랴푸노프 방정식

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1. 개요
2. 안정성 증명
- 2.1. 연속 시간 시스템
- 2.2. 이산 시간 시스템
3. 해의 계산
- 3.1. 해석적 해
  - 3.1.1. 이산 시간 시스템
  - 3.1.2. 연속 시간 시스템
- 3.2. 수치적 해
4. 이산 시간 방정식과 연속 시간 방정식 간의 관계
참조

1. 개요

랴푸노프 방정식은 선형 시스템의 안정성을 분석하는 데 사용되는 중요한 도구이다. 이 방정식은 이산 시간 및 연속 시간 시스템 모두에 적용되며, 주어진 행렬 A, P, Q에 대한 조건을 통해 시스템의 안정성을 판단한다. 특히, 랴푸노프 방정식의 해는 시스템의 안정성을 보장하는 랴푸노프 함수를 구성하는 데 활용된다. 랴푸노프 방정식은 해석적 해, 수치적 해를 통해 풀 수 있으며, 이산 시간 방정식과 연속 시간 방정식 간의 관계를 통해 서로 변환될 수 있다.

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랴푸노프 방정식
개요
유형	선형 연산자 방정식
분야	선형대수학, 제어 이론, 안정성 이론
명명 유래	알렉산드르 미하일로비치 랴푸노프
연속 시간 랴푸노프 방정식
형태	AX + XA^* + Q = 0
변수	A: n x n 행렬 X: n x n 에르미트 행렬 (구해야 하는 해) Q: n x n 에르미트 행렬
조건	A는 안정 행렬이어야 함 (모든 고유값의 실수부가 음수여야 함)
용도	선형 시스템의 안정성 분석, 제어 시스템 설계
이산 시간 랴푸노프 방정식
형태	AXA^* - X + Q = 0
변수	A: n x n 행렬 X: n x n 에르미트 행렬 (구해야 하는 해) Q: n x n 에르미트 행렬
조건	A는 슈어 행렬이어야 함 (모든 고유값의 절대값이 1보다 작아야 함)
용도	이산 시간 시스템의 안정성 분석, 디지털 제어 시스템 설계
추가 정보
관련 개념	대수 리카티 방정식
참고 문헌	https://doi.org/10.1093/imamci/9.4.275 https://epubs.siam.org/doi/10.1137/130912839

2. 안정성 증명

행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 와 대칭 행렬 $P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 가 주어졌을 때, 랴푸노프 방정식은 선형 시스템의 안정성을 증명하는 데 중요한 도구로 사용된다. 여기서 $P>0$ 와 $Q>0$ 는 각각 행렬 $P$ 와 $Q$ 가 양의 정부호임을 의미한다.

랴푸노프 안정성 이론에 따르면, 특정 조건을 만족하는 양의 정부호 행렬 $P$ 와 $Q$ 가 존재하면 해당 선형 시스템이 안정하다는 것을 보일 수 있다. 구체적으로, 연속 시간 시스템 $\dot{x}=A x$ 와 이산 시간 시스템 $x(t+1)=A x(t)$ 모두에 대해, 각각의 랴푸노프 방정식을 만족하는 $P>0$ 와 $Q>0$ 가 존재하면 시스템은 초기 조건에 관계없이 점근적으로 안정하여 0으로 수렴하게 된다.

이 과정에서 이차 함수 $V(x) = x^T P x$ 는 시스템의 랴푸노프 함수 역할을 하여 안정성을 판별하는 기준으로 사용된다. 즉, 이 함수의 특성을 분석하여 시스템의 안정성 여부를 판단할 수 있다.

각 시스템(연속 시간, 이산 시간)에 대한 구체적인 안정성 조건과 필요충분 조건은 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

2. 1. 연속 시간 시스템

행렬

A, P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}

이고

P

와

Q

는 대칭 행렬이다. 표기

P>0

은 행렬

P

가 양의 정부호임을 나타낸다.

'''정리''' (연속 시간 버전): 임의의 양의 정부호 행렬

Q

에 대해, 랴푸노프 방정식

A^T P + P A + Q = 0

을 만족하는 유일한 양의 정부호 행렬

P

가 존재할 필요충분 조건은 선형 상미분 방정식계

\dot{x}=A x

가 전역적으로 점근 안정(globally asymptotically stable)하다는 것이다. 이때, 이차 함수

V(x)=x^T P x

는 안정성을 확인하는 데 사용할 수 있는 랴푸노프 함수이다.

2. 2. 이산 시간 시스템

행렬

A \in \mathbb{R}^{n \times n}

와 대칭 행렬

P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}

에 대하여 다음 정리가 성립한다. 표기

P>0

와

Q>0

는 각각 행렬

P

와

Q

가 양의 정부호임을 의미한다.

'''정리''' (이산 시간 버전): 임의의 양의 정부호 행렬

Q

(

Q>0

)에 대해, 다음 두 조건은 서로 필요충분 조건이다.

# 이산 시간 선형 시스템

x(k+1)=A x(k)

(또는

x_{t+1}=A x_{t}

)가 전역적으로 점근 안정(globally asymptotically stable)하다. 즉, 초기 조건에 관계없이

x(k)

가

k \to \infty

일 때 0으로 수렴한다.

# 이산 랴푸노프 방정식

A^T P A -P + Q = 0

을 만족하는 유일한 양의 정부호 행렬

P

(

P>0

)가 존재한다.

이때, 이차 함수

V(x) = x^T P x

는 시스템의 안정성을 확인하는 데 사용할 수 있는 랴푸노프 함수이다. 다시 말해, 주어진

A

에 대하여

A^T P A -P + Q = 0

을 만족하는 양의 정부호 행렬

P, Q

가 존재하면, 선형 시스템

x(k+1)=A x(k)

는 안정하다.

3. 해의 계산

랴푸노프 방정식은 선형 방정식이므로 다양한 방법을 통해 해를 계산할 수 있다. 예를 들어, vec 연산자 $\operatorname{vec}$ 와 크로네커 곱 $\otimes$ 을 이용하여 방정식을 일반적인 선형 방정식 형태로 변환하여 풀 수 있다. 또한, 행렬 $A$ 가 안정적인 경우에는 적분(연속 시간 시스템)이나 무한급수(이산 시간 시스템) 형태로 해를 표현할 수도 있다.

일반적인 행렬 분해 기법을 사용하면 해 행렬 $X$ 의 크기가 $n \times n$ 일 때 대략 $\mathcal O(n^3)$ 의 계산 복잡도로 해를 구할 수 있다. 그러나 랴푸노프 방정식의 구조적 특징을 활용하면 더 효율적인 계산이 가능한 특수 알고리즘들이 존재한다. 대표적으로 이산 시간 랴푸노프 방정식에는 키타가와의 Schur 방법^[3]이, 연속 시간 랴푸노프 방정식에는 바텔스-스튜어트 알고리즘^[4] 등이 사용된다. 이러한 해석적 및 수치적 해법에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 해석적 해

벡터화 연산자

\operatorname{vec}

와 크로네커 곱

\otimes

은 랴푸노프 방정식을 푸는 데 유용하게 사용된다. 이 두 연산을 이용하면, 연속 시간 및 이산 시간 랴푸노프 방정식을 각각 특정 형태의 선형 방정식으로 변환할 수 있다. 이 선형 방정식을 풀어서 벡터

\operatorname{vec}(X)

를 구한 뒤, 이를 다시 행렬 형태로 재구성하면 원래 랴푸노프 방정식의 해

X

를 얻을 수 있다.^[9]^[5]^[8]

또한, 행렬

A

가 특정 안정성 조건을 만족하는 경우, 해

X

를 다른 방식으로도 표현할 수 있다. 이산 시간 시스템에서는 해를 무한급수 형태로 나타낼 수 있으며, 연속 시간 시스템에서는 적분 형태로 나타낼 수 있다.^[9]^[5]^[8] 각 경우에 대한 구체적인 방정식 형태와 해법, 안정성 조건 등은 해당 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 1. 이산 시간 시스템

벡터화 연산자

\operatorname{vec}(A)

는 행렬

A

의 열들을 순서대로 이어 붙여 하나의 열벡터로 만드는 연산을 의미한다. 또한

A \otimes B

는 행렬

A

와

B

의 크로네커 곱을 나타낸다.

이산 시간 랴푸노프 방정식

X - AXA^H = Q

는 vec 연산자의 성질

\operatorname{vec}(ABC)=(C^{T} \otimes A)\operatorname{vec}(B)

를 이용하여 다음과 같은 행렬 방정식 형태로 표현할 수 있다.^[9]^[5]^[8]

:

(I_{n^2}-\bar{A} \otimes A)\operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(Q)

여기서

A

가

n \times n

행렬일 때,

I_{n^2}

는

n^2 \times n^2

크기의 항등 행렬이다.

\bar{A}

는 행렬

A

의 각 원소에 복소켤레를 취한 행렬이다.^[9]^[5]

이 선형 방정식을 풀면

\operatorname{vec}(X)

를 얻을 수 있으며, 이 벡터를 다시

n \times n

행렬 형태로 재구성하면 해

X

를 구할 수 있다.^[5]^[8]

만약 행렬

A

가 안정적(stable)이라면, 즉 모든 고유값의 크기가 1보다 작다면 (Schur 안정성), 해

X

는 다음과 같은 급수 형태로도 표현될 수 있다.^[9]^[5]^[8]

:

X = \sum_{k=0}^{\infty} A^{k} Q (A^{H})^k

이는 1차원 시스템에서의 방정식

(1 - a^2) x = q

(단,

|a| < 1

)의 해가

x = \frac{q}{1-a^2} = q \sum_{k=0}^{\infty} (a^2)^k = \sum_{k=0}^{\infty} q a^{2k}

로 표현되는 것과 유사하다.^[5]^[8]

3. 1. 2. 연속 시간 시스템

벡터화 연산자

\operatorname{vec}(X)

를 행렬

X

의 열을 순서대로 쌓아 만든 열벡터로 정의하고,

A \otimes B

를

A

와

B

의 크로네커 곱으로 정의하면, 연속 시간 랴푸노프 방정식

AX + XA^H = -Q

는 다음과 같은 행렬 방정식으로 표현될 수 있다.

:

(I_n \otimes A + \bar{A} \otimes I_n) \operatorname{vec}X = -\operatorname{vec}Q

여기서

\bar{A}

는 행렬

A

의 각 성분을 복소 켤레로 바꾼 행렬을 나타내고,

I_n

은

n \times n

단위 행렬이며,

A^H

는

A

의 켤레 전치이다.

만약 행렬

A

가 안정적(Hurwitz 안정성, 즉 모든 고유값의 실수부가 음수)이라면, 해

X

는 다음 적분으로도 표현될 수 있다.

:

X = \int_0^\infty e^{A \tau} Q e^{A^H \tau} d\tau

이 적분 해가 원래의 랴푸노프 방정식을 만족하는지 확인해 보자.

:

\begin{align}AX+XA^H &= A \left( \int_0^\infty e^{A \tau} Q e^{A^H \tau} d\tau \right) + \left( \int_0^\infty e^{A \tau} Q e^{A^H \tau} d\tau \right) A^H \\ &= \int_0^\infty \left( A e^{A \tau} Q e^{A^H \tau} + e^{A \tau} Q e^{A^H \tau} A^H \right) d\tau \\ &= \int_0^\infty \frac{d}{d\tau} (e^{A \tau} Q e^{A^H \tau}) d\tau \quad (\text{미분 연쇄 법칙 사용}) \\ &= [e^{A \tau} Q e^{A^H \tau}]_{\tau=0}^{\tau=\infty} \\ &= \lim_{\tau \to \infty} (e^{A \tau} Q e^{A^H \tau}) - (e^{A \cdot 0} Q e^{A^H \cdot 0}) \\ &= 0 - (I Q I) \quad (\because A \text{가 안정적이므로 } \lim_{\tau \to \infty} e^{A \tau} = 0) \\ &= -Q \end{align}

따라서 위 적분은 랴푸노프 방정식의 해가 된다.

비교를 위해 1차원(

n=1

)의 경우를 생각해보면, 모든 행렬은 스칼라 값이 된다. 랴푸노프 방정식은

ax + xa^* = -q

가 된다. 여기서

a^*

는

a

의 복소 켤레이다. 만약

a

가 실수라면 방정식은

2ax = -q

가 되고, 해는

x = \frac{-q}{2a}

이다. 안정성 조건은

a < 0

이다. 이 경우, 적분 형태의 해는 다음과 같이 계산된다.

:

x = \int_0^{\infty} q\,e^{2 a \tau} d\tau = q \left[ \frac{e^{2 a \tau}}{2a} \right]_0^\infty = q \left( \lim_{\tau \to \infty} \frac{e^{2 a \tau}}{2a} - \frac{e^0}{2a} \right) = q \left( 0 - \frac{1}{2a} \right) = \frac{-q}{2a}

이는 위에서 구한 대수적 해와 일치한다.

3. 2. 수치적 해

소프트웨어를 이용하여 랴푸노프 방정식의 해를 구할 수 있다. 랴푸노프 방정식은 선형 방정식이므로, 해 행렬

X

가

n \times n

크기일 때 표준적인 행렬 분해 기법을 사용하면 대략

\mathcal O(n^3)

의 계산 복잡도로 해를 구할 수 있다.

그러나 랴푸노프 방정식의 특별한 구조를 활용하면 더 효율적인 계산이 가능한 특수 알고리즘들이 존재한다.

이산 시간 랴푸노프 방정식: 키타가와 겐시로가 제안한 슈어 방법(Schur method)이 자주 사용된다.^[3]^[6]
연속 시간 랴푸노프 방정식: 바텔스-스튜어트 알고리즘(Bartels-Stewart algorithm)을 사용하여 해를 구할 수 있다.^[4]^[7]

4. 이산 시간 방정식과 연속 시간 방정식 간의 관계

먼저, 다음과 같은 연속 시간 선형 동역학계에서 시작한다.

: $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x}$

여기서 $\mathbf{x}$ 는 상태 벡터, $\mathbf{A}$ 는 시스템 행렬, $\dot{\mathbf{x}}$ 는 상태 벡터의 시간 미분을 나타낸다.

이 시스템을 이산화하기 위해 시간 미분을 작은 시간 간격 $\delta > 0$ 에 대한 전방 차분으로 근사한다.

: $\dot{\mathbf{x}} \approx \frac{\mathbf{x}_{t+1}-\mathbf{x}_{t}}{\delta}$

여기서 $\mathbf{x}_t$ 는 시간 $t$ 에서의 상태 벡터를 의미한다.

이 근사식을 원래의 연속 시간 방정식에 대입하고 $\mathbf{x}_{t+1}$ 에 대해 정리하면 다음과 같은 이산 시간 방정식을 얻을 수 있다.

: $\frac{\mathbf{x}_{t+1}-\mathbf{x}_{t}}{\delta} \approx \mathbf{A}\mathbf{x}_t$

: $\mathbf{x}_{t+1} \approx \mathbf{x}_t + \delta \mathbf{A} \mathbf{x}_t = (\mathbf{I} + \delta\mathbf{A})\mathbf{x}_t$

여기서 $\mathbf{I}$ 는 단위행렬이다. 이산 시간 시스템 행렬을 $\mathbf{B} \equiv \mathbf{I} + \delta\mathbf{A}$ 로 정의하면, 이산 시간 시스템은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf{x}_{t+1} = \mathbf{B}\mathbf{x}_t$

이제 시스템 행렬 $\mathbf{B}$ 에 대한 이산 시간 랴푸노프 방정식을 고려한다. 여기서 $\mathbf{M}$ 은 대칭행렬이고 양의 정부호 행렬이다. 일반적인 이산 시간 랴푸노프 방정식은 $\mathbf{B}^T\mathbf{M}\mathbf{B} - \mathbf{M} = -\mathbf{W}$ 형태이며, $\mathbf{W}$ 도 양의 정부호 행렬이다. 주어진 원본 소스에서는 우변을 $-\delta\mathbf{Q}$ (단, $\mathbf{Q}$ 는 양의 정부호 행렬)로 표기하였으므로, 해당 표기를 따라 다음과 같이 작성한다.

: $\mathbf{B}^T\mathbf{M}\mathbf{B} - \mathbf{M} = -\delta\mathbf{Q}$

위 식에 $\mathbf{B} = \mathbf{I} + \delta\mathbf{A}$ 를 대입하면 다음과 같다.

: $(\mathbf{I} + \delta \mathbf{A})^T\mathbf{M}(\mathbf{I} + \delta \mathbf{A}) - \mathbf{M} = -\delta \mathbf{Q}$

이 식을 전개하면,

: $(\mathbf{I} + \delta \mathbf{A}^T)\mathbf{M}(\mathbf{I} + \delta \mathbf{A}) - \mathbf{M} = -\delta \mathbf{Q}$

: $(\mathbf{M} + \delta \mathbf{A}^T\mathbf{M}) (\mathbf{I} + \delta \mathbf{A}) - \mathbf{M} = -\delta \mathbf{Q}$

: $\mathbf{M} + \delta \mathbf{M}\mathbf{A} + \delta \mathbf{A}^T\mathbf{M} + \delta^2 \mathbf{A}^T\mathbf{M}\mathbf{A} - \mathbf{M} = -\delta \mathbf{Q}$

: $\delta(\mathbf{A}^T\mathbf{M} + \mathbf{M}\mathbf{A}) + \delta^2 \mathbf{A}^T\mathbf{M}\mathbf{A} = -\delta \mathbf{Q}$

여기서 $\delta$ 는 매우 작은 시간 간격을 나타낸다. $\delta$ 가 0에 가까워질수록 시스템은 연속 시간 동역학에 가까워진다. 양변을 $\delta$ 로 나누고 $\delta \to 0$ 의 극한을 취하면 $\delta^2$ 항은 사라지게 된다.

: $\mathbf{A}^T\mathbf{M} + \mathbf{M}\mathbf{A} + \delta \mathbf{A}^T\mathbf{M}\mathbf{A} = -\mathbf{Q}$

$\delta \to 0$ 극한에서 다음 식을 얻는다.

: $\mathbf{A}^T\mathbf{M} + \mathbf{M}\mathbf{A} = -\mathbf{Q}$

이는 우리가 찾고자 했던 연속 시간 랴푸노프 방정식이다. 따라서 이산 시간 랴푸노프 방정식에서 시간 간격 $\delta$ 를 0으로 보내는 극한을 통해 연속 시간 랴푸노프 방정식을 유도할 수 있다.

참조

_[1] 논문 A. M. Lyapunov's stability theory—100 years on * https://doi.org/10.1[...] 1992-01-01
_[2] 논문 Computational Methods for Linear Matrix Equations https://epubs.siam.o[...] 2016-01-01
_[3] 논문 An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S
_[4] 논문 Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C
_[5] 서적 Time Series Analysis Princeton University Press
_[6] 논문 An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S
_[7] 논문 Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C
_[8] 서적 Time Series Analysis Princeton University Press
_[9] 서적 Time Series Analysis https://archive.org/[...] Princeton University Press

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