라이스너-노르드스트룀 계량

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1. 개요

라이스너-노르드스트룀 계량은 전하를 띤 비회전 블랙홀의 시공간을 설명하는 일반 상대성 이론의 해이다. 이 계량은 슈바르츠실트 계량에 전하 항을 추가하여 얻어지며, 블랙홀의 질량과 전하에 의해 결정된다. 라이스너-노르드스트룀 계량은 두 개의 지평선, 즉 사건 지평선과 코시 지평선을 가지며, 전하가 특정 임계값 이상일 경우 벌거숭이 특이점이 나타날 수 있다. 이 계량은 중력 시간 지연, 에너지-운동량 텐서 등을 계산하는 데 사용되며, 고차원 공간에서도 존재한다.

라이스너-노르드스트룀 계량

개요

유형	구형 대칭 계량
관련 이론	일반 상대성 이론
발견	한스 라이스너(1916) 군나르 노르드스트룀(1918)
변수	질량 (M) 전하 (Q)

계량 텐서

슈바르츠실트 좌표계	ds² = -(1 - rs/r + rQ²/r²)c²dt² + (1 - rs/r + rQ²/r²)^-1dr² + r²(dθ² + sin²θdφ²)
여기서	c는 광속 t는 시간 좌표 r는 반지름 좌표 θ는 위도 φ는 경도 rs = 2GM/c²는 슈바르츠실트 반지름 rQ² = GQ²/4πε₀c⁴ G는 중력 상수 ε₀는 진공 유전율

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 극대 블랙홀
- 3.2. 우주 검열 가설
4. 중력 시간 지연
5. 에너지-운동량 텐서
6. 역사
7. 고차원 라이스너-노르드스트룀 계량

2. 정의

편의상 광속을 $c=1$ 로 놓으면, 라이스너-노르드스트룀 계량은 다음과 같다.

: $ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}+\frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\right)dt^2 +\left(1-\frac{2GM}{r}+\frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\right)^{-1} dr^2 +r^2 d\Omega^2$
: $A_t=\frac Q{4\pi\epsilon_0r}$

여기서
: $d\Omega^2 = d\theta^2 +\sin^2\theta\,d\phi^2$
이고, $M$ 은 블랙홀의 질량, $Q$ 는 블랙홀의 전하이다. 전하가 0일 경우 RN 계량은 슈바르츠실트 계량이 된다.

구면 좌표계에서, 라이스너-노르드스트룀 계량(즉, 선 요소)은 다음과 같다.

: $ds^2 = c^2\, d\tau^2 =\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} + \frac{r_{\rm Q}^2}{r^2} \right) c^2\, dt^2 -\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2} \right)^{-1} \, dr^2 - r^2 \, d\theta^2 - r^2\sin^2\theta \, d\varphi^2 ,$

여기서

* $c$ 는 광속이다.
* $\tau$ 는 고유 시간이다.
* $t$ 는 시간 좌표이다(무한대에 정지해 있는 시계로 측정).
* $r$ 은 반경 좌표이다.
* $(\theta, \varphi)$ 는 구면 각도이다.
* $r_\text{s}$ 는 $\textstyle r_\text{s} = \frac{2GM}{c^2}$ 로 주어지는 물체의 슈바르츠실트 반지름이다.
* $r_Q$ 는 $\textstyle r_Q^2 = \frac{Q^2 G}{4\pi\varepsilon_0 c^4}$ 로 주어지는 특성 길이 척도이다.
* $\varepsilon_0$ 는 진공 유전율이다.

중앙 물체의 총 질량과 그 불가역 질량은 다음과 같이 관련된다.

: $M_{\rm irr}= \frac{c^2}{G} \sqrt{\frac{r_+^2}{2}} \ \to \ M=\frac{Q ^2}{16\pi\varepsilon_0 G M_{\rm irr}} + M_{\rm irr}.$

$M$ 과 $M_{\rm irr}$ 의 차이는 질량과 에너지의 등가성에 기인하며, 이는 전기장 에너지도 총 질량에 기여하게 만든다.

전하 $Q$ 가 0으로 가는 극한에서 슈바르츠실트 계량을 얻는다. 고전적인 뉴턴 중력 이론은 비율 $r_\text{s}/r$ 이 0으로 가는 극한에서 복구될 수 있다. $r_Q/r$ 과 $r_\text{s}/r$ 이 모두 0으로 가는 극한에서 계량은 특수 상대성 이론에 대한 민코프스키 계량이 된다.

실제로 비율 $r_\text{s}/r$ 은 종종 매우 작다. 예를 들어, 지구의 슈바르츠실트 반지름은 대략 9mm (3/8 인치)인 반면, 정지 궤도에 있는 위성은 대략 40억 배 더 큰 42164km (약 42164.71km)의 궤도 반지름 $r$ 을 갖는다. 지구 표면에서도 뉴턴 중력에 대한 수정은 10억 분의 1에 불과하다. 이 비율은 블랙홀 및 중성자별과 같은 다른 초고밀도 물체에 가까워질 때만 커진다.

3. 성질

라이스너-노르드스트룀 계량은 두 개의 지평선을 가지는데, 좌표로 표현하면 다음과 같다.

: $r_\pm = GM \pm \sqrt{G^2M^2-GQ^2/4\pi\epsilon_0}$

여기서 바깥쪽 지평선은 사건 지평선이고, 안쪽 지평선은 코시 지평선이다.

구면 좌표계에서 라이스너-노르드스트룀 계량은 다음과 같다.

: $ds^2 = c^2 d\tau^2 =\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} + \frac{r_{\rm Q}^2}{r^2} \right) c^2 dt^2 -\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2} \right)^{-1} dr^2 - r^2 d\theta^2 - r^2\sin^2\theta d\varphi^2 ,$

여기서 각 변수는 다음과 같다.
* $c$ 는 광속이다.
* $\tau$ 는 고유 시간이다.
* $t$ 는 시간 좌표이다(무한대에 정지해 있는 시계로 측정).
* $r$ 은 반경 좌표이다.
* $(\theta, \varphi)$ 는 구면 각도이다.
* $r_\text{s}$ 는 $\textstyle r_\text{s} = \frac{2GM}{c^2}$ 로 주어지는 물체의 슈바르츠실트 반지름이다.
* $r_Q$ 는 $\textstyle r_Q^2 = \frac{Q^2 G}{4\pi\varepsilon_0 c^4}$ 로 주어지는 특성 길이 척도이다.
* $\varepsilon_0$ 는 진공 유전율이다.

중앙 물체의 총 질량과 그 불가역 질량은 다음과 같이 관련된다.

: $M_{\rm irr}= \frac{c^2}{G} \sqrt{\frac{r_+^2}{2}} \ \to \ M=\frac{Q ^2}{16\pi\varepsilon_0 G M_{\rm irr}} + M_{\rm irr}.$

$M$ 과 $M_{\rm irr}$ 의 차이는 질량과 에너지의 등가성에 기인하며, 이는 전기장 에너지도 총 질량에 기여하게 만들기 때문이다.

전하 $Q$ 가 0으로 가는 극한에서 슈바르츠실트 계량을 얻는다. 고전적인 뉴턴 중력 이론은 비율 $r_\text{s}/r$ 이 0으로 가는 극한에서 복구될 수 있다. $r_Q/r$ 과 $r_\text{s}/r$ 이 모두 0으로 가는 극한에서 계량은 특수 상대성 이론에 대한 민코프스키 계량이 된다.

실제로 비율 $r_\text{s}/r$ 은 매우 작다. 예를 들어 지구의 슈바르츠실트 반지름은 대략 9mm인 반면, 정지 궤도에 있는 위성은 대략 40억 배 더 큰 42164km의 궤도 반지름 $r$ 을 갖는다. 지구 표면에서도 뉴턴 중력에 대한 수정은 10억 분의 1에 불과하다. 이 비율은 블랙홀 및 중성자별과 같은 다른 초고밀도 물체에 가까워질 때만 커진다.

전하를 띤 블랙홀은 r_Q ≪ r_s 이면 슈바르츠실트 블랙홀과 유사하지만, 사건의 지평선과 내부 코시 지평선의 두 개의 지평선을 갖는다.

3.1. 극대 블랙홀

RN 계량에서 전하가
: $|Q|=\sqrt{4\pi\epsilon_0 G}M$
일 때, 두 개의 지평선은 겹친다. 이 경우를 극대 블랙홀이라 한다. 이는
: $|Q|/M=\sqrt{4\pi\epsilon_0G}=24.3\;\mathrm{pC/kg}=152\,e/\mathrm{mg}$
일 경우이다.

만약
: $|Q| > \sqrt{4\pi\epsilon_0 G}M$ 이면 시공간에 벌거숭이 특이점이 발생한다. 로저 펜로즈의 우주 검열 가설에 따르면, 이러한 블랙홀은 자연계에 존재하지 않는 것으로 여겨진다.

이러한 동심 사건의 지평선은 2r_Q = r_s에 대해 축퇴 에너지 준위가 되며, 이는 극대 블랙홀에 해당한다. 2r_Q > r_s인 블랙홀은 전하가 질량보다 크면 물리적인 사건의 지평선이 존재할 수 없기 때문에(제곱근 아래의 항이 음수가 됨) 자연계에 존재할 수 없다. 질량보다 큰 전하를 가진 물체는 자연계에 존재할 수 있지만, 블랙홀로 붕괴될 수 없으며, 만약 붕괴될 수 있다면 노출 특이점을 나타낼 것이다.

3.2. 우주 검열 가설

로저 펜로즈의 우주 검열 가설에 따르면, $|Q| > \sqrt{4\pi\epsilon_0 G}M$ 이면 시공간에 벌거숭이 특이점이 발생하는 블랙홀은 자연계에 존재하지 않는 것으로 여겨진다. 전하가 질량보다 큰 경우(2r_Q > r_s)는 물리적인 사건의 지평선이 존재할 수 없기 때문이다. 질량보다 큰 전하를 가진 물체가 자연계에 존재할 수는 있지만, 블랙홀로 붕괴될 수 없으며, 만약 붕괴될 수 있다면 노출 특이점을 나타낼 것이다. 초대칭성을 가진 이론은 일반적으로 그러한 "초극대" 블랙홀이 존재할 수 없음을 보장한다.

4. 중력 시간 지연

중심 천체 근처에서의 중력 시간 지연은 다음과 같이 주어진다.

: $\gamma = \sqrt$

👆

좌우로 밀어서 보기

= \sqrt{\frac{r^2}{Q^2+(r-2 M) r}} ,

이것은 중성 입자의 국소 방사 탈출 속도와 관련이 있다.

:

v_{\rm esc}=\frac{\sqrt{\gamma^2-1}}{\gamma}.

시험 입자와 무한대의 관찰자 사이의 총 시간 팽창은 다음과 같다.

:

\gamma= \frac{q \  Q  \ r^3 + E \ r^4}{r^2 \ (r^2-2 r+Q^2)} .

5. 에너지-운동량 텐서

라이스너-노르드스트룀 해는 슈바르츠실트 해와 달리, 아인슈타인 방정식에서 에너지-운동량 텐서 항이 전자기장 때문에 0이 아니다. 전하 $Q$ 를 가진 구대칭 블랙홀 주변의 전자기장 텐서는, $r$ 이 일정한 구면의 면적이 계량의 각도 방향이 $rd\Omega^2$ 인 것과 계량의 $dt$ 와 $dr$ 의 계수의 곱이 1인 것으로부터, 전장의 보존 법칙에 의해
: $F_{tr}= Q/r^2$
이며, 그 외의 성분은 0이다.

따라서 에너지-운동량 텐서는 다음 공식으로 주어진다.
: $T_{\mu\nu}= \frac14 g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} - F_{\mu\alpha}F_{\nu\beta}g^{\alpha\beta}$

위 식에 의해 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.
: $T_{\mu\nu} \mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu = -\frac{Q^2}{r^4}\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)\mathrm dt^2 - \frac{Q^2}{r^4}\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)^{-1} \mathrm dr^2 +\frac{Q^2}{r^4 }r^2 \mathrm d\Omega^2$

6. 역사

슈바르츠실트 계량이 발견된 직후에 독일의 항공우주공학자 한스 야코프 라이스너(Hans Jacob Reissner^독일어)와 핀란드의 물리학자 군나르 노르드스트룀, 독일의 수학자 헤르만 바일, 영국의 수리물리학자 조지 바커 제프리가 각각 독립적으로 발견하였다.

7. 고차원 라이스너-노르드스트룀 계량

편의상 $1=c=\epsilon_0=8\pi G$ 로 놓는다.

임의의 $d>3$ 차원의 민코프스키 공간 속에서 라이스너-노르드스트룀 계량이 존재한다. 그 계량은 다음과 같다.
: $ds^2=-H(r)^{-2}W(r)dt^2+H^{2/(d-3)}\left(W(r)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2_{(d-2)}\right)$
: $A_0(r)=\alpha(H^{-1}(r)-1)$
: $H(r)=1-\frac{\omega}{\left(1-\frac{d-3}{2(d-2)\alpha^2}\right)r^{d-3}}$
: $W(r)=1-\omega/r^{d-3}$
여기서 상수 $h$ , $\alpha$ , $\omega$ 는 블랙홀의 질량 $M$ 및 전하 $Q$ 와 다음과 같은 관계를 갖는다.
: $\alpha=\frac1{(d-3)\operatorname{vol}(S^{d-2})}\frac{Q}{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})M+\omega/2}$
: $\omega=\frac1{(d-2)\operatorname{vol}(S^{d-2})}\sqrt{M^2-\frac{d-2}{d-3}Q^2}$
여기서
: $\operatorname{vol}(S^{d-2})=\frac{(d+1)\pi^{(d+1)/2}}{\Gamma((d+3)/2)}$
은 $d-2$ 차원 단위 초구의 넓이다.

고차원 라이스너-노르드스트룀 해의 사건 지평선은
: $r=\sqrt[d-3]{\omega}$
에 위치한다. 벌거숭이 특이점이 아닐 조건은 다음과 같다.
: $|Q|/M\le\sqrt{8\pi G\epsilon_0\cdot\frac{d-3}{d-2}}$

유형	구형 대칭 계량
관련 이론	일반 상대성 이론
발견	한스 라이스너(1916) 군나르 노르드스트룀(1918)
변수	질량 (M) 전하 (Q)

계량 텐서

슈바르츠실트 좌표계	ds² = -(1 - rs/r + rQ²/r²)c²dt² + (1 - rs/r + rQ²/r²)^-1dr² + r²(dθ² + sin²θdφ²)
여기서	c는 광속 t는 시간 좌표 r는 반지름 좌표 θ는 위도 φ는 경도 rs = 2GM/c²는 슈바르츠실트 반지름 rQ² = GQ²/4πε₀c⁴ G는 중력 상수 ε₀는 진공 유전율