라게르 다항식

1. 개요

라게르 다항식은 로드리게스 공식으로 정의되는 다항식의 일종이다. 물리학에서는 $1/n!$ 인자를 생략하고 정의하는 경우도 있다. 라게르 다항식은 재귀적 정의, 닫힌 형식, 그리고 생성 함수를 통해 표현될 수 있으며, 일반화된 라게르 다항식도 존재한다. 라게르 다항식은 직교성을 가지며, 양자역학에서 수소 원자, 진동 전자 전이, 3차원 양자 조화 진동자 등을 분석하는 데 활용된다. 에드몽 라게르에 의해 1878년에 처음 소개되었다.

2. 정의

라게르 다항식($L\_n$)은 로드리게스 공식(Rodrigues formula^영어)으로 정의된다.

:$L\_n(x)=\backslash frac1\{n!\}\backslash exp(x)\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}\backslash exp(-x)x^n$

물리학에서는 $1/n!$ 인자를 생략하고 정의하는 경우도 있다.

라게르 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다. 처음 두 다항식은 다음과 같다.

:$$L\_0(x)\; =\; 1$$
:$$L\_1(x)\; =\; 1\; -\; x$$

그 다음, 임의의 $k\; \backslash ge\; 1$에 대해 다음 점화 관계를 사용한다.

:$$L\_\{k\; +\; 1\}(x)\; =\; \backslash frac\{(2k\; +\; 1\; -\; x)L\_k(x)\; -\; k\; L\_\{k\; -\; 1\}(x)\}\{k\; +\; 1\}.$$

또한, 다음 관계식도 성립한다.

:$$x\; L\text{'}\_n(x)\; =\; nL\_n\; (x)\; -\; nL\_\{n-1\}(x).$$

일부 경계값 문제에서 다음 특성값이 유용하게 사용될 수 있다.

:$$L\_\{k\}(0)\; =\; 1,\; L\_\{k\}\text{'}(0)\; =\; -k.$$

닫힌 형식은 다음과 같다.

:$$L\_n(x)=\backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash binom\{n\}\{k\}\backslash frac\{(-1)^k\}\{k!\}\; x^k\; .$$

이에 대한 생성 함수는 다음과 같다.

:$$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; t^n\; L\_n(x)=\; \backslash frac\{1\}\{1-t\}\; e^\{-tx/(1-t)\}.$$

연산자 형태는 다음과 같다.

:$$L\_n(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{n!\}e^x\; \backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}\; (x^n\; e^\{-x\})$$

음수 지수의 다항식은 양수 지수의 다항식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$L\_\{-n\}(x)=e^xL\_\{n-1\}(-x).$$

임의의 실수 $\backslash alpha$에 대한 다음 미분 방정식의 다항식 해는 일반화 라게르 다항식 또는 연관 라게르 다항식이라고 한다.

:$$x\backslash ,y\text{'}\text{'}\; +\; \backslash left(\backslash alpha\; +1\; -\; x\backslash right)\; y\text{'}\; +\; n\backslash ,y\; =\; 0$$

일반화 라게르 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다. 처음 두 다항식은 다음과 같다.

:$$L^\{(\backslash alpha)\}\_0(x)\; =\; 1$$
:$$L^\{(\backslash alpha)\}\_1(x)\; =\; 1\; +\; \backslash alpha\; -\; x$$

그리고 $k\; \backslash ge\; 1$인 모든 경우에 대해 다음 재귀 관계를 사용한다.

:$$L^\{(\backslash alpha)\}\_\{k\; +\; 1\}(x)\; =\; \backslash frac\{(2k\; +\; 1\; +\; \backslash alpha\; -\; x)L^\{(\backslash alpha)\}\_k(x)\; -\; (k\; +\; \backslash alpha)\; L^\{(\backslash alpha)\}\_\{k\; -\; 1\}(x)\}\{k\; +\; 1\}.$$

단순 라게르 다항식은 일반화 라게르 다항식의 특수한 경우($\backslash alpha\; =\; 0$)이다.

:$$L^\{(0)\}\_n(x)\; =\; L\_n(x).$$

로드리게스 공식은 다음과 같다.

:$$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)\; =\; \{x^\{-\backslash alpha\}\; e^x\; \backslash over\; n!\}\{d^n\; \backslash over\; dx^n\}\; \backslash left(e^\{-x\}\; x^\{n+\backslash alpha\}\backslash right)$$
= \frac{x^{-\alpha}}{n!}\left( \frac{d}{dx}-1\right)^nx^{n+\alpha}.

생성 함수는 다음과 같다.

:$$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; t^n\; L^\{(\backslash alpha)\}\_n(x)=\; \backslash frac\{1\}\{(1-t)^\{\backslash alpha+1\}\}\; e^\{-tx/(1-t)\}.$$

3. 성질

라게르 다항식은 여러 가지 흥미로운 성질을 가지고 있다.

기본적으로 라게르 다항식은 재귀적으로 정의될 수 있는데, 처음 두 다항식은 다음과 같다.
* $L\_0(x)\; =\; 1$
* $L\_1(x)\; =\; 1\; -\; x$

이후, k ≥ 1 인 경우 다음 점화식을 사용한다.
:$$L\_\{k\; +\; 1\}(x)\; =\; \backslash frac\{(2k\; +\; 1\; -\; x)L\_k(x)\; -\; k\; L\_\{k\; -\; 1\}(x)\}\{k\; +\; 1\}.$$

또한, 다음 관계식이 성립한다.
:$$x\; L\text{'}\_n(x)\; =\; nL\_n\; (x)\; -\; nL\_\{n-1\}(x).$$

경계값 문제에서 유용한 특성값은 다음과 같다.
:$$L\_\{k\}(0)\; =\; 1,\; L\_\{k\}\text{'}(0)\; =\; -k.$$

닫힌 형식은 다음과 같다.
:$$L\_n(x)=\backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash binom\{n\}\{k\}\backslash frac\{(-1)^k\}\{k!\}\; x^k\; .$$

생성함수는 다음과 같다.
:$$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; t^n\; L\_n(x)=\; \backslash frac\{1\}\{1-t\}\; e^\{-tx/(1-t)\}.$$

음수 지수 다항식은 양수 지수 다항식을 사용하여 표현할 수 있다.
:$$L\_\{-n\}(x)=e^xL\_\{n-1\}(-x).$$

일반화 라게르 다항식(연관 라게르 다항식)은 다음 미분 방정식의 다항식 해이다.
:$$x\backslash ,y$$ + \left(\alpha +1 - x\right) y' + n\,y = 0

일반화 라게르 다항식은 재귀적으로 정의될 수 있으며, 처음 두 다항식은 다음과 같다.
* $L^\{(\backslash alpha)\}\_0(x)\; =\; 1$
* $L^\{(\backslash alpha)\}\_1(x)\; =\; 1\; +\; \backslash alpha\; -\; x$

그리고 k ≥ 1 인 모든 경우에 대해 다음 재귀 관계를 사용한다.
:$$L^\{(\backslash alpha)\}\_\{k\; +\; 1\}(x)\; =\; \backslash frac\{(2k\; +\; 1\; +\; \backslash alpha\; -\; x)L^\{(\backslash alpha)\}\_k(x)\; -\; (k\; +\; \backslash alpha)\; L^\{(\backslash alpha)\}\_\{k\; -\; 1\}(x)\}\{k\; +\; 1\}.$$

일반 라게르 다항식은 일반화 라게르 다항식의 특수한 경우(α = 0)이다.
:$$L^\{(0)\}\_n(x)\; =\; L\_n(x).$$

로드리게스 공식은 다음과 같다.
:$$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)\; =\; \{x^\{-\backslash alpha\}\; e^x\; \backslash over\; n!\}\{d^n\; \backslash over\; dx^n\}\; \backslash left(e^\{-x\}\; x^\{n+\backslash alpha\}\backslash right)$$
= \frac{x^{-\alpha}}{n!}\left( \frac{d}{dx}-1\right)^nx^{n+\alpha}.

생성 함수는 다음과 같다.
:$$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; t^n\; L^\{(\backslash alpha)\}\_n(x)=\; \backslash frac\{1\}\{(1-t)^\{\backslash alpha+1\}\}\; e^\{-tx/(1-t)\}.$$

* 라게르 함수는 합류적 초기하 함수와 Kummer 변환을 사용하여 다음과 같이 정의된다.
:$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)\; :=\; \{n+\; \backslash alpha\; \backslash choose\; n\}\; M(-n,\backslash alpha+1,x).$
* n차 일반화 라게르 다항식의 닫힌 형식은 다음과 같다.
:$L\_n^\{(\backslash alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; (-1)^i\; \{n+\backslash alpha\; \backslash choose\; n-i\}\; \backslash frac\{x^i\}\{i!\}$

처음 몇 개의 일반화된 라게르 다항식은 아래 표와 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

n	$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)\backslash ,$
0	$1\backslash ,$
1	$-x+\backslash alpha\; +1\backslash ,$
2	$\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; (x^2-2\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right))\; \backslash ,$
3	$\backslash tfrac\{1\}\{6\}\; (-x^3+3\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; x^2-3\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right))\; \backslash ,$
4	$\backslash tfrac\{1\}\{24\}\; (x^4-4\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; x^3+6\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; x^2-4\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right))\; \backslash ,$
5	$\backslash tfrac\{1\}\{120\}\; (-x^5+5\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; x^4-10\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; x^3+10\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; x^2-5\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right))\; \backslash ,$
6	$\backslash tfrac\{1\}\{720\}\; (x^6-6\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x^5+15\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x^4-20\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x^3+15\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x^2-6\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right))\; \backslash ,$
7	$\backslash tfrac\{1\}\{5040\}\; (-x^7+7\backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^6-21\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^5+35\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^4-35\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^3+21\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^2-7\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right))\; \backslash ,$
8	$\backslash tfrac\{1\}\{40320\}\; (x^8-8\backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^7+28\backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^6-56\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^5+70\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^4-56\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^3+28\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^2-8\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right))\; \backslash ,$
9	$\backslash tfrac\{1\}\{362880\}\; (-x^9+9\backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^8-36\backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^7+84\backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^6-126\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^5+126\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^4-84\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^3+36\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^2-9\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right))\; \backslash ,$
10	$\backslash tfrac\{1\}\{3628800\}\; (x^\{10\}-10\backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^9+45\backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^8-120\backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^7+210\backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^6-252\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^5+210\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^4-120\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^3+45\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^2-10\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right))\; \backslash ,$

* 최고차항의 계수는 (−1)n/n! 이다.
* 상수항(0에서의 값)은 $L\_n^\{(\backslash alpha)\}(0)\; =\; \{n+\backslash alpha\backslash choose\; n\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma(n\; +\; \backslash alpha\; +\; 1)\}\{n!\backslash ,\; \backslash Gamma(\backslash alpha\; +\; 1)\};$이다.

α가 음수가 아니면, Ln⁽α)은 n''개의 실수, 엄격하게 양의 근을 가지며, 이 모든 근은 구간 $\backslash left(\; 0,\; n+\backslash alpha+\; (n-1)\; \backslash sqrt\{n+\backslash alpha\}\; \backslash ,\; \backslash right]$ 안에 있다.

큰 n에 대한 다항식의 점근적 거동은 다음과 같다(단, α와 x > 0는 고정).
:$$
\begin{align}
& L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \sin\left(2 \sqrt{nx}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha-\frac{1}{2} \right) \right)+O\left(n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{3}{4}}\right), \\[6pt]
& L_n^{(\alpha)}(-x) = \frac{(n+1)^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-x/2}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} e^{2 \sqrt{x(n+1)}} \cdot\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right),
\end{align}


이는 다음과 같이 요약할 수 있다.
:$\backslash frac\{L\_n^\{(\backslash alpha)\}\backslash left(\backslash frac\; x\; n\backslash right)\}\{n^\backslash alpha\}\backslash approx\; e^\{x/\; 2n\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{J\_\backslash alpha\backslash left(2\backslash sqrt\; x\backslash right)\}\{\backslash sqrt\; x^\backslash alpha\},$
여기서 $J\_\backslash alpha$는 베셀 함수이다.

일반화된 라게르 다항식은 에르미트 다항식과 다음과 같은 관계를 갖는다.
* $H\_\{2n\}(x)\; =\; (-1)^n\; 2^\{2n\}\; n!\; L\_n^\{(-1/2)\}\; (x^2)$
* $H\_\{2n+1\}(x)\; =\; (-1)^n\; 2^\{2n+1\}\; n!\; x\; L\_n^\{(1/2)\}\; (x^2)$
여기서 $H\_n(x)$는 가중 함수 $\backslash exp(-x^2)$를 기반으로 하는 에르미트 다항식(물리학자 버전)이다.

이러한 관계 때문에 일반화된 라게르 다항식은 양자 조화 진동자를 다룰 때 나타난다.

라게르 다항식은 초기하 함수, 구체적으로는 합류형 초기하 함수를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$$L^\{(\backslash alpha)\}\_n(x)\; =\; \{n+\backslash alpha\; \backslash choose\; n\}\; M(-n,\backslash alpha+1,x)\; =\backslash frac\{(\backslash alpha+1)\_n\}\; \{n!\}\; \backslash ,\_1F\_1(-n,\backslash alpha+1,x)$$
여기서 $(a)\_n$는 포흐하머 기호(상승 계승)이다.

일반화된 라게르 다항식은 하디-힐 공식을 만족한다.
:$$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{n!\backslash ,\backslash Gamma\backslash left(\backslash alpha\; +\; 1\backslash right)\}\{\backslash Gamma\backslash left(n+\backslash alpha+1\backslash right)\}L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)L\_n^\{(\backslash alpha)\}(y)t^n=\backslash frac\{1\}\{(1-t)^\{\backslash alpha\; +\; 1\}\}e^\{-(x+y)t/(1-t)\}\backslash ,\_0F\_1\backslash left(;\backslash alpha\; +\; 1;\backslash frac\{xyt\}\{(1-t)^2\}\backslash right),$$
여기서 왼쪽의 급수는 $\backslash alpha>-1$ 및 에 대해 수렴한다. 다음 항등식을 사용하면,
:$$\backslash ,\_0F\_1(;\backslash alpha\; +\; 1;z)=\backslash ,\backslash Gamma(\backslash alpha\; +\; 1)\; z^\{-\backslash alpha/2\}\; I\_\backslash alpha\backslash left(2\backslash sqrt\{z\}\backslash right),$$
다음과 같이 쓸 수도 있다.
:$$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{n!\}\{\backslash Gamma(1+\backslash alpha+n)\}L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)L\_n^\{(\backslash alpha)\}(y)\; t^n\; =\; \backslash frac\{1\}\{(xyt)^\{\backslash alpha/2\}(1-t)\}e^\{-(x+y)t/(1-t)\}\; I\_\backslash alpha\; \backslash left(\backslash frac\{2\backslash sqrt\{xyt\}\}\{1-t\}\backslash right).$$

3.1. 직교성

라게르 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

:$\backslash int\_\{0\}^\backslash infty\; L\_m(x)L\_n(x)e^\{-x\}=\backslash delta\_\{mn\}$

여기서 $\backslash delta\_\{mn\}$은 크로네커 델타이다.

일반화된 라게르 다항식은 가중 함수 $x^\backslash alpha\; e^\{-x\}$에 대해 $(0,\; \backslash infty)$에서 직교성을 갖는다.

:$$\backslash int\_0^\backslash infty\; x^\backslash alpha\; e^\{-x\}\; L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)L\_m^\{(\backslash alpha)\}(x)dx=\backslash frac\{\backslash Gamma(n+\backslash alpha+1)\}\{n!\}\; \backslash delta\_\{n,m\},$$

이는 다음에서 비롯된다.

:$$\backslash int\_0^\backslash infty\; x^\{\backslash alpha\text{'}-1\}\; e^\{-x\}\; L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)dx=\; \{\backslash alpha-\backslash alpha\text{'}+n\; \backslash choose\; n\}\; \backslash Gamma(\backslash alpha\text{'}).$$

만약 $\backslash Gamma(x,\backslash alpha+1,1)$이 감마 분포를 나타낸다면, 직교 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$\backslash int\_0^\{\backslash infty\}\; L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)L\_m^\{(\backslash alpha)\}(x)\backslash Gamma(x,\backslash alpha+1,1)\; dx=\{n+\; \backslash alpha\; \backslash choose\; n\}\backslash delta\_\{n,m\},$$

양자 역학에서 수소 원자를 다룰 때 필요한 적분은 다음과 같다.

:$$\backslash int\_0^\{\backslash infty\}x^\{\backslash alpha+1\}\; e^\{-x\}\; \backslash left[L\_n^\{(\backslash alpha)\}\; (x)\backslash right]^2\; dx=\; \backslash frac\{(n+\backslash alpha)!\}\{n!\}(2n+\backslash alpha+1).$$

3.2. 점화식과 생성함수

라게르 다항식은 다음과 같은 점화식을 따른다.

:$L\_\{n+1\}(x)=\backslash frac1\{n+1\}\; \backslash left(\; (2n+1-\; x)L\_n(x)-nL\_\{n-1\}(x)\backslash right)$

라게르 다항식의 생성함수는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_n^\backslash infty\; t^nL\_n(x)=\backslash frac1\{1-t\}\backslash exp\backslash left(\backslash frac\{-tx\}\{1-t\}\backslash right)$

이를 전개하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.

:$L\_n(x)=\backslash sum\_\{k=0\}^n\; (n-k)\backslash binom\; nk^2\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{k!\}x^k$

라게르 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다. 처음 두 다항식을 다음과 같이 정의한다.

:$$L\_0(x)\; =\; 1$$
:$$L\_1(x)\; =\; 1\; -\; x$$

그 다음, 임의의 k ≥ 1 에 대해 다음의 점화 관계를 사용한다.

:$$L\_\{k\; +\; 1\}(x)\; =\; \backslash frac\{(2k\; +\; 1\; -\; x)L\_k(x)\; -\; k\; L\_\{k\; -\; 1\}(x)\}\{k\; +\; 1\}.$$

또한, 다음 식이 성립한다.

:$$x\; L\text{'}\_n(x)\; =\; nL\_n\; (x)\; -\; nL\_\{n-1\}(x).$$

일부 경계값 문제의 해에서 특성 값이 유용할 수 있다.

:$$L\_\{k\}(0)\; =\; 1,\; L\_\{k\}\text{'}(0)\; =\; -k.$$

라게르 다항식은 다음과 같은 점화 관계를 만족한다.

:$$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)=\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; L\_\{n-i\}^\{(\backslash alpha+i)\}(y)\backslash frac\{(y-x)^i\}\{i!\},$$

특히

:$$L\_n^\{(\backslash alpha+1)\}(x)=\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; L\_i^\{(\backslash alpha)\}(x)$$

그리고

:$$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)=\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; \{\backslash alpha-\backslash beta+n-i-1\; \backslash choose\; n-i\}\; L\_i^\{(\backslash beta)\}(x),$$

또는

:$$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)=\backslash sum\_\{i=0\}^n\; \{\backslash alpha-\backslash beta+n\; \backslash choose\; n-i\}\; L\_i^\{(\backslash beta-\; i)\}(x);$$

더욱이

:$$\backslash begin\{align\}$$
L_n^{(\alpha)}(x)- \sum_{j=0}^{\Delta-1} {n+\alpha \choose n-j} (-1)^j \frac{x^j}{j!}&= (-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{(n-i){n \choose i}}L_i^{(\alpha+\Delta)}(x)\\[6pt]
&=(-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{(n-i){n \choose i}}L_i^{(n+\alpha+\Delta-i)}(x)
\end{align}

이들을 사용하여 다음과 같은 네 개의 3점 규칙을 도출할 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
L_n^{(\alpha)}(x) &= L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) = \sum_{j=0}^k {k \choose j}(-1)^j L_{n-j}^{(\alpha+k)}(x), \\[10pt]
n L_n^{(\alpha)}(x) &= (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x), \\[10pt]
& \text{또는 } \\
\frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x) &= \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x), \\[10pt]
n L_n^{(\alpha+1)}(x) &= (n-x) L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) + (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x) \\[10pt]
x L_n^{(\alpha+1)}(x) &= (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x);
\end{align}

이들을 결합하면 다음과 같은 추가적이고 유용한 점화 관계가 얻어진다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
L_n^{(\alpha)}(x)&= \left(2+\frac{\alpha-1-x}n \right)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)- \left(1+\frac{\alpha-1}n \right)L_{n-2}^{(\alpha)}(x)\\[10pt]
&= \frac{\alpha+1-x}n L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)- \frac x n L_{n-2}^{(\alpha+2)}(x)
\end{align}

3.3. 일반화 라게르 다항식

임의의 실수 α에 대한 다음 미분 방정식의 다항식 해는 일반화 라게르 다항식 또는 연관 라게르 다항식이라고 한다.

:$x\backslash ,y$ + \left(\alpha +1 - x\right) y' + n\,y = 0

일반화 라게르 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

:$L^\{(\backslash alpha)\}\_0(x)\; =\; 1$
:$L^\{(\backslash alpha)\}\_1(x)\; =\; 1\; +\; \backslash alpha\; -\; x$

그리고 k ≥ 1 인 모든 경우에 대해 다음의 재귀 관계를 사용한다.

:$L^\{(\backslash alpha)\}\_\{k\; +\; 1\}(x)\; =\; \backslash frac\{(2k\; +\; 1\; +\; \backslash alpha\; -\; x)L^\{(\backslash alpha)\}\_k(x)\; -\; (k\; +\; \backslash alpha)\; L^\{(\backslash alpha)\}\_\{k\; -\; 1\}(x)\}\{k\; +\; 1\}.$

단순 라게르 다항식은 일반화 라게르 다항식의 특수한 경우( α = 0 )이다.

:$L^\{(0)\}\_n(x)\; =\; L\_n(x).$

로드리게스 공식은 다음과 같다.

:$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)\; =\; \{x^\{-\backslash alpha\}\; e^x\; \backslash over\; n!\}\{d^n\; \backslash over\; dx^n\}\; \backslash left(e^\{-x\}\; x^\{n+\backslash alpha\}\backslash right)$
= \frac{x^{-\alpha}}{n!}\left( \frac{d}{dx}-1\right)^nx^{n+\alpha}.

생성 함수는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; t^n\; L^\{(\backslash alpha)\}\_n(x)=\; \backslash frac\{1\}\{(1-t)^\{\backslash alpha+1\}\}\; e^\{-tx/(1-t)\}.$

* 라게르 함수는 합류적 초기하 함수와 Kummer 변환을 사용하여 다음과 같이 정의된다.
:$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)\; :=\; \{n+\; \backslash alpha\; \backslash choose\; n\}\; M(-n,\backslash alpha+1,x).$
: 여기서 $\{n+\; \backslash alpha\; \backslash choose\; n\}$은 일반화된 이항 계수이다. n이 정수일 때 함수는 n차 다항식으로 축소된다. 이는 제2종 쿠머 함수의 관점에서 다음과 같은 다른 표현식을 갖는다.
:$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)=\; \backslash frac\; \{(-1)^n\}\{n!\}\; U(-n,\backslash alpha+1,x)$
* n차 일반화 라게르 다항식의 닫힌 형식은 다음과 같다.
:$L\_n^\{(\backslash alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; (-1)^i\; \{n+\backslash alpha\; \backslash choose\; n-i\}\; \backslash frac\{x^i\}\{i!\}$
:이는 곱의 미분에 대한 라이프니츠 정리를 로드리게스 공식에 적용하여 얻어진다.
* 라게르 다항식은 밀접하게 관련된 에르미트 다항식과 마찬가지로 미분 연산자 표현을 갖는다. 즉, $D\; =\; \backslash frac\{d\}\{dx\}$이고 미분 연산자 $M=xD^2+(\backslash alpha+1)D$를 고려한다. 그러면 $\backslash exp(-tM)x^n=(-1)^nt^nn!L^\{(\backslash alpha)\}\_n\backslash left(\backslash frac\{x\}\{t\}\backslash right)$이다.
* 처음 몇 개의 일반화된 라게르 다항식은 다음과 같다.

👆

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📌 열 고정 해제

n	$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(x)\backslash ,$
0	$1\backslash ,$
1	$-x+\backslash alpha\; +1\backslash ,$
2	$\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; (x^2-2\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right))\; \backslash ,$
3	$\backslash tfrac\{1\}\{6\}\; (-x^3+3\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; x^2-3\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right))\; \backslash ,$
4	$\backslash tfrac\{1\}\{24\}\; (x^4-4\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; x^3+6\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; x^2-4\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right))\; \backslash ,$
5	$\backslash tfrac\{1\}\{120\}\; (-x^5+5\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; x^4-10\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; x^3+10\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; x^2-5\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right))\; \backslash ,$
6	$\backslash tfrac\{1\}\{720\}\; (x^6-6\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x^5+15\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x^4-20\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x^3+15\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x^2-6\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right))\; \backslash ,$
7	$\backslash tfrac\{1\}\{5040\}\; (-x^7+7\backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^6-21\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^5+35\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^4-35\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^3+21\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x^2-7\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right))\; \backslash ,$
8	$\backslash tfrac\{1\}\{40320\}\; (x^8-8\backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^7+28\backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^6-56\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^5+70\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^4-56\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^3+28\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x^2-8\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right))\; \backslash ,$
9	$\backslash tfrac\{1\}\{362880\}\; (-x^9+9\backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^8-36\backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^7+84\backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^6-126\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^5+126\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^4-84\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^3+36\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x^2-9\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right))\; \backslash ,$
10	$\backslash tfrac\{1\}\{3628800\}\; (x^\{10\}-10\backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^9+45\backslash left(\; \backslash alpha\; +9\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^8-120\backslash left(\; \backslash alpha\; +8\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^7+210\backslash left(\; \backslash alpha\; +7\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^6-252\backslash left(\; \backslash alpha\; +6\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^5+210\backslash left(\; \backslash alpha\; +5\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^4-120\backslash left(\; \backslash alpha\; +4\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^3+45\backslash left(\; \backslash alpha\; +3\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x^2-10\backslash left(\; \backslash alpha\; +2\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right)\; x+\backslash left(\; \backslash alpha\; +1\; \backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(\; \backslash alpha\; +10\; \backslash right))\; \backslash ,$

* 최고차항의 계수는 (−1)n/n! 이다.
* 상수항, 즉 0에서의 값은
:$L\_n^\{(\backslash alpha)\}(0)\; =\; \{n+\backslash alpha\backslash choose\; n\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma(n\; +\; \backslash alpha\; +\; 1)\}\{n!\backslash ,\; \backslash Gamma(\backslash alpha\; +\; 1)\};$

* 만약 α 가 음수가 아니면, Ln⁽α)은 n''개의 실수, 엄격하게 양의 근을 갖는다. 이 모든 근은 구간 $\backslash left(\; 0,\; n+\backslash alpha+\; (n-1)\; \backslash sqrt\{n+\backslash alpha\}\; \backslash ,\; \backslash right]$ 안에 있다.
* 큰 n에 대한 다항식의 점근적 거동은 다음과 같다. (단, α 와 x > 0 는 고정)
:$$
\begin{align}
& L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \sin\left(2 \sqrt{nx}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha-\frac{1}{2} \right) \right)+O\left(n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{3}{4}}\right), \\[6pt]
& L_n^{(\alpha)}(-x) = \frac{(n+1)^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-x/2}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} e^{2 \sqrt{x(n+1)}} \cdot\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right),
\end{align}

:이는 다음과 같이 요약할 수 있다.
:$\backslash frac\{L\_n^\{(\backslash alpha)\}\backslash left(\backslash frac\; x\; n\backslash right)\}\{n^\backslash alpha\}\backslash approx\; e^\{x/\; 2n\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{J\_\backslash alpha\backslash left(2\backslash sqrt\; x\backslash right)\}\{\backslash sqrt\; x^\backslash alpha\},$
:여기서 $J\_\backslash alpha$는 베셀 함수이다.

4. 처음 몇 개의 라게르 다항식

라게르 다항식의 값들은 다음과 같다.

다음은 처음 몇 개의 라게르 다항식이다.



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5. 응용

라게르 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자를 분석하거나 수소 유사 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 진동 전자 전이를 설명할 때 사용된다.

5.1. 양자역학

양자역학에서 라게르 다항식은 3차원 등방 양자 조화 진동자를 분석할 때 등장한다. 수소 유사 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 구면 좌표계에서 변수 분리를 통해 정확히 풀 수 있는데, 파동 함수의 방사형 부분은 일반화된 라게르 다항식이다.

진동 전자 전이는 프랑크-콘돈 근사에서 라게르 다항식을 사용하여 설명할 수도 있다.

5.2. 기타 응용

라게르 다항식은 양자역학에서 3차원 등방 양자 조화 진동자를 분석할 때 등장한다.

6. 역사

에드몽 라게르(Edmond Laguerre^프랑스어)가 1878년 도입하였다.