연분수

3. 연분수의 역사

유클리드 호제법에서 연분수의 역사가 시작된다.^[1] 이 알고리즘은 두 자연수의 최대공약수를 찾는 방법을 제시했는데, 나머지를 반복적으로 나누는 아이디어를 도입했다.

약 2천 년 후인 16세기 중반, 봄벨리(Bombelli)는 연분수를 이용하여 이차 방정식의 근을 근사하는 기법을 고안했다. 1613년, 피에트로 카탈디(Pietro Cataldi)는 일반화된 연분수에 대한 최초의 공식적인 표기법을 제시했다. 카탈디는 연분수를 다음과 같이 나타냈다.

:

점은 다음 분수가 오는 위치를 나타내고, 각 &는 현재의 더하기 기호를 나타낸다.

17세기 후반, 존 월리스(John Wallis)는 "연분수"라는 용어를 수학 문헌에 도입했다. 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)의 미적분학과 같은 새로운 수학 분석 기법이 등장했고, 월리스의 동시대 사람들은 이 새로운 용어를 사용하기 시작했다.

1748년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 특정 종류의 연분수가 특정한 매우 일반적인 무한급수와 같다는 정리를 발표했다. 오일러의 연분수 공식은 여전히 연분수의 수렴성을 증명하는 많은 현대적 증명의 기초가 된다.

1761년, 요한 하인리히 람베르트(Johann Heinrich Lambert)는 에 대한 다음 연분수를 사용하여 가 무리수임을 최초로 증명했다.

:$\backslash tan(x)\; =\; \backslash cfrac\{x\}\{1\; +\; \backslash cfrac\{-x^2\}\{3\; +\; \backslash cfrac\{-x^2\}\{5\; +\; \backslash cfrac\{-x^2\}\{7\; +\; \{\}\backslash ddots\}\}\}\}$

연분수는 정수론의 문제에도 적용될 수 있으며, 특히 디오판토스 방정식 연구에 유용하다. 18세기 후반, 조제프루이 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)는 연분수를 사용하여 펠 방정식의 일반적인 해를 구성하여 1천 년 이상 수학자들을 매료시켰던 문제에 대한 답을 제시했다.^[2] 라그랑주의 발견은 모든 비제곱 정수의 제곱근의 표준 연분수 전개가 주기적이며, 주기의 길이가 이면 길이가 인 회문 문자열을 포함한다는 것을 의미한다.

1813년, 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 복소수 값의 초기하 함수에서 현재 가우스의 연분수라고 불리는 것을 유도했다. 이것은 많은 기본 함수와 일부 고급 함수(예: 베셀 함수)를 복소 평면의 거의 모든 곳에서 빠르게 수렴하는 연분수로 표현하는 데 사용될 수 있다.

4. 연분수의 성질

무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 유용하다. 이러한 근사 유리수값을 연분수의 근사분수(convergents)라고 부른다. 짝수 근사분수는 실제값보다 작은 반면, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.

예를 들어, 원주율 파이($\backslash pi$)의 근사분수를 계산해 보면 다음과 같다.

:$$

\begin{aligned}

a_0 & = \lfloor \pi \rfloor = 3 & u_1 & = \frac 1 {\pi - 3} \approx \dfrac { 113} { 16} = 7.0625 \\

a_1 & = \lfloor u_1 \rfloor = 7 & u_2 & = \frac 1 {u_1 - 7} \approx \dfrac {31993} {2000} = 15.9965 \\

a_2 &= \lfloor u_2 \rfloor = 15 & u_3 & = \frac 1 {u_2 - 15} \approx \dfrac { 1003} {1000} = 1.003

\end{aligned}



::($\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$는 $x$보다 작은 최대 정수)

이러한 과정을 반복하면, 무한 연분수

:$$

\begin {aligned}

\pi & = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, \cdots] \\

& = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}

\end {aligned}



를 얻는다.

$\backslash pi$의 세 번째 근사분수는 $[3;\; 7,\; 15,\; 1]\; =\; \backslash frac\; \{355\}\; \{113\}\; =\; 3.14159292035\backslash cdots$이며, 이는 실제 $\backslash pi$ 값에 매우 가깝다. 어떤 무리수의 $n$번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 더 가깝다.

이때 오차의 한계는 $M$을 주어진 무리수, $p\_n$과 $q\_n$을 $n$번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라고 할 때, 다음과 같이 주어진다.

:

연분수는 다음과 같은 형태를 가진다.

:$x\; =\; b\_0\; +\; \backslash cfrac\{a\_1\}\{b\_1\; +\; \backslash cfrac\{a\_2\}\{b\_2\; +\; \backslash cfrac\{a\_3\}\{b\_3\; +\; \backslash cfrac\{a\_4\}\{b\_4\; +\; \backslash ddots\backslash ,\}\}\}\}$

여기서 ($n>0$)는 '''부분 분자''', $b\_n$는 '''부분 분모'''이며, $b\_0$는 연분수의 정수 부분이라고 한다.

연분수의 연속적인 근사값은 기본 점화식을 통해 생성된다. (자세한 내용은 "기본 점화식" 하위 섹션 참조)

근사값의 수열 $\backslash \{x\_n\backslash \}$이 극한에 접근하면 연분수는 수렴하고 정의된 값을 갖는다. 그렇지 않으면 연분수는 발산한다. 발산은 진동에 의해 발생할 수도 있고(예를 들어, 홀수 번째와 짝수 번째 근사값이 두 개의 다른 극한에 접근), 무한히 많은 0인 분모 $B\_n$를 생성할 수도 있다.

부분 숫자 $a\_\{n+1\}$ 중 하나가 0이면, 무한 연분수는 $n$개의 분수항을 갖는 유한 연분수가 되며, $a\_1$부터 $a\_n$까지와 $b\_0$부터 $b\_\{n+1\}$까지의 유리 함수가 된다.

$\backslash \{c\_i\backslash \}\; =\; \backslash \{c\_1,\; c\_2,\; c\_3,\; ...\; \backslash \}$ 가 0이 아닌 복소수의 무한 수열일 때, 다음 동치 변환이 성립한다.

:$$

b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}} =

b_0 + \cfrac{c_1a_1}{c_1b_1 + \cfrac{c_1c_2a_2}{c_2b_2 + \cfrac{c_2c_3a_3}{c_3b_3 + \cfrac{c_3c_4a_4}{c_4b_4 + \ddots\,}}}}



이 동치 변환에서 특히 중요한 두 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

• $a\_i$ 중 어느 것도 0이 아니면, 각 부분 분자를 1로 만들 수 있다.
• 부분 분모 $b\_i$ 중 어느 것도 0이 아니면, 각 부분 분모를 1로 만들 수 있다.

4. 1. 기본 점화식

5. 연분수의 계산

무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용하다. 이러한 근사 유리수값을 연분수의 '''근사분수(convergents)'''라 부른다. 짝수 근사분수는 실제값보다 작은 반면, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.

예를 들어, 원주율 π의 근사분수들을 계산해 보면 다음과 같다.

:$$

\begin{aligned}

a_0 & = \lfloor \pi \rfloor = 3 & u_1 & = \frac 1 {\pi - 3} \approx \dfrac { 113} { 16} = 7.0625 \\

a_1 & = \lfloor u_1 \rfloor = 7 & u_2 & = \frac 1 {u_1 - 7} \approx \dfrac {31993} {2000} = 15.9965 \\

a_2 &= \lfloor u_2 \rfloor = 15 & u_3 & = \frac 1 {u_2 - 15} \approx \dfrac { 1003} {1000} = 1.003

\end{aligned}



::($\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$는 $x$보다 작은 최대 정수)

이런 식으로 계속 계산하면, 무한 연분수

:$$

\begin {aligned}

\pi & = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, \cdots] \\

& = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}

\end {aligned}



를 얻는다.

π의 세 번째 근사분수는 $[3;\; 7,\; 15,\; 1]\; =\; \backslash frac\; \{355\}\; \{113\}\; =\; 3.14159292035\backslash cdots$이며, 이는 실제 π 값에 매우 가깝다. 어떤 무리수의 $n$번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 더 가깝다.

이 때 오차의 한계는 $M$을 주어진 무리수, 각각 $p\_n$과 $q\_n$을 $n$번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라 할 때, 다음과 같은 식으로 주어진다.

:

또한, 다음 식

:

을 만족하는 가장 작은 정수 $Q$에 대하여, 적당한 자연수 $k$가 존재하여 $P=\; p\_k$와 $Q=\; q\_k$를 만족한다.

주어진 실수 ω가 있다고 하자. ω를 넘지 않는 최대의 정수를 a₀으로 하고,

:$\backslash omega\; =a\_0\; +\backslash frac\{1\}\{\backslash omega\_1\}$

이 되도록 ω₁을 정의한다. ω₁이 정수가 아니라면, ω₁을 넘지 않는 최대의 정수를 a₁으로 하고,

:$\backslash omega\_1\; =\; a\_1\; +\backslash frac\{1\}\{\backslash omega\_2\}$

이 되도록 ω₂을 정의할 수 있다. 이 작업을 반복함으로써, n단까지의 연분수

:$a\_0\; +\backslash cfrac\{1\}\{a\_1\; +\backslash cfrac\{1\}\{a\_2\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\; a\_\{n-1\}\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash omega\_n\}\}\}\}$

를 구할 수 있다. 만약 ω가 유리수라면 이 작업은 유한 번으로 종료하지만, 무리수라면 이 작업은 무한히 계속된다.

단, 앞서 설명했듯이, ω가 2차 무리수이고, 그 경우에 한하여 순환하는 연분수가 된다.

$\backslash frac\{p\_n\}\{q\_n\}=[a\_0;\; a\_1,a\_2,\backslash ldots,a\_\{n-1\}]$는 ω에 수렴한다. 즉, 위 작업을 반복함으로써 실수 ω에 아무리 가까운 유리수라도 구할 수 있다. 또한, ω와 연분수의 차는

:

이 되는 것이 알려져 있으며, 연분수는 디오판토스 근사의 해를 구하는 수단으로서 유효하다.

6. 다양한 수의 연분수 전개

황금비는 $x^2\; -\; x\; -\; 1\; =\; 0$의 양의 해로, 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있다.

:$\backslash varphi\; =1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}$

=[1;1,1,1,1,1,\ldots]^[9]

일반적으로, $x^2\; -\; nx\; =\; 1$의 양의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$n+\backslash cfrac\{1\}\{n+\backslash cfrac\{1\}\{n+\backslash cfrac\{1\}\{n+\backslash cfrac\{1\}\{n+\backslash ddots\; \backslash ,\}\}\}\}\; =[n;n,n,n,n,\backslash dots\; ]=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; n+\backslash sqrt\{n^2\; +4\}\; \backslash right)$

• 2의 제곱근

• 3의 제곱근

• 황금비의 역수 φ⁻¹ = [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] (순환마디는 1)

• 백은비^[9] 1 + √2 = [2; 2, 2, 2, 2, 2, 2,…] (순환마디는 2)

• 백은수의 역수 $\backslash frac\{1\}\{1+\backslash sqrt2\}\; =-1+\backslash sqrt2\; =[0;\; 2,\; 2,\; 2,\; 2,\; 2,\; 2,\backslash dots]$ (순환마디는 2)

• 네이피어 수 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]

• 원주율 π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...]

7. 선형 분수 변환 (LFT)

선형 분수 변환(Linear Fractional Transformation, LFT)은 다음과 같은 형태의 복소 함수이다.

:$$

w = f(z) = \frac{az + b}{cz + d}



여기서 $z$는 복소 변수이고, $a,\; b,\; c,\; d$는 $cz\; +\; d\; \backslash ne\; 0$인 복소 상수이다. 보통 $w\; =\; f(z)$가 상수가 되는 경우를 제외하기 위해 $ad\; \backslash ne\; bc$라는 조건이 추가된다. 선형 분수 변환은 메비우스 변환이라고도 불리며, 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

• $c\; \backslash ne\; 0$이면 LFT는 하나 또는 두 개의 고정점을 갖는다. 이는 다음 방정식으로 확인할 수 있다.

• $ad\; \backslash ne\; bc$이면 LFT는 전단사인 등각 사상으로, 확장된 복소 평면을 자기 자신에게 사상한다. 즉, 다음과 같은 역함수를 갖는다.

• $ad\; \backslash ne\; bc$인 두 LFT의 합성은 $ad\; \backslash ne\; bc$인 LFT이다. 즉, $ad\; \backslash ne\; bc$인 모든 LFT의 집합은 함수 합성에 대해 닫혀 있다. 이 집합은 함수 합성을 "군 연산"으로 하는 확장된 복소 평면의 자동사상군이다.

• $a\; =\; 0$이면 LFT는 다음과 같이 간단해진다.

8. 오일러의 연분수 공식

오일러는 다음과 같은 항등식을 증명했다.

:$a\_0\; +\; a\_0a\_1\; +\; a\_0a\_1a\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_0a\_1a\_2\backslash cdots\; a\_n\; =\; \backslash frac\{a\_0\}\{1-\}\; \backslash frac\{a\_1\}\{1+a\_1-\}\; \backslash frac\{a\_2\}\{1+a\_2-\}\backslash cdots\; \backslash frac\{a\_\{n\}\}\{1+a\_n\}.\backslash ,$

이것으로부터 많은 다른 결과들을 유도할 수 있다. 예를 들어,

:$\backslash frac\{1\}\{u\_1\}+\; \backslash frac\{1\}\{u\_2\}+\; \backslash frac\{1\}\{u\_3\}+\; \backslash cdots+\; \backslash frac\{1\}\{u\_n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{u\_1-\}\; \backslash frac\{u\_1^2\}\{u\_1+u\_2-\}\; \backslash frac\{u\_2^2\}\{u\_2+u\_3-\}\backslash cdots\; \backslash frac\{u\_\{n-1\}^2\}\{u\_\{n-1\}+u\_n\},\backslash ,$

그리고

:$\backslash frac\{1\}\{a\_0\}\; +\; \backslash frac\{x\}\{a\_0a\_1\}\; +\; \backslash frac\{x^2\}\{a\_0a\_1a\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{x^n\}\{a\_0a\_1a\_2\; \backslash ldots\; a\_n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{a\_0-\}\; \backslash frac\{a\_0x\}\{a\_1+x-\}\; \backslash frac\{a\_1x\}\{a\_2+x-\}\backslash cdots\; \backslash frac\{a\_\{n-1\}x\}\{a\_n+x\}.\backslash ,$

연분수와 급수를 연결하는 오일러의 공식은 수렴 문제에 대한 기본적인 접근 방식의 기초이기도 하다.

9. 고차원 일반화

일반화된 연분수는 고차원으로의 일반화를 의미하기도 한다. 예를 들어, 비이성적인 실수 α|α^영어에 대한 정규형의 단순 연분수와 2차원에서 직선 y = αx|y = αx^영어의 양쪽에 있는 격자점들의 배열 사이에는 밀접한 관계가 있다. 이 아이디어를 일반화하여 3차원 이상의 격자점과 관련된 것을 생각해 볼 수 있다. 이 영역을 연구하는 한 가지 이유는 수학적 우연 개념을 정량화하기 위해서이다. 예를 들어, 여러 실수의 단항식에 대해 로그 형태를 취하고 얼마나 작을 수 있는지 고려한다. 또 다른 이유는 에르미트 문제에 대한 가능한 해결책을 찾기 위해서이다.

일반화된 이론을 구성하려는 많은 시도가 있었다. 이러한 방향으로 주목할 만한 노력은 펠릭스 클라인(클라인 다면체), 조르주 푸아투 및 조지 세케레시에 의해 이루어졌다.

10. 응용

연분수는 정수론 문제, 특히 디오판토스 방정식 연구에 유용하다.^[2] 18세기 후반, 조제프루이 라그랑주는 연분수를 사용하여 펠 방정식의 일반적인 해를 구했다. 라그랑주의 발견은 모든 비제곱 정수의 제곱근의 표준 연분수 전개가 주기적임을 보여주었다.

또한, 연분수는 디오판토스 근사의 해를 구하는 데 유효하다. 주어진 실수 ω에 대하여, 다음 연분수

:$a\_0\; +\backslash cfrac\{1\}\{a\_1\; +\backslash cfrac\{1\}\{a\_2\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\; a\_\{n-1\}\; +\backslash cfrac\{1\}\{\backslash omega\_n\}\}\}\}$

를 통해, $\backslash frac\{p\_n\}\{q\_n\}=[a\_0;\; a\_1,a\_2,\backslash ldots,a\_\{n-1\}]$는 ω에 수렴한다. 즉, 이 작업을 반복함으로써 실수 ω에 매우 가까운 유리수를 구할 수 있다. ω와 연분수의 차는

:

이다.

11. 같이 보기

• 무리수
• 유리수
• 유클리드 호제법
• 디오판토스 근사
• 펠 방정식

참조

_[1] harvtxt The Euclidean algorithm generates a continued fraction as a by-product. 2008
_[2] 문서 Brahmagupta 598–670
_[3] harvtxt derives even more general extension and contraction formulas for continued fractions. 1977a, 1977b
_[4] 문서 This intuitive interpretation is not rigorous because an infinite continued fraction is not a mapping: it is the limit of a sequence of mappings. This construction of an infinite continued fraction is roughly analogous to the construction of an irrational number as the limit of a Cauchy sequence of rational numbers.
_[5] 문서 Because of analogies like this one, the theory of conformal mapping is sometimes described as "rubber sheet geometry".
_[6] 문서 One approach to the convergence problem is to construct positive definite continued fractions, for which the denominators B_i are never zero.
_[7] 문서 This periodic fraction of period one is discussed more fully in the article convergence problem.
_[8] 웹사이트 An alternative way to calculate log(x) https://math.stackex[...]
_[9] 간행물 黄金・白銀・青銅 : 数と比と形と率と
_[10] 웹사이트 Khinchin's Constant https://mathworld.wo[...] 2024-08-22