사원수

1. 개요

사원수는 1843년 윌리엄 로언 해밀턴에 의해 도입된 수 체계로, 실수부와 세 개의 허수 단위(i, j, k)를 포함하며 a + bi + cj + dk 형태로 표현된다. 이는 3차원 회전을 표현하는 데 유용하며, 컴퓨터 그래픽스, 로봇 공학, 항공 우주 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 사원수는 2×2 복소 행렬 또는 4×4 실수 행렬로 표현 가능하며, 3차원 벡터와의 관계를 통해 내적 및 외적 연산을 표현할 수 있다. 사원수는 짐벌 락 현상을 피하고 행렬보다 계산 속도가 빠르다는 장점이 있다.

2. 역사

레온하르트 오일러는 1748년 5월 4일 크리스티안 골드바흐에게 보낸 편지에서 오일러의 네 제곱수 항등식을 발표했는데, 이는 두 사원수 $a$, $b$에 대하여 $|ab|=|a||b|$인 것과 같다. 1840년, 올랭드 로드리그는 오일러의 네 제곱수 항등식을 강체의 회전에 응용하였다.

윌리엄 로언 해밀턴은 복소수가 2차원 평면상의 점으로 표현될 수 있다는 사실로부터, 3차원 공간에서 점을 표현하는 방법을 찾으려 하였다. 그러나 3차원 공간의 두 점 사이의 나눗셈을 정의하는 데 어려움을 겪었다.

해밀턴은 1844년에 〈사원수에 대하여: 또는 대수학에서의 새로운 허수 체계에 대하여〉(On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra^영어)라는 제목의 논문을 발표하고, 이후 이 논문의 속편을 17편 더 같은 저널에 수록하였다. 그는 사원수를 연구하고 알리는 데 여생을 바쳤으며, "사원수론자"(Quaternionists^영어)라는 학파를 창시하고, 1853년에는 《사원수 강해》(Lectures on Quaternions^영어)를 출판하였다. 해밀턴 사후, 그의 아들 윌리엄 에드윈 해밀턴(William Edwin Hamilton^영어)은 아버지의 마지막 책인 800여 쪽의 《사원수 원론》(Elements of Quaternions^영어)을 편집하여 1866년에 출판하였다.

2.1. 사원수의 발견 (1843년)

1843년 10월 16일, 윌리엄 로언 해밀턴은 아내와 함께 더블린의 로열 운하( Royal Canal^영어, An Chanáil Ríoga^{아일랜드어})를 따라 걷고 있었다. 브룸 다리( Broom Bridge^영어)에 이르렀을 때, 해밀턴은 4개의 요소를 가진 수 체계에 대한 아이디어를 떠올렸고, 이 수 체계의 기본 규칙을 다리에 새겼다.
:$i^2\; =\; j^2\; =\; k^2\; =\; ijk\; =\; -1\; \backslash ;$
해밀턴은 이 수 체계를 "사원수"(quaternion^영어)라고 명명했는데, 이는 [[:wiktionary:quaternio^라틴어(넷, 넷으로 구성된 것)에서 유래한다.

해밀턴은 복소수가 2차원 평면상의 점으로 표현될 수 있다는 것을 알고, 3차원 공간에서 점을 표현하는 방법을 찾고 있었다. 3차원 공간에서의 정점은 3개의 수로 이루어지는데, 해밀턴은 그 3개의 수들을 어떻게 더하고 곱할 수 있는지에 관해 생각했지만, 두 정점 간의 나누기를 어떻게 정의할지 알지 못해 난관에 부딪혔다. 그러나 브룸 다리를 걷던 중, 3개의 성분을 가진 값은 나눗셈을 정의할 수 없지만, 4개의 성분을 가진 값은 나눗셈이 성립할 수 있다는 것을 알아차렸다. 4개의 성분 가운데 세 개를 사용하여 3차원 공간의 직교좌표를 표현할 수 있었다.

다음 날, 해밀턴은 친구 수학자인 존 T. 그레이브스( John T. Graves^영어)에게 편지를 보내 이 발견에 대해 설명했다. 이 편지에서 해밀턴은 3차원 값을 다루기 위해서는 일종의 "4차원 공간"이 필요하며, 대수학적으로 $i$ 또는 $j$와 다른 제3의 허수 기호 $k$가 필요하다고 언급했다.

해밀턴의 사원수 발견은 오일러의 네 제곱수 항등식(1748)과 올린드 로드리게스의 일반 회전을 네 개의 매개변수로 나타내는 방법(1840)과 같은 이전 연구에 영향을 받았다. 그러나 이 두 저자는 네 개의 매개변수로 표현되는 회전을 대수적으로 다루지는 않았다. 카를 프리드리히 가우스도 1819년에 사원수를 발견했지만, 이 연구는 1900년까지 출판되지 않았다.

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2.2. 해밀턴 이후의 발전

해밀턴 사후, 그의 제자인 피터 거스리 테이트는 사원수 연구를 계속하였다. 당시 더블린 트리니티 칼리지에서는 사원수가 필수 과목이었다. 공간 운동학, 맥스웰 방정식 등, 현재는 벡터를 이용하여 설명하는 물리 및 기하학적 주제들은 그 당시에는 모두 사원수를 이용하여 설명되었다. 1899년에는 국제 사원수 학회(International Association for Promoting the Study of Quaternions and Allied Systems of Mathematics^영어)가 설립되었고, 1900년부터 1913년까지 《사원수 학회 저널》(Bulletin of the Association Promoting the Study of Quaternions and Allied Systems of Mathematics^영어)을 출판하였다. 이 학회는 전성기 동안 60여 명의 회원을 두었으나, 제1차 세계 대전 이후 사라졌다.

1880년대 중반부터 조사이어 윌러드 기브스와 올리버 헤비사이드가 제안한 벡터 해석학이 사원수 표현을 대체하기 시작했다. 벡터는 사원수와 같은 현상을 설명했기 때문에, 고전 사원수 연구에서 많은 아이디어와 용어를 빌려왔다. 그러나 벡터 해석이 보다 간결한 개념과 표기법을 가지고 있었기에 사원수는 수학과 물리학에서 비주류가 되었다. 이는 해밀턴의 사원수가 이해하기 난해하고, 표기가 친숙하지 않았으며, 그의 저작물에 길고 불분명한 표현이 많았기 때문이다.

그러나 사원수는 20세기 말, 공간상에서의 회전에 관한 유용성으로 인해 다시 주목받기 시작했다. 사원수를 이용한 회전 표현은 행렬을 사용하는 표현에 비해 더 간결하고 계산이 빨랐다. 이러한 이유로 사원수는 컴퓨터 그래픽, 제어이론, 신호처리, 자세제어, 물리학, 생물정보학, 분자동역학, 컴퓨터 시뮬레이션, 궤도역학 등에 사용되고 있다.

3. 정의

사원수는 실수부 a와 허수부 b, c, d를 사용하여 a + bi + cj + dk 형태로 표현되는 수이다. 여기서 i, j, k는 허수 단위로, 다음과 같은 곱셈 규칙을 따른다.

* 실수 사원수 1은 항등원이다.
* 실수 사원수는 다른 모든 사원수와 교환 가능하며, 즉 aq = qa는 모든 사원수 q와 모든 실수 사원수 a에 대해 성립한다.
* 곱은 먼저 기저 원소에 대해 주어지고, 그 다음 분배 법칙과 실수 사원수의 중심 속성을 사용하여 모든 사원수로 확장된다. 해밀턴 곱은 교환적이지 않지만 결합적이므로, 사원수는 실수에 대한 결합 대수를 형성한다.

기저 원소 i, j, k의 1과의 곱셈은 1이 곱셈 항등원이라는 사실에 의해 정의된다. 즉,

$$\backslash mathbf\; i\; \backslash ,\; 1\; =\; 1\; \backslash ,\; \backslash mathbf\; i\; =\; \backslash mathbf\; i,\; \backslash qquad\; \backslash mathbf\; j\; \backslash ,\; 1\; =\; 1\; \backslash ,\; \backslash mathbf\; j\; =\; \backslash mathbf\; j,\; \backslash qquad\; \backslash mathbf\; k\; \backslash ,\; 1\; =\; 1\; \backslash ,\; \backslash mathbf\; k=\; \backslash mathbf\; k\; .$$

다른 기저 원소들의 곱은 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\mathbf i^2 &= \mathbf j^2 = \mathbf k^2 = -1, \\[5mu]
\mathbf{i\,j} &= - \mathbf{j\,i} = \mathbf k, \qquad
\mathbf{j\,k} &= - \mathbf{k\,j} = \mathbf i, \qquad
\mathbf{k\,i} &= - \mathbf{i\,k} = \mathbf j.
\end{align}

이 규칙들을 결합하면,

$$\backslash begin\{align\}$$
\mathbf{i\,j\,k}&=-1.
\end{align}

사원수의 집합은 실수에 대한 4차원 벡터 공간이며, $\backslash left\backslash \{\; 1,\; \backslash mathbf\; i,\; \backslash mathbf\; j,\; \backslash mathbf\; k\backslash right\backslash \}$를 기저로 가지며, 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
&(a_1 + b_1\mathbf i + c_1\mathbf j + d_1\mathbf k) + (a_2 + b_2\mathbf i + c_2\mathbf j + d_2\mathbf k) \\[3mu]
&\qquad = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\mathbf i + (c_1 + c_2)\mathbf j + (d_1 + d_2)\mathbf k,
\end{align}

$$\backslash lambda(a\; +\; b\backslash ,\backslash mathbf\; i\; +\; c\backslash ,\backslash mathbf\; j\; +\; d\backslash ,\backslash mathbf\; k)\; =\; \backslash lambda\; a\; +\; (\backslash lambda\; b)\backslash mathbf\; i\; +\; (\backslash lambda\; c)\backslash mathbf\; j\; +\; (\backslash lambda\; d)\backslash mathbf\; k.$$

3.1. 실수부와 허수부

사원수 `q = a + bi + cj + dk`에 대하여, `a`를 q의 실수부 또는 스칼라부라 하고, `bi + cj + dk`를 q의 허수부 또는 벡터부라고 한다.

사원수 `q = a + bi + cj + dk`의 켤레 사원수(conjugate quaternion^영어)는 그 허수부의 부호를 뒤집은 사원수 `q̄ = a - bi - cj - dk`이다.

사원수 q의 노름 또는 절댓값 |q|는 `|q| = √(a² + b² + c² + d²) `이다.

4. 성질

사원수의 집합 $\backslash mathbb\; H$는 나눗셈환이지만, 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않아 체는 아니다. 사원수는 덧셈의 교환법칙과 결합법칙, 곱셈의 결합법칙과 분배법칙을 만족하며, 노름과 곱셈이 호환되고 삼각 부등식을 만족한다.

사원수는 스칼라 부분과 벡터 부분으로 구성되며, 실수 부분과 같은 사원수는 스칼라 또는 실수 사원수라고 하며 해당 실수와 동일하게 간주된다. 벡터 부분과 같은 사원수는 벡터 사원수라고 한다.

사원수의 켤레 복소수는 복소수의 켤레 복소수와 유사하며, 사원수의 곱셈과 덧셈으로 표현할 수 있다. 사원수와 그 켤레 복소수의 곱의 제곱근은 노름이라고 하며, 이를 통해 사원수 간의 거리를 정의하여 거리 공간으로 만들 수 있다.

사원수는 곱셈의 결합법칙이 성립하고, 벡터 덧셈에 대해 분배법칙이 성립하지만, 교환법칙은 성립하지 않는다. 따라서 사원수 $\backslash mathbb\; H$는 실수에 대한 비가환적이고 결합적인 대수이다.

4.1. 벡터와의 관계

사원수의 허수부는 3차원 벡터로 간주할 수 있다. 즉, 사원수는 스칼라와 3차원 벡터의 순서쌍 $(w,\backslash mathbf\; v)$으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 사원수의 곱은 다음과 같이 벡터의 내적 및 외적과 관련되어 표현된다.

:$(a,\backslash mathbf\; u)(b,\backslash mathbf\; v)=(ab-\backslash mathbf\; u\backslash cdot\backslash mathbf\; v,a\backslash mathbf\; v+b\backslash mathbf\; u+\backslash mathbf\; u\backslash times\backslash mathbf\; v)$

여기서,
* $(a,\; \backslash mathbf\{u\})$ 와 $(b,\; \backslash mathbf\{v\})$는 각각 스칼라부와 벡터부로 구성된 사원수
* $ab$는 스칼라부의 곱
* $\backslash mathbf\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}$는 벡터부의 내적
* $a\backslash mathbf\{v\}$ 와 $b\backslash mathbf\{u\}$는 스칼라와 벡터의 곱
* $\backslash mathbf\{u\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{v\}$는 벡터부의 외적

이와 같이 사원수의 곱셈은 벡터 연산으로 표현 가능하다.

$\backslash mathbb\{R\}^3$의 기하학은 사원수의 대수 구조에 반영된다. 벡터에 대한 많은 연산은 사원수를 사용하여 정의할 수 있으며, 이를 통해 사원수적 방법을 공간 벡터에서 파생되는 다양한 것들에 적용할 수 있다. 예를 들어, 전자기학이나 3D CG 등에 이 방법론을 사용할 수 있다.

두 순수 허수 사원수 $p\; =\; b\_1i\; +\; c\_1j\; +\; d\_1k$, $q\; =\; b\_2i\; +\; c\_2j\; +\; d\_2k$ 에 대해, 그들의 내적은
:$p\; \backslash cdot\; q\; =\; b\_1b\_2\; +\; c\_1c\_2\; +\; d\_1d\_2$
로 주어진다.

또한, $p$와 $q$의 외적은 기저 $i,\; j,\; k$의 원의 순서(로부터 정해지는 방향)에 의존하여
:$p\; \backslash times\; q\; =\; (c\_1d\_2\; -\; d\_1c\_2)i\; +\; (d\_1b\_2\; -\; b\_1d\_2)j\; +\; (b\_1c\_2\; -\; c\_1b\_2)k$
로 정의된다(부호를 결정하기 위해 방향이 필요함을 상기하라).

일반적으로 $p$, $q$가 사원수(순수 허수가 아니어도 좋다)일 때, 이것을 스칼라 부분과 벡터 부분의 합
:$p\; =\; p\_s\; +\; \backslash vec\{p\}\_v,$
:$q\; =\; q\_s\; +\; \backslash vec\{q\}\_v$
로 분해하면, 등식
:$pq\; =\; p\_sq\_s\; -\; \backslash vec\{p\}\_v\backslash cdot\backslash vec\{q\}\_v\; +\; p\_s\backslash vec\{q\}\_v\; +\; \backslash vec\{p\}\_vq\_s\; +\; \backslash vec\{p\}\_v\; \backslash times\; \backslash vec\{q\}\_v$
가 성립한다. 이것을 보면, 사원수 곱셈의 비가환성이 순수 허수 사원수 곱셈에서 비롯된 것임을 알 수 있으며, 또한 두 사원수가 가환이 되기 위한 필요충분조건이 그들의 벡터 부분이 공선이 되는 것 등도 알 수 있다.

4.2. 행렬 표현

사원수는 2×2 복소 행렬 또는 4×4 실수 행렬로 표현할 수 있다.

사원수 q = a + bi + cj + dk는 2×2 복소 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

여기서 $\backslash sigma\_i$는 파울리 행렬이다.

이 표현에서 사원수의 노름은 행렬 표현의 행렬식의 제곱근과 같다. 즉,

:$\backslash Vert\; q\backslash Vert=\backslash sqrt\{q\backslash bar\; q\}=\backslash sqrt\{\backslash det\backslash rho(q)\}$

4×4 실수 행렬 표현은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{pmatrix\}$
a & b & c & d \\
-b & a &-d & c \\
-c & d & a &-b \\
-d &-c & b & a
\end{pmatrix}

:$=\; a\; \backslash begin\{pmatrix\}$
1 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}
0 &1 &0 & 0 \\
-1 &0 &0 & 0 \\
0 &0 &0 &-1 \\
0 &0 &1 & 0
\end{pmatrix} + c
\begin{pmatrix}
0 & 0 &1 &0 \\
0 & 0 &0 &1 \\
-1 & 0 &0 &0 \\
0 &-1 &0 &0
\end{pmatrix} + d
\begin{pmatrix}
0 &0 & 0 &1 \\
0 &0 &-1 &0 \\
0 &1 & 0 &0 \\
-1 &0 & 0 &0
\end{pmatrix}

5. 응용

사원수는 3차원 회전을 간결하고 효율적으로 표현하는 데 사용되며, 컴퓨터 그래픽스, 로봇 공학, 항공 우주 공학, 자세 제어 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히, 오일러 각과 달리 짐벌 락 현상을 피할 수 있다는 장점이 있다.

사원수는 벡터 해석이 개발되기 전까지 공간의 운동 에너지나 맥스웰 방정식 등을 표현하는 데 사용되었다. 현대에는 벡터 해석에 대체되었지만, 3차원 회전을 다루는 일부 분야에서는 여전히 유용하게 사용되고 있다.

사원수를 이용한 3차원 회전(자세) 표현은 3차 정방 행렬을 이용한 표현보다 기억 용량이 작고 연산 속도가 빠르다. 또한, 우주선과 같이 3차원의 자유도가 완전히 있는 경우의 자세 제어에 적합하며, CG, 컴퓨터 비전, 로봇 공학, 제어 이론, 신호 처리, 물리학, 생물 정보학, 분자 역학, 계산기 시뮬레이션, 궤도 역학 등 다양한 분야에서 활용된다.

사원수는 이차 형식과의 관계를 통해 수론에서도 중요한 역할을 한다.

5.1. 3차원 회전과의 관계

사원수의 벡터 부분은 $\backslash mathbb\; R^3$의 좌표 벡터로 해석할 수 있으며, 사원수의 대수적 연산은 $\backslash mathbb\; R^3$의 기하학을 반영한다. 해밀턴은 , , 가 $\backslash mathbb\; H$의 세 개의 허수 기저 벡터와 $\backslash mathbb\; R^3$의 기저를 모두 나타낼 때, 벡터의 가법 역원은 사원수로서의 켤레와 같다는 점을 들어 켤레를 "공간 역원"이라고도 불렀다.

단위 사원수는 $\backslash mathbb\; R^3$의 회전과 동일하며 해밀턴은 이를 versor라고 불렀다. 비영 사원수의 곱셈군은 실수 부분이 0인 사원수로 구성된 $\backslash mathbb\; R^3$의 복사본에 켤레 작용을 한다. 실수 부분이 인 단위 사원수(절댓값이 1인 사원수)에 의한 켤레는 각도 만큼의 회전이며, 회전 축은 벡터 부분의 방향이다. 사원수의 장점은 다음과 같다:

* 짐벌 락을 회피한다. (오일러 각과 같은 시스템의 문제점)
* 행렬보다 빠르고 더 간결하다.
* 특이점이 없는 표현이다. (오일러 각과 비교)
* 단위 사원수의 쌍은 4차원 공간에서 회전을 나타낸다. (4차원 유클리드 공간의 회전: 4차원 회전의 대수 참조)

모든 단위 사원수(버서)의 집합은 곱셈 하에서 3-구 리 군을 형성하며, 위 대응에 따라 두 개의 단위 사원수가 모든 회전에 해당하므로, 실수 직교 3×3 직교 행렬의 군 $\backslash text\{SO\}(3,\backslash mathbb\{R\})$을 두 배 덮개 한다.

5.2. 4차원 회전과의 관계

두 단위 사원수의 쌍은 4차원 공간에서의 회전을 나타낸다. 모든 단위 사원수(버서)의 집합은 곱셈 하에서 3차원 구와 군을 형성한다.

6. 사원수 대수 (일반화)

사원수는 사원수 대수라고 불리는 더 많은 대수로 일반화될 수 있다. F^영어를 표수가 2가 아닌 임의의 체로 놓고, a^영어와 b^영어를 F^영어의 원소로 놓자. 4차원 유니터리 결합 대수는 F^영어 위에서 기저 및 를 사용하여 정의할 수 있으며, 여기서 , 및 (따라서 ).

사원수 대수는 F^영어에 대한 2×2 행렬 대수와 동형이거나 a^영어와 b^영어의 선택에 따라 F^영어에 대한 사체를 형성한다.