mathbf\{u\},\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash rangle\}\{\backslash |\backslash mathbf\{u\}\backslash |\; \backslash |\backslash mathbf\{v\}\backslash |\}.$$

코시-슈바르츠 부등식은 위 식의 우변이 구간 [-1, 1]에 속한다는 것을 보여줌으로써 이 정의가 타당하다는 것을 증명하며, (실수) 힐베르트 공간이 단순히 유클리드 공간의 일반화라는 개념을 정당화한다. 또한 복소수 내적 공간에서 우변의 절댓값 또는 실수부를 취함으로써 각도를 정의하는 데에도 사용될 수 있다. 이는 양자 충실도에서 메트릭을 추출할 때 사용되는 방식과 같다.

5.3. 확률론

두 확률 변수 $X$와 $Y$에 대해, 공분산 부등식은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{Var\}(X)\; \backslash geq\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{Cov\}(X,\; Y)^2\}\{\backslash operatorname\{Var\}(Y)\}.$

두 확률 변수의 곱의 기댓값을 사용하여 확률 변수 집합에 내적을 정의하면 다음과 같다.

:$\backslash langle\; X,\; Y\; \backslash rangle\; :=\; \backslash operatorname\{E\}(X\; Y).$

위 식을 이용해 코시-슈바르츠 부등식을 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash bigl|\backslash operatorname\{E\}(XY)\backslash bigr|^2\; \backslash leq\; \backslash operatorname\{E\}(X^2)\; \backslash operatorname\{E\}(Y^2).$

코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 공분산 부등식을 증명하면 다음과 같다. $\backslash mu\; =\; \backslash operatorname\{E\}(X)$와 $\backslash nu\; =\; \backslash operatorname\{E\}(Y)$라고 할 때,

:$\backslash begin\{align\}$
\bigl|\operatorname{Cov}(X, Y)\bigr|^2
&= \bigl|\operatorname{E}((X - \mu)(Y - \nu))\bigr|^2 \\
&= \bigl|\langle X - \mu, Y - \nu \rangle \bigr|^2\\
&\leq \langle X - \mu, X - \mu \rangle \langle Y - \nu, Y - \nu \rangle \\
& = \operatorname{E}\left((X - \mu)^2\right) \operatorname{E}\left((Y - \nu)^2\right) \\
& = \operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y).
\end{align}

여기서 $\backslash operatorname\{Var\}$는 분산을, $\backslash operatorname\{Cov\}$는 공분산을 나타낸다.

6. 일반화

코시-슈바르츠 부등식은 여러 형태로 일반화될 수 있다. 횔더 부등식은 이를 $L^p$ 노름으로 일반화하며, 바나흐 공간 상의 선형 연산자 노름 정의의 특수한 경우로 해석될 수 있다(공간이 힐베르트 공간인 경우).

내적은 양의 선형 범함수를 정의하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어 힐베르트 공간 $L^2(m)$에서 $m$이 유한 측도일 때, 표준 내적은 $\backslash varphi\; (g)\; =\; \backslash langle\; g,\; 1\; \backslash rangle$에 의해 양의 범함수 $\backslash varphi$를 생성한다. 반대로, $L^2(m)$에서 모든 양의 선형 범함수 $\backslash varphi$는 $\backslash langle\; f,\; g\; \backslash rangle\; \_\backslash varphi\; :=\; \backslash varphi\backslash left(g^*\; f\backslash right)$로 내적을 정의하는 데 사용될 수 있으며, 여기서 $g^*$는 $g$의 점별 복소 켤레이다.

이 외에도 연산자 이론과 칼레보트 부등식 등 다양한 일반화가 존재한다.

6.1. 횔더 부등식 (Hölder's inequality)

코시-슈바르츠 부등식은 횔더 부등식의 특수한 경우이다. 횔더 부등식은 제곱 적분 가능 복소수 값 함수의 내적 공간에 대해 다음 부등식이 성립한다는 내용을 일반화한 것이다.

:$\backslash left|\backslash int\_\{\backslash R^n\}\; f(x)\; \backslash overline\{g(x)\}\backslash ,dx\backslash right|^2\; \backslash leq\; \backslash int\_\{\backslash R^n\}\; \backslash bigl|f(x)\backslash bigr|^2\backslash ,dx\; \backslash int\_\{\backslash R^n\}\; \backslash bigl|g(x)\backslash bigr|^2\; \backslash ,dx.$

6.2. 연산자 이론

바나흐 공간 상의 선형 연산자의 노름, 연산자 볼록 함수, 연산자 대수 등으로 일반화된다.

예를 들어 힐베르트 공간 $L^2(m)$에서, $m$이 유한 측도일 때, 표준 내적은 $\backslash varphi\; (g)\; =\; \backslash langle\; g,\; 1\; \backslash rangle$에 의해 양의 범함수 $\backslash varphi$를 생성한다. 이때 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash bigl|\backslash varphi(g^*\; f)\backslash bigr|^2\; \backslash leq\; \backslash varphi\backslash left(f^*\; f\backslash right)\; \backslash varphi\backslash left(g^*\; g\backslash right)$

이는 C*-대수 상의 양의 범함수로 확장될 수 있다. 즉, C*-대수 $A$ 상의 양의 선형 범함수 $\backslash varphi$에 대해, 모든 $a,\; b\; \backslash in\; A$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash left|\backslash varphi\backslash left(b^*a\backslash right)\backslash right|^2\; \backslash leq\; \backslash varphi\backslash left(b^*b\backslash right)\; \backslash varphi\backslash left(a^*a\backslash right)$

리처드 카디슨의 이름을 딴 카디슨-슈바르츠 부등식에 따르면, 유니탈 양의 사상 $\backslash varphi$에 대해, 그 정의역에 있는 모든 정규 원소 $a$에 대해, 다음이 성립한다.

:$\backslash varphi(a^*a)\; \backslash geq\; \backslash varphi\backslash left(a^*\backslash right)\; \backslash varphi(a)$
:$\backslash varphi\backslash left(a^*a\backslash right)\; \backslash geq\; \backslash varphi(a)\; \backslash varphi\backslash left(a^*\backslash right)$

2-양의 사상에 대한 수정된 슈바르츠 부등식에 따르면, C*-대수 사이의 2-양의 사상 $\backslash varphi$에 대해, 정의역에 있는 모든 $a,\; b$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash varphi(a)^*\backslash varphi(a)\; \backslash leq\; \backslash Vert\backslash varphi(1)\backslash Vert\; \backslash varphi\backslash left(a^*a\backslash right)$
:$\backslash Vert\backslash varphi\backslash left(a^*\; b\backslash right)\backslash Vert^2\; \backslash leq\; \backslash Vert\backslash varphi\backslash left(a^*a\backslash right)\backslash Vert\; \backslash cdot\; \backslash Vert\backslash varphi\backslash left(b^*b\backslash right)\backslash Vert$

6.3. 칼레보트 부등식 (Callebaut's inequality)

칼레보트 부등식은 실수 $0\; \backslash leq\; s\; \backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1$에 대해 다음과 같이 표현된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\biggl(\sum_{i=1}^n a_i b_i\biggr)^2
~&\leq~ \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^{1+s} b_i^{1-s}\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^{1-s} b_i^{1+s}\biggr) \\
&\leq~ \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^{1+t} b_i^{1-t}\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^{1-t} b_i^{1+t}\biggr)
~\leq~ \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^2\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n b_i^2\biggr).
\end{align}

이 부등식은 횔더 부등식으로부터 유도될 수 있다. 연산자와 행렬의 텐서 곱에 대한 비가환 버전도 존재한다.

7. 역사

1821년에 오귀스탱 루이 코시가 유한 차원 벡터 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식을 증명하였다.

1859년에 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키(Ви́ктор Я́ковлевич Буняко́вский^러시아어, Ві́ктор Я́кович Буняко́вський^{우크라이나어}, 1804~1889)가 무한 차원의 경우를 증명하였다. 그러나 부냐콥스키의 논문은 널리 알려지지 않았다. 이후 1888년에 헤르만 아만두스 슈바르츠가 무한 차원 코시-슈바르츠 부등식을 재발견하였다.

1896년에 앙리 푸앵카레가 “슈바르츠 부등식”(inégalité de Schwarz^프랑스어)이라는 용어를 최초로 사용하였다. 이후 이 부등식은 서유럽 및 미국에서 통상적으로 “코시-슈바르츠 부등식”으로 일컬어지고 있다. 반면, 동유럽에서는 부냐콥스키의 업적을 기려 이를 “부냐콥스키 부등식” 또는 “코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식” 등으로 일컫는다.