맨위로가기

연분수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

연분수는 다음과 같은 형태의 수학적 표현으로, 부분 분자, 부분 분모, 정수 부분으로 구성된다. 연분수는 근사값을 생성하는 기본 점화식을 통해 수렴 여부를 판단하며, 수렴 시 정의된 값을 갖는다. 연분수는 다양한 표기법으로 표현되며, 수학자들은 공간 절약을 위해 여러 표기법을 고안했다. 연분수의 역사는 유클리드 호제법에서 시작되며, 16세기부터 연구되어 왔다. 연분수는 황금비, 원주율, 네이피어 수 등 다양한 수의 표현에 사용되며, 선형 분수 변환과 같은 수학적 개념과도 연관된다. 또한, 고차원 일반화 및 응용 분야에서도 연구가 진행되고 있다.

2. 연분수의 정의 및 표현

연분수는 다음과 같은 형태의 식이다.

:x = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}}

여기서 a_n (n > 0)는 '''부분 분자''', b_n는 '''부분 분모'''이며, 선두 항 b_0는 연분수의 ''정수 부분''이라고 한다.

무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은, 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용하다. 이런 근사 유리수값을 연분수의 ''근사분수(convergents)''라 부른다. 짝수 근사분수는 실제값보다 작은데 비하여, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.

예를 들어, 원주율 파이(\pi)의 근사분수들을 계산해 보면 다음과 같다.

:

\begin{aligned}

a_0 & = \lfloor \pi \rfloor = 3 & u_1 & = \frac 1 {\pi - 3} \approx \dfrac { 113} { 16} = 7.0625 \\

a_1 & = \lfloor u_1 \rfloor = 7 & u_2 & = \frac 1 {u_1 - 7} \approx \dfrac {31993} {2000} = 15.9965 \\

a_2 &= \lfloor u_2 \rfloor = 15 & u_3 & = \frac 1 {u_2 - 15} \approx \dfrac { 1003} {1000} = 1.003

\end{aligned}



::(\lfloor x \rfloorx보다 작은 최대 정수)

이를 반복하면, 무한 연분수

:

\begin {aligned}

\pi & = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, \cdots] \\

& = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}

\end {aligned}



를 얻는다. \pi의 세 번째 근사분수는 [3; 7, 15, 1] = \frac {355} {113} = 3.14159292035\cdots이며,이는 실제 \pi 값에 매우 가깝다.

황금수 φ는 x^2 - x - 1 = 0의 양의 해이며, 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:\varphi =1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}

=[1;1,1,1,1,1,\ldots]

일반적으로, x^2 - nx = 1의 양의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\ddots \,}}}} =[n;n,n,n,n,\dots ]=\frac{1}{2} \left( n+\sqrt{n^2 +4} \right)

2. 1. 표기법

긴 연분수 표현은 익숙하지 않은 독자에게는 이해하기 어렵고, 많은 공간을 차지하며 조판하기도 까다로울 수 있다. 따라서 수학자들은 여러 가지 대안적인 표기법을 고안했다. 일반화된 연분수를 표현하는 방법 중 하나는 각 중첩 분수를 같은 줄에 배치하고 분모의 늘어진 더하기 기호로 중첩을 나타내는 것이다.

:

x = b0+

a1/b1+

a2/b2+

a3/b3+ ⋯

때때로 더하기 기호는 분모와 수직으로 정렬되지만 분수 막대 아래에는 정렬되지 않는다.

:

x = b0 +

a1/b1

+a2/b2

+a3/b3+⋯

프링스하임은 일반화된 연분수를 다음과 같이 작성했다.

:

x = b0

+ a1/b1

+ a2/b2

+ a3/b3

+ ⋯

가우스는 이 표기법을 고안할 때 보다 친숙한 무한곱 Π을 사용했다.

:

x = b0 + Ki=1 ai/bi.

여기서 "K"는 "연분수"를 의미하는 독일어 단어인 ''Kettenbruch''를 나타낸다. 이것은 연분수를 표현하는 간결하고 편리한 방법이지만, 영어권에서는 널리 사용되지 않는다.

3. 연분수의 역사

유클리드 호제법에서 연분수의 역사가 시작된다.[1] 이 알고리즘은 두 자연수의 최대공약수를 찾는 방법을 제시했는데, 나머지를 반복적으로 나누는 아이디어를 도입했다.

약 2천 년 후인 16세기 중반, 봄벨리(Bombelli)는 연분수를 이용하여 이차 방정식의 근을 근사하는 기법을 고안했다. 1613년, 피에트로 카탈디(Pietro Cataldi)는 일반화된 연분수에 대한 최초의 공식적인 표기법을 제시했다. 카탈디는 연분수를 다음과 같이 나타냈다.

:{a_0\cdot} \,\&\, \frac{n_1}{d_1\cdot} \,\&\, \frac{n_2}{d_2\cdot} \,\&\, \frac{n_3}{d_3}

점은 다음 분수가 오는 위치를 나타내고, 각 &는 현재의 더하기 기호를 나타낸다.

17세기 후반, 존 월리스(John Wallis)는 "연분수"라는 용어를 수학 문헌에 도입했다. 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)의 미적분학과 같은 새로운 수학 분석 기법이 등장했고, 월리스의 동시대 사람들은 이 새로운 용어를 사용하기 시작했다.

1748년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 특정 종류의 연분수가 특정한 매우 일반적인 무한급수와 같다는 정리를 발표했다. 오일러의 연분수 공식은 여전히 연분수의 수렴성을 증명하는 많은 현대적 증명의 기초가 된다.

1761년, 요한 하인리히 람베르트(Johann Heinrich Lambert)는 에 대한 다음 연분수를 사용하여 가 무리수임을 최초로 증명했다.

:\tan(x) = \cfrac{x}{1 + \cfrac{-x^2}{3 + \cfrac{-x^2}{5 + \cfrac{-x^2}{7 + {}\ddots}}}}

연분수는 정수론의 문제에도 적용될 수 있으며, 특히 디오판토스 방정식 연구에 유용하다. 18세기 후반, 조제프루이 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)는 연분수를 사용하여 펠 방정식의 일반적인 해를 구성하여 1천 년 이상 수학자들을 매료시켰던 문제에 대한 답을 제시했다.[2] 라그랑주의 발견은 모든 비제곱 정수의 제곱근의 표준 연분수 전개가 주기적이며, 주기의 길이가 이면 길이가 인 회문 문자열을 포함한다는 것을 의미한다.

1813년, 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 복소수 값의 초기하 함수에서 현재 가우스의 연분수라고 불리는 것을 유도했다. 이것은 많은 기본 함수와 일부 고급 함수(예: 베셀 함수)를 복소 평면의 거의 모든 곳에서 빠르게 수렴하는 연분수로 표현하는 데 사용될 수 있다.

4. 연분수의 성질

무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 유용하다. 이러한 근사 유리수값을 연분수의 근사분수(convergents)라고 부른다. 짝수 근사분수는 실제값보다 작은 반면, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.

예를 들어, 원주율 파이(\pi)의 근사분수를 계산해 보면 다음과 같다.

:

\begin{aligned}

a_0 & = \lfloor \pi \rfloor = 3 & u_1 & = \frac 1 {\pi - 3} \approx \dfrac { 113} { 16} = 7.0625 \\

a_1 & = \lfloor u_1 \rfloor = 7 & u_2 & = \frac 1 {u_1 - 7} \approx \dfrac {31993} {2000} = 15.9965 \\

a_2 &= \lfloor u_2 \rfloor = 15 & u_3 & = \frac 1 {u_2 - 15} \approx \dfrac { 1003} {1000} = 1.003

\end{aligned}



::(\lfloor x \rfloorx보다 작은 최대 정수)

이러한 과정을 반복하면, 무한 연분수

:

\begin {aligned}

\pi & = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, \cdots] \\

& = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}

\end {aligned}



를 얻는다.

\pi의 세 번째 근사분수는 [3; 7, 15, 1] = \frac {355} {113} = 3.14159292035\cdots이며, 이는 실제 \pi 값에 매우 가깝다. 어떤 무리수의 n번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 더 가깝다.

이때 오차의 한계는 M을 주어진 무리수, p_nq_nn번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라고 할 때, 다음과 같이 주어진다.

: \left|M- \frac{p_n}{q_n}\right|< \frac{1}{2{q_n}^2}

연분수는 다음과 같은 형태를 가진다.

:x = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}}

여기서 (n>0)는 '''부분 분자''', b_n는 '''부분 분모'''이며, b_0는 연분수의 정수 부분이라고 한다.

연분수의 연속적인 근사값은 기본 점화식을 통해 생성된다. (자세한 내용은 "기본 점화식" 하위 섹션 참조)

근사값의 수열 \{x_n\}극한에 접근하면 연분수는 수렴하고 정의된 값을 갖는다. 그렇지 않으면 연분수는 발산한다. 발산은 진동에 의해 발생할 수도 있고(예를 들어, 홀수 번째와 짝수 번째 근사값이 두 개의 다른 극한에 접근), 무한히 많은 0인 분모 B_n를 생성할 수도 있다.

부분 숫자 a_{n+1} 중 하나가 0이면, 무한 연분수는 n개의 분수항을 갖는 유한 연분수가 되며, a_1부터 a_n까지와 b_0부터 b_{n+1}까지의 유리 함수가 된다.

\{c_i\} = \{c_1, c_2, c_3, ... \} 가 0이 아닌 복소수의 무한 수열일 때, 다음 동치 변환이 성립한다.

:

b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}} =

b_0 + \cfrac{c_1a_1}{c_1b_1 + \cfrac{c_1c_2a_2}{c_2b_2 + \cfrac{c_2c_3a_3}{c_3b_3 + \cfrac{c_3c_4a_4}{c_4b_4 + \ddots\,}}}}



이 동치 변환에서 특히 중요한 두 가지 특수한 경우는 다음과 같다.


  • a_i 중 어느 것도 0이 아니면, 각 부분 분자를 1로 만들 수 있다.
  • 부분 분모 b_i 중 어느 것도 0이 아니면, 각 부분 분모를 1로 만들 수 있다.


이러한 변환은 수렴 문제를 분석할 때 유용하다.

연분수의 수렴에는 일반적인 수렴 외에도 절대 수렴균등 수렴 개념이 있다.

연분수를 짝수 부분과 홀수 부분으로 분리해야 하는 경우가 있는데, 예를 들어 연분수가 두 개의 서로 다른 극한점 사이에서 진동하며 발산하는 경우이다. 이때 원래의 연분수를 두 개의 다른 연분수로 표현하는 것이 편리할 수 있다.

만약 a_1, a_2,...b_1, b_2,... 가 충분히 큰 모든 k에 대해 a_k \le b_k 를 만족하는 양의 정수라면,

:

x = b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,



은 무리수의 극한값으로 수렴한다.

주어진 실수 \omega가 있을 때, \omega를 넘지 않는 최대의 정수를 a_0으로 하고,

:\omega =a_0 +\frac{1}{\omega_1}

이 되도록 \omega_1을 정의하는 과정을 반복하여 연분수를 구할 수 있다. \omega유리수라면 유한번으로 종료되지만, 무리수라면 무한히 계속된다.

알렉산드르 힌친에 따르면, 정칙 연분수의 경우, a_0를 제외한 계수의 기하 평균은 어떤 극한, 즉 에 접근한다.

:\lim_{n \rightarrow \infty } \left( a_1 a_2 \dots a_n \right) ^{1/n} = K_0 = 2.6854520010\dots

4. 1. 기본 점화식

연분수의 계속되는 근삿값의 부분 분자와 분모는 다음과 같은 기본 점화식으로 관련되어 있다.[10]

:

\begin{align}

A_{-1}& = 1& B_{-1}& = 0\\

A_0& = b_0& B_0& = 1\\

A_{n+1}& = b_{n+1} A_n + a_{n+1} A_{n-1}& B_{n+1}& = b_{n+1} B_n + a_{n+1} B_{n-1}\,

\end{align}



그러면 연분수의 계속되는 근삿값은 다음과 같이 주어진다.

:x_n=\frac{A_n}{B_n}.\,

이러한 점화식은 존 월리스(1616–1703)와 레온하르트 오일러(1707–1783)에 의한 것이다.[10] 이 점화식은 피에트로 안토니오 카탈디(1548-1626)가 얻은 관계식과 단지 표기법만 다르다.

예를 들어, 황금비를 나타내는 정칙 연분수의 표준형을 생각해 보자. 이 경우, 기본 점화식을 적용하면, 계속되는 분자는 이고, 계속되는 분모는 즉, 피보나치 수이다.

$a_0$가 정수이고, 그 외의 $a_n$이 양의 정수인 수열

:$\,a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$

이 있을 때, 수열 $p_n$, $q_n$을 다음과 같이 정의한다.

:$\begin{cases}

p_0 = 1 \\

p_1 = a_0 \\

p_n = a_{n-1} p_{n-1} + p_{n-2} \ (n \ge 2)

\end{cases} \quad \begin{cases}

q_0 = 0 \\

q_1 = 1 \\

q_n = a_{n-1} q_{n-1} + q_{n-2} \ (n \ge 2)

\end{cases}$

이때, 연분수는

: $[a_0; a_1, a_2, \dots, a_{n-1}] = \frac{a_{n-1} p_{n-1} + p_{n-2}}{a_{n-1} q_{n-1} + q_{n-2}} = \frac{p_n}{q_n}$

이 된다.

$p_n$과 $q_n$은 유클리드 호제법의 결과로부터 서로소이다. 즉, 연분수 $\frac{p_n}{q_n}$은 기약분수이다.

수열 $a_n$이 모두 1인 경우, 수열 $p_n$, $q_n$은 모두 피보나치 수열 ($F_0 = 0, F_1 = 1$)이다. 즉,

:$\frac{p_n}{q_n} = \frac{F_{n+1}}{F_n}$

이다. 그리고 위에서 언급했듯이 이 연분수는 황금비에 수렴한다. 따라서 '''인접한 피보나치 수의 비는 황금비에 수렴한다'''는 것을 알 수 있다.

5. 연분수의 계산

무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용하다. 이러한 근사 유리수값을 연분수의 '''근사분수(convergents)'''라 부른다. 짝수 근사분수는 실제값보다 작은 반면, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.

예를 들어, 원주율 π의 근사분수들을 계산해 보면 다음과 같다.

:

\begin{aligned}

a_0 & = \lfloor \pi \rfloor = 3 & u_1 & = \frac 1 {\pi - 3} \approx \dfrac { 113} { 16} = 7.0625 \\

a_1 & = \lfloor u_1 \rfloor = 7 & u_2 & = \frac 1 {u_1 - 7} \approx \dfrac {31993} {2000} = 15.9965 \\

a_2 &= \lfloor u_2 \rfloor = 15 & u_3 & = \frac 1 {u_2 - 15} \approx \dfrac { 1003} {1000} = 1.003

\end{aligned}



::(\lfloor x \rfloorx보다 작은 최대 정수)

이런 식으로 계속 계산하면, 무한 연분수

:

\begin {aligned}

\pi & = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, \cdots] \\

& = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}

\end {aligned}



를 얻는다.

π의 세 번째 근사분수는 [3; 7, 15, 1] = \frac {355} {113} = 3.14159292035\cdots이며, 이는 실제 π 값에 매우 가깝다. 어떤 무리수의 n번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 더 가깝다.

이 때 오차의 한계는 M을 주어진 무리수, 각각 p_nq_nn번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라 할 때, 다음과 같은 식으로 주어진다.

:\left|M- \frac{p_n}{q_n}\right|< \frac{1}{2{q_n}^2}

또한, 다음 식

:\left|M- \frac{P}{Q}\right|< \frac{1}{2Q^2}

을 만족하는 가장 작은 정수 Q에 대하여, 적당한 자연수 k가 존재하여 P= p_kQ= q_k를 만족한다.

주어진 실수 ω가 있다고 하자. ω를 넘지 않는 최대의 정수를 a₀으로 하고,

:\omega =a_0 +\frac{1}{\omega_1}

이 되도록 ω₁을 정의한다. ω₁이 정수가 아니라면, ω₁을 넘지 않는 최대의 정수를 a₁으로 하고,

:\omega_1 = a_1 +\frac{1}{\omega_2}

이 되도록 ω₂을 정의할 수 있다. 이 작업을 반복함으로써, n단까지의 연분수

:a_0 +\cfrac{1}{a_1 +\cfrac{1}{a_2 +\cfrac{1}{\ddots a_{n-1} +\cfrac{1}{\omega_n}}}}

를 구할 수 있다. 만약 ω가 유리수라면 이 작업은 유한 번으로 종료하지만, 무리수라면 이 작업은 무한히 계속된다.

단, 앞서 설명했듯이, ω가 2차 무리수이고, 그 경우에 한하여 순환하는 연분수가 된다.

\frac{p_n}{q_n}=[a_0; a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}]는 ω에 수렴한다. 즉, 위 작업을 반복함으로써 실수 ω에 아무리 가까운 유리수라도 구할 수 있다. 또한, ω와 연분수의 차는

:\left| \omega -\frac{p_n}{q_n} \right| <\frac{1}{{q_n}^2}

이 되는 것이 알려져 있으며, 연분수는 디오판토스 근사의 해를 구하는 수단으로서 유효하다.

6. 다양한 수의 연분수 전개

황금비x^2 - x - 1 = 0의 양의 해로, 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있다.

:\varphi =1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}

=[1;1,1,1,1,1,\ldots][9]

일반적으로, x^2 - nx = 1의 양의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\ddots \,}}}} =[n;n,n,n,n,\dots ]=\frac{1}{2} \left( n+\sqrt{n^2 +4} \right)


  • 2의 제곱근


:\sqrt{2}=[1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, \dots]=

1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}

{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}} (순환마디는 2)

  • 3의 제곱근


:\sqrt{3}=[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \dots]=

1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}

{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}} (순환마디는 1, 2)

  • 황금비의 역수 φ⁻¹ = [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] (순환마디는 1)

  • 백은비[9] 1 + √2 = [2; 2, 2, 2, 2, 2, 2,…] (순환마디는 2)

  • 백은수의 역수 \frac{1}{1+\sqrt2} =-1+\sqrt2 =[0; 2, 2, 2, 2, 2, 2,\dots] (순환마디는 2)


네이피어 수는 초월수이며, 연분수 전개는 순환하지 않지만 일정한 규칙성을 가진다.

  • 네이피어 수 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]


원주율의 정칙 연분수 전개에는 규칙성이 없다고 알려져 있다.

  • 원주율 π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...]


하지만 원주율의 정칙이 아닌 연분수에서는 규칙성을 갖는 것이 존재한다.

:\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{\ddots \,}}}}}}

:\cfrac{4}{\pi} =1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{\ddots \,}}}}}}

양의 수 z^m의 n제곱근은 z = x^n + y로 표현하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sqrt[n]{z^m} = \sqrt[n]{\left(x^n+y\right)^m} = x^m+\cfrac{my} {nx^{n-m}+\cfrac{(n-m)y} {2x^m+\cfrac{(n+m)y} {3nx^{n-m}+\cfrac{(2n-m)y} {2x^m+\cfrac{(2n+m)y} {5nx^{n-m}+\cfrac{(3n-m)y} {2x^m+\ddots}}}}}}



m = 1이고 n = 2인 경우, z제곱근은 다음과 같다.

:

\sqrt{z} = \sqrt{x^2+y} = x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{3y} {6x+\cfrac{3y} {2x+\ddots}}}}

= x+\cfrac{2x \cdot y} {2(2x^2 + y)-y-\cfrac{1\cdot 3y^2} {6(2x^2 + y)-\cfrac{3\cdot 5y^2} {10(2x^2 + y)-\ddots}}}



두의 세제곱근(2^{1/3} 또는 \sqrt[3]{2} \approx 1.259921...)은 두 가지 방법으로 계산할 수 있다.

:

\sqrt[3]2 = 1+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{4} {9+\cfrac{5} {2+\cfrac{7} {15+\cfrac{8} {2+\cfrac{10} {21+\cfrac{11} {2+\ddots}}}}}}}} = 1+\cfrac{2 \cdot 1} {9-1-\cfrac{2 \cdot 4} {27-\cfrac{5 \cdot 7} {45-\cfrac{8 \cdot 10} {63-\cfrac{11 \cdot 13} {81-\ddots}}}}}.



:

\sqrt[3]2 = \cfrac{5}{4}+\cfrac{0.5} {50+\cfrac{2} {5+\cfrac{4} {150+\cfrac{5} {5+\cfrac{7} {250+\cfrac{8} {5+\cfrac{10} {350+\cfrac{11} {5+\ddots}}}}}}}} = \cfrac{5}{4}+\cfrac{2.5 \cdot 1} {253-1-\cfrac{2 \cdot 4} {759-\cfrac{5 \cdot 7} {1265-\cfrac{8 \cdot 10} {1771-\ddots}}}}.


7. 선형 분수 변환 (LFT)

선형 분수 변환(Linear Fractional Transformation, LFT)은 다음과 같은 형태의 복소 함수이다.

:

w = f(z) = \frac{az + b}{cz + d}



여기서 z는 복소 변수이고, a, b, c, dcz + d \ne 0인 복소 상수이다. 보통 w = f(z)가 상수가 되는 경우를 제외하기 위해 ad \ne bc라는 조건이 추가된다. 선형 분수 변환은 메비우스 변환이라고도 불리며, 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.


  • c \ne 0이면 LFT는 하나 또는 두 개의 고정점을 갖는다. 이는 다음 방정식으로 확인할 수 있다.


::

f(z) = z \Rightarrow az + b = cz^2 + dz \Rightarrow cz^2 + (d-a)z - b = 0



이 방정식의 근이 f(z)의 고정점이다. 판별식 (d - a)^2 + 4bc가 0이면 LFT는 하나의 고정점을 갖고, 그렇지 않으면 두 개의 고정점을 갖는다.

  • ad \ne bc이면 LFT는 전단사등각 사상으로, 확장된 복소 평면을 자기 자신에게 사상한다. 즉, 다음과 같은 역함수를 갖는다.


::

z = g(w) = \frac{dw - b}{-cw + a}



이는 확장된 복소 평면의 모든 점 z에 대해 f(g(z)) = g(f(z)) = z이고, fg 모두 무한히 작은 스케일에서 각도와 모양을 보존한다. z = g(w)의 형태로부터 g도 LFT임을 알 수 있다.

  • ad \ne bc인 두 LFT의 합성은 ad \ne bc인 LFT이다. 즉, ad \ne bc인 모든 LFT의 집합은 함수 합성에 대해 닫혀 있다. 이 집합은 함수 합성을 "군 연산"으로 하는 확장된 복소 평면의 자동사상군이다.

  • a = 0이면 LFT는 다음과 같이 간단해진다.


::

w = f(z) = \frac{b}{cz + d}



이는 z유리형 함수로, 하나의 단순 극(-\frac{d}{c})과 \frac{b}{c}와 같은 유수를 갖는다.

단순 선형 분수 변환의 수열을 생각해보자.

:\begin{align}

\tau_0(z) &= b_0 + z, \\

\tau_1(z) &= \frac{a_1}{b_1 + z}, \\

\tau_2(z) &= \frac{a_2}{b_2 + z}, \\

\tau_3(z) &= \frac{a_3}{b_3 + z}, \\

&\vdots

\end{align}

\tau를 각 단순 LFT를 나타내는 데 사용하고, 함수 합성에는 일반적인 원 기호를 사용한다. n+1개의 변환 \tau_i의 합성을 나타내는 새로운 기호 \boldsymbol{\Tau_n}을 도입한다.

:\begin{align}

\boldsymbol{\Tau_1}(z) &= \tau_0 \circ \tau_1(z) = \tau_0(\tau_1(z)), \\

\boldsymbol{\Tau_2}(z) &= \tau_0 \circ \tau_1 \circ \tau_2(z) = \tau_0(\tau_1(\tau_2(z))), \\

&\vdots

\end{align}

위 식들을 이용하면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}

\boldsymbol{\Tau_1}(z) &= \tau_0 \circ \tau_1(z) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + z} \\

\boldsymbol{\Tau_2}(z) &= \tau_0 \circ \tau_1 \circ \tau_2(z) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + z}} \\

&\vdots

\end{align}



일반적으로,

:

\boldsymbol{\Tau_n}(z) = \tau_0 \circ \tau_1 \circ \tau_2 \circ \cdots \circ \tau_n(z) =

b_0 + \underset{i=1}{\overset{n}{\operatorname{K}}} \frac{a_i}{b_i}



여기서 유한 연분수 K의 마지막 부분 분모는 b_n + z로 이해된다. b_n + 0 = b_n이므로, 반복된 LFT \boldsymbol{\Tau_n}에 따른 점 z = 0의 상은 n개의 부분 분자를 갖는 유한 연분수의 값이다.

:

\boldsymbol{\Tau_n}(0) = \boldsymbol{\Tau_{n+1}}(\infty) =

b_0 + \underset{i=1}{\overset{n}{\operatorname{K}}} \frac{a_i}{b_i}



유한 연분수를 반복된 일차 분수 변환 \boldsymbol{\Tau_n}(z)에 따른 점의 상으로 정의하면, 무한 연분수에 대한 기하적 해석이 가능해진다.

다음 관계식

:

x_n = b_0 + \underset{i=1}{\overset{n}{\operatorname{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \frac{A_n}{B_n} = \boldsymbol{\Tau_n}(0) = \boldsymbol{\Tau_{n+1}}(\infty)



\boldsymbol{\Tau_n}(z)\boldsymbol{\Tau_{n+1}}(z)를 기본 점화식을 이용하여 다시 쓰면 이해할 수 있다.

:

\begin{align}

\boldsymbol{\Tau_n}(z) &= \frac{(b_n+z)A_{n-1} + a_nA_{n-2}}{(b_n+z)B_{n-1} + a_nB_{n-2}} & \boldsymbol{\Tau_n}(z) &= \frac{zA_{n-1} + A_n}{zB_{n-1} + B_n} \\

\boldsymbol{\Tau_{n+1}}(z) &= \frac{(b_{n+1}+z)A_n + a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_n + a_{n+1}B_{n-1}} & \boldsymbol{\Tau_{n+1}}(z) &= \frac{zA_n + A_{n+1}}{zB_n + B_{n+1}}

\end{align}



첫 번째 식에서 z가 0에 가까워지면 비는 \frac{A_n}{B_n}에 가까워진다. 두 번째 식에서 z가 무한대로 갈 때 비는 \frac{A_n}{B_n}에 가까워진다. 연분수가 수렴하면, 연속된 근사값 \frac{A_n}{B_n}은 결국 임의로 가까워진다. 일차 분수 변환 \boldsymbol{\Tau_n}(z)연속 사상이므로, z = 0의 근방은 \boldsymbol{\Tau_n}(0) = \frac{A_n}{B_n}의 임의로 작은 근방으로 사상되어야 한다. 마찬가지로, 무한대의 점의 근방은 \boldsymbol{\Tau_n}(\infty) = \frac{A_{n-1}}{B_{n-1}}의 임의로 작은 근방으로 사상되어야 한다. 따라서 연분수가 수렴하면 변환 \boldsymbol{\Tau_n}(z)는 매우 작은 z와 매우 큰 z 모두를 연분수의 값인 x의 임의로 작은 근방으로 사상하고, n이 점점 커짐에 따라 사상한다.

z의 중간값에 대해, 연속된 근사값들이 가까워지고 있으므로 다음을 얻는다.

:

\frac{A_{n-1}}{B_{n-1}} \approx \frac{A_n}{B_n} \quad \Rightarrow \quad

\frac{A_{n-1}}{A_n} \approx \frac{B_{n-1}}{B_n} = k



여기서 k는 편의상 도입된 상수이다. 그러면 \boldsymbol{\Tau_n}(z)에 대한 식에 대입하여 다음을 얻는다.

:

\boldsymbol{\Tau_n}(z) = \frac{zA_{n-1} + A_n}{zB_{n-1} + B_n}

= \frac{A_n}{B_n} \left( \frac{z \frac{A_{n-1}}{A_n} + 1}{z \frac{B_{n-1}}{B_n} + 1} \right)

\approx \frac{A_n}{B_n} \left( \frac{zk + 1}{zk + 1} \right) = \frac{A_n}{B_n}



따라서 n이 점점 커짐에 따라 z \approx -k^{-1}인 경우를 제외하고 z의 중간값조차도 연분수의 값 x의 임의로 작은 근방으로 사상된다. 결과적으로, 수렴하는 연분수는 확장된 복소평면 전체를 단일 점으로 사상하는 것과 같다.[4]

{\boldsymbol{\Tau_n}} 수열은 확장된 복소평면의 자동사상군 내에 있다. 왜냐하면 각 \boldsymbol{\Tau_n}ab \ne cd인 일차 분수 변환이기 때문이다. 그리고 그 자동사상군의 모든 원소는 확장된 복소평면을 자신으로 사상한다. \boldsymbol{\Tau_n} 중 어느 것도 평면을 단일 점으로 사상할 수 없다. 그러나 극한에서 {\boldsymbol{\Tau_n}} 수열은 (수렴하는 경우) 복소평면의 단일 점을 나타내는 무한 연분수를 정의한다.

무한 연분수가 수렴하면, 해당 LFT {\boldsymbol{\Tau_n}} 수열은 연분수의 값 x 방향으로 평면을 "집중"시킨다. 과정의 각 단계에서 평면의 더 크고 더 큰 영역이 x의 근방으로 사상되고, 남아 있는 평면의 더 작고 더 작은 영역은 그 근방 외부의 모든 것을 덮도록 점점 더 얇게 늘어난다.[5]

발산하는 연분수의 경우 세 가지 경우를 구분할 수 있다.

1. 두 수열 {\boldsymbol{\Tau_{2n-1}}}{\boldsymbol{\Tau_{2n}}} 자체가 두 개의 다른 값 x_{\text{odd}}x_{\text{even}}을 갖는 두 개의 수렴하는 연분수를 정의할 수 있다. 이 경우 {\boldsymbol{\Tau_n}} 수열에 의해 정의된 연분수는 두 개의 서로 다른 극한점 사이의 진동에 의해 발산한다. 일반화될 수 있는데, {\boldsymbol{\Tau_n}} 수열은 세 개, 네 개 또는 임의의 개수의 극한점 사이에서 진동하도록 구성될 수 있다. 흥미로운 예는 {\boldsymbol{\Tau_n}} 수열이 확장된 복소평면 위의 자동사상군 내에서 유한 차수의 부분군을 구성할 때 발생한다.

2. {\boldsymbol{\Tau_n}} 수열은 0이 아닌 분모 B_i를 무한히 많이 생성하는 동시에 유한 근사값의 부분수열을 생성할 수 있다. 이 유한 근사값들은 반복되지 않거나 인식 가능한 진동 패턴에 들어가지 않을 수 있다. 또는 유한 극한으로 수렴하거나 여러 유한 극한 사이에서 진동할 수 있다. 유한 근사값이 어떻게 작용하든, {\boldsymbol{\Tau_n}} 수열에 의해 정의된 연분수는 이 경우 무한대의 점과의 진동에 의해 발산한다.[6]

3. {\boldsymbol{\Tau_n}} 수열은 유한 개의 0이 아닌 분모 B_i만 생성할 수 있다. 유한 근사값의 부분수열은 평면 주위에서 절대 반복되지 않고 어떤 유한 극한에도 접근하지 않는 패턴으로 격렬하게 움직인다.

1번과 3번의 흥미로운 예는 다음과 같은 간단한 연분수를 연구하여 구성할 수 있다.

:

x = 1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{z}{1 + \ddots}}}}



여기서 zz < -\frac{1}{4}인 임의의 실수이다.[7]

8. 오일러의 연분수 공식

오일러는 다음과 같은 항등식을 증명했다.

: a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2\cdots a_n = \frac{a_0}{1-} \frac{a_1}{1+a_1-} \frac{a_2}{1+a_2-}\cdots \frac{a_{n}}{1+a_n}.\,

이것으로부터 많은 다른 결과들을 유도할 수 있다. 예를 들어,

: \frac{1}{u_1}+ \frac{1}{u_2}+ \frac{1}{u_3}+ \cdots+ \frac{1}{u_n} = \frac{1}{u_1-} \frac{u_1^2}{u_1+u_2-} \frac{u_2^2}{u_2+u_3-}\cdots \frac{u_{n-1}^2}{u_{n-1}+u_n},\,

그리고

: \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_0a_1} + \frac{x^2}{a_0a_1a_2} + \cdots + \frac{x^n}{a_0a_1a_2 \ldots a_n} = \frac{1}{a_0-} \frac{a_0x}{a_1+x-} \frac{a_1x}{a_2+x-}\cdots \frac{a_{n-1}x}{a_n+x}.\,

연분수와 급수를 연결하는 오일러의 공식은 수렴 문제에 대한 기본적인 접근 방식의 기초이기도 하다.

9. 고차원 일반화

일반화된 연분수는 고차원으로의 일반화를 의미하기도 한다. 예를 들어, 비이성적인 실수 α|α영어에 대한 정규형의 단순 연분수와 2차원에서 직선 y = αx|y = αx영어의 양쪽에 있는 격자점들의 배열 사이에는 밀접한 관계가 있다. 이 아이디어를 일반화하여 3차원 이상의 격자점과 관련된 것을 생각해 볼 수 있다. 이 영역을 연구하는 한 가지 이유는 수학적 우연 개념을 정량화하기 위해서이다. 예를 들어, 여러 실수의 단항식에 대해 로그 형태를 취하고 얼마나 작을 수 있는지 고려한다. 또 다른 이유는 에르미트 문제에 대한 가능한 해결책을 찾기 위해서이다.

일반화된 이론을 구성하려는 많은 시도가 있었다. 이러한 방향으로 주목할 만한 노력은 펠릭스 클라인(클라인 다면체), 조르주 푸아투 및 조지 세케레시에 의해 이루어졌다.

10. 응용

연분수는 정수론 문제, 특히 디오판토스 방정식 연구에 유용하다.[2] 18세기 후반, 조제프루이 라그랑주는 연분수를 사용하여 펠 방정식의 일반적인 해를 구했다. 라그랑주의 발견은 모든 비제곱 정수의 제곱근의 표준 연분수 전개가 주기적임을 보여주었다.

또한, 연분수는 디오판토스 근사의 해를 구하는 데 유효하다. 주어진 실수 ω에 대하여, 다음 연분수

:a_0 +\cfrac{1}{a_1 +\cfrac{1}{a_2 +\cfrac{1}{\ddots a_{n-1} +\cfrac{1}{\omega_n}}}}

를 통해, \frac{p_n}{q_n}=[a_0; a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}]는 ω에 수렴한다. 즉, 이 작업을 반복함으로써 실수 ω에 매우 가까운 유리수를 구할 수 있다. ω와 연분수의 차는

:\left| \omega -\frac{p_n}{q_n} \right| <\frac{1}{{q_n}^2}

이다.

11. 같이 보기

참조

[1] harvtxt The Euclidean algorithm generates a continued fraction as a by-product. 2008
[2] 문서 Brahmagupta 598–670
[3] harvtxt derives even more general extension and contraction formulas for continued fractions. 1977a, 1977b
[4] 문서 This intuitive interpretation is not rigorous because an infinite continued fraction is not a mapping: it is the limit of a sequence of mappings. This construction of an infinite continued fraction is roughly analogous to the construction of an irrational number as the limit of a Cauchy sequence of rational numbers.
[5] 문서 Because of analogies like this one, the theory of conformal mapping is sometimes described as "rubber sheet geometry".
[6] 문서 One approach to the convergence problem is to construct positive definite continued fractions, for which the denominators Bi are never zero.
[7] 문서 This periodic fraction of period one is discussed more fully in the article convergence problem.
[8] 웹사이트 An alternative way to calculate log(x) https://math.stackex[...]
[9] 간행물 黄金・白銀・青銅 : 数と比と形と率と
[10] 웹사이트 Khinchin's Constant https://mathworld.wo[...] 2024-08-22



본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com