라 수

3. 계수

라 수(Lah number)는 상승 팩토리얼과 하강 팩토리얼을 서로 연결하는 계수이다. 상승 팩토리얼 $x^\{(n)\}$은 $x(x+1)(x+2)\; \backslash cdots\; (x+n-1)$로, 하강 팩토리얼 $(x)\_n$은 $x(x-1)(x-2)\; \backslash cdots\; (x-n+1)$로 정의될 때, 라 수는 이 두 다항식을 서로의 관점에서 표현한다.

:$x^\{(n)\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; L(n,k)\; (x)\_k$

:$(x)\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; (-1)^\{n-k\}\; L(n,k)x^\{(k)\}$

예를 들어, $x(x+1)(x+2)\; =\; 6x\; +\; 6x(x-1)\; +\; 1x(x-1)(x-2)$에서 6, 6, 1은 각각 라 수 $L(3,\; 1)$, $L(3,\; 2)$, $L(3,\; 3)$이다.

3. 1. 상승 팩토리얼과 하강 팩토리얼

3. 2. 라 수의 표현

4. 라 수의 값 테이블

다음은 n과 k에 따른 라 수의 값을 나타내는 표이다.

행의 합은 1, 1, 3, 13, 73, 501, 4051, 37633, ... 이다.

5. 라 수의 성질

라 수는 다양한 항등식과 관계를 만족한다.^[1]

참조

_[1] 논문 A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics
_[2] 서적 Introduction to Combinatorial Analysis https://books.google[...] Princeton University Press
_[3] 논문 Combinatorial Interpretation of Unsigned Stirling and Lah Numbers 2007-09-01
_[4] 서적 Advanced Combinatorics https://archive.org/[...] Reidel
_[5] 간행물 Generalized r-Lah numbers 2014
_[6] 논문 The r-Lah numbers https://www.scienced[...] 2015-10-06
_[7] 논문 The Lah Numbers and the nth Derivative of $e^\{1\backslash over\; x\}$
_[8] 논문 On the foundations of combinatorial theory. VIII. Finite operator calculus 1973-06-01
_[9] 논문 Application of Lah Transform for Security and Privacy of Data through Information Hiding in Telecommunication
_[10] 웹사이트 Image Steganography-using-Lah-Transform https://in.mathworks[...] 2020-06-05
_[11] 논문 Analytical Lah-Laguerre optical formalism for perturbative chromatic dispersion 2022-10-24
_[12] 간행물 Theory of the Chromatic Dispersion, Revisited 2020-08-30
_[13] 서적 Introduction to Combinatorial Analysis https://books.google[...] Princeton University Press