크로네커 델타

1. 개요

크로네커 델타는 두 변수가 같으면 1, 다르면 0의 값을 가지는 함수이다. 이산적인 경우의 델타 함수로 간주되며, 일반화된 크로네커 델타는 텐서에 대해 정의된다. 크로네커 델타는 임의의 합에서 특정 지표를 골라낼 수 있는 성질을 가지며, 디지털 신호 처리에서 단위 임펄스 함수로 사용된다. 또한 확률론과 통계학에서 이산 분포를 나타내는 데 활용되며, 디랙 델타 함수와 밀접한 관련이 있다.

2. 정의

크로네커 델타 δ_ij는 두 변수 i와 j에 대해 정의되는 함수로, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash delta\_\{ij\}\; \backslash in\; \backslash \{0,1\backslash \}$
:$\backslash delta\_\{ij\}\; =\; \backslash begin\{cases\}$
1 & i=j \\
0 & i \ne j \end{cases}

즉, i와 j가 같은 값을 가지면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 갖는다. 예를 들어, δ₁₂ = 0, δ₃₃ = 1이다.

변수가 하나인 경우, 크로네커 델타 δ_i는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash delta\_\{i\}\; =\; \backslash delta\_\{i0\}\; =\; \backslash begin\{cases\}$
1 & i=0 \\
0 & i \ne 0 \end{cases}

다음 방정식이 성립한다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{j} \delta_{ij} a_j &= a_i,\\
\sum_{i} a_i \delta_{ij} &= a_j,\\
\sum_{k} \delta_{ik}\delta_{kj} &= \delta_{ij}.
\end{align}

따라서 행렬 δ는 단위 행렬로 간주할 수 있다.

기하 급수 공식을 사용하면 다음과 같은 유용한 표현을 유도할 수 있다.

:$$\backslash delta\_\{nm\}\; =\; \backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{N\}\; \backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^N\; e^\{2\; \backslash pi\; i\; \backslash frac\{k\}\{N\}(n-m)\}$$

아이버슨 괄호를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다. $$\backslash delta\_\{ij\}\; =\; [i=j\; ].$$

선형대수학에서 크로네커 델타는 텐서로 간주될 수 있으며, $\backslash delta\_j^i$로 표기된다.

2.1. 일반화 크로네커 델타

일반화 크로네커 델타는 더 많은 변수를 갖는 텐서에 대해 정의되며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 다음 텐서를 생각할 수 있다.

:$\backslash delta^\{j\_1\; j\_2\; \backslash dotso\; j\_n\}\_\{i\_1\; i\_2\; \backslash dotso\; i\_n\}\; \backslash in\; \backslash \{+1,-1,0\backslash \}$

이 텐서는 다음과 같이 정의된다.

* 만약 $(i\_1,i\_2,\backslash dotsc,i\_n)$이 $(j\_1,j\_2,\backslash dotsc,j\_n)$의 순열이 아니라면, 일반화 크로네커 델타의 값은 0이다.
* 만약 $(i\_1,i\_2,\backslash dotsc,i\_n)=(j\_\{\backslash sigma(1)\},j\_\{\backslash sigma(2)\},\backslash dotsc,j\_\{\backslash sigma(n)\})$이라면, $\backslash delta^\{j\_1\backslash dotso\; j\_n\}\_\{i\_1\backslash dotso\; i\_n\}=(-)^\backslash sigma\; \backslash in\; \backslash \{\backslash pm1\backslash \}$이다.

물론, 만약 $n=1$일 경우 이는 원래 크로네커 델타의 정의와 일치한다.

만약 이를 $(1,1)$ 텐서 유형으로 간주한다면, 크로네커 텐서는 공변 지수 $j$와 반변 지수 $i$를 사용하여 $\backslash delta^i\_j$로 쓸 수 있다.

:

이 텐서는 다음을 나타낸다.

* 항등 사상(또는 항등 행렬), $V\backslash to\; V$ 또는 $V^*\backslash to\; V^*$의 선형 사상으로 간주
* 대각합 또는 텐서 축약, $V^*\; \backslash otimes\; V\backslash to\; K$의 사상으로 간주
* 스칼라 곱셈을 외적의 합으로 나타내는 사상 $K\backslash to\; V^*\backslash otimes\; V$.

일반화된 크로네커 델타 또는 다중 지수 크로네커 델타는 차수 $2p$의 $(p,p)$ 텐서로, $p$개의 위쪽 지수와 $p$개의 아래쪽 지수 모두에서 완전히 반대칭 텐서이다.

일반화된 크로네커 델타는 지수(index)의 관점에서 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\; \}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\}\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
\phantom-1 & \quad \text{if } \nu_1 \dots \nu_p \text{ are distinct integers and are an even permutation of } \mu_1 \dots \mu_p \\
-1 & \quad \text{if } \nu_1 \dots \nu_p \text{ are distinct integers and are an odd permutation of } \mu_1 \dots \mu_p \\
\phantom-0 & \quad \text{in all other cases}.
\end{cases}

$\backslash mathrm\{S\}\_p$를 차수(degree) $p$인 대칭군이라고 하면, 다음과 같다.

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\}$$
= \sum_{\sigma \in \mathrm{S}_p} \sgn(\sigma)\, \delta^{\mu_1}_{\nu_{\sigma(1)}}\cdots\delta^{\mu_p}_{\nu_{\sigma(p)}}
= \sum_{\sigma \in \mathrm{S}_p} \sgn(\sigma)\, \delta^{\mu_{\sigma(1)}}_{\nu_1}\cdots\delta^{\mu_{\sigma(p)}}_{\nu_p}.

반대칭화를 사용하여:

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\}$$
= p! \delta^{\mu_1}_{[ \nu_1} \dots \delta^{\mu_p}_{\nu_p ]}
= p! \delta^{[ \mu_1}_{\nu_1} \dots \delta^{\mu_p ]}_{\nu_p}.

$p\backslash times\; p$ 행렬식의 관점에서:

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\; \}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\}\; =$$
\begin{vmatrix}
\delta^{\mu_1}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_1}_{\nu_p} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\delta^{\mu_p}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_p}_{\nu_p}
\end{vmatrix}.

행렬식의 라플라스 전개(라플라스 공식)을 사용하여, 재귀적으로 정의할 수 있다:

:$$\backslash begin\{align\}$$
\delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p}
&= \sum_{k=1}^p (-1)^{p+k} \delta^{\mu_p}_{\nu_k} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{k} \dots \check\mu_p}_{\nu_1 \dots \check\nu_k \dots \nu_p} \\
&= \delta^{\mu_p}_{\nu_p} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{p - 1}}_{\nu_1 \dots \nu_{p-1}} - \sum_{k=1}^{p-1} \delta^{\mu_p}_{\nu_k} \delta^{\mu_1 \dots \mu_{k-1}\, \mu_k\, \mu_{k+1} \dots \mu_{p-1}}_{\nu_1 \dots \nu_{k-1}\, \nu_p\, \nu_{k+1} \dots \nu_{p-1}},
\end{align}

여기서 캐론($\backslash check\{\}$)은 수열에서 생략된 지수를 나타낸다.

$p=n$(벡터 공간의 차원)일 때, 레비-치비타 기호의 관점에서:

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_n\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_n\}\; =\; \backslash varepsilon^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_n\}\backslash varepsilon\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_n\}\backslash ,.$$

더 일반적으로, $m=n-p$일 때, 아인슈타인 표기법을 사용하여:

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\}\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{m!\}\; \backslash varepsilon^\{\backslash kappa\_1\; \backslash dots\; \backslash kappa\_m\; \backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\backslash varepsilon\_\{\backslash kappa\_1\; \backslash dots\; \backslash kappa\_m\; \backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\}\backslash ,.$$

일반화된 크로네커 델타는 반대칭화에 사용될 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{\nu_1 \dots \nu_p} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{\mu_1 \dots \mu_p} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} . \end{align}

위의 방정식과 반대칭 텐서의 속성으로부터, 일반화된 크로네커 델타의 속성을 도출할 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} , \\
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} \delta^{\nu_1 \dots \nu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} &= \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} ,
\end{align}

지수를 합산하여 차수를 줄이는 것은 다음 항등식으로 표현될 수 있다.

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_s\; \backslash ,\; \backslash mu\_\{s+1\}\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_s\; \backslash ,\; \backslash mu\_\{s+1\}\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\; =\; \backslash frac\{(n-s)!\}\{(n-p)!\}\; \backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_s\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_s\}.$$

$p=n$인 경우의 합산 규칙과 레비-치비타 기호와의 관계를 사용하여 레비-치비타 기호의 합산 규칙이 파생된다.

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{(n-p)!\}\backslash varepsilon^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\; \backslash ,\; \backslash kappa\_\{p+1\}\; \backslash dots\; \backslash kappa\_n\}\backslash varepsilon\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\; \backslash ,\; \backslash kappa\_\{p+1\}\; \backslash dots\; \backslash kappa\_n\}.$$

3. 성질

크로네커 델타는 임의의 합에서 특정한 정수 지표 $i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$를 골라내는 성질을 갖는다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
:$\backslash sum^\backslash infty\; \_\{j=-\backslash infty\}\; \backslash delta\_\{ij\}\; a\_j\; =\; a\_i$
이러한 성질은 디랙 델타 함수와 매우 유사하여, 크로네커 델타를 이산적인 경우의 델타 함수라고 부르기도 한다.

데카르트 좌표계에서 성분끼리의 미분 또한 크로네커 델타로 표현 가능하다.
:$\{\backslash partial\; x\_i\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_j\}\; =\; \backslash delta\_\{ij\}$

크로네커 델타는 $j\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$에 대해 "체질" 속성을 가지며, 수식으로 나타내면 다음과 같다.
$$\backslash sum\_\{i=-\backslash infty\}^\backslash infty\; a\_i\; \backslash delta\_\{ij\}\; =\; a\_j.$$
이는 계수 측도를 부여한 측도 공간에서 디랙 델타 함수의 정의와 일치한다.

크로네커 델타는 사건 대수의 곱셈 항등원을 형성한다. 즉, 다음이 성립한다.
:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{j} \delta_{ij} a_{j} &= a_{i}\\
\sum_{i} a_{i}\delta_{ij} &= a_{j}
\end{align}
이는 단위 행렬의 성질과도 관련이 있다.
:$$
\sum_{k} \delta_{ik} \delta_{kj} = \delta_{ij}

3.1. 선형대수학적 성질

크로네커 델타는 텐서로 생각할 때, 텐서의 축약으로 특정 지표를 골라내는 성질을 간단하게 나타낼 수 있으므로 공변지표(covariant index) i와 반변지표(contravariant index) j를 사용해 $\backslash delta\_\{j\}^\{i\}$로 나타낸다.

이 (1,1) 텐서를 이용해 나타낼 수 있는 것들은 다음과 같다. (여기 아래에선 아인슈타인 표기법을 사용)
* 단위행렬, 선형 변환으로 생각할 때.
: $v^i\; =\; \backslash delta^i\; \_j\; v^j$
* 대각합
: $\backslash mathrm\{tr\}\; (A)\; =\; \backslash delta^i\; \_j\; A^j\; \_i$
* 내적
: $\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =\; \backslash delta^i\; \_j\; a\_i\; b^j$

다음 방정식이 성립한다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{j} \delta_{ij} a_j &= a_i,\\
\sum_{i} a_i \delta_{ij} &= a_j,\\
\sum_{k} \delta_{ik}\delta_{kj} &= \delta_{ij}.
\end{align}
따라서 행렬 $\backslash delta$는 단위 행렬로 간주할 수 있다.

위 식은 각각 다음과 대응한다.
* 벡터에 단위 행렬을 작용시켜도 불변이다.
* 단위 행렬에 단위 행렬을 곱한 것은 단위 행렬이다.

3.2. 다른 표현

아이버슨 괄호를 사용하면 크로네커 델타를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash delta\_\{ij\}\; =\; [i=j\; ].$

기하 급수 공식을 사용하면 크로네커 델타를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash delta\_\{nm\}\; =\; \backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{N\}\; \backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^N\; e^\{2\; \backslash pi\; i\; \backslash frac\{k\}\{N\}(n-m)\}$

3.3. 적분 표현

복소해석학의 잉여 계산을 통해 크로네커 델타를 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.

:$\backslash delta\_\{mn\}\; =\; \backslash frac1\{2\backslash pi\; i\}\; \backslash oint\; z^\{m-n-1\}\; dz,$

여기서 적분 경로는 0 주변을 반시계 방향으로 도는 임의의 고리이다. 이 적분은 복소평면 상에서 한 바퀴 돌며 적분하는 것과 같으므로 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

:$\backslash delta\_\{mn\}\; =\; \backslash frac1\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; e^\{i(m-n)\backslash varphi\}\; d\backslash varphi,$

4. 응용

크로네커 델타는 디지털 신호 처리, 확률론, 통계학 등 다양한 분야에서 응용된다.

디지털 신호 처리에서 크로네커 델타는 단위 임펄스 함수로 사용되며, 시스템의 임펄스 응답을 구하는 데 활용된다. 확률론과 통계학에서는 이산 분포를 나타내는 데 사용될 수 있다. 또한, 크로네커 델타는 한 표면을 다른 표면에 매핑하는 정도를 나타내는 크로네커 적분에도 사용된다.

4.1. 디지털 신호 처리 (DSP)

디지털 신호 처리 분야에서 크로네커 델타는 ℤ에서 정의된 함수로 다음과 같이 나타낸다.
:
이 함수를 '임펄스' 혹은 '단위 임펄스'라고 부른다. 어떤 신호 처리 장치에 임펄스가 입력으로 주어졌을 때, 출력으로 나오는 것을 임펄스 응답이라고 한다.
--
디지털 신호 처리(DSP) 연구에서, 단위 임펄스 함수 $\backslash delta[n]$는 2차원 크로네커 델타 함수 $\backslash delta\_\{ij\}$의 특별한 경우를 나타내며, 여기서 크로네커 지수는 0을 포함하고, 지수 중 하나는 0이다. 이 경우:

더 일반적으로 다음과 같다.

그러나 이것은 단지 특별한 경우일 뿐이다. 텐서 미적분학에서는 특정 차원의 기저 벡터에 1부터 시작하는 인덱스를 사용하는 것이 더 일반적이며, 0부터 시작하지 않는다. 이 경우, $\backslash delta[n]\; \backslash equiv\; \backslash delta\_\{n0\}\; \backslash equiv\; \backslash delta\_\{0n\}$ 관계는 존재하지 않으며, 실제로 크로네커 델타 함수와 단위 임펄스 함수는 지수가 0을 포함하고, 지수의 개수가 2이며, 지수 중 하나가 0의 값을 갖는 특정 경우에 겹치는 서로 다른 함수이다.

이산 단위 임펄스 함수와 크로네커 델타 함수는 같은 문자를 사용하지만, 다음과 같은 차이점이 있다. 이산 단위 임펄스 함수의 경우, 단일 정수 인덱스를 대괄호 안에 넣는 것이 더 일반적이다. 반면에 크로네커 델타는 임의의 수의 인덱스를 가질 수 있다. 또한, 이산 단위 임펄스 함수의 목적은 크로네커 델타 함수와 다르다. DSP에서 이산 단위 임펄스 함수는 일반적으로 시스템의 출력으로 생성되는 시스템 함수를 발견하기 위해 이산 시스템에 대한 입력 함수로 사용된다. 반면에, 크로네커 델타 함수의 일반적인 목적은 아인슈타인 합 규칙에서 항을 필터링하는 것이다.

이산 단위 임펄스 함수는 더 간단하게 다음과 같이 정의된다.

4.2. 확률론 및 통계학

확률론과 통계학에서 크로네커 델타와 디랙 델타 함수는 모두 이산 분포를 나타내는 데 사용될 수 있다. 분포의 지지도가 점 $\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash \{x\_1,\backslash cdots,x\_n\backslash \}$으로 구성되고, 이에 상응하는 확률이 $p\_1,\backslash cdots,p\_n$인 경우, 크로네커 델타를 사용하여 $\backslash mathbf\{x\}$에 대한 분포의 확률 질량 함수 $p(x)$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$p(x)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; p\_i\; \backslash delta\_\{x\; x\_i\}.$

특정 조건 하에서, 크로네커 델타는 디랙 델타 함수를 샘플링하여 발생할 수 있다. 예를 들어, 디랙 델타 임펄스가 샘플링 지점에서 정확히 발생하고 이상적으로 나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리에 따라 (임계 주파수에서 컷오프되는) 로우패스 필터링된 경우, 결과적인 이산 시간 신호는 크로네커 델타 함수가 된다.

4.3. 크로네커 적분

크로네커 델타는 한 표면을 다른 표면에 매핑하는 정도라고도 불린다. 표면 S^영어에서 S^영어로의 매핑이 발생한다고 가정한다. 여기서 S^영어와 S^영어는 각각 영역 R^영어와 R^영어의 경계이며, 일대일 대응으로 단순 연결되어 있다. 이 틀에서 s^영어와 t^영어가 S^영어의 매개변수이고, S^영어를 S^영어로 매핑할 때 각각의 표면은 바깥쪽 법선 n에 의해 방향이 정해진다고 하면 다음과 같다.

:u^영어 = u^영어(s^영어,t^영어), v^영어 = v^영어(s^영어,t^영어), w^영어 = w^영어(s^영어,t^영어)

그리고 법선의 방향은 다음과 같다.

:(u^영어 i + v^영어 j + w^영어 k) × (u^영어i + v^영어j + w^영어k)

x^영어 = x^영어(u^영어, v^영어, w^영어), y^영어 = y^영어(u^영어, v^영어, w^영어), z^영어 = z^영어(u^영어, v^영어, w^영어)가 정의되고 S^영어를 포함하는 영역에서 매끄럽다고 하자. 그리고 이 방정식들이 S^영어를 S^영어로 매핑하는 것을 정의한다고 하자. 그러면 매핑의 정도 δ^영어는 에 S^영어의 내부 점 O에 대한 S^영어의 이미지 S^영어의 입체각을 곱한 값이다. 만약 O가 영역 R^영어의 원점이라면, 정도 δ^영어는 다음 적분으로 주어진다.

:$\backslash delta\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\; \backslash iint\_\{R\_\{st\}\}\; \backslash left(\; x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\; \backslash right)^\{-\backslash frac\{3\}\{2\}\}$
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
\frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial s} \\
\frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial t}
\end{vmatrix} \, ds \, dt.

5. 일반화된 크로네커 델타의 연산 규칙

일반화된 크로네커 델타는 반대칭화를 정의하는 데 사용된다.

:$\backslash begin\{align\}$
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{\nu_1 \dots \nu_p} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{\mu_1 \dots \mu_p} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} . \end{align}

반대칭 텐서의 속성으로부터, 일반화된 크로네커 델타의 연산 규칙을 유도할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a^{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} &= a^{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} , \\
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} a_{[ \mu_1 \dots \mu_p ]} &= a_{[ \nu_1 \dots \nu_p ]} , \\
\frac{1}{p!} \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} \delta^{\nu_1 \dots \nu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} &= \delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\kappa_1 \dots \kappa_p} ,
\end{align}

마지막 공식은 코시-비네 공식과 동일하다.

텐서 축약에 대한 연산 규칙은 다음과 같다.

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_s\; \backslash ,\; \backslash mu\_\{s+1\}\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_s\; \backslash ,\; \backslash mu\_\{s+1\}\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\; =\; \backslash frac\{(n-s)!\}\{(n-p)!\}\; \backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_s\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_s\}.$$

$p=n$인 경우, 레비-치비타 기호의 합산 규칙을 유도할 수 있다.

:$$\backslash delta^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\}\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{(n-p)!\}\backslash varepsilon^\{\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_p\; \backslash ,\; \backslash kappa\_\{p+1\}\; \backslash dots\; \backslash kappa\_n\}\backslash varepsilon\_\{\backslash nu\_1\; \backslash dots\; \backslash nu\_p\; \backslash ,\; \backslash kappa\_\{p+1\}\; \backslash dots\; \backslash kappa\_n\}.$$

6. 크로네커 콤

크로네커 콤 함수는 주기적인 단위 임펄스들의 합으로 정의된다. 디랙 콤의 이산적인 형태로 간주될 수 있다.

주기 $N$을 갖는 크로네커 콤 함수는 (DSP 표기법을 사용하여) 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash Delta\_N[n]=\backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash delta[n-kN],$$

여기서 $N$과 $n$은 정수이다. 따라서 크로네커 콤은 무한한 일련의 단위 임펄스 $N$개로 구성되며, 0에서의 단위 임펄스를 포함한다.

7. 디랙 델타 함수와의 관계

크로네커 델타는 임의의 합에서 특정 지표 i ∈ ℤ (정수)를 골라내는 성질을 가지고 있다.

:$\backslash sum^\backslash infty\; \_\{j=-\backslash infty\}\; \backslash delta\_\{ij\}\; a\_j\; =\; a\_i$

이 성질은 디랙 델타 함수와 매우 유사하며, 이 때문에 크로네커 델타는 이산적인 경우의 델타 함수라고 불리기도 한다.

디지털 신호 처리(DSP)에서 단위 임펄스 함수 $\backslash delta[n]$는 크로네커 델타 함수 $\backslash delta\_\{ij\}$의 특별한 경우로, 크로네커 지수가 0을 포함하고 지수 중 하나가 0인 경우이다.

:

일반적으로는 다음과 같다.

:

하지만, 이는 특별한 경우일 뿐이며, 텐서 미적분학에서는 기저 벡터에 1부터 시작하는 인덱스를 사용하는 것이 일반적이다.

이산 단위 임펄스 함수와 크로네커 델타 함수는 같은 문자를 사용하지만, 목적과 인덱스 수 등에서 차이가 있다. 이산 단위 임펄스 함수는 이산 시스템의 입력 함수로 사용되는 반면, 크로네커 델타 함수는 아인슈타인 합 규칙에서 항을 필터링하는 데 사용된다.

이산 단위 임펄스 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

디랙 델타 함수는 크로네커 델타 함수 및 단위 임펄스 함수와 혼동되는 경우가 많다. 디랙 델타 함수는 정수 인덱스가 아닌, 단일 연속 비정수 값 t를 가진다.

크로네커 델타는 $j\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$에 대해 "체질" 속성을 가지며, 이는 계수 측도를 부여한 측도 공간으로 간주하면 디랙 델타 함수의 정의 속성과 일치한다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash delta(x-y)f(x)\backslash ,\; dx=f(y),$

실제로 디랙 델타는 이와 유사한 속성 때문에 크로네커 델타의 이름을 따서 명명되었다. 신호 처리에서 크로네커와 디랙 "함수"를 구별하는 것은 문맥(이산 또는 연속 시간)에 따라 달라진다. 크로네커 델타는 디랙 델타 함수를 직접 샘플링한 결과가 아니다.

크로네커 델타는 사건 대수의 곱셈 항등원을 형성한다.