라 수

1. 개요

라 수는 조합론에서 사용되는 수로, 부호없는 라 수와 부호있는 라 수로 정의된다. 부호없는 라 수 L(n, k)는 $L(n,k)\; =\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; \backslash frac\{n!\}\{k!\}$로, 부호있는 라 수 L'(n, k)는 $L\text{'}(n,k)\; =\; (-1)^n\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; \backslash frac\{n!\}\{k!\}$로 정의된다. 라 수는 상승 팩토리얼과 하강 팩토리얼을 서로의 관점에서 표현하는 계수이며, 스털링 수와의 관계, 점화식, 생성 함수, exp(1/x)의 도함수, 라게르 다항식과의 관계를 갖는다. 이미지 스테가노그래피, 색 분산, 라-라게르 광학 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 생성 함수

라 수는 부호없는 라 수와 부호있는 라 수 두 가지로 정의된다.

2.1. 부호없는 라 수

부호없는 라 수는 다음과 같이 정의된다.

:$L(n,k)\; =\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; \backslash frac\{n!\}\{k!\}$

2.2. 부호있는 라 수

부호있는 라 수는 다음과 같이 정의된다.

:$L\text{'}(n,k)\; =\; (-1)^n\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; \backslash frac\{n!\}\{k!\}$

이 계수들은 라 수의 테이블에서 3번째 값이다.

3. 계수

라 수(Lah number)는 상승 팩토리얼과 하강 팩토리얼을 서로 연결하는 계수이다. 상승 팩토리얼 $x^\{(n)\}$은 $x(x+1)(x+2)\; \backslash cdots\; (x+n-1)$로, 하강 팩토리얼 $(x)\_n$은 $x(x-1)(x-2)\; \backslash cdots\; (x-n+1)$로 정의될 때, 라 수는 이 두 다항식을 서로의 관점에서 표현한다.

:$x^\{(n)\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; L(n,k)\; (x)\_k$
:$(x)\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; (-1)^\{n-k\}\; L(n,k)x^\{(k)\}$

예를 들어, $x(x+1)(x+2)\; =\; 6x\; +\; 6x(x-1)\; +\; 1x(x-1)(x-2)$에서 6, 6, 1은 각각 라 수 $L(3,\; 1)$, $L(3,\; 2)$, $L(3,\; 3)$이다.

3.1. 상승 팩토리얼과 하강 팩토리얼

$x^\{(n)\}$으로 표현되는 상승 팩토리얼(상승 계승)은 다음과 같이 정의된다.

:$(x+0)(x+1)(x+2)\; \backslash cdots\; (x+n-1)=x(x+1)(x+2)\; \backslash cdots\; (x+n-1)$

$(x)\_n$으로 표현되는 하강 팩토리얼(하강 계승)은 다음과 같이 정의된다.

:$(x-0)(x-1)(x-2)\; \backslash cdots\; (x-n+1)=x(x-1)(x-2)\; \backslash cdots\; (x-n-1)$

상승 팩토리얼과 하강 팩토리얼은 라 수(Lah number)를 통해 다음과 같은 관계를 가진다.

:$x^\{(n)\}\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; L(n,k)\; (x)\_k\; \backslash ;\backslash ;,\backslash ;\backslash ;(x)\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; (-1)^\{n-k\}\; L(n,k)x^\{(k)\}$

예를 들어, $x(x+1)(x+2)\; =\; \{\backslash color\{red\}6\}x\; +\; \{\backslash color\{red\}6\}x(x-1)\; +\; \{\backslash color\{red\}1\}x(x-1)(x-2)$이며, 여기서 6, 6, 1은 각각 라 수 $L(3,\; 1)$, $L(3,\; 2)$, $L(3,\; 3)$에 해당한다.

3.2. 라 수의 표현

상승 팩토리얼 $x^\{(n)\}$은 $x(x+1)(x+2)\; \backslash cdots\; (x+n-1)$로 정의되고, 하강 팩토리얼 $(x)\_n$은 $x(x-1)(x-2)\; \backslash cdots\; (x-n+1)$로 정의된다. 라 수(Lah number)는 이 두 팩토리얼을 서로 연결하는 계수이다.

라 수를 사용하면 상승 팩토리얼과 하강 팩토리얼을 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$x^\{(n)\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; L(n,k)\; (x)\_k$

:$(x)\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; (-1)^\{n-k\}\; L(n,k)x^\{(k)\}$

예를 들어, $x(x+1)(x+2)\; =\; 6x\; +\; 6x(x-1)\; +\; 1x(x-1)(x-2)$이고, $x(x-1)(x-2)\; =\; 6x\; -\; 6x(x+1)\; +\; 1x(x+1)(x+2)$이다. 여기서 6, 6, 1은 각각 라 수 $L(3,\; 1)$, $L(3,\; 2)$, $L(3,\; 3)$이다.

4. 라 수의 값 테이블

다음은 n과 k에 따른 라 수의 값을 나타내는 표이다.

5. 라 수의 성질

라 수는 다양한 항등식과 관계를 만족한다.

5.1. 스털링 수와의 관계

라 수는 부호 없는 제1종 스털링 수 $\backslash left[\{n\backslash atop\; j\}\backslash right]$와 제2종 스털링 수 $\backslash left\backslash \{\{j\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$L(n,k)\; =\; \backslash sum\_\{j=k\}^n\; \backslash left[\{n\backslash atop\; j\}\backslash right]\; \backslash left\backslash \{\{j\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}$

또한, 다음과 같은 관계식들이 성립한다.

:$L(n,k)\; =\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; \backslash frac\{n!\}\{k!\}\; =\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \backslash frac\{(n-1)!\}\{(k-1)!\}\; =\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; (n-k)!$

:$L(n,k)\; =\; \backslash frac\{n!(n-1)!\}\{k!(k-1)!\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{(n-k)!\}\; =\; \backslash left\; (\backslash frac\{n!\}\{k!\}\; \backslash right\; )^2\backslash frac\{k\}\{n(n-k)!\}$

:$k(k+1)\; L(n,k+1)\; =\; (n-k)\; L(n,k)$ ($k>0$일 때)

5.2. 조합적 표현

카라마타–커누스 표기법으로 스털링 수는 다음과 같이 표현된다.

:$L(n,k)\; =\; \backslash sum\_\{j=k\}^n\; \backslash left[\{n\backslash atop\; j\}\backslash right]\; \backslash left\backslash \{\{j\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}$

여기서 $\backslash left[\{n\backslash atop\; j\}\backslash right]$는 부호 없는 제1종 스털링 수이고, $\backslash left\backslash \{\{j\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}$는 제2종 스털링 수이다.

또한, 라 수는 다음과 같은 항등식들을 만족한다.

:$L(n,k)\; =\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; \backslash frac\{n!\}\{k!\}\; =\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \backslash frac\{(n-1)!\}\{(k-1)!\}\; =\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; (n-k)!$

:$L(n,k)\; =\; \backslash frac\{n!(n-1)!\}\{k!(k-1)!\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{(n-k)!\}\; =\; \backslash left\; (\backslash frac\{n!\}\{k!\}\; \backslash right\; )^2\backslash frac\{k\}\{n(n-k)!\}$

:$k(k+1)\; L(n,k+1)\; =\; (n-k)\; L(n,k)$ (단, $k>0$).

5.3. 점화식

라 수는 다음과 같은 점화 관계를 만족한다.

:$L(n+1,k)\; =\; (n+k)L(n,k)\; +\; L(n,k-1)$

:$L(n+1,k)\; =\; k(k+1)L(n,k+1)\; +\; 2kL(n,k)\; +\; L(n,k-1)$

여기서 $L(n,0)=\backslash delta\_n$는 크로네커 델타이고, 모든 $k>n$에 대해 $L(n,k)=0$이다.

5.4. 생성 함수 (지수적 생성 함수)

부호 없는 라 수(Unsigned Lah numbers)는 다음과 같이 정의된다.

:$L(n,k)\; =\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; \backslash frac\{n!\}\{k!\}$

부호 있는 라 수(Signed Lah numbers)는 다음과 같이 정의된다.

:$L\text{'}(n,k)\; =\; (-1)^n\; \{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; \backslash frac\{n!\}\{k!\}$

이 계수들은 라 수의 테이블에서 3번째 값이다.

생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{n\backslash geq\; k\}\; L(n,k)\backslash frac\{x^n\}\{n!\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{k!\}\backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{1-x\}\; \backslash right)^k$

5.5. exp(1/x)의 도함수

함수 $e^\backslash frac\{1\}\{x\}$의 n차 도함수는 다음과 같이 라 수로 표현될 수 있다.

:$$\backslash frac\{\backslash textrm\; d^n\}\{\backslash textrm\; dx^n\}\; e^\backslash frac1x\; =\; (-1)^n\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{L(n,k)\}\{x^\{n+k\}\}\; \backslash cdot\; e^\backslash frac1x.$$

예를 들어,

:$\backslash frac\{\backslash textrm\; d\}\{\backslash textrm\; dx\}\; e^\backslash frac1x\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{x^2\}\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac1x\}$

:$\backslash frac\{\backslash textrm\; d^2\}\{\backslash textrm\; dx^2\}e^\backslash frac1\{x\}\; =\; \backslash frac\{\backslash textrm\; d\}\{\backslash textrm\; dx\}\; \backslash left(-\backslash frac1\{x^2\}\; e^\{\backslash frac1x\}\; \backslash right)=\; -\backslash frac\{-2\}\{x^3\}\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac1x\}\; -\; \backslash frac1\{x^2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{-1\}\{x^2\}\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac1x\}=\; \backslash left(\backslash frac2\{x^3\}\; +\; \backslash frac1\{x^4\}\backslash right)\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac1x\}$

:$\backslash frac\{\backslash textrm\; d^3\}\{\backslash textrm\; dx^3\}\; e^\backslash frac1\{x\}\; =\; \backslash frac\{\backslash textrm\; d\}\{\backslash textrm\; dx\}\; \backslash left(\; \backslash left(\backslash frac2\{x^3\}\; +\; \backslash frac1\{x^4\}\backslash right)\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac1x\}\; \backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{-6\}\{x^4\}\; +\; \backslash frac\{-4\}\{x^5\}\backslash right)\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac1x\}\; +\; \backslash left(\backslash frac2\{x^3\}\; +\; \backslash frac1\{x^4\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash frac\{-1\}\{x^2\}\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac1x\}\; =-\backslash left(\backslash frac6\{x^4\}\; +\; \backslash frac6\{x^5\}\; +\; \backslash frac1\{x^6\}\backslash right)\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac\{1\}\{x\}\}$

6. 라게르 다항식과의 관계

일반화된 라게르 다항식 $L^\{(\backslash alpha)\}\_n(x)$에서 $\backslash alpha\; =\; -1$로 설정하면 라 수와 연결된다. 이 공식은 음영 미적분법 규칙에서 기본 라게르 다항식이다.

7. 응용

최근 라 수는 이미지에 데이터를 숨기는 스테가노그래피 분야에서 활용되고 있다. 라 수는 DCT, DFT, DWT와 같은 다른 변환에 비해 계산 복잡성이 낮아($O(n\; \backslash log\; n)$) 효율적이다.

라 변환과 라게르 변환은 색 분산의 섭동적 설명에서 자연스럽게 발생하며, 라-라게르 광학에서 최적화 문제를 빠르게 해결하는 데 사용된다.