레비 상수

{(p_n + tp_{n-1})(q_n + tq_{n-1})}



연분수의 성질에 따라 $|p\_\{n-1\}q\_n\; -\; p\_n\; q\_\{n-1\}|\; =\; 1$ 이므로,

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\max_{t \in [0, 1]}|f'(t)| = \max_{t \in [0, 1]} \frac{1}{(p_n + tp_{n-1})(q_n + tq_{n-1})}



분모는 $t=0$일 때 최솟값을 가지므로, 최댓값은 다음과 같다.

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\max_{t \in [0, 1]}|f'(t)| = \frac{1}{p_nq_n}



$p\_n\; \backslash geq\; 1$ 이므로 (일반적으로 연분수 근사에서 성립), 다음 부등식이 성립한다.

$$$$

|f(t)-f(0)| \leq \frac{1}{p_nq_n} \leq \frac{1}{q_n}



분모 수열 $q\_0,\; q\_1,\; q\_2,\; \backslash dots$는 점화 관계를 만족하므로, 피보나치 수열$1,\; 1,\; 2,\; \backslash dots$보다 크거나 같다. 즉, $q\_n\; \backslash geq\; F\_n$ 이다.

그러므로 $\backslash frac\{1\}\{q\_n\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{F\_n\}$ 이다.

결론적으로 다음 부등식이 증명된다.

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|\ln x - \ln p_n(x)/q_n(x)| \leq \frac{1}{q_n} \leq \frac{1}{F_n}

2. 2. 에르고딕 이론을 이용한 증명

연분수의 근사 분모 $q\_n$에 대해 다음 관계식이 성립한다.

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• \ln q_n = \ln x + \ln Tx + \dots + \ln T^{n-1}x + \delta

여기서 $T$는 가우스 사상이며, 오차항 $|\backslash delta|$는 유한한 값인 역 피보나치 상수 $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; 1/F\_k$ 보다 작거나 같다.

비르코프 에르고딕 정리에 의해, $\backslash frac\{\backslash ln\; q\_n\}\{n\}$의 극한값은 거의 모든 $x\; \backslash in\; [0,\; 1]$에 대해 특정 값으로 수렴한다.

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\lim_{n \to \infty}\frac{\ln q_n}{n} = \int_0^1 ( -\ln t )\rho(t) dt



이 적분값은 다음과 같이 계산된다.

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\int_0^1 ( -\ln t )\rho(t) dt = \frac{\pi^2}{12\ln 2}



여기서 $\backslash rho(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{(1+t)\; \backslash ln\; 2\}$는 가우스 분포의 확률 밀도 함수이다. 이 극한값이 바로 레비 상수의 로그값과 같다.

2. 2. 1. 추가 설명

레비 상수의 값에 대한 증명은 연분수의 기본 속성을 활용한다.^[4] 증명 과정에서는 여러 수학적 개념과 도구가 사용된다.

먼저, 가우스 사상 $T\; :\; x\; \backslash mapsto\; 1/x\; \backslash mod\; 1$이 정의된다. 이 사상은 연분수 전개와 밀접한 관련이 있다. 증명에서는 연분수의 근사 분수 $p\_n(x)/q\_n(x)$와 관련된 부등식 $$|\backslash ln\; x\; -\; \backslash ln\; p\_n(x)/q\_n(x)|\; \backslash leq\; 1/q\_n(x)\; \backslash leq\; 1/F\_n$$을 사용하는데, 여기서 $F\_n$은 피보나치 수이다. 이는 분모 $q\_n$이 피보나치 수열보다 크거나 같다는 성질을 이용한다.

또한, 증명 과정에서 역 피보나치 상수 $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; 1/F\_n$가 등장한다. 이는 특정 오차 항의 상계를 나타내는 데 사용된다.

핵심적인 부분은 비르코프 에르고딕 정리를 적용하는 것이다. 이 정리를 통해 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\backslash frac\{\backslash ln\; q\_n\}\{n\}$의 극한값이 특정 적분값으로 거의 확실하게 수렴함을 보인다. 이 적분은 다음과 같이 표현된다.

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\int_0^1 ( -\ln t )\rho(t) dt = \frac{\pi^2}{12\ln 2}

여기서 $\backslash rho(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{(1+t)\; \backslash ln\; 2\}$는 가우스-쿠즈민 분포를 나타내는 확률 밀도 함수이다. 이 분포는 [0, 1] 구간에서 무작위로 선택된 실수의 연분수 전개에 나타나는 계수들의 통계적 분포를 설명한다.

결과적으로, 에르고딕 정리와 가우스-쿠즈민 분포를 이용하여 연분수 분모의 기하 평균 극한값이 레비 상수와 관련됨을 증명한다.

참조

_[1] 서적 Continued fractions https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[2] 논문 Zur metrischen Kettenbruchtheorie
_[3] 서적 Théorie de l'addition des variables aléatoires Paris
_[4] 간행물 Ergodic Theory with Applications to Continued Fractions https://web.archive.[...] 2020-05-18
_[5] 웹사이트 LevyConstant http://mathworld.wol[...]

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